Каким свойством должны обладать натуральные числа а и б

Литература

1. Шевченко Н.Н. Арифметика. Учебник для 5-6 классов средней школы Москва. 1966 г. 212 с.

2. Нифонтова Е. М., Алтушкина Т. А., Щиголёва Т. А. /переработка учебника Киселёва А. А./ Арифметика. Для 5 классов. Екатеринбург. 2019. 120 с.

3. Нифонтова Е. М., Сборник задач и упражнений по арифметике I часть. Для 5 классов. Екатеринбург. Артефакт. 2018. 102 с.

4. Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Математика. 5 класс. Учебник МГУ – школе. Москва. 2012. 271 с.

5. Шевкин А.В. Текстовые задачи по математике 2016.Москва. 103 стр.

6. Березанская Е.С. Сборник задач и упражнений по арифметике Москва.1933. 104 с.

7. Узорова О. 2500 задач для начальной школы. Аст. 2017. 255 с.

Чтобы решать задачи, вычислять значение выражений необходимо владеть основными понятиями

1. Знать определение всех действий

2. Правила нахождения неизвестных компонент действий

2. Законы действий

3. Правила выполнения действий

4. Законы изменения результата действия в зависимости от изменения компонент действия.

ОПРЕДЕЛЕНИЯ

1. Какие числа называются натуральными числами?

Натуральными числами называют числа, предназначенные для счёта предметов.

2. На что указывает любое натуральное число?

Любое натуральное число n указывает на некоторое количество предметов.

3. Что показывает каждое натуральное число?

Каждое натуральное число показывает, сколько единиц оно содержит.

4. Какая последовательность чисел (множество чисел) называется натуральным рядом?

Натуральным рядом N называют последовательность (множество) натуральных чисел, расположенных в порядке счёта предметов (в порядке возрастания) и разделённых запятой

N = {1, 2, 3, 4, 5, …}.

5. Какие числа называются равными?

А)Если натуральные числа n и m указывают на одно и тоже количество предметов, то они равны n = m.

Б)Если два натуральных числа стоят на одном и том же месте в натуральном ряду N, то они равны.

В)Если натуральные числа n и m содержат одно и тоже количество единиц, то они равны n = m.

ДЕЙСТВИЯ

Имеются 3 прямых действия: сложение, умножение, возведение в натуральную степень и 4 обратных действия: вычитание, деление, извлечение корня и логарифмирование. Также имеются тригонометрические действия, наиболее важное из них есть тангенс угла.

В начальной школе изучается первые 4 арифметических действия. В пятом классе знакомят с возведением в степень. Извлечение корня и логарифмирование изучают в старшей школе, но по сути, во множестве натуральных чисел они являются обратными действиями, точно также как вычитание и деление и их можно рассматривать как арифметические действия основанные на таблице возведения в степень..

СЛОЖЕНИЕ

Задача 1. На левой полке две книги, а на правой три книги. Сколько книг на обоих полках?

Р е ш е н и е .

Если на левой полке две книги, а на правой три книги, то на обоих полках будет 2 + 3 = 5 (кн.)

Ответ: 5 книг

В этом действии по двум заданным числам 2 и 3 находят третье число 5. Числа 2 и 3 слагаемые, а 5 – сумма. Такие действия называются прямыми действиями.

Задача 2. На двух полках пять книг. На второй полке 3 книги. Сколько книг на первой полке?

Р е ш е н и е .

1)Если на двух полках пять книг, а на второй полке 3 книги, то на первой полке будет 5 – 3 = 2 (кн.).

Ответ:2 книги.

Р е ш е н и е с помощью уравнения

Обозначим через x количество книг на первой полке и составим уравнение

ЕСЛИ х + 3 = 5, ТО x = 5 – 3 = 2;

Ответ: на первой полке 2 книги.

6. Какое действие называется сложением?

Сложение двух натуральных чисел есть прямое арифметическое действие, с помощью которого находят количество единиц в обоих числах вместе.

Например: 2 + 3 = 5 означает, что две единицы первого числа объединяются с 3 единицами второго числа и получается новое число 5, содержащее все единицы в двух числах.

7. Как называются компоненты действия сложения?

Компоненты действия сложения называются слагаемыми. Первая компонента называется первым слагаемым, вторая компонента – вторым слагаемым. Результат называется суммой.

8. Какая таблица называется таблицей сложения?

Таблицей сложения называется такая таблица, в каждой ячейке которой стоит сумма двух чисел, расположенных в первом столбце и первой строке.

