Какие уравнения называются равносильными сформулируйте свойства
Некоторые преобразования позволяют нам перейти от решаемого уравнения к равносильным, а также к уравнениям-следствиям, благодаря чему упрощается решение первоначального уравнения. В данном материале мы расскажем, что из себя представляют эти уравнения, сформулируем основные определения, проиллюстрируем их наглядными примерами и поясним, как именно осуществляется вычисление корней исходного уравнения по корням уравнения-следствия или равносильного уравнения.
Понятие равносильных уравнений
Определение 1
Равносильными называются такие уравнения, имеющие одни и те же корни, или же те, в которых корней нет.
Определения такого типа часто встречаются в различных учебниках. Приведем несколько примеров.
Определение 2
Уравнение f(x)=g(x) считается равносильным уравнению r(x)=s(x), если у них одинаковые корни или у них обоих нет корней.
Определение 3
Уравнения с одинаковыми корнями считаются равносильными. Также ими считаются два уравнения, одинаково не имеющие корней.
Определение 4
Если уравнение f(x)=g(x) имеет то же множество корней, что и уравнение p(x)=h(x), то они считаются равносильными по отношению друг к другу.
Когда мы говорим о совпадающем множестве корней, то имеем в виду, что если определенное число будет корнем одного уравнения, то оно подойдет в качестве решения и другому уравнению. Ни одно из уравнений, являющихся равносильными, не может иметь такого корня, который не подходит для другого.
Приведем несколько примеров таких уравнений.
Пример 1
Например, равносильными будут 4·x=8, 2·x=4 и x=2, поскольку каждое из них имеет только один корень – двойку. Также равносильными будут x·0=0 и 2+x=x+2, поскольку их корнями могут быть любые числа, то есть множества их решений совпадают. Также равносильными будут уравнения x=x+5 и x4=−1, каждое из которых не имеет ни одного решения.
Для наглядности рассмотрим несколько примеров неравносильных уравнений.
Пример 2
К примеру, таковыми будут x=2 и x2=4, поскольку их корни отличаются. То же относится и к уравнениям xx=1 и x2+5×2+5, потому что во втором решением может быть любое число, а во втором корнем не может быть 0.
Определения, данные выше, подойдут и для уравнений с несколькими переменными, однако в том случае, когда мы говорим о двух, трех и более корнях, более уместно выражение «решение уравнения». Таким образом, подытожим: равносильные уравнения – это те уравнения, у которых одни и те же решения или их совсем нет.
Возьмем примеры уравнений, которые содержат несколько переменных и являются равносильными друг другу. Так, x2+y2+z2=0 и 5·x2+x2·y4·z8=0 включают в себя по три переменных и имеют только одно решение, равное 0, во всех трех случаях. А пара уравнений x+y=5 и x·y=1 равносильной по отношению друг к другу не будет, поскольку, например, значения 5 и 3 подойдут для первого, но не будут решением второго: при подстановке их в первое уравнение мы получим верное равенство, а во второе – неверное.
Понятие уравнений-следствий
Процитируем несколько примеров определений уравнений-следствий, взятых из учебных пособий.
Определение 5
Следствием уравнения f(x)=g(x) будет уравнение p(x)=h(x) при условии, что каждый корень первого уравнения будет в то же время корнем второго.
Определение 6
Если первое уравнение имеет те же корни, что и второе, то второе будет уравнением-следствием первого.
Возьмем несколько примеров таких уравнений.
Пример 3
Так, x·2=32 будет следствием x−3=0, поскольку в первом есть только один корень, равный трем, и он же будет корнем второго уравнения, поэтому в контексте данного определения одно уравнение будет следствием другого. Еще один пример: уравнение (x−2)·(x−3)·(x−4) =0 будет следствием x-2·x-3·x-42x-4, потому что второе уравнение имеет два корня, равные 2 и 3, которые в то же время будут корнями первого.
