Какие величины обладают свойством сохранения

В этой лекции будет предполагаться, что гамильтониан (20.1) не зависит явным образом от времени

То же предположение примем относительно других операторов

Согласно (19.15), в рассматриваемом случае

Это закон сохранения энергии.

Аналогичным образом из (19.14) следует, что физическая величина А сохраняется, если

Это равенство означает, что измерение А в данный или любой последующий момент времени дает один и тот же результат.

Преобразования симметрии. Классические законы сохранения импульса и момента связаны со свойствами симметрии физического пространства, именно:

сохранение импульса — с симметрией относительно трансляций (сдвигов) системы координат;

сохранение момента импульса — с симметрией относительно поворотов системы координат.

Обратно, из наличия законов сохранения можно сделать заключение о свойствах симметрии системы. В связи со сказанным полезно ввести преобразования симметрии для физических систем. Примеры преобразований симметрии:

1. Преобразование трансляции (сдвиг) координат (симметрия имеет место лишь в случае чисто внутренних сил).

2. Преобразование ротации (поворот) координат (симметрия имеет место лишь в случае чисто внутренних сил или в случае центральных внешних сил, если поворот совершается вокруг источника сил).

3. Поворот вокруг выделенной оси (аксиальная симметрия также требует определенных условий).

4. Отражение относительно плоскости симметрии.

В каждом из этих случаев можно ввести оператор определяемый равенством

Пример. Отражение относительно плоскости для функции двух частиц:

Теорема. Оператор преобразования симметрии является унитарным: (20.6)

Доказательство самоочевидно, так как явно сохраняет нормировку волновой функции

Теорема. Оператор преобразования симметрии коммутирует с гамильтонианом

Доказательство.

При рассмотрении одного собственного значения оператора Я, определяющего вектор подпространства (одной или более) собственных функций гамильтониана , соответствующих этому значению заметим, что оператор действует внутри этого подпространства. Это означает, что матричные элементы оператора в представлении Гейзенберга равны нулю при что эквивалентно утверждению теоремы.

Теорема. Эрмитово сопряженный оператор преобразования симметрии коммутирует с гамильтонианом Н:

Доказательство сводится к тому соображению, что представляет собой также преобразование симметрии (обратное преобразованию

Теорема. Собственные функции унитарной матрицы преобразования симметрии ортогональны (подобно собственным функциям эрмитовой матрицы), а модули их собственных значений равны единице.

Доказательство.

Матрицы эрмитовы и коммутируют друг с другом; следовательно, они имеют общую систему собственных функций, причем эти функции ортогональны. Очевидно, эти же функции являются собственными функциями оператора (первая часть теоремы доказана). Возьмем теперь собственные векторы этих функций в качестве базиса и приведем матрицу к диагональному виду. Тогда из равенства следует, что диагональные элементы исследуемой матрицы по модулю равны единице (тем самым доказана и вторая часть теоремы). Таким образом,

Все четыре собственных значения соответствуют одной и той же волновой функции

Все четыре матрицы (20.9) коммутируют друг с другом и с гамильтонианом Следовательно, они не меняются во времени, а их собственные функции могут быть выбраны так, что совпадут с собственными функциями оператора энергии (гамильтониана).

Определения. Группой симметрии называется совокупность всех преобразований, соответствующих определенному свойству симметрии. Например, все повороты вокруг осей образуют группу вращений.

Представлением группы называется совокупность унитарных матриц, соответствующих всем преобразованиям группы (20.11) и обладающих общей алгеброй.