Правило сложения задаётся таблицей сложения. Сумму двух чисел с помощью таблицы сложения можно найти с помощью двух стрелок перпендикулярных сторонам таблицы 2 + 3 = 5. В первом столбце первое слагаемое m, в верхней строке второе n. В остальных ячейках таблицы соответствующее значение суммы k = m + n. С помощью таблицы сложения можно найти результат сумму с помощью двух стрелок.

ВЫЧИТАНИЕ

9. Какое действие называется вычитанием?

Вычитанием называется арифметическое действие обратное сложению, с помощью которого по заданной сумме и одному известному слагаемому находят другое неизвестное слагаемое.

10. Как называются компоненты действия вычитания?

Первая компонента действия вычитания называется уменьшаемым. Вторая компонента называется вычитаемым. Результат называется разностью.

11. Как по таблице сложения выполнить действие вычитания?

Если неизвестно первое слагаемое, то имеем равенство, в котором х + 3 = 5 первая компонента неизвестна. Тогда по таблице сложения находим в первой строке 3 и двигаемся вниз до 5 , а затем влево и находим 2. Если неизвестна вторая компонента 2 + х = 5 то двигаемся вправо и вверх.

Иак:

Если х + 3 = 5 , то x = 5 – 3 = 2, (вниз и влево);

Если 2 + х = 5 , то x = 5 – 2 = 3, (вправо и вверх).

Сложение исходное арифметическое действие, первичное понятие, вычитание определяется через сложение, как обратная операция.

УМНОЖЕНИЕ

Задача 3. На 3 полках по 2 книги. Сколько всего книг на трёх полках?

Р е ш е н и е .

1)Если на каждой полке по 2 книги и даны 3 полки, то всего на полках будет 2 х 3 = 6 книг.

О т в е т: на трёх полках будет 6 книг.

12. Какое действие называется умножением?

Умножением называется прямое арифметическое действие, с помощью которого находят сумму одинаковых слагаемых (количество единиц в одинаковых слагаемых).

Пример

2 х 3 = 2 + 2 + 2 = 3 + 3 = 6

13. Как называются компоненты действия умножения?

Компоненты действия умножения называются сомножителями. Первая компонента называется первым сомножителем (множимое), вторая – вторым сомножителем (множитель). Результат действия умножения называется произведением.

14. Какая таблица называется таблицей умножения?

Таблицей умножения называется такая таблица, в каждой ячейке которой стоит произведение двух чисел, расположенных в первом столбце и первой строке.

Правило умножения задаётся таблицей умножения, которая основывается на таблице сложения. Произведение двух чисел с помощью таблицы умножения можно найти с помощью двух стрелок перпендикулярных сторонам таблицы 2 х 3 = 6.

В первом столбце первый сомножитель m, в верхней строке второй n. В остальных ячейках таблицы соответствующее значение произведение k = m х n. С помощью таблицы умножения можно найти результат произведение с помощью двух стрелок.

ДЕЛЕНИЕ

14. Какое действие называется делением?

Делением называется арифметическое действие обратное умножению, с помощью которого по заданному произведению и одному известному множителю находят другой неизвестный множитель.

15. Как называются компоненты действия деления?

Первая компонента действия деления называется делимым. Вторая компонента называется делителем. Результат действия деления называется частным.

Рис.5. Способ нахождения неизвестного сомножителя с помощью таблицы умножения. Если неизвестно первый сомножитель, то имеем равенство, в котором х × 3 = 6 первая компонента неизвестна. Тогда по таблице умножения находим в первой строке 3 и двигаемся вниз до 6, а затем влево и находим 2. Если неизвестна вторая компонента 2 × х = 6, то двигаемся вправо и вверх.

Если х × 3 = 6 , то x = 6/3 = 2, (вниз и влево);

Если 2 × х = 6, то x = 6/2 = 3, (вправо и вверх).

Нахождение неизвестных компонент действий

16. Как найти неизвестное слагаемое?

Чтобы найти неизвестное слагаемое нужно от суммы вычесть известное слагаемое.

Если n + x = k, то x = k – n

17. Как найти неизвестное уменьшаемое?

Чтобы найти неизвестное уменьшаемое нужно к разности прибавить вычитаемое.

Если x – n = k, то x = k + n

18. Как найти неизвестное вычитаемое?

Чтобы найти неизвестное вычитаемое нужно от уменьшаемого вычесть разность.

Если m – x = k , то x = m – k

19. Как найти неизвестное делимое?

Чтобы найти неизвестное делимое нужно частное умножить на делитель.