Из данного выше определения можно сделать вывод, что следствием любого уравнения, не имеющего корней, будет также любое уравнение. Приведем здесь некоторые другие следствия из всех сформулированных в данной статье правил:
Определение 7
- Если одно уравнение равносильно другому, то каждое из них будет следствием другого.
- Если из двух уравнений каждое будет следствием другого, то данные уравнения будут равносильны друг другу.
- Уравнения будут равносильны по отношению друг к другу только в том случае, если каждое из них будет следствием другого.
Как найти корни уравнения по корням уравнения-следствия или равносильного уравнения
Исходя из того, что мы написали в определениях, то в случае, когда мы знаем корни одного уравнения, то нам известны и корни равносильных ему, поскольку они будут совпадать.
Если мы знаем все корни уравнения-следствия, то можем определить корни второго уравнения, следствием которого оно является. Для этого нужно только отсеять посторонние корни. О том, как это делается, мы написали отдельную статью. Советуем вам ее прочитать.
Источник
Равносильными называют уравнения, имеющие одни и те же корни. Равносильными считаются также уравнения, каждое из которых не имеет корней.
Примеры:
- Уравнения (x+2=7) и (2x+1=11) равносильны, так как каждое из них имеет единственный корень – число (5).
- Равносильны и уравнения (x^2+1=0) и (2x^2+3=1) – ни одно из них не имеет корней.
- А вот уравнения (x-6=0) и (x^2=36) неравносильны, поскольку первое имеет только один корень (6), второе имеет два корня: (6) и (-6).
Равносильные преобразования уравнений – это такие преобразования, которые приводят нас к равносильным уравнениям.
Основные равносильные преобразования уравнений:
- Перенос слагаемых из одной части уравнения в другую со сменой знака слагаемого на противоположный.
(4x-1=7)
(4x=7+1) Умножение или деление обеих частей уравнения на одно число или выражение не равное нулю.
(4x=8) (|:4)
(x=2)(x(x^2+1)=x^2+1) (|:(x^2+1))
(x=1)Применение всех формул и свойств, которые есть в математике.
((x+1)^2=4)
(x^2+2x+1=4)(5^{x+1}=25)
(5^{x+1}=5^2)- Возведение в нечетную степень обеих частей уравнения.
(sqrt[3]{12x^2-28x+8}=2)
(12x^2-28x+8=8) - Извлечение корня нечетной степени из обеих частей уравнения.
((x-5)^3=(2x+4)^3)
(x-5=2x+4) Переход вида: (a^{f(x)}=a^{g(x)}) (⇔) (f(x)=g(x)), если (a>1) и (a≠1).
(5^{x^2-2x}=5^{x-2})
(x^2-2x=x-2)
Равносильные уравнения и уравнения следствия
Равносильные преобразования уравнений можно назвать «правильными» или «безошибочными» преобразованиями, потому что, сделав их, вы не нарушите математических законов. Почему тогда математики так их и не назвали: «правильные преобразования уравнений»? Потому что есть еще «полу-правильные» преобразования уравнений. В них уравнение при преобразовании приобретает дополнительные корни по ходу решения, но лишние корни мы при записи ответа не учитываем. Строгие математики их называют уравнениями следствиями:
Если каждый корень первого уравнения является корнем второго уравнения, но при этом у второго также есть корни не подходящие первому, то второе уравнение является следствием второго.
Пример (ОГЭ). Решите уравнение (x^2-2x+sqrt{2-x}=sqrt{2-x}+3)
(x^2-2x+sqrt{2-x}=sqrt{2-x}+3) | Запишем ОДЗ. |
ОДЗ: (2-x≥0) | Перенесем оба слагаемых из правой части в левую. |
(x^2-2x+sqrt{2-x}-sqrt{2-x}-3=0 ) | Взаимно уничтожим подобные слагаемые. Это и есть «полу-правильное преобразование», так как после него у уравнения становится два корня вместо изначального одного. |
(x^2-2x-3=0) | Это уравнение следствие из предыдущего. Найдем корни уравнения по теореме Виета. |
(x_1=3) (x_2=-1) | Сверяем корни с ОДЗ и исключаем неподходящие. |
(↑) не подходит под ОДЗ | Запишем ответ. |
Ответ: (-1 ).
