Какие уравнения называются равносильными сформулируйте свойства уравнения

Некоторые преобразования позволяют нам перейти от решаемого уравнения к равносильным, а также к уравнениям-следствиям, благодаря чему упрощается решение первоначального уравнения. В данном материале мы расскажем, что из себя представляют эти уравнения, сформулируем основные определения, проиллюстрируем их наглядными примерами и поясним, как именно осуществляется вычисление корней исходного уравнения по корням уравнения-следствия или равносильного уравнения.

Понятие равносильных уравнений

Определение 1

Равносильными называются такие уравнения, имеющие одни и те же корни, или же те, в которых корней нет.

Определения такого типа часто встречаются в различных учебниках. Приведем несколько примеров.

Определение 2

Уравнение f(x)=g(x) считается равносильным уравнению r(x)=s(x), если у них одинаковые корни или у них обоих нет корней.

Определение 3

Уравнения с одинаковыми корнями считаются равносильными. Также ими считаются два уравнения, одинаково не имеющие корней.

Определение 4

Если уравнение f(x)=g(x) имеет то же множество корней, что и уравнение p(x)=h(x), то они считаются равносильными по отношению друг к другу.

Когда мы говорим о совпадающем множестве корней, то имеем в виду, что если определенное число будет корнем одного уравнения, то оно подойдет в качестве решения и другому уравнению. Ни одно из уравнений, являющихся равносильными, не может иметь такого корня, который не подходит для другого.

Приведем несколько примеров таких уравнений.

Пример 1

Например, равносильными будут 4·x=8, 2·x=4 и x=2, поскольку каждое из них имеет только один корень – двойку. Также равносильными будут x·0=0 и 2+x=x+2, поскольку их корнями могут быть любые числа, то есть множества их решений совпадают. Также равносильными будут уравнения x=x+5 и x4=−1, каждое из которых не имеет ни одного решения.

Для наглядности рассмотрим несколько примеров неравносильных уравнений.

Пример 2

К примеру, таковыми будут x=2 и x2=4, поскольку их корни отличаются. То же относится и к уравнениям xx=1 и x2+5×2+5, потому что во втором решением может быть любое число, а во втором корнем не может быть 0.

Определения, данные выше, подойдут и для уравнений с несколькими переменными, однако в том случае, когда мы говорим о двух, трех и более корнях, более уместно выражение «решение уравнения». Таким образом, подытожим: равносильные уравнения – это те уравнения, у которых одни и те же решения или их совсем нет.

Возьмем примеры уравнений, которые содержат несколько переменных и являются равносильными друг другу. Так, x2+y2+z2=0 и 5·x2+x2·y4·z8=0 включают в себя по три переменных и имеют только одно решение, равное 0, во всех трех случаях. А пара уравнений x+y=5 и x·y=1 равносильной по отношению друг к другу не будет, поскольку, например, значения 5 и 3 подойдут для первого, но не будут решением второго: при подстановке их в первое уравнение мы получим верное равенство, а во второе – неверное.

Понятие уравнений-следствий

Процитируем несколько примеров определений уравнений-следствий, взятых из учебных пособий.

Определение 5

Следствием уравнения f(x)=g(x) будет уравнение p(x)=h(x) при условии, что каждый корень первого уравнения будет в то же время корнем второго.

Определение 6

Если первое уравнение имеет те же корни, что и второе, то второе будет уравнением-следствием первого.

Возьмем несколько примеров таких уравнений.

Пример 3

Так, x·2=32 будет следствием x−3=0, поскольку в первом есть только один корень, равный трем, и он же будет корнем второго уравнения, поэтому в контексте данного определения одно уравнение будет следствием другого. Еще один пример: уравнение (x−2)·(x−3)·(x−4) =0 будет следствием x-2·x-3·x-42x-4, потому что второе уравнение имеет два корня, равные 2 и 3, которые в то же время будут корнями первого.