Если x/n = k , то x = k × n

20. Как найти неизвестный сомножитель?

Чтобы найти неизвестный сомножитель нужно произведение разделить на известный сомножитель.

Если n x x = k , то x = k/n

21. Как найти неизвестный делитель?

Чтобы найти неизвестный делитель надо делимое разделить на частное.

Если m/x = k, то x = m/k

22. Как узнать на сколько одно число больше или меньше другого?

Чтобы узнать на сколько единиц одно число больше или меньше другого надо из большего числа вычесть меньшее.

23. Как узнать, во сколько раз одно число больше или меньше другого?

Чтобы узнать во сколько раз одно число больше или меньше другого надо большее число разделить на меньшее.

ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ДЕЙСТВИЙ

(всего 12 правил) (2-7 классы)

24. Как можно к числу прибавить сумму?

Чтобы к числу прибавить сумму можно к этому числу прибавить любое из слагаемых, а к полученной сумме прибавить второе слагаемое.

m + (n + l) = (m + n) + l = (m + l) + n.

Например: 27 + (13 +9) =(27 +13) +9 = 40 +9 =49

25. Как можно к сумме прибавить число?

Чтобы к сумме прибавить число можно к любому из слагаемых прибавить это число, а к полученной сумме прибавить второе слагаемое.

(m +n) + l = (m+ l) + n = (n + l) + m.

26. Как можно от числа вычесть сумму?

Чтобы из числа вычесть сумму можно из этого числа вычесть одно из слагаемых, а затем из полученного результата вычесть другое слагаемое.

m – (n + l) = (m – n) – l = (m – l) – n

Например: 27 − (17 +4) = (27 − 17) − 4 = 10 − 4 = 6

27. Как можно из числа вычесть разность?

Чтобы из числа вычесть разность, можно из этого числа вычесть уменьшаемое и к полученному результату прибавить вычитаемое

m – (n – l) = (m – n) + l

Например: 27 − (17 − 9) = (27 − 17) + 9 = 10 + 9 = 19

28. Как можно от суммы вычесть число?

Чтобы из суммы вычесть число можно из любого слагаемого вычесть это число, а затем к полученному результату прибавить второе слагаемое.

(m + n) –l = (m – l) + n = (n – l) + m

29. Как можно из разности вычесть число?

Чтобы из разности вычесть число можно из уменьшаемого вычесть это число и от полученного результата вычесть вычитаемое.

(m – n) –l = (m – l) – n

30. Как можно число умножить на произведение?

Чтобы число умножить на произведение, можно это число умножить на первый сомножитель, а затем полученный результат умножить на другой сомножитель.

m × (n × k) = (m × n) × k = (m × k) × n

Например: 6 × (5 × 9) = (6 × 5) × 9 = 30 × 9 = 270

31. Как можно произведение умножить на число?

Чтобы произведение умножить на число можно первый сомножитель умножить на это число, а затем полученное произведение умножить на второй сомножитель.

(m × n) × k = (m × k) × n = (n × k) × m

Например: (5 × 9) × 6 = (5 × 6) × 9 = 30 × 9 = 270

32. Как можно произведение разделить на число?

Чтобы произведение разделить на число можно любой сомножитель разделить на это число, и полученное частное умножить на второй сомножитель.

(m × n) / k = (m / k) × n = (n / k) × m

Например: (12 × 9) : 6 = (12 : 6) × 9 = 2 × 9 = 18

33. Как можно сумму умножить на число?

Чтобы сумму умножить на число можно каждое из слагаемых умножить на это число, а результаты сложить.

(m + n) х l = m х l + n х l

Например: (5 + 9) × 6 = 5 × 6 + 9 × 6 = 30 + 54 = 84

34. Как можно сумму разделить на число?

Чтобы сумму разделить на число можно каждое из слагаемых разделить на это число, а результаты сложить.

(m + n) / l = m/ l + n/l

Например: 6 × (5 × 9) = (6 × 5) × 9 = 30 × 9 = 270

35. Как можно разность разделить на число?

Чтобы разность разделить на число можно уменьшаемое и вычитаемое разделить на это число и из первого результата вычесть второй.

(m –n) / l = m/ l – n/l

36. Как можно число разделить на произведение?

Чтобы число разделить на произведение можно это число разделить на любой сомножитель и полученное частное разделить на другой сомножитель.

m / (n × k) = (m / n)/k = (n / k) /m

Основные законы действий (1-7 классы)

37. Сформулировать переместительный закон для сложения

От перемены мест слагаемых сумма не меняется

a + b = b + a.

