Каким свойством обладает медиана
Медиана треугольника, так же, как и высота служит графическим параметром, определяющим весь треугольник, значение его сторон и углов. Три значения: медианы, высоты и биссектрисы – это, как штрих-код на товаре, наша задача просто уметь его считать.
Определение
Медиана – это отрезок, соединяющий высоту и середину противоположной стороны. В треугольнике три вершины, а значит и медианы три. Медианы не всегда совпадают с высотами или биссектрисами. Чаще всего это отдельные отрезки.
Свойства медиан
- Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, совпадает с высотой и биссектрисой. В равностороннем треугольнике все медианы совпадают с биссектрисами и высотами.
- Все медианы треугольника пересекаются в одной точке.
- Медиана делит треугольник на два равновеликих, а три медианы, на 6 равновеликих треугольника.
Равновеликими называют треугольники, площади которых равны.
Рис. 1. Три медианы образуют 6 равновеликих треугольника.
- Точка пересечения медиан делит их в отношении 2:1, считая от вершины.
- Медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна половине гипотенузы.
Задачи
Все эти свойства несложно запомнить, они легко закрепляются на практике. Для большего понимания темы, решим несколько задач:
- В прямоугольном треугольнике известны катеты, которые равны a=3 и b=4. Найти значение медианы m, проведенной к гипотенузе c.
Рис. 2. Рисунок к задаче.
Для того, чтобы найти значение медианы, нам необходимо найти гипотенузу, так как медиана, проведенная к гипотенузе равна ее половине. Гипотенуза через теорему Пифагора: $$a^2+b^2=c^2$$
$$c=sqrt{a^2+b^2}=sqrt{9+16}=sqrt{25}=5$$
Найдем значение медианы: $$m={cover2}={5over2}=2,5$$ – получившееся число и есть значение медианы.
Значения медиан в треугольнике не равны. Поэтому нужно обязательно представлять, какую именно величину необходимо найти.
- В треугольнике известны значения сторон : a=7; b=8; c=9. Найти значение медианы, опущенной к стороне b.
Рис. 3. Рисунок к задаче.
Чтобы решить эту задачу нужно воспользоваться одной из трех формул для нахождения медианы по сторонам треугольника:
$$m^2 ={1over2}*(a^2+c^2-b^2)$$
Как видно, главное здесь запомнить коэффициент при скобках и знаки у значения сторон. Знаки запомнить проще всего – вычитается всегда сторона, к которой опущена медиана. В нашем случае это b, но может быть любая другая.
Подставим значения в формулу и найдем величину медианы: $$m=sqrt{{1over2}*(a^2+c^2-b^2)}$$
$$m=sqrt{{1over2}*(49+81-64)}=sqrt{33}$$ – оставим результат в виде корня.
- В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию равна 8, а само основание 6. Вместе с оставшимися двумя, эта медиана делит треугольник на 6 треугольников. Найти площадь каждого из них.
Медианы, разбивают треугольник на шесть равновеликих. Значит, площади малых треугольников будут равны между собой. Достаточно найти площадь большего и поделить ее на 6.
Дана медиана, проведенная к основанию, в равнобедренном треугольнике она является биссектрисой и высотой. Значит в треугольнике известны основание и высота. Можно найти площадь.
$$S={1over2}*6*8=24$$
Площадь каждого из малых треугольников: $${24over6}=4$$
Что мы узнали?
Мы узнали, что такое медиана. Определили свойства медианы, и нашли решение типовых задач. Поговорили о базовых ошибках и разобрались как просто и быстро запомнить формулу нахождения медианы через стороны треугольника.
Тест по теме
Оценка статьи
Средняя оценка: 4.7. Всего получено оценок: 137.
Источник
Здравствуйте, уважаемые читатели блога KtoNaNovenkogo.ru. Сегодня мы поговорим о таком понятии в математике, как МЕДИАНА.
У этого слова несколько значений, и обо всех мы упомянем. Но в первую очередь нас интересует то, с которым знакомят школьников на уроках геометрии ближе к старшим классам.
И в этом случае МЕДИАНА имеет непосредственное отношение к такой геометрической фигуре, как треугольник.