Из данного выше определения можно сделать вывод, что следствием любого уравнения, не имеющего корней, будет также любое уравнение. Приведем здесь некоторые другие следствия из всех сформулированных в данной статье правил:

Определение 7

Если одно уравнение равносильно другому, то каждое из них будет следствием другого.
Если из двух уравнений каждое будет следствием другого, то данные уравнения будут равносильны друг другу.
Уравнения будут равносильны по отношению друг к другу только в том случае, если каждое из них будет следствием другого.

Как найти корни уравнения по корням уравнения-следствия или равносильного уравнения

Исходя из того, что мы написали в определениях, то в случае, когда мы знаем корни одного уравнения, то нам известны и корни равносильных ему, поскольку они будут совпадать.

Если мы знаем все корни уравнения-следствия, то можем определить корни второго уравнения, следствием которого оно является. Для этого нужно только отсеять посторонние корни. О том, как это делается, мы написали отдельную статью. Советуем вам ее прочитать.

Источник

Алгебра

7 класс

Урок № 47

Равносильность уравнений и систем уравнений

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

Понятие равносильных уравнений.
Изучение равносильных систем уравнений.
Практическое применение равносильности систем уравнений.

Тезаурус:

Уравнение, левой и правой частями которого являются числа или многочлены степени не выше первой относительно х и у, называются линейными уравнением с двумя неизвестными х и у.

Члены многочленов, находящиеся в левой и правой частях линейного уравнения, называют членами этого уравнения.

Два уравнения называют равносильными, если любое решение первого уравнения является решением второго, а любое решение второго является решением первого.

Равносильны два уравнения, каждое из которых не имеет решения.

Две системы уравнений называют равносильными, если любое решение первой системы является решением второй системы и любое решение второй системы является решением первой системы.

Равносильны две системы, если каждая из них не имеет решений.

Основная литература:

Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.

Дополнительная литература:

Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с.
Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.
Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Какие уравнения называются равносильными сформулируйте свойства уравнения

Равносильны такие два уравнения, каждое из которых не имеет решения.

Утверждения:

1) Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю, то получим уравнение, равносильное исходному.

2) Если перенести с противоположным знаком член уравнения из одной части в другую, то получим уравнение, равносильное исходному.

3) Если в левой и правой частях линейного уравнения привести подобные члены, то получится уравнение, равносильное исходному:

Доказательство этих утверждений проводится так же, как для линейного уравнения с одним неизвестным.

Какие уравнения называются равносильными сформулируйте свойства уравнения

Очевидно, что если одно из уравнений системы заменить другим, равносильным ему уравнением, то полученная система будет равносильна исходной.

Какие уравнения называются равносильными сформулируйте свойства уравнения

Перенеся свободные члены уравнений этой системы в их правые части, получим следующую равносильную систему:

Какие уравнения называются равносильными сформулируйте свойства уравнения

Пример 2. Решите систему уравнений:

Какие уравнения называются равносильными сформулируйте свойства уравнения

Решим системы способом подстановки.

Пример 3. Решите систему уравнений

Какие уравнения называются равносильными сформулируйте свойства уравнения

Пример 4. Решите систему уравнений

Какие уравнения называются равносильными сформулируйте свойства уравнения

Разбор решения заданий тренировочного модуля.

№1. Тип задания: единичный выбор.

Какие два уравнения называются равносильными?

Варианты ответов:

Два уравнения называют равносильными, если любое решение первого уравнения не является решением второго, а любое решение второго не является решением первого.

Два уравнения называют равносильными, если любое решение первого уравнения является продолжением решения второго, и является единственно верным.

Правильный ответ:

№2. Тип задания: Восстановление последовательности элементов горизонтальное / вертикальное.