Неприводимым представлением называется такое представление, все матрицы которого не могут быть одновременно приведены к виду

Свойства. Неприводимые представления однозначно определяются абстрактной структурой группы. (20.13)

Полезный прием состоит в том, чтобы выбрать такую систему базисных векторов

что она распадается на подсистемы

каждая из которых (система I) под действием всех преобразований группы симметрии переходит сама в себя. Такое разделение на подсистемы, не зацепляющиеся друг за друга при преобразованиях, соответствует явному нахождению неприводимых представлений рассматриваемой группы

Теорема (Вигнера). Если величина А (например, гамильтониан коммутирует со всеми преобразованиями группы, то матричные элементы при выборе базисных векторов (20.14) равны нулю, коль скоро векторы соответствуют различным неприводимым представлениям. Иначе говоря,

где — число, причем

Приложение 1 (Трансляционная симметрия и закон сохранения импульса). Для замкнутой системы (действуют лишь внутренние силы, что означает однородность физического пространства) имеет место симметрия относительно сдвига (трансляции), описываемого преобразованием

Замечание. Все операторы соответствующие различным векторам (сдвигам) а, а и т. д., коммутируют между собой, а также, конечно, и с гамильтонианом (образуя тем самым так называемую абелеву группу). Именно поэтому целесообразно выбрать такое представление, в котором и все описываются диагональными матрицами. Тогда, обозначая волновую функцию через можно записать

На основании заключаем, что

где k — постоянный для данной волновой функции вектор. Для другой волновой функции вектор к — другой. Отсюда

Вывод. Величина есть импульс системы. (20.19)

Доказательство.

Возьмем бесконечно малый сдвиг вдоль оси тогда

и

с другой стороны,

Сравнивая эти выражения, находим:

Здесь суммирование проводится по всем материальным точкам. Волновые функции, зависящие от имеют вид

вектор, компоненты которого есть числа, а не операторы; эти компоненты — собственные значения операторов

Часто используются преобразования к движущейся системе отсчета (преобразование Галилея или преобразование Лоренца); например, чтобы перейти к системе центра масс (центра инерции). В такой системе отсчета

Системы центра масс важны и с более общей точки зрения.

Приложение 2 (Симметрия относительно поворотов и закон сохранения момента импульса). Рассматриваемый случай реализуется, когда на систему действуют только внутренние силы (замкнутая система) или когда внешние силы обладают центральной симметрией. В последнем случае центр вращения должен совпадать с источником внешних (центральных) сил. Пусть

Т – оператор поворота на бесконечно малый угол вокруг оси этот оператор дает преобразование

так что

Образуем эрмитов оператор

Аналогичным образом можно построить эрмитовы операторы и оператор

Следовательно,

Физические величины (наблюдаемые) являются константами движения.

Это закон сохранения момента импульса.

Из определения операторов (20.25) следуют также перестановочные соотношения:

т. е.

Полученные для системы частиц перестановочные соотношения имеют в точности тот же вид, что и соотношения для одиночной материальной точки

Можно показать, что матричная структура (20.15), отраженная в серии равенств и (18.18), следует только из перестановочных соотношений, и тем самым доказать в общем случае теорему (20.15), но со следующим важным отличием: в лекции 18 было показано, что орбитальное квантовое число I принимает целые значения; в общем случае, однако, оказываются допустимыми также полуцелые значения Последнее обстоятельство особенно важно в квантовой теории спина.

Например, преобразование соответствующее повороту на угол а вокруг некоторой оси при действии на свою собственную функцию дает

если использовать представление, в котором матрицы диагональны, то будет целым или полуцелым числом.

Приложение 3 (Симметрия относительно отражения (инверсии) и закон сохранения четности). Если в физической системе действуют лишь внутренние и центральные внешние силы, то можно постулировать существование симметрии относительно отражения (инверсии) координат. В этом случае преобразование соответствует замене

и представляет собой отражение относительно начала координат. (Источник центральных сил, как обычно, помещается в начале координат.)

Условие симметрии относительно отражения физически означает эквивалентность правой и левой систем координат.

Из данного определения следует, что

Свойства преобразования инверсии. Нетрудно видеть (применив преобразование дважды), что

Кроме того, оператор инверсии координат коммутирует с операторами (20.25) и, конечно, с гамильтонианом

За основу обычно берут собственные функции операторов и (все они коммутируют между собой). Из равенства (20.29) следует, что собственные значения оператора инверсии [в общем случае даваемые формулой (20.9)] равны

Это обстоятельство позволяет ввести следующую классификацию состояний физических систем:

Состояние

Четность есть свойство системы, сохраняющееся пока и поскольку на систему действуют только центральные внешние силы и произвольные внутренние силы.