Медиана — это…
Медиана – это отрезок или часть прямой линии, которая проведена из вершины треугольника к середине противоположной стороны. Точно так же называется и длина этого отрезка.
Вот обратите внимание на этот простой, но очень наглядный рисунок. На нем изображен треугольник со сторонами АВ, АС и ВС, или как принято писать в математике — треугольник АВС.
Точка М – это середина стороны ВС. И соответственно линия АМ, проведенная из вершины А до середины стороны ВС, и есть МЕДИАНА.
Еще раз повторим! Медиана – понятие, которое имеет отношение только к треугольникам. У других похожие линии называются по-другому. Например, у прямоугольников и квадратов – это диагональ. А у окружности – это диаметр.
Стоит отметить, что сам термин имеет латинский корень. И в переводе дословно означает «средний». А чтобы еще проще было запомнить, что такое медиана, есть прекрасный стишок:
Есть в треугольнике обычном
Отрезок очень непростой
Соединяет он обычно с серединой стороны любой
И каждый должен знать отлично,
Зовется медианой он.
Кстати, если внимательно прочитать это стихотворение, то в нем можно выделить ключевые слова – «с серединой стороны ЛЮБОЙ». То есть в нашем примере медиана может выходить не только из вершины А, но также из В и С. И делить пополам не только сторону ВС, но и АС и АВ соответственно.
И из этого можно сделать логический вывод, что медиан у любого треугольника может быть несколько. А точнее, три!
И выглядят они вот так.
На этом рисунке мы отчетливо видим все три медианы. Они обозначаются отрезками CA, PL и KM.
Пересечение медиан треугольника
Точка О, в которой пересекаются все медианы треугольника, также имеет свое особое название. И даже несколько – центр тяжести, центроид, геометрический центр, барицентр, центр инерции. Ну а неформально эту точку называют точкой равновесия.
Чтобы лучше понять, что это такое, представьте себе треугольник, вырезанный из бумаги или картона. Если вы на нем проведете все три медианы и найдете точку их пересечения, то подставив под нее палец, вы сможете удерживать ваш картонный треугольник в равновесии, не давая ему упасть.
Важно! С точкой пересечения медиан связан один математический факт. Она делит каждую медиану на два отрезка, соотношение которых составляет 2 к 1, если считать от вершины.
Если для примера взять указанный выше треугольник, то тогда это правило можно расписать следующим образом:
- Отрезок СО вдвое больше, чем отрезок АО;
- Отрезок РО вдвое больше, чем отрезок LO;
- Отрезок МО вдвое больше, чем КО.
Это правило не требует доказательств. Но если хотите, можете провести в домашних условиях опыт и убедиться в правдивости расчетов.
Медиана равностороннего треугольника
Равносторонний треугольник сам по себе уникален, так как все его три стороны имеют одинаковую длину. Логично предположить, что и медиана в нем какая-то особенная?! Да, так оно и есть.
Медиана в равностороннем треугольнике является одновременно и высотой, и биссектрисой.
Если кто не знает, высотой в треугольнике называют отрезок, который опускается из вершины перпендикулярно, то есть под прямым углом к основанию. А биссектриса – это линия, которая выходит из вершины треугольника и делит ее угол ровно пополам.
И наконец, еще одна «фишка» равностороннего треугольника. У него все три медианы равны по длине.
Кстати, присмотритесь к рисунку. С помощью медиан в любом треугольнике образуются внутренние маленькие треугольники. Так вот, в равносторонней фигуре они равны между собой как по длине сторон, так и по площади.
Медиана прямоугольного треугольника
Прямоугольный треугольник, если кто забыл, это треугольник, у которого один угол составляет 90 градусов. И в такой фигуре медиана тоже обладает уникальными свойствами.
Но речь идет только о той медиане, которая выходит из прямого угла. Так вот, ее длина равна половине длины гипотенузы. Так называют самую длинную сторону прямоугольного треугольника.
Соответственно, при решении задач правдиво будет и обратное условие. Так, если указано, что отрезок СМ в нашем примере равен АВ/2, или равен отдельно АМ и ВМ, то можно смело делать вывод, что перед нами прямоугольный треугольник.
Вместо заключения
А теперь вернемся к тому, о чем мы говорили в самом начале статьи. Термин МЕДИАНА имеет несколько значений.
