Каким свойством обладает центр параллельных сил
Центр тяжести
Центр параллельных сил
Центром параллельных сил называется такая точка на линии действия равнодействующей системы параллельных сил, через которую проходит равнодействующая и в том случае, если все силы системы повернуть вокруг их точек приложения на один и тот же угол, сохраняя параллельность сил.
Покажем существование центра параллельных сил на системе двух сил F1 и F2 (см. рисунок 1). На основании теоремы о сложении двух параллельных сил, направленных в одну сторону, определим равнодействующую этих сил и положение линии ее действия по формулам:
FΣ = F1 + F2; F1/F2 = BC/AC.
Нетрудно увидеть, что точка С, лежащая на линии АВ, соединяющей точки приложения данных сил, является центром двух параллельных сил F1 и F2, так как при повороте их на один и тот же угол α отношение плеч ВС и СА не изменится, и равнодействующая также пройдет через точку С.
Если дана система параллельных сил, то равнодействующую этой системы можно найти, последовательно попарно складывая все силы. На линии действия равнодействующей системы параллельных сил также будет существовать точка, обладающая свойствами центра параллельных сил, т. е. если все силы системы вращать вокруг этой точки, равнодействующая этих сил все равно останется приложенной к этой точке.
Выведем формулы для определения координат центра системы n параллельных сил.
Пусть даны пространственная система n параллельных сил и равнодействующая этой системы. Выберем систему осей координат и обозначим координаты точки приложения сил данной системы и координаты точки приложения равнодействующей (см. рисунок 2).
Запишем моменты сил данной системы относительно оси y. Для того, чтобы легче представить, чему равен момент силы относительно оси, следует мысленно перенести силу вдоль линии ее действия до положения, когда точка приложения силы окажется в плоскости координатных осей (см. рисунок 2, сила F1’):
Мy(F1) = F1x1,
My(F2) = F2x2,
…………….
…………….
My(Fn) = Fnxn,
My(FΣ) = FΣxC.
Применим теорему о моменте равнодействующей относительно оси. Тогда:
FΣxC = F1x1 + F2x2 + …. + Fnxn, откуда
xC = (F1x1 + F2x2 + …. +Fnxn)/FΣ.
Записав моменты сил относительно оси x и вновь применив теорему о моменте равнодействующей, получим:
yC = (F1y1 + F2y2 + …. +Fnyn)/FΣ.
Для определения координаты zC повернем все силы системы вокруг их точек приложения в одну сторону так, чтобы силы стали параллельны оси y. При этом точка С не изменит своего положения, так как она является центром параллельных сил данной системы.
Запишем моменты всех сил относительно оси x и применим теорему о моменте равнодействующей, в результате получим:
zC = (F1z1 + F2z2 +….+Fnzn)/FΣ.
Равнодействующая системы параллельных сил равна их алгебраической сумме, т. е. FΣ = ΣFi.
Применив сокращенную формулу записи, получим формулы для определения координат центра параллельных сил в следующем виде:
xC = Σ(Fixi)/ΣFi; yC = Σ(Fiyi)/ΣFi; zC = Σ(Fizi)/ΣFi.
Заметим, что в полученных формулах силы и моменты сил берут со знаком согласно ранее установленным правилам (если вектор силы направлен по направлению координатной оси, сила считается положительной, и наоборот, а момент силы считается положительным, если его вращающее действие относительно точки направлено против часовой стрелки).
***
Определение положения центра тяжести
Уникальность центра системы параллельных сил заключается в том, что равнодействующая сил системы, приложенная в этом центре, не создает относительно него вращающего момента, поскольку плечо равнодействующей равно нулю. Полученные выше формулы для определения координат центра системы параллельных сил на практике чаще всего используют для нахождения центра тяжести различных тел и фигур.
Сила, с которой тело притягивается к Земле, называется силой тяжести. Элементарной частицей тела называется такая малая частица, положение которой в пространстве определяется координатами одной точки.
Рассмотрим тело, состоящее из большого количества элементарных частиц. В реальности силы тяжести каждой частицы тела, направленные к центру Земли, образуют систему сходящихся сил (поскольку все они направлены к одной точке – центре масс нашей планеты, где и пересекаются), но для тел, размеры которых ничтожно малы по сравнению с размерами нашей планеты, с достаточной степенью точности можно считать эти силы системой параллельных сил.