Переходить к уравнению следствию не запрещено, но при работе с ними нужно быть осторожным и не забывать про ОДЗ.
Пример. В каких пунктах применялись равносильные преобразования, а в каких был переход к уравнению следствию? Укажите какие виды равносильных преобразований применялись.
a) (x+5=2x-3) | b) (x^2+3x+sqrt{x}=sqrt{x}+4) |
c) (frac{-x-1}{x^2-1}=0) | d) (x^3=27) |
e) (frac{1}{2}x^2+1=x^3-x) | f) ( 2^{x+2}=2) |
Решение:
В пункте a) применялось равносильное преобразование 1.
В пункте b) перешли к уравнению следствию, так как (sqrt{x}) «ушло», то ОДЗ расширилось;
В пункте с) тоже перешли к уравнению следствию, из-за того что умножили на знаменатель;
В пункте d) применялось равносильное преобразование: «Извлечения корня нечетной степени из обеих частей уравнения»;
В пункте e) умножили обе части уравнения на (2) т.е. равносильно преобразовали;
В пункте f) перешли от вида (a^{f(x)}=a^{g(x)}) к виду (f(x) =g(x)), что тоже является равносильным преобразованием.
Смотри также:
Равносильное преобразование неравенств
Скачать статью
Источник
Уравнения и системы уравнений первой степени
Два числа или какие-нибудь выражения, соединенные знаком « = », образуют равенство. Если данные числа или выражения при любых значениях букв равны, то такое равенство называют тождеством.
Например, когда утверждают, что при любом, а действительном:
а + 1 = 1 + а, здесь равенство является тождеством.
Уравнением называется равенство, содержащее неизвестные числа, обозначенные буквами. Эти буквы называют неизвестными. Неизвестных в уравнении может быть несколько.
Например, в уравнении 2х + у = 7х – 3 два неизвестных: х и у.
Выражение, стоящее в уравнении слева (2х + у) называют левой частью уравнения, а выражение, стоящее в уравнении справа (7х – 3), называют правой его частью.
Значение неизвестного, при котором уравнение становится тождеством, называется решением или корнем уравнения.
Например, если в уравнение 3х + 7=13 вместо неизвестного х подставить число 2, получим тождество . Следовательно, значение х = 2 удовлетворяет данному уравнению и число 2 есть решение или корень данного уравнения.
Два уравнения называются равносильными (или эквивалентными), если все решения первого уравнения являются решениями второго и наоборот, все решения второго уравнения являются решениями первого. К равносильным уравнениям относятся также уравнения, не имеющие решений.
Например, уравнения 2х – 5 = 11 и 7х + 6 = 62 равносильны, так как они имеют один и тот же корень х = 8; уравнения х + 2 = х + 5 и 2х + 7 = 2х равносильны, потому что оба не имеют решений.
Свойства равносильных уравнений
1. К обеим частям уравнения можно прибавить любое выражение, имеющее смысл при всех допустимых значениях неизвестного; полученное уравнение будет равносильно данному.
Пример. Уравнение 2х – 1 = 7 имеет корень х = 4. Прибавив к обеим частям по 5, получим уравнение 2х – 1 + 5 = 7 + 5 или 2х + 4 = 12, которое имеет тот же корень х = 4.
2. Если в обеих частях уравнения имеются одинаковые члены, то их можно опустить.
Пример. Уравнение 9х + 5х = 18 + 5х имеет один корень х = 2. Опустив в обеих частях 5х, получим уравнение 9х = 18, которое имеет тот же корень х = 2.
3. Любой член уравнения можно перенести из одной части уравнения в другую, изменив его знак на противоположный.