Например, а в статистике медианой называют уровень показателей, который делит все данные на две равные половины.
Слово «медиана» используется и в дорожном строительстве, обозначая середину асфальтного полотна. Правда, этот термин можно найти только в технических документациях, а в обычной жизни мы говорим просто «разделительная полоса».
И наконец, в Сербии есть археологический памятник, который называется Медиана. Так назвалась древнеримская вилла, руины которой находятся в городе Неш. Она уникальна тем, что была построена при императоре Константине в 300 году и была его резиденцией, в которой он принимал почетных гостей.
Вот и все, что мы хотели рассказать о МЕДИАНЕ. До новых встреч на страницах нашего блога.
Удачи вам! До скорых встреч на страницах блога KtoNaNovenkogo.ru
Использую для заработка
- ВоркЗилла – удаленная работа для всех
- Анкетка – платят за прохождение тестов
- Etxt – платят за написание текстов
- Кьюкоммент – биржа комментариев
- Поиск лучшего курса обмена
- 60сек – выгодный обмен криптовалют
- Бинанс – надёжная биржа криптовалют
- ВкТаргет – заработок в соцсетях (ВК, ОК, FB и др.)
Источник
Медианой именуется отрезок, проведенный из вершины треугольника на середину противоположной стороны, то есть делит ее точкой пересечения пополам. Точка, в которой медиана пересекает противоположную вершине, из которой она выходит, сторону, именуется основанием. Через одну точку, называемую точкой пересечения, проходит каждая медиана треугольника. Формула длины ее может выражаться несколькими способами.
Формулы для выражения длины медианы
- Зачастую в задачах по геометрии ученикам приходится иметь дело с таким отрезком, как медиана треугольника. Формула ее длины выражается через стороны:
где a, b и c – стороны. Причем с является стороной, на которую медиана опускается. Таким образом выглядит самая простая формула. Медианы треугольника иногда требуется проводить для вспомогательных расчетов. Есть и другие формулы.
- Если при расчете известны две стороны треугольника и определенный угол α, находящийся между ними, то длина медианы треугольника, опущенной к третьей стороне, будет выражаться так.
Основные свойства
- Все медианы имеют одну общую точку пересечения O и ею же делятся в отношении два к одному, если вести отсчет от вершины. Такая точка носит название центра тяжести треугольника.
- Медиана разделяет треугольник на два других, площади которых равны. Такие треугольники называются равновеликими.
- Если провести все медианы, то треугольник будет разделен на 6 равновеликих фигур, которые также будут треугольниками.
- Если в треугольнике все три стороны равны, то в нем каждая из медиан будет также высотой и биссектрисой, то есть перпендикулярна той стороне, к которой она проведена, и делит надвое угол, из которого она выходит.
- В равнобедренном треугольнике медиана, опущенная из вершины, которая находится напротив стороны, не равной никакой другой, будет также высотой и биссектрисой. Медианы, опущенные из других вершин, равны. Это также является необходимым и достаточным условием равнобедренности.
- Если треугольник является основанием правильной пирамиды, то высота, опущенная на данное основание, проецируется в точку пересечения всех медиан.
- В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к наибольшей стороне, равняется половине ее длины.
- Пусть O – точка пересечения медиан треугольника. Формула, приведенная ниже, будет верная для любой точки M.
- Еще одним свойством обладает медиана треугольника. Формула квадрата ее длины через квадраты сторон представлена ниже.
Свойства сторон, к которым проведена медиана
- Если соединить любые две точки пересечения медиан со сторонами, на которые они опущены, то полученный отрезок будет являться средней линией треугольника и составлять одну вторую от стороны треугольника, с которой она не имеет общих точек.
- Основания высот и медиан в треугольнике, а также середины отрезков, соединяющих вершины треугольника с точкой пересечения высот, лежат на одной окружности.
В заключение логично сказать, что одним из самых важных отрезков является именно медиана треугольника. Формула ее может использоваться при нахождении длин других его сторон.
Источник
У этого термина существуют и другие значения, см. Медиана.