Представления.

Независимость количества числа предметов от их расположения в пространстве, сгруппированности.

Неизменность размеров, объёма жидких и сыпучих тел, отсутствие или наличие зависимости от формы и размера сосуда.

Обобщение по размеру, числу, по уровню наполненности одинаковых по форме сосудов и т.д.

Познавательные и речевые умения зрительно воспринимать величины, количества, свойства предметов, сосчитывать, сравнивать с целью доказательства равенства или неравенства.

Выражать в речи расположение предметов в пространстве. Пользоваться предлогами и наречиями: справа, сверху, от…, рядом с…, около, в, на, за и др.; пояснить способ сопоставления, обнаружения соответствия.

· Выделять основные части группы предметов, определять признаки различия и сходства предметов;

· Считать (отсчитывать) в пределах 5;

· Правильно пользоваться количественными и порядковыми числительными, отвечать на вопросы «Сколько?», «Который по счету?»;

· Сравнивать множества по количеству, используя практические способы сравнения (приложение и наложение) и счет, обозначая словами больше, меньше, поровну;

· Раскладывать предметы разной величины (длины, ширины, высоты) в возрастающем (убывающем) порядке, рассказывать о величине каждого предмета в ряду;

· Различать и называть геометрические фигуры (круг, квадрат, треугольник, овал, прямоугольник), геометрические тела (шар, куб);

· Находить в окружающей обстановке предметы, похожие на знакомые фигуры.

· Различать и правильно называть части суток (утро, день, вечер, ночь);

· Ориентироваться во временах года, знать их отличительные особенности;

· Различать правую, левую руки;

· считать в пределах 10 (прямой и обратный счет);

· уменьшать и увеличивать число на 1;

· сравнивать числа в пределах 10, называть наименьшее, наибольшее,

· уравнивать число предметов;

· сравнивать предметы по длине, высоте, ширине, весу;

· размещать предметы в порядке возрастания, убывания;

· различать цвет и форму предметов;

· различать геометрические фигуры;

· ориентироваться на листе бумаги

· определять направление движения от себя (направо, налево, вперед, назад, вверх, вниз);

· решать простейшие логические задачи на анализ, синтез, классификацию,

· обобщение.

Основные математические понятия: множество, число, цифра, натуральный ряд чисел, система счисления, счетная, вычислительная, измерительная деятельность, величина, форма, геометрическая фигура, время, пространство.

Методика ФЭМП в системе пед.наук призвана оказать помощь в подготовке детей дошкольного возраста к восприятию и усвоению математики – одного из важнейших предметов в школе и всестороннего развития ребёнка.

Методика ФЭМП имеет специфическую, чисто математическую терминологию.

Это:

– множество;

– число;

– счётная и вычислительная деятельность;

– величина;

– геометрические фигуры;

– время;

– пространство.

МНОЖЕСТВО — это совокупность объектов, которые рассматриваются как единое целое. Мир, в котором живет человек, представлен разнообразными множествами: мно­жество звезд на небе, растений, животных вокруг него, множество разных звуков, частей собственного тела.

Множества состоят из элементов. Элемен­тами множестваназывают объекты, составляющие множе­ства. Это могут быть реальные предметы (вещи, игрушки, рисунки), а также звуки, движения, числа и др.

Элементами множества могут быть не только отдельные объекты, но и их совокупности. Например, при счете пара­ми, тройками, десятками. В этих случаях элементами множе­ства выступает не один предмет, а два, три, десять – сово­купность.

Таким образом, множества рассматривают как набор, совокупность, собрание каких-либо предметов и объектов, объединённых общим, для всех характерным свойством.

Всякое свойство можно рассматривать как принадлежность некоторым предметам.

Например, свойством быть красным обладают некоторые цветы, ягоды, автомашины и другие предметы.Свойством быть круглымобладают луна, мяч, колеса велосипедов и автомашин, детали различных машин и станков и др.