Пример. Уравнение 7х – 11 = 3 имеет один корень х = 2. Если перенести 11 в правую часть с противоположным знаком, получим уравнение 7х = 3 + 11, которое имеет то же решение х = 2.
4. Обе части уравнения можно умножить на любое выражение (число), имеющее смысл и отличное от нуля при всех допустимых значениях неизвестного, полученное уравнение будет равносильно данному.
Пример. Уравнение 2х – 15 = 10 – 3х имеет корень х = 5. Умножив обе части на 3, получим уравнение 3(2х – 15) = 3(10 – 3х) или 6х – 45 =30 – 9х, которое имеет тот же корень х = 5.
5. Знаки всех членов уравнения можно изменить на противоположные (это равносильно умножению обеих частей на (-1)).
Пример. Уравнение – 3х + 7 = – 8 после умножения обеих частей на (-1) примет вид 3х – 7 = 8. Первое и второе уравнения имеют единственный корень х = 5.
6. Обе части уравнения можно разделить на одно и тоже число, отличное от нуля (то есть, не равное нулю).
Пример. Уравнение имеет два корня: и . Разделив все его члены на 3, получим уравнение , равносильное данному, так как оно имеет те же два корня: и .
7. Уравнение, в котором коэффициенты всех или нескольких членов дробные числа, можно заменить равносильным ему уравнением с целыми коэффициентами, для этого обе части уравнения надо умножить на наименьшее общее кратное знаменателей дробных коэффициентов.
Пример. Уравнение после умножения обеих частей на 14 примет вид:
. Легко убедиться в том, что первое и последнее уравнения имеют корень х = 10.
Источник
Алгебра
7 класс
Урок № 47
Равносильность уравнений и систем уравнений
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
- Понятие равносильных уравнений.
- Изучение равносильных систем уравнений.
- Практическое применение равносильности систем уравнений.
Тезаурус:
Уравнение, левой и правой частями которого являются числа или многочлены степени не выше первой относительно х и у, называются линейными уравнением с двумя неизвестными х и у.
Члены многочленов, находящиеся в левой и правой частях линейного уравнения, называют членами этого уравнения.
Два уравнения называют равносильными, если любое решение первого уравнения является решением второго, а любое решение второго является решением первого.
Равносильны два уравнения, каждое из которых не имеет решения.
Две системы уравнений называют равносильными, если любое решение первой системы является решением второй системы и любое решение второй системы является решением первой системы.
Равносильны две системы, если каждая из них не имеет решений.
Основная литература:
- Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.
Дополнительная литература:
- Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с.
- Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.
- Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.
Теоретический материал для самостоятельного изучения.
Уравнение, левой и правой частями которого являются числа или многочлены степени не выше первой относительно х и у, называются линейными уравнением с двумя неизвестными х и у.
Члены многочленов, находящиеся в левой и правой частях линейного уравнения, называют членами этого уравнения.
Два уравнения называют равносильными, если любое решение первого уравнения является решением второго, а любое решение второго является решением первого.
Равносильны такие два уравнения, каждое из которых не имеет решения.
Утверждения:
1) Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю, то получим уравнение, равносильное исходному.
2) Если перенести с противоположным знаком член уравнения из одной части в другую, то получим уравнение, равносильное исходному.
3) Если в левой и правой частях линейного уравнения привести подобные члены, то получится уравнение, равносильное исходному:
Доказательство этих утверждений проводится так же, как для линейного уравнения с одним неизвестным.
Две системы уравнений называют равносильными, если любое решение первой системы является решением второй системы и любое решение второй системы является решением первой системы. Равносильны также две системы, если каждая из них не имеет решений.
Очевидно, что если одно из уравнений системы заменить другим, равносильным ему уравнением, то полученная система будет равносильна исходной.
Перенеся свободные члены уравнений этой системы в их правые части, получим следующую равносильную систему:
Пример 2. Решите систему уравнений:
Решим системы способом подстановки.