Так, сумма 2+3 всегда равна 5 , в каком бы порядке не производилось сложение

2 + 3 = 3 +2 .

Это свойство принято называть переместительным законом сложения, так как оно состоит в том, что слагаемые можно перемещать (переставлять), не изменяя суммы.

38. Сформулировать закон перестановочности для умножения.

От перемены мест множителей произведение не меняется

a x b = b х a.

Сомножители можно переставлять местами, при этом произведение не меняется.

39. Сформулировать сочетательный закон для сложения.

Любую группу рядом стоящих слагаемых можно заменить их суммой

(a + b) + c = b + (a + c).

Это свойство называется сочетательным законом сложения, так как оно состоит в том, что любые слагаемые можно сочетать (соединять) в одно число.

Например: 23 + (17 +18) = (23 + 17) + 18

40. Сформулировать сочетательной закон для умножения

Любую группу рядом стоящих множителей можно заменить их произведением

a х b х c = (a х b) х c = a х (b х c).

Например, в произведении 3× 4 ×5× 2 удобно последние два сомножителя объединить в одну группу 3× 4 × (5× 2) = 3× 4 × 10 = 12× 10 =120 и результат то же самое число, как если бы произвели умножение не соединяя сомножители.

41. Сформулировать распределительный закон

Чтобы умножить число на сумму можно это число умножить на первое слагаемое и на второе и результаты сложить

Если a х (b + c) = a х b + a х c.

ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА (1-7 классы)

42. Сформулировать два признака равенства двух чисел.

А) Если разность двух чисел равна нулю, то числа равны.

Если m – n = 0, то m = n

Б) Если частное двух чисел равно единице, то числа равны

Если m/n = 1, то m = n

Законы изменение результатов действий в зависимости от изменения их компонентов

43. Как изменяется сумма с изменением слагаемых?

Если одно из слагаемых увеличить или уменьшить на несколько единиц, то и сумма увеличится или уменьшится на столько же единиц.

Если m + n = k, то (m ± l) + n = k ± l.

44. Как изменяется произведение с изменением сомножителей?

Если один из сомножителей увеличить или уменьшить в несколько раз, то и произведение увеличится или уменьшится во столько же раз.

Если m х n = k, то (ml) х n=kl

Если m х n=k, то (m/l) х n=k/l,

45. Как изменяется разность с изменением уменьшаемого.

Если уменьшаемое увеличить или уменьшить на несколько единиц, то и разность увеличится или уменьшится на столько же единиц.

Если m – n = k, то (m ± l) – n = k ± l.

46. Как изменяется разности с изменением вычитаемого.

Если вычитаемое увеличить или уменьшить на несколько единиц, то разность наоборот уменьшится или увеличится на столько же единиц.

Если m – n = k, то m– (n+l) = k – l.

Если m – n = k, то m– (n–l) = k + l.

47. Как изменяется разность с одновременным изменением уменьшаемого и вычитаемого?

Если одновременно, и уменьшаемое, и вычитаемое увеличить или уменьшить на некоторое одинаковое количество единиц, то разность не изменится.

Если m – n = k, то (m + l) – (n + l) = k – l.

48. Как изменяется частное с изменением делимого?

Если делимое увеличить или уменьшить в несколько раз, то частное тоже увеличится или уменьшится во столько же раз.

Если m/n=k, то (ml)/n=kl),

Если m/n=k, то (m/l)/n=k/l).

49. Как изменяется частное с изменением делителя?

Если делитель увеличить (или уменьшить) в несколько раз, то частное наоборот уменьшится (или увеличится) во столько же раз.

Если n/т=k то n/(тl)=k/l

Если n/т=k то n/(т/l)=kl

Основные определения для решения задач

50. Что называется скоростью движения тела?

Скорость движения есть путь пройдённый телом за одну единицу времени.

51. Как найти скорость движения тела?

Чтобы найти скорость движения тела надо расстояние (путь), пройдённое телом, разделить на время, за которое оно пройдено

V=S/t

Расстояние пройденное телом равно скорости тела, умноженной на время. S=Vt

Время движения тела равно t= S/V.

52. Что такое стоимость покупки?

Стоимость покупки С это количество денег за всю покупку.

53. Что называется ценой товара?

Ценой товара Ц называется количество денег за одну единицу товара.

54. Как найти цену товара?

Чтобы найти цену товара надо стоимость всей покупки разделить на количество купленного товара Ц= С/К

55. Что называется производительностью работы?

Производительностью называется работа, выполненная за одну единицу времени

56. Как найти производительность работы?