Центром тяжести тела называется центр параллельных сил тяжести всех элементарных частиц этого тела.
Очевидно, что силы тяжести частиц тела образуют относительно центра тяжести систему параллельных сил, равнодействующая которой не имеет вращающего действия. Это свойство равнодействующей, проходящей через центр тяжести тела, используют, например, для балансировки колес, валов, при расчетах конструкций на устойчивость и т. п.
Центр тяжести является геометрической точкой, которая может лежать вне тела (например, кольцо, изогнутое тело и т. п.). Центр тяжести будем обозначать точкой С.
Координаты центра тяжести тела находят по тем же формулам, что и координаты центра параллельных сил:
xC = Σ(Gixi)/ΣFi; yC = Σ(Giyi)/ΣFi; zC = Σ(Gizi)/ΣGi,
где Gi – сила тяжести каждой элементарной частицы тела;
xi, yi, zi – координаты частицы;
ΣGi – сила тяжести всего тела.
В случае однородных тел по таким же формулам можно определять координаты центра тяжести объемов, площадей и линий, представив Gi, как произведение удельной массы (удельной силы тяжести) тела на его объем:
Gi = γVi, где γ – удельная сила тяжести (для однородного тела γ – величина постоянная). Если подставить эти зависимости в выведенные ранее формулы, и сократить на постоянный множитель γ, получим координаты центра тяжести для объема однородного тела:
xC = Σ(Vixi)/ΣVi; yC = Σ(Viyi)/ΣVi; zC = Σ(Vizi)/ΣVi.
При помощи аналогичных преобразований можно вывести формулы для нахождения координат центра тяжести плоской фигуры (пластины), имеющей одинаковую толщину h по всей площади:
если Gi = γhAi, (здесь Аi – площадь элементарной площадки пластины), то
xC = Σ(Aixi)/ΣAi; yC = Σ(Aiyi)/ΣAi; zC = Σ(Aizi)/ΣAi.
Если тело, например, представляет собой однородную проволоку, постоянного поперечного сечения А (т. е. линию), то сила тяжести элементарной частицы, выраженная через длину li (после аналогичных математических преобразований) равна:
xC = Σ(lixi)/Σli; yC = Σ(liyi)/Σli; zC = Σ(lizi)/Σli.
Следует иметь в виду, что в механике различают два близких по смыслу понятия – центр тяжести и центр масс.
Центром масс (центром инерции, барицентром) в механике называют геометрическую точку, характеризующую движение тела или системы тел как единого целого. Т. е. центром масс при расчетах можно заменить систему или габаритное тело, представив их в виде точки, что во многих случаях позволяет упростить вычисления и расчеты.
В отличие от центра тяжести центр масс имеет смысл для любого материального тела или механической системы, в то время как понятие центра тяжести применимо только для твердого тела, находящегося в однородном гравитационном поле. Тем не менее, в лексиконе специалистов эти два понятия нередко имеют одинаковое смысловое значение.
***
Методы нахождения центра тяжести
Источник
Рассмотрим систему параллельных сил {F1, F2, …, Fn}. При повороте всех сил системы на один и тот же угол линия действия равнодействующей системы параллельных сил повернется в ту же сторону на тот же угол вокруг некоторой точки (рисунок 1.5, а).
Эта точка называется центром параллельных сил.
Согласно теореме Вариньона, если система сил имеет равнодействующую, то ее момент относительно любого центра (оси) равен сумме моментов всех сил системы относительно того же центра (оси).
Рисунок 1.5
Для определения координат центра параллельных сил воспользуемся этой теоремой.
Относительно оси x
Mx(R) = ΣMx(Fk), -yCR = ΣykFk и yC= ΣykFk /ΣFk.
Относительно оси y
My(R) = ΣMy(Fk), -xCR = ΣxkFk и xC = ΣxkFk /ΣFk.
Чтобы определить координату zC, повернем все силы на 90° так, чтобы они стали параллельны оси y (рисунок 1.5, б). Тогда
Mz(R) = ΣMz(Fk), -zCR = ΣzkFk и zC = ΣzkFk /ΣFk.