Таким образом, с каждым свойством связывается множество (предметов), обладающих этим свойством. Говорят также, что множество характеризуется данным свойством — или множество задано указанием характеристического свойства.

Под характеристическим свойством множества подразумеваются такое свойство, которы­м обладают все объекты, принадлежащие данному множеству (элементы этого множества), и не обладает ни один предмет, который не при­надлежит ему, т.е. этот предмет не является его элементом.

Если некоторое множество А задано указанием характеристиче­ского свойства Р, то это записывается следующим образом:

А = {х | Р(х)}

и читается так: «А – множество всех х таких, что х обладает свой­ством Р», или, короче, «А – множество всех х, обладающих свой­ством Р». Когда говорят: «множество всех предметов, обладающих свойством Р», имеются в виду те и только те предметы, которые обладают этим свойством.

Таким образом, если множество А задано характеристическим свойством Р, то это означает, что оно состоит из всех предметов, обладающих этим свойством, и только из них. Если какой-нибудь а обладает свойством Р, то он принадлежит множеству А, и, наоборот, если предмет а принадлежит множеству А, то он обладает свойствомР.

Некоторым свойством может обладать бесконечное множество предметов, другим — лишь конечное множество. Поэтому множества подразделяются на конечные ибесконечные.

Конечное множество может быть задано непосредственным перечислением всех его элементов в произвольном порядке. Например, множество детей данной группы, живущих на Садовой улице, может быть задано описанием с помощью характеристического свойства:{х | х– живет на Садовой улице) или перечислением всех его элементов в произвольном порядке: {Лена, Саша, Витя, Ира, Коля}.

Вполне понятно, что бесконечное множество нельзя задать перечислением всех его элементов.

Математика в большей мере имеет дело с бесконечными множествами (числа, точки, фигуры и другие объекты), но основные математические идеи и логические структуры могут быть смоделированы на конечных множествах.

Естественно, что в предматематической подготовке обычно имеют дело с конечными множествами.

СЧЕТ – первая и основная математическая деятельность, основанная на поэлементном сравнении конечных множеств.

ЧИСЛО – это общая неизменная категория множества, которая является показателем мощности множества. Это лишь звуковое обозначение.

Теоретические основы формирования элементарных математических представлений у дошкольников включают детальное изучение лишь системы натуральных чисел. Поэтому, говоря «числа», мы имеем в виду натуральные числа.

ЦИФРЫ — система знаков (“буквы”) для записи чисел (“слов”) (числовые знаки).Слово “цифра” без уточнения обычно означает один из следующих десяти знаков: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 (т.н. “арабские цифры”). Сочетания этих цифр порождают дву-(и более) значные числа.

Число имеет 2 значения: количественное и порядковое.

При количественном значениинас интересует количество элементов во множестве. Мы используем вопрос СКОЛЬКО? и счёт начинаем с количественного числительного ОДИН.

При порядковом значениичисла нас интересует место числа среди других или порядковый номер элемента во множестве. Используется вопрос КОТОРЫЙ ПО СЧЁТУ? и задаётся направление счёту. Используются порядковые числительные, счёт начинается со слова ПЕРВЫЙ.

Когда мы говорим о количестве, не имеет значения направление счёта, предмет, с которого начали счёт. Итоговое число не меняется. При порядковом счёте – итоговое число может меняться.

СЧЁТНАЯ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬрассматривается как деятельность с конкретными элементами множества, при которых устанавливается взаимосвязь между предметами и числительными. Изучение числительных и множеств предметов ведёт к усвоению счётной деятельности.

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ –это деятельность с абстрактными числами, осуществляемая посредством сложения и вычитания. Простое называние числительных не будет называться счётной деятельностью. Система вычислительных действий формируется на основе количественных знаний.

ВЕЛИЧИНА– это качество и свойство предмета, с помощью которого мы сравниваем предметы друг с другом и устанавливаем количественную характеристику сравниваемых предметов.

Понятие величинав математике рассматривается как ос­новное.