Чтобы найти производительность надо всю работу разделит на время, за которое выполнена работа .

q = A/t

Вся работа равна производительности умноженной на время A= q t.

Время работы равно всей работе делённой на производительность
t = A/q.

Основные геометрические понятия.

57. Что называется длиной данного отрезка?

Длиной данного отрезка называется число, которое показывает количество единичных отрезков? умещающихся в данном отрезке.

58. Что называется площадью данного прямоугольника?

Площадь данного прямоугольника называется число, которое показывает количество единичных квадратиков, умещающихся в данном прямоугольнике.

59. Что называется объёмом данного параллелепипеда?

Объёмом данного параллелепипеда называется число, которое показывает, сколько единичных кубиков, умещается в данном параллелепипеде

60. Что называется плотностью вещества?

Плотностью вещества называется число, показывающее массу одного объема вещества. Чтобы найти плотность вещества надо массу тела m разделить на его объём ro=m/V.

Некоторые примеры использования основных понятий. Множество других приведено в литературе [1-5].

1.Вычислить наиболее удобным способом

1) 43 + 44 + 27 = 2) 62 + 8 + 83 + 92 + 38 + 17 =

3) 243 + 237 – 43 = 4) 325 + 99 =

2. Первое слагаемое увеличили на 5 единиц, а второе на 7 единиц. На сколько изменится сумма?

3. Первое слагаемое уменьшили на 12 единиц, а второе увеличили на 7 единиц. На сколько изменится сумма?

4. Одно слагаемое увеличили на 40. На сколько надо изменить второе слагаемое, чтобы сумма увеличилась на 70?

5. Вычислить разность

1)1267 – (67 + 400) = 2) 2000 – 278 – 122 =

3)6034 – (24 + 200) = 4) 5678 – 678 – 340

6. Как изменится разность, если уменьшаемое уменьшить на 5 единиц?

7. Уменьшаемое увеличили на 567 единиц, что надо сделать с вычитаемым, чтобы разность не изменилась?

8. Вычитаемое уменьшили на 32, что надо сделать с уменьшаемым чтобы разность не изменилась?

9. Восстановить стертые цифры 56*7 + 9341 + *32 = 1518*

10. В овощехранилище было 6 340 ц картофеля. В один магазин отправили 2965 ц, а в другой на 568 ц меньше, чем в первый. Сколько центеров картофеля осталось на овощехранилище?

11. Выполнить умножение

1) 352 х 406 = 2) 593 х 806

3) 4500 х 2700 = 4) 3004 х 3080

5) 2008 х 6307 = 6) 3001 х 103 х 30

12. Ведущее колесо тепловоза имеет длину 4 710 мм, и делает 3 оборота в секунду. Какова скорость тепловоза?

13. Произведение двух чисел было равно 144.

1)Каким будет произведение если один из множителей увеличили в 3 раза?

2) Каким будет произведение если один из множителей увеличили в 3 раза, а второй в 2 раза?

15. Порожний товарный вагон весит 7200 кг, паровоз с тендером воды — 120 тонн, Сколько весит поезд, который в каждом из 40 вагонов везёт груз 16500 кг.? Во сколько раз Останкинская башня весит больше, чем поезд (вес башни 55 000 тонн.)

16. На ходин хлебозавод доставили 3 т 240 кг хлеба, а на другой в 3 раза больше. Сколько хлеба доставили на оба хлебозавода?

17. Рубашка и костюм стоят 10000 руб. Рубашка в 4 раза дешевле костюма. Сколько стоит рубашка и костюм?

18. Вычислить

1) (167 х 4): 4 = 2) (8 х 125): 10=

2) 632 : 8 = ((632 +8)-8) :8 = 640:8 -1 = 80-1 = 79

3) 825: 75 = (750 + 75) :75 = 10 + 1 = 11

4) 455 : 65 =

5) 348 : 3 = 6) 917 : 7 =

7)764 : 4 = 8) 954 : 9 =

19. Делимое равно 115. делитель 3. Как изменится частное и остаток, если делимое увеличить в 2, 3, 5, 7 раз?

20. Делимое увеличили в 17 раз. Что сделали с делителем, если:

а) частное увеличилось в 51 раз. б) частное осталось без изменений.

21. Составили смесь из трёх сортов конфет: 1 кг. первого сорта стоил 64 руб., 1 кг второго сорта 58 руб, третьего сорта – 49 руб. Взяли смесь полкилограмма конфет каждого сорта . Сколько стоил в среднем 1 кг смеси?

и т.д.

Найти значение числового выражения [4]