Следовательно, формула для определения радиус-вектора центра параллельных сил принимает вид
rC = ΣrkFk /ΣFk.
Свойства центра параллельных сил:
1 Сумма моментов всех сил Fk относительно точки C равна нулю ΣMC(Fk) = 0.
2 Если все силы повернуть на некоторый угол α, не меняя точек приложения сил, то центр новой системы параллельных сил будет той же точкой C.
Центр тяжести:
Строго говоря, различные точки имеют не параллельные силы тяжести, но учитывая малость размеров тел, находящихся на Земле, в сравнении с размерами Земли можно считать, что силы тяжести различных точек этих тел являются параллельными силами, и тогда для них справедливы уравнения * и **:
Центр тяжести всегда лежит на оси симметрии.
Центром тяжести твердого тела называется неизменно связанная с этим телом точкаС, через которую проходит линия действия равнодействующей сил тяжести данного тела, при любом положении тела в пространстве.
Существуют два способа определения центра тяжести тела: аналитический и экспериментальный. Аналитический способ определения центра тяжести непосредственно вытекает из понятия центра параллельных сил.
Основываясь на полученных формулах, можно предложить практические способы определения центров тяжести тел.
1. Симметрия. Если тело имеет центр симметрии, то центр тяжести находится в центре симметрии.
Если тело имеет плоскость симметрии. Например, плоскость ХОУ, то центр тяжести лежит в этой плоскости.
2. Разбиение. Для тел, состоящих из простых по форме тел, используется способ разбиения. Тело разбивается на части, центр тяжести которых находится методом симметрии. Центр тяжести всего тела определяется по формулам центра тяжести объема (площади).
3.Дополнение. Этот способ является частным случаем способа разбиения. Он используется, когда тело имеет вырезы, срезы и др., если координаты центра тяжести тела без выреза известны.
4. Интегрирование. Если тело нельзя разбить на конечное число частей, положение центров тяжести которых известны, тело разбивают на произвольные малые объемы , для которых формула с использованием метода разбиения принимает вид: .
5.Экспериментальный способ. Центры тяжести неоднородных тел сложной конфигурации можно определять экспериментально: методом подвешивания и взвешивания. Первый способ состоит в том, что тело подвешивается на тросе за различные точки. Направление троса на котором подвешено тело, будет давать направление силы тяжести. Точка пересечения этих направлений определяет центр тяжести тела.
Билет №8.
Источник
Система параллельных сил в общем случае приводится к силе и паре, причем векторы силы и пары перпендикулярны. Тогда, если , то система приводится к равнодействующей.
Рассмотрим систему параллельных сил , приложенных соответственно в точках твердого тела (рис. 46).
Определение. Центром системы параллельных сил называется точка приложения равнодействующей системы параллельных сил, которая остается неизменной при любых поворотах всех сил системы вокруг их точек приложения на один и тот же угол.
Центр параллельных сил существует, если главный вектор системы сил не равен нулю .
Пусть , тогда , где – равнодействующая. Введем единичный вектор ( ), направленный параллельно линиям действия сил. Тогда любая сила , где , если направление силы и вектора совпадают, и , если и направлены противоположно друг другу. Пусть равнодействующая приложена в точке , радиус-вектор которой . По обобщенной теореме Вариньона момент равнодействующей относительно полюса равен сумме моментов всех сил системы относительно того же полюса:
,
или .
Тогда .
Преобразуем полученное выражение:
,
,
.
Выражение в круглых скобках представляет собой некоторый вектор, который обозначим , тогда:
.
Но , а полученное равенство не должно зависеть от угла поворота сил вокруг их точек приложения, то есть угол между векторами может быть любым. Поэтому векторное произведение , когда
,
откуда получаем выражение для радиус-вектора центра параллельных сил
.
Проектируя полученное равенство на оси координат, получим выражения для координат центра параллельных сил
, , ,
где – координаты центра параллельных сил, а – координаты точки приложения .
Центр тяжести твердого тела
Силы притяжения отдельных частиц тела к Земле направлены приблизительно к центру Земли. Так как размеры рассматриваемых тел малы по сравнению с радиусом Земли, то эти силы можно считать параллельными. Равнодействующая этих параллельных сил, равная их сумме, есть вес тела.
