Какие углы называются вертикальными какими свойствами они обладают
Медвед 7 лет назад Вертикальными называются углы, образованные пересекающимися прямыми и не являющиеся прилегающими друг к другу, то есть общей стороны у них нет, но вертикальные углы имеют вершину в одной точке. Вертикальные углы равны между собой. автор вопроса выбрал этот ответ лучшим Lalique 4 года назад Изучая школьный курс геометрии, мы знаем что есть вертикальные и смежные углы. Вертикальные углы довольно просто получить построением. Рисуем два луча, которые имеют точку пересечения. Теперь мы видим, что образовалось четыре угла. Те углы, которые будут симметричны относительно центра – именуют вертикальными. У этих углов есть одно главное свойство: они равны по величине. Знание этого равенства позволяет решить различные геометрические задачи неугомонная 5 лет назад Вертикальные углы. Нарисовали две скрещенные прямые. Углы напротив друг друга будут вертикальными. Они касаются в одной точке в вершине. Прямая дает сторону углу одному и сторону углу другому. Получается четрые всего угла. Пара противоположных углов является вертикальными. TextExpert 3 года назад Это два угла, имеющие одну вершину – у двух пересекающихся прямых отрезков это два противоположных угла, где сторона одного есть продолжение стороны другого угла. Естественно, что такие углы будут равны друг с другом. Сashshi 7 лет назад Вертикальные углы — два угла, которые образуются при пересечении двух прямых, эти углы не имеют общих сторон. Другими словами — два угла называют вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого. Два вертикальных угла равны. Так же они в сумме дают девяносто градусов. Что мешает вам просто открыть учебник – все еще загадка для меня. Знаете ответ? |
Источник
Геометрия
7 класс
Урок № 6
Смежные и вертикальные углы. Аксиомы и теоремы
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
- Понятие смежных и вертикальных углов
- Свойства смежных и вертикальных углов
- Отличие аксиомы от теоремы
Тезаурус
Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями друг друга, называются смежными.
Свойства смежных углов:
- Сумма смежных углов равна 1800.
- Если два угла равны, то и смежные с ними углы равны.
- Угол, смежный с прямым углом, есть прямой угол.
Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого.
Свойство вертикальных углов: вертикальные углы равны.
Аксиома– положение, принимаемое без доказательств.
Основная литература:
- Атанасян Л. С. Геометрия: 7 – 9 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. – М.: Просвещение, 2017. – 384 с.
Дополнительная литература:
- Погорелов А. В. Геометрия: 7 – 9 класс. // Погорелов А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 224 с.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Давайте построим развёрнутый угол АОС и проведём в нём луч ОВ. В результате у нас получилось два угла ∠АОВ – острый угол и ∠ВОС– тупой угол. Стороны АО и ОС – продолжают друг друга, ВО– общая сторона. Углы АОВ и ВОС – это смежные углы. На основании этого сформулируем определение смежных углов.
Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями друг друга, называются смежными.
Обратите, внимание, что смежные углы АОВ и ВОС лежат на развёрнутом угле АОС. Отсюда можно сделать вывод: сумма смежных углов равна 180о.
Свойство смежных углов: сумма смежных углов равна 180о.
Давайте докажем это свойство.
Доказательство. Пусть углы ∠АОВ и ∠ВОС – смежные, луч ОВ – проходит между сторонами развёрнутого угла ∠АОС. Поэтому, сумма углов ∠АОВ и ∠ВОС равна ∠АОС, а этот угол развёрнутый, он равен 180о. Свойство доказано.
Укажем ещё одно свойство смежных углов.
- Если два угла равны, то и смежные с ними углы равны.
Сейчас давайте вспомним определение прямого угла: угол, равный 900, называется прямым углом. Опираясь на свойство суммы смежных углов, можно сделать вывод: угол, смежный с прямым углом, есть прямой угол.
Теперь построим две пересекающиеся прямые, АС и BD. Посмотрите, при пересечении прямых у нас получилось четыре угла: ∠АОВ, ∠АОD, ∠CОD, ∠BОC. Из них попарно являются смежными углы: ∠АОВ и ∠АОD, ∠АОD и ∠CОD, ∠CОD и ∠BОC, ∠АОВ и ∠BОC.
Углы, которые не являются смежными:
∠АОВ и ∠CОD; ∠АОD и ∠BОC. Пары этих углов называются вертикальными углами.
Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого.
Свойство вертикальных углов: вертикальные углы равны. Убедимся в справедливости этого свойства, докажем его.
Доказательство. Посмотрим на чертёж: пары углов 1 и 2, 2 и 3, 3 и 4, 4 и 1– смежные углы. Угол 2 одновременно является смежным с углом 1 и с углом 3. По свойству смежных углов
∠1+ ∠2= 1800 и ∠3+ ∠2= 1800. Получаем, что ∠1+ ∠2= ∠3+ ∠2, значит, ∠1= ∠3. Углы ∠1 и ∠3 – вертикальные. Мы доказали справедливость этого свойства.
Свойства смежных и вертикальных углов, которые мы сегодня рассмотрели– в геометрии называются теоремами. Правильность утверждения о свойстве той или иной геометрической фигуры устанавливается путём рассуждения. Это рассуждение называется доказательством. А само утверждение, которое доказывается, называется теоремой.
На предыдущих уроках вы познакомились с понятием аксиомы.
В чём же различие между аксиомой и теоремой? Ответ на этот вопрос таков: аксиома – положение, принимаемое без доказательств.
Разбор решения заданий тренировочного модуля
№1. Тип задания: ввод с клавиатуры пропущенных элементов в тексте.
Используя чертёж, найдите угол ∠ВОК.
Ответ: ∠ВОК=____0
Решение. Воспользуемся свойством смежных углов: сумма смежных углов равна 1800. По условию задачи ∠АОК= 110, то ∠ВОК+ ∠АОК= 1800
∠ВОК+ 110= 1800
∠ВОК= 1800– 110= 1690.
Ответ: ∠ВОК= 1690
№2. Тип задания: единичный / множественный выбор.
Используя чертёж, найдите угол ∠AOD.
Варианты ответов:
- 1120
- 640
- 1160
- 680
Решение. На чертеже указано, что углы ∠СОЕ= ∠DOE. Значит, ∠COD= ∠СОЕ+ ∠DOE= 320+ 320= 640. ∠AOD смежный с углом ∠COD, по свойству смежных углов: ∠AOD= 1800–∠COD= 1800– 640=1160.
Ответ: 1160
№3. Тип задания: выделение цветом.
Используя чертёж, найдите градусную меру угла ∠BMD, если ∠AMD= 1250, ∠BMC= 1150.
∠BМD=____0.
Выделите верный ответ из списка:
600; 300; 750; 900
Решение. По чертежу можно увидеть, что ∠BМD является частью ∠AMD и ∠BMC. Рассмотрим ∠DMC и ∠AMD. Эти углы – смежные, т.е. их сумма равна 1800. Значит, зная градусную меру ∠AMD, мы сможем найти градусную меру ∠DMC= 1800–∠AMD= 1800-–1250= 550. Теперь рассмотрим ∠BMC= ∠BMD+ ∠DMC. Мы знаем градусные меры ∠BMC и ∠DMC, значит, мы сможем найти градусную меру ∠BMD.
∠BMD= ∠BMC–∠DMC= 1150– 550= 600.
Верный ответ: 600
Источник
Образовательная: формирование знаний о
вертикальных углах, умения самостоятельно
определять вертикальные углы в комбинациях
геометрических фигур, умения применять знания
при решении геометрических задач и способов
деятельности;
Развивающая: формирование умений
анализировать, устанавливать
причинно-следственные связи, развитие умения
сравнивать и находить различий и сходства у
смежных и вертикальных углов, развитие умение
обобщать и синтезировать знания о смежных и
вертикальных углах, развитие умения выдвигать
гипотезы и предположения, развитие
ассоциативного мышления, воображения;
Воспитательная: воспитание личностных
качеств, обеспечивающих успешность
исполнительской деятельности, воспитание
активности, увлеченности, целеустремленности,
наблюдательности, интуиции, сообразительности,
самостоятельности.