Пример 3. Решите систему уравнений
Пример 4. Решите систему уравнений
Разбор решения заданий тренировочного модуля.
№1. Тип задания: единичный выбор.
Какие два уравнения называются равносильными?
Варианты ответов:
Два уравнения называют равносильными, если любое решение первого уравнения является решением второго, а любое решение второго является решением первого.
Два уравнения называют равносильными, если любое решение первого уравнения не является решением второго, а любое решение второго не является решением первого.
Два уравнения называют равносильными, если любое решение первого уравнения является продолжением решения второго, и является единственно верным.
Правильный ответ:
Два уравнения называют равносильными, если любое решение первого уравнения является решением второго, а любое решение второго является решением первого.
№2. Тип задания: Восстановление последовательности элементов горизонтальное / вертикальное.
Решите систему уравнений:
Умножим первое уравнение на 2:
Источник
Равносильные уравнения.
Равносильными уравнениями называются уравнения, имеющие одинаковое множество корней, или не имеющие корней.
Например,
а) каждое из уравнений имеет один корень, равный . Значит, эти уравнения равносильны;
б) каждое из уравнений не имеет корней. Значит, эти уравнения равносильны.
В процессе решения уравнений необходимо, по возможности, совершать преобразования, сохраняющие равносильность. Перечислим эти преобразования.
Если в уравнении перенести слагаемое из одной части уравнения в другую, поменяв при этом его знак, то получится уравнение, равносильное данному.
Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю, то получится уравнение, равносильное данному.
Если к обеим частям уравнения прибавить (или отнять) один и тот же многочлен, то получится уравнение, равносильное данному.
Если обе части уравнения возвести в одну и ту же нечётную степень, то получится уравнение, равносильное данному.
Если невозможно совершить равносильные преобразования, то необходимо следить за областью допустимых значений уравнения. К таким уравнениям относятся иррациональные, дробно рациональные, логарифмические. Приведём примеры.
ОДЗ:
(Т.к. подкоренное выражение равно выражению в квадрате, то оно не будет отрицательным, именно поэтому включать подкоренное выражение в ОДЗ нет необходимости).
ОДЗ, значит, это посторонний корень.
Ответ: 1.
ОДЗ:
ОДЗ, значит, этот корень посторонний.
Ответ: 0.
ОДЗ:
ОДЗ, значит, это посторонний корень.
Ответ: 1.
Если все корни первого уравнения являются корнями второго уравнения, то второе уравнение называется следствием первого уравнения. При этом, второе уравнение может иметь корни, которые не являются корнями первого уравнения. Их называют посторонними корнями, которые необходимо выявить и отбросить.
Например, уравнение является следствием уравнения . Эти уравнения имеют один общий корень, но при этом первое уравнение имеет два корня: , а второе один корень: Это произошло вследствие расширения области определения исходного уравнения (возвели в квадрат).
Чтобы уравнения получались равносильными, необходимо определять область допустимых значений и отсеивать посторонние корни.
Итак,
Посторонние корни появляются вследствие расширения области определения.
Потеря корней может произойти вследствие деления обеих частей уравнения на выражение, содержащее переменную.
Следствия из определений равносильных уравнений и уравнений-следствий:
Если два уравнения равносильны, то каждое из них является следствием другого.
Если каждое из уравнений является следствием другого, то эти уравнения равносильны.
Два уравнения равносильны тогда и только тогда, когда каждое из них является следствием другого.
Равносильны ли уравнения:
и
и
и
и
и
и
и
и
и
и
Какое из двух данных уравнений является следствием другого:
и
и
и
и
и
и
и
и
и
и
и
и
Записать какое-нибудь следствие уравнения:
Докажите, что уравнение не имеет корней:
При каких значениях уравнения будут равносильны:
и
При каких значениях уравнения будут равносильны:
и
Решить уравнение:
Решить уравнение:
4
Источник