Определение. Центром тяжести твердого тела называется центр параллельных сил тяжести частиц, слагающих тело. Иными словами, центр тяжести – это такая точка приложения равнодействующей сил тяжести частиц тела, которая остаётся неизменной при любых поворотах тела.
Таким образом, для определения положения центра тяжести можно использовать формулы для координат центра параллельных сил.
Обозначим силы веса отдельных частиц тела , вес тела , координаты его центра тяжести , а координаты любой частицы твердого тела (рис. 47).
Тогда формулы для определения координат центра тяжести принимают вид:
, , .
Определим положение центра тяжести однородных тел.
1. Центр тяжести объема
Вес однородного тела определяется по формуле , где – объём тела, –вес единицы объема. Аналогично, вес каждой частицы , где – объем – ой частицы тела. Обозначим координаты центра тяжести этой частицы. Тогда
, , .
2. Центр тяжести плоской фигуры
Однородное тело, имеющее форму тонкой пластинки, можно рассматривать как плоскую фигуру.
Положение центра тяжести плоской фигуры определяется двумя координатами и (рис. 48). Вес однородной пластинки , где – площадь плоской фигуры, – вес единицы ее площади. Разобьем площадь фигуры на элементарные площадки, вес каждой из которых , где – площадь – ой площадки. Тогда:
, .
3. Центр тяжести линии
Пусть – вес единицы длины линии, – длина линии (рис. 49).
Тогда:
, , .
Статические моменты
Статическими моментами называются выражения, стоящие в числителях формул для радиус- вектора центра тяжести. Например, из формулы
получаем статический момент относительно полюса:
.
Статическим моментом плоской фигуры относительно оси ( ) называется сумма произведений площадей элементарных площадок этой фигуры на их ординаты (абсциссы)
, .
Статический момент площади плоской фигуры относительно оси измеряется в кубических метрах – .
Если известны статические моменты площади плоской фигуры относительно координатных осей, то координаты ее центра тяжести можно определить по формулам
, .
Очевидно, что если статический момент плоской фигуры относительно некоторой оси равен нулю, то центр тяжести этой фигуры лежит на этой оси.
Рекомендуемые страницы:
Читайте также:
Источник
Рассмотрим систему n сил Pi, приложенных в точках Ai (xi, yi, zi) и параллельных оси Ov c ортом l (рис.2).
Если заранее исключить случай системы, эквивалентной паре сил, нетрудно на основании предыдущего параграфа доказать существование ее равнодействующей R.
Определим координаты центра C(xc, yc, zc) параллельных сил, то есть координаты точки приложения равнодействующей этой системы.
Воспользуемся с этой целью теоремой Вариньона, на основании которой:
M0 (R) = ΣM0 (Pi).
Рис.2
Вектор-момент силы можно представить в виде векторного произведения, поэтому:
М0(R) = rc×R = ΣМ0i (Pi)= Σ(ri×Pi).
Учитывая, что R = Rv∙l, а Pi = Pvi∙l и воспользовавшись свойствами векторного произведения, получим:
rc×Rv∙l = Σ(ri ×Pvi∙l),
rc∙Rv×l = Σ(ri∙Pvi×l) = Σ(ri∙Pvi)×l,
или:
[rcRv – Σ(ri Pvi )]×l = 0.
Последнее выражение справедливо только в том случае, если выражение в квадратных скобках равно нулю. Поэтому, опуская индекс v и учитывая, что равнодействующая R = ΣPi, отсюда получим:
rc = (ΣPi ri)/(ΣPi).
Проектируя последнее векторное равенство на оси координат, получим искомое выражение координат центра параллельных сил:
xc = (ΣPi xi)/( ΣPi);
yc = (ΣPi yi)/( ΣPi); (2)
zc = (ΣPi zi)/( ΣPi).
Центр тяжести тел.
Координаты центров тяжести однородного тела.
Рассмотрим твердое тело весом P и объемом V в системе координат Oxyz , где оси x и y связаны с поверхностью земли, а ось z направлена в зенит.
Если разбить тело на элементарные части объемом ∆Vi , то на каждую его часть будет действовать сила притяжения ∆Pi, направленная к центру Земли. Предположим, что размеры тела значительно меньше размеров Земли, тогда систему сил, приложенных к элементарным частям тела можно считать не сходящейся, а параллельной (рис.3), и к ней применимы все выводы предыдущей главы.