Решите систему уравнений:

Какие уравнения называются равносильными сформулируйте свойства уравнения

Умножим первое уравнение на 2:

Какие уравнения называются равносильными сформулируйте свойства уравнения

Источник

Преобразование уравнений

Два или более уравнений называются равносильными, если они имеют одни и те же корни. Например, уравнения:

x2 + 2 = 3x

x2 – 3x + 2 = 0

равносильные, потому что имеют одни и те же корни (2 и 1 — это можно проверить подстановкой).

Уравнения, не имеющие корней, также считаются равносильными.

Преобразование уравнений

Если одно уравнение заменяется другим уравнением, равносильным данному, то такая замена называется преобразованием уравнения. Например, уравнение

x2 + 5 = 9

можно преобразовать в такое:

5 + x2 = 9.

Если одно уравнение заменяется другим, равносильным данному и при этом более простым, то такое преобразование называется упрощением уравнения. Например, упростим следующее уравнение:

2x + 3x = 15,

заменив его равносильным уравнением

5x = 15.

Все преобразования уравнений основаны на двух свойствах равенств, и следствиях, которые вытекают из данных свойств.

Если к обеим частям уравнения прибавить или отнять одно и то же число или алгебраическое выражение, то получится уравнение, равносильное данному.

Рассмотрим уравнение x – 5 = 7. Прибавив к обеим частям уравнения число 5

x – 5 + 5 = 7 + 5,

получим уравнение x = 12. Если в уравнение x – 5 = 7 вместо x подставить число 12, то можно удостовериться, что, прибавив к обеим частям уравнения число 5, мы не только получили равносильное уравнение, но и нашли его корень.

Из данного свойства можно вывести три следствия:

Если в обеих частях уравнения есть одинаковые члены с одинаковыми знаками, то эти члены можно опустить (сократить).
Возьмём уравнение x + 13 = 10 + 13. Отняв от обеих частей по 13, получим
x = 10.
Любой член уравнения можно перенести из одной части в другую, изменив его знак на противоположный.
Рассмотрим уравнение 5x – 4 = 12 + x. Прибавим к обеим частям уравнения по 4:
5x – 4 + 4 = 12 + x + 4.
Получим:
5x = 12 + x + 4,
то есть член 4 перешёл в другую часть с обратным знаком. Теперь вычтем из обеих частей уравнения 5x – 4 = 12 + x по x:
5x – 4 – x = 12 + x – x.
Получим:
5x – 4 – x = 12,
то есть член x перешёл в другую часть с обратным знаком.
Знаки всех членов уравнения можно заменить на противоположные.
Перенесём все члены левой части уравнения 5x – 4 = 12 + x в правую, а все члены правой в левую:
-12 – x = -5x + 4.
И, учитывая, что части любого равенства ( в том числе и любого уравнения) можно менять местами, то, поменяв левую часть с правой, получим:
-5x + 4 = -12 – x,
то есть получилось, что мы просто заменили знаки всех членов уравнения на противоположные.
Данное преобразование можно также рассматривать как умножение обеих частей уравнения на -1.

Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число или алгебраическое выражение, то получится уравнение, равносильное данному.

Рассмотрим уравнение 3x = 12. Разделив обе части уравнения на число 3:

3x : 3 = 12 : 3,

получим уравнение x = 4. Если в уравнение 3x = 12 вместо x подставить число 4, то можно удостовериться, что, разделив обе части уравнения на 3, мы не только получили равносильное уравнение, но и нашли его корень.

Из данного свойства можно вывести два следствия:

Если все члены уравнения имеют общий множитель, то можно разделить на него все члены уравнения, таким образом, упростив его.
Возьмём уравнение 16x + 8 = 40. Разделив все члены на общий множитель 8, получим:
2x + 1 = 5.
Если в уравнении есть дробные члены, то от них можно освободить уравнение, приведя все члены к одному знаменателю и затем отбросить его.
Возьмём уравнение:
После приведения всех членов к общему знаменателю получим:
4x + 12 – x = 2(26 – x) .
4 4 4
Теперь, умножив все члены уравнения на 4, или, что то же самое, просто отбросив знаменатель, получим:
4x + 12 – x = 2(26 – x).