Прямого ответа на вопрос “что такое величина?” нет, так как общее понятие величины является непосредственным обобщением более конкретных понятий: длины, площади, объёма, массы, скорости и т.д.

Величина предмета — это его относительная характерис­тика, подчеркивающая протяженность отдельных частей и определяющая его место среди однородных. Величина явля­ется свойством предмета, воспринимаемым различными ана­лизаторами: зрительным, тактильным и двигательным. При этом чаше всего величина предмета воспринимается одно­временно несколькими анализаторами: зрительно-двигатель­ным, тактильно-двигательным и т.д.

Величина предмета, т.е. размер предмета, определяется только на основе сравнения. Нельзя сказать, большой это или маленький предмет, его только можно сравнить с дру­гим.

Восприятие величины зависит от расстояния, с которо­го предмет воспринимается, а также от величины предмета, с которым он сравнивается. Чем дальше предмет от того, кто его воспринимает, тем он кажется меньшим, и наоборот, чем ближе – тем кажется большим.

Характеристика величины предмета зависит также от рас­положения его в пространстве. Один и тот же предмет может характеризоваться то как высокий (низкий),то как длинный (короткий).Это зависит от того, в горизонтальном или вер­тикальном положении он находится. Так, например на рисунке предметы расположены в вертикальном положении и харак­теризуются как высокийи низкий,а на другом рисунке (в горизонтальном положении) эти же самые предметы характеризуются какдлинныйи короткий.

Величина предмета всегда относительна, она зависит от того, с каким предметом он сравнивается. Сравнивая пред­мет с меньшим, мы характеризуем его как больший, а срав­нивая этот же самый предмет с большим, называем его мень­шим.

Итак, величина конкретного предмета характеризуется такими особенностями: сравнимость, изменчивость и отно­сительность.

1) сравнимость, осуществляемая:

– наложением,

– приложением,

– измерением с помощью условной мерки,

– сравнением на глаз.

2) относительность – зависит от предмета, с которым мы сравниваем, от расстояния, на которое мы сравниваем, от расположения в пространстве.

3) изменчивость. Величина тесно связана с размером. А размер является свойством изменчивости величины. Каждый предмет имеет своё родовое предназначение. Он может изменять свои размеры, не меняя своей сущности.

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФИГУРА– абстрактное понятие, с помощью которого мы все окружающие нас предметы олицетворяем в форме.

Геометрическая фигура – это наличие точек на плоскости, ограниченное пространством.

Фигуры бывают плоские (круг, квадрат, треугольник, многоугольник…) и пространственные(шар, куб, параллелепипед, конус…), которые ещё называют геометрическими телами.

ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ТЕЛО– это замкнутая часть пространства, ограниченная плоскими и кривыми поверхностями.

Если поверхность, ограничивающая тело, состоит их плоскостей, то тело называют многогранником. Эти плоскости пересекаются по прямым, которые называются рёбрами, и образуют грани тела. Каждая из граней есть многоугольник, стороны которого являются рёбрами многогранника; вершины этого многоугольника называются вершинами многогранника.

Некоторые многогранники с определённым числом граней имеют особые названия: четырёхгранник – тетраэдр, шестигранник – эксаэдр, восьмигранник – октаэдр, двенадцатигранник – додекаэдр, двадцатигранник – икосаэдр.

Что же такое геометрическая ФОРМА?

ФОРМА – это очертание, наружный вид предмета.

Форма (лат. forma – форма, внешний вид) – взаимное расположение границ (контуров) предмета, объекта, а так же взаимное расположение точек линии.

ВРЕМЯ– это философское понятие, которое характеризуется сменой событий и явлений и длительностью их бытия.

Время имеет свойства:

– текучесть(время не остановить)

– необратимость и неповторимость

– длительность.

ПРОСТРАНСТВО– это такое качество, с помощью которого устанавливаются отношения типа окрестностей и расстояния.

Ориентировка в пространствепредполагает ориентировку на себе, от себя, от других объектов, ориентировку на плоскости и ориентировку на местности.