Рис.3
Определение. Центром тяжести твердого тела называется центр параллельных сил тяжести элементарных частей этого тела.
Напомним, что удельным весом элементарной части тела называется отношение ее веса ∆Pi к объему ∆Vi: γi = ∆Pi/∆Vi. Для однородного тела эта величина является постоянной: γi = γ = P/V.
Подставляя в (2) ∆Pi = γi∙∆Vi вместо Pi, учитывая последнее замечание и сокращая числитель и знаменатель на g, получим выражения координат центра тяжести однородного тела:
xc = (Σ∆Vi∙xi)/(Σ∆Vi);
yc = (Σ∆Vi∙yi)/(Σ∆Vi); (3)
zc = (Σ∆Vi∙zi)/(Σ∆Vi).
При определении центра тяжести полезны несколько теорем.
1) Если однородное тело имеет плоскость симметрии, то центр тяжести его находится в этой плоскости.
Если оси х и у расположить в этой плоскости симметрии, то для каждой точки с координатами можно отыскать точку с координатами . И координата по (3), будет равна нулю, т.к. в сумме все члены имеющие противоположные знаки, попарно уничтожаются. Значит центр тяжести расположен в плоскости симметрии.
2) Если однородное тело имеет ось симметрии, то центр тяжести тела находится на этой оси.
Действительно, в этом случае, если ось z провести по оси симметрии, для каждой точки с координатами можно отыскать точку с координатами и координаты и , вычисленные по формулам (3), окажутся равными нулю.
Аналогично доказывается и третья теорема.
3) Если однородное тело имеет центр симметрии, то центр тяжести тела находится в этой точке.
И ещё несколько замечаний.
Первое. Если тело можно разделить на части, у которых известны вес и положение центра тяжести, то незачем рассматривать каждую точку, а в формулах (3) Pi – определять как вес соответствующей части и – как координаты её центра тяжести.
Второе. Если тело однородное, то вес отдельной части его , где – удельный вес материала, из которого сделано тело, а Vi – объём этой части тела. И формулы (3) примут более удобный вид. Например,
И аналогично, где – объём всего тела.
Третье замечание. Пусть тело имеет вид тонкой пластинки площадью F и толщиной t, лежащей в плоскости Oxy. Подставляя в (3) ∆Vi= t∙∆Fi, получим координаты центра тяжести однородной пластинки:
xc = (Σ∆Fi∙xi) / (Σ∆Fi);
yc = (Σ∆Fi∙yi) / (Σ∆Fi).
zc = (Σ∆Fi∙zi) / (Σ∆Fi).
где – координаты центра тяжести отдельных пластин; – общая площадь тела.
Четвёртое замечание. Для тела в виде тонкого криволинейного стержня длиной L с площадью поперечного сечения a элементарный объем ∆Vi= a∙∆Li, поэтому координаты центра тяжести тонкого криволинейного стержня будут равны:
xc = (Σ∆Li∙xi)/(Σ∆Li);
yc = (Σ∆Li∙yi)/(Σ∆Li); (4)
zc = (Σ∆Li∙zi)/(Σ∆Li).
где – координаты центра тяжести i-го участка; .
Отметим, что согласно определению центр тяжести – это точка геометрическая; она может лежать и вне пределов данного тела (например, для кольца).
Примечание.
В этом разделе курса мы не делаем разницы между силой притяжения, силой тяжести и весом тела. В действительности сила тяжести представляет собой разность между силой притяжения Земли и центробежной силой, вызванной ее вращением.
Координаты центров тяжести неоднородных тел.
Координаты центра тяжести неоднородного твердого тела (рис.4) в выбранной системе отсчета определяются следующим образом:
Рис.4
где – вес единицы объема тела (удельный вес)
– вес всего тела.
Если твердое тело представляет собой неоднородную поверхность (рис.5), то координаты центра тяжести в выбранной системе отсчета определяются следующим образом:
Рис.5
где – вес единицы площади тела,
– вес всего тела.
Если твердое тело представляет собой неоднородную линию (рис.6), то координаты центра тяжести в выбранной системе отсчета определяются следующим образом:
Рис.6
где – вес единицы длины тела,
– вес всего тела.
Источник