Источник

Равносильными называют уравнения, имеющие одни и те же корни. Равносильными считаются также уравнения, каждое из которых не имеет корней.

Примеры:

Уравнения (x+2=7) и (2x+1=11) равносильны, так как каждое из них имеет единственный корень – число (5).
Равносильны и уравнения (x^2+1=0) и (2x^2+3=1) – ни одно из них не имеет корней.
А вот уравнения (x-6=0) и (x^2=36) неравносильны, поскольку первое имеет только один корень (6), второе имеет два корня: (6) и (-6).

Равносильные преобразования уравнений – это такие преобразования, которые приводят нас к равносильным уравнениям.

Основные равносильные преобразования уравнений:

Перенос слагаемых из одной части уравнения в другую со сменой знака слагаемого на противоположный.
(4x-1=7)
(4x=7+1)

Умножение или деление обеих частей уравнения на одно число или выражение не равное нулю.
(4x=8) (|:4)
(x=2)
(x(x^2+1)=x^2+1) (|:(x^2+1))
(x=1)
Применение всех формул и свойств, которые есть в математике.
((x+1)^2=4)
(x^2+2x+1=4)
(5^{x+1}=25)
(5^{x+1}=5^2)
Возведение в нечетную степень обеих частей уравнения.
(sqrt[3]{12x^2-28x+8}=2)
(12x^2-28x+8=8)
Извлечение корня нечетной степени из обеих частей уравнения.
((x-5)^3=(2x+4)^3)
(x-5=2x+4)

Переход вида: (a^{f(x)}=a^{g(x)}) (⇔) (f(x)=g(x)), если (a>1) и (a≠1).
(5^{x^2-2x}=5^{x-2})
(x^2-2x=x-2)

Равносильные уравнения и уравнения следствия

Равносильные преобразования уравнений можно назвать «правильными» или «безошибочными» преобразованиями, потому что, сделав их, вы не нарушите математических законов. Почему тогда математики так их и не назвали: «правильные преобразования уравнений»? Потому что есть еще «полу-правильные» преобразования уравнений. В них уравнение при преобразовании приобретает дополнительные корни по ходу решения, но лишние корни мы при записи ответа не учитываем. Строгие математики их называют уравнениями следствиями:

Если каждый корень первого уравнения является корнем второго уравнения, но при этом у второго также есть корни не подходящие первому, то второе уравнение является следствием второго.

Пример (ОГЭ). Решите уравнение (x^2-2x+sqrt{2-x}=sqrt{2-x}+3)

(x^2-2x+sqrt{2-x}=sqrt{2-x}+3)	Запишем ОДЗ.
ОДЗ: (2-x≥0) (x≤2)	Перенесем оба слагаемых из правой части в левую.
(x^2-2x+sqrt{2-x}-sqrt{2-x}-3=0 )	Взаимно уничтожим подобные слагаемые. Это и есть «полу-правильное преобразование», так как после него у уравнения становится два корня вместо изначального одного.
(x^2-2x-3=0)	Это уравнение следствие из предыдущего. Найдем корни уравнения по теореме Виета.
(x_1=3) (x_2=-1)	Сверяем корни с ОДЗ и исключаем неподходящие.
(↑) не подходит под ОДЗ	Запишем ответ.

Ответ: (-1 ).

Переходить к уравнению следствию не запрещено, но при работе с ними нужно быть осторожным и не забывать про ОДЗ.

Пример. В каких пунктах применялись равносильные преобразования, а в каких был переход к уравнению следствию? Укажите какие виды равносильных преобразований применялись.

a) (x+5=2x-3) (x-2x+5=-3)	b) (x^2+3x+sqrt{x}=sqrt{x}+4) (x^2+3x-4=0)
c) (frac{-x-1}{x^2-1}=0) (-x-1=0)	d) (x^3=27) (x=3)
e) (frac{1}{2}x^2+1=x^3-x) (x^2+2=2x^3-2x)	f) ( 2^{x+2}=2) (x+2=1)

Решение:

В пункте a) применялось равносильное преобразование 1.