Медиа́на (от лат. mediāna — середина) в математической статистике — число, характеризующее выборку (например, набор чисел). Если все элементы выборки различны, то медиана — это такое число, что половина из элементов выборки больше него, а другая половина меньше. В более общем случае медиану можно найти, упорядочив элементы выборки по возрастанию или убыванию и взяв средний элемент. Например, выборка {11, 9, 3, 5, 5} после упорядочивания превращается в {3, 5, 5, 9, 11} и её медианой является число 5. Если в выборке чётное число элементов, медиана может быть не определена однозначно: для числовых данных чаще всего используют полусумму двух соседних значений (то есть медиану набора {1, 3, 5, 7} принимают равной 4), подробнее см. ниже.
Также медиану можно определить для случайных величин: в этом случае она делит пополам распределение. Грубо говоря, медианой случайной величины является такое число, что вероятность получить значение случайной величины справа от него равна вероятности получить значение слева от него (и они обе равны 1/2); более точное определение см. ниже.
Можно также сказать, что медиана является 50-м персентилем, 0,5-квантилем или вторым квартилем выборки или распределения.
Свойства медианы для случайных величин[править | править код]
Если распределение непрерывно, то медиана является одним из решений уравнения
Если распределение является непрерывной строго возрастающей функцией, то решение уравнения однозначно. Если распределение имеет разрывы, то медиана может совпадать с минимальным или максимальным (крайним) возможным значением случайной величины, что противоречит «геометрическому» пониманию этого термина.
Медиана является важной характеристикой распределения случайной величины и, так же как математическое ожидание, может быть использована для центрирования распределения. Поскольку оценки медианы более робастны, её оценивание может быть более предпочтительным для распределений с т. н. тяжёлыми хвостами. Однако о преимуществах оценивания медианы по сравнению с математическим ожиданием можно говорить только в случае, если эти характеристики у распределения совпадают, в частности, для симметричных функций плотности распределения вероятностей.
Медиана определяется для всех распределений, а в случае неоднозначности, естественным образом доопределяется, в то время как математическое ожидание может быть не определено (например, у распределения Коши).
Пример использования[править | править код]
Предположим, что в одной комнате оказалось 19 бедняков и один миллионер. У каждого бедняка есть 5 ₽, а у миллионера — 1 млн ₽ (106). В сумме получается 1 000 095 ₽. Если мы разделим деньги равными долями на 20 человек, то получим 50 004,75 ₽. Это будет среднее арифметическое значение суммы денег, которая была у всех 20 человек в этой комнате.
Медиана в этом случае будет равна 5 ₽ (полусумма десятого и одиннадцатого, срединных значений ранжированного ряда). Можно интерпретировать это следующим образом. Разделив всю компанию на две равные группы по 10 человек, мы можем утверждать, что в первой группе у каждого не больше 5 ₽, во второй же — не меньше 5 ₽. В общем случае можно сказать, что медиана — это то, сколько принёс с собой «средний» человек. Наоборот, среднее арифметическое — неподходящая характеристика, так как оно значительно превышает сумму наличных, имеющуюся у среднего человека.
Неуникальность значения[править | править код]
Если имеется чётное количество случаев и два средних значения различаются, то медианой, по определению, может служить любое число между ними (например, в выборке {1, 3, 5, 7} медианой может служить любое число из интервала (3,5)). На практике в этом случае чаще всего используют среднее арифметическое двух средних значений (в примере выше это число (3+5)/2=4). Для выборок с чётным числом элементов можно также ввести понятие «нижней медианы» (элемент с номером n/2 в упорядоченном ряду из элементов; в примере выше это число 3) и «верхней медианы» (элемент с номером (n+2)/2; в примере выше это число 5)[1]. Эти понятия определены не только для числовых данных, но и для любой порядковой шкалы.
Примечания[править | править код]
- ↑ Кормен, Томас Х., Лейзерсон, Чарльз И., Ривест Рональ Л., Штайн, Клиффорд. Алгоритмы. Построение и анализ (неопр.). — 2-е издание. — М.: Издательский дом «Вильямс», 2005. — С. 240. — 1296 с.