В пункте b) перешли к уравнению следствию, так как (sqrt{x}) «ушло», то ОДЗ расширилось;

В пункте с) тоже перешли к уравнению следствию, из-за того что умножили на знаменатель;

В пункте d) применялось равносильное преобразование: «Извлечения корня нечетной степени из обеих частей уравнения»;

В пункте e) умножили обе части уравнения на (2) т.е. равносильно преобразовали;

В пункте f) перешли от вида (a^{f(x)}=a^{g(x)}) к виду (f(x) =g(x)), что тоже является равносильным преобразованием.

Смотри также:
Равносильное преобразование неравенств

Скачать статью

Источник

Равносильные уравнения.

Равносильными уравнениями называются уравнения, имеющие одинаковое множество корней, или не имеющие корней.

Например,

а) каждое из уравнений имеет один корень, равный . Значит, эти уравнения равносильны;

б) каждое из уравнений не имеет корней. Значит, эти уравнения равносильны.

В процессе решения уравнений необходимо, по возможности, совершать преобразования, сохраняющие равносильность. Перечислим эти преобразования.

Если в уравнении перенести слагаемое из одной части уравнения в другую, поменяв при этом его знак, то получится уравнение, равносильное данному.

Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю, то получится уравнение, равносильное данному.

Если к обеим частям уравнения прибавить (или отнять) один и тот же многочлен, то получится уравнение, равносильное данному.

Если обе части уравнения возвести в одну и ту же нечётную степень, то получится уравнение, равносильное данному.

Если невозможно совершить равносильные преобразования, то необходимо следить за областью допустимых значений уравнения. К таким уравнениям относятся иррациональные, дробно рациональные, логарифмические. Приведём примеры.

ОДЗ:

(Т.к. подкоренное выражение равно выражению в квадрате, то оно не будет отрицательным, именно поэтому включать подкоренное выражение в ОДЗ нет необходимости).

ОДЗ, значит, это посторонний корень.

Ответ: 1.

ОДЗ:

ОДЗ, значит, этот корень посторонний.

Ответ: 0.

ОДЗ:

ОДЗ, значит, это посторонний корень.

Ответ: 1.

Если все корни первого уравнения являются корнями второго уравнения, то второе уравнение называется следствием первого уравнения. При этом, второе уравнение может иметь корни, которые не являются корнями первого уравнения. Их называют посторонними корнями, которые необходимо выявить и отбросить.

Например, уравнение является следствием уравнения . Эти уравнения имеют один общий корень, но при этом первое уравнение имеет два корня: , а второе один корень: Это произошло вследствие расширения области определения исходного уравнения (возвели в квадрат).

Чтобы уравнения получались равносильными, необходимо определять область допустимых значений и отсеивать посторонние корни.

Итак,

Посторонние корни появляются вследствие расширения области определения.
Потеря корней может произойти вследствие деления обеих частей уравнения на выражение, содержащее переменную.

Следствия из определений равносильных уравнений и уравнений-следствий:

Если два уравнения равносильны, то каждое из них является следствием другого.
Если каждое из уравнений является следствием другого, то эти уравнения равносильны.
Два уравнения равносильны тогда и только тогда, когда каждое из них является следствием другого.

Равносильны ли уравнения:

Какое из двух данных уравнений является следствием другого:

Записать какое-нибудь следствие уравнения:

Докажите, что уравнение не имеет корней:
При каких значениях уравнения будут равносильны:
и
1. При каких значениях уравнения будут равносильны:
и
1. Решить уравнение:
  Решить уравнение:
  4

Источник