Источник
- Большая советская энциклопедия
I
Медиа́на (от латинского mediana — средняя)
в геометрии, отрезок, соединяющий одну из вершин треугольника с серединой противоположной стороны. Три М. треугольника пересекаются в одной точке, которую иногда называют «центром тяжести» треугольника, так как именно в этой точке находится центр тяжести однородной треугольной пластинки (а также центр тяжести системы трёх равных масс, помещенных в вершинах треугольника). Точка пересечения М. делит каждую из них в отношении 2 : 1 (считая от вершины к основанию).
II
Медиа́на
в теории вероятностей, одна из характеристик распределения значений случайной величины (См. Случайная величина). Для случайной величины Х с непрерывной функцией Распределения F(x) медиана m определяется как корень уравнения
(см. также Квантиль). Случайная величина Х принимает с вероятностью 1/2 как значения, бо́льшие m, так и значения, меньшие m.
В математической статистике М. вариационного ряда (См. Вариационный ряд) из n величин х1 ≤ x2 ≤ … ≤ xn называют либо xk, если n нечётное и равно 2k + 1, либо (xk + xk+1)/2 при n чётном и равном 2k. В качестве оценки М. по независимым наблюдениям случайной величины Х принимают М. вариационного ряда, составленного из результатов наблюдений.
Источник:
Большая советская энциклопедия
на Gufo.me
Значения в других словарях
- медиана —
-ы, ж. мат. Прямая, проведенная от вершины треугольника к середине противолежащей стороны. [От лат. mediana — средняя]
Малый академический словарь - медиана —
сущ., кол-во синонимов: 1 отрезок 12
Словарь синонимов русского языка - Медиана —
Треугольника — прямая (или ее отрезок внутри треугольника), соединяющая вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Три М. треугольника пересекаются в одной точке, к-рая называется центром тяжести треугольника, центроидом, или барицентром.
Математическая энциклопедия - МЕДИАНА —
МЕДИАНА (от лат. mediana — средняя) — англ. median; нем. Median. 1. В теорий вероятностей — характеристика распределения случайной величины. 2. В статистике — величина признака, находящаяся в середине ранжированного ряда.
Социологический словарь - медиана —
МЕДИАНА -ы; ж. [от лат. mediana — средняя] 1. Матем. Прямая, проведенная от вершины треугольника к середине противоположной стороны. М. треугольника. Обозначить точку на медиане. 2. В статистике: срединное, центральное значение. ◁ Медианный, -ая, -ое. (2 зн.).
Толковый словарь Кузнецова - Медиана —
Прямая, соединяющая вершину треугольника с срединой противоположной стороны. Во всяком треугольнике все три его медианы пересекаются в одной точке.
Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона - медиана —
медиана ж. 1. Прямая линия, проведенная от вершины треугольника к середине противоположной стороны (в геометрии). 2. Величина, находящаяся в середине ряда величин, расположенных в возрастающем или убывающем порядке (в статистике).
Толковый словарь Ефремовой - МЕДИАНА —
МЕДИАНА — понятие теории вероятностей; одна из характеристик распределения значений случайной величины Х. Медиана — такое число m, что Х принимает с вероятностью 1/2 как значения больше m, так и меньше m.
Большой энциклопедический словарь - медиана —
Медиа́н/а.
Морфемно-орфографический словарь - медиана —
медиана , -ы
Орфографический словарь. Одно Н или два? - медиана —
орф. медиана, -ы
Орфографический словарь Лопатина - медиана —
МЕДИ’АНА, медианы, ·жен. (·лат. mediana, ·букв. средняя). 1. Прямая линия, проведенная от вершины треугольника к середине противолежащей стороны (мат.). 2. В статистике — для ряда многих данных величина, обладающая тем свойством, что число данных, меньших ее, равняется числу данных, больших ее.
Толковый словарь Ушакова - медиана —
Медиана, медианы, медианы, медиан, медиане, медианам, медиану, медианы, медианой, медианою, медианами, медиане, медианах
Грамматический словарь Зализняка - медиана —
Медианы, ж. [латин. mediana, букв. средняя]. 1. Прямая линия, проведенная от вершины треугольника к середине противолежащей стороны (мат.). 2. В статистике – для ряда многих данных величина, обладающая тем свойством, что число данных, меньших ее, равняется числу данных, больших ее.
Большой словарь иностранных слов - медиана —
МЕДИАНА, ы, ж. В математике: отрезок прямой линии, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
Толковый словарь Ожегова
Источник