Приемы и методы ведения урока:
проблемная ситуация, диалоговое общение,
объяснение, эвристическая беседа, презентация.
| Этап урок | Деятельность учителя | Деятельность учащихся | Планируемый результат |
| 1.Организационный этап Цель: | Организует положительный настрой на урок, вспоминает с учащимися способы деятельности Добрый день. Начинаем наш урок. С – Прежде чем выяснить, чего мы не знаем, что | Воспринимают информацию, реагируют на вопросы учителя. Учащиеся дают ответ с -Надо выяснить, чего мы не знаем и -Выяснить, что нам известно. | Включение учащихся в учебную деятельность, формирование познавательных УУД |
| 2.Актуализаци опорных знаний. Мотивация учебной деятельности учащихся Цель: | Информирует о новых знаниях, мотивирует учебную деятельность: – В какой большой теме мы с – Вспомните план, по которому идет изучение – Что из перечисленного мы уже изучили? Сформулируйте свойство смежных углов. | Воспринимают информацию, обнаруживают первичное понимание: – Углы 1. Определение 2. Свойства, 3. Сравнение 4. Действия. Определение угла, смежные углы, дают | Развитие коммуникативных компетенций, коммуникативных УУД |
| 3.Актуализация знаний Цель: подготовка | Слайд 1 Слайд 2 Ребята, а что можно сказать об углах 4 и 2, 1 и 3, 5 и | Учащиеся на основании определения смежных углов находят пары смежных углов Учащиеся предполагают, что они равны, что | Осознание потребности к построению нового способа действий. |
| 4.Первичное усвоение новых знаний Цель: | Организует первичное усвоение знаний учащимися Как они выглядят, какое название им Тема сегодняшнего урока: Слайд 3 Цель нашего урока: познакомиться с понятием Два угла называются вертикальными, если Слайд 4 Что можно сказать о вертикальных углах, каким Верно! Давайте докажем это. Итак, теорема: Доказательство: Пусть 1 и 2 – данные вертикальные углы, СОD и Давайте найдем, где в учебнике рассказано о | Осмысливают, углубляют понимание нового материала Вертикальные углы Учащиеся записывают дату, тему урока в тетрадь Учащиеся переносят рисунок в тетрадь, наносят Учащиеся выдвигают гипотезу, что вертикальные Учащиеся записывают краткую запись теоремы: Учащиеся записывают доказательство. Учащиеся работают с учебником, читают вслух | Усвоение нового понятия “вертикальные углы”, и новых способов деятельности, развитие регулятивной компетенции |
| 5. Первичная проверка понимания Цель: | Организует проверку понимания на примере нестандартной ситуации А теперь, Слайд 6 На основании чего можно сделать такой вывод? | Демонстрируют первичное понимание полученных знаний: Учащиеся определяют пары 3 и 5 и объясняют почему они DFM и BFA, DFB и MFA, | Усвоение понятия вертикальных углов и их свойств, формирование критического мышления |
| 6.Первичное закрепление Цель: | Организует решением задач А теперь – Какие углы изображены на чертеже? – Сколько пар вертикальных углов вы видите? – Чтобы найти углы 1 и 2 какие свойства нужно Приступим к решению: DOA и AOB являются смежными, т.к. АО – общая, а DO и DOA + AOB=1800, следовательно, ? AOB=1800- DOA; AOB= 1800- 1200 AOB = 600. Мы Ответ: 600; 600 Решим ещё одну задачу. Откройте учебник, Что дано в задаче? Учитель делает чертеж на доске: Какие углы при этом образуются? Повторим свойства смежных и вертикальных Решение задачи: AOB= СOD, как вертикальные, значит, СOD=300. Ответ: 300; 150о; 150о. | Закрепляют полученные знания: Учащиеся Учащиеся отвечают: – вертикальные; – 2 пары; – свойства смежных углов, свойства вертикальных К доске выходит 1 ученик и решает задачу Учащиеся работают с учебником. Читают задачу Две пересекающиеся прямые. Острые, тупые, вертикальные, смежные. Учащиеся озвучивают свойства смежных и | Применение свойств вертикальных углов при решении задач, формирование способности к обобщению, развитие умения работать с текстом |
| 7.Информация о домашнем задании, инструктаж по его выполнению Цель: обеспечение | Закройте тетради, откройте дневники, запишите домашнее задание: Слайд 8 Откройте учебники, найдите номера домашнего №9. Прочитайте вслух условие Какие углы могут образовываться при Может ли сумма смежных углов быть равна 50о? №10. Прочитайте вслух условие Какие углы могут образовываться при Может ли один из вертикальных углов быть в 4 №11. Прочитайте вслух условие Какие углы могут образовываться при Может ли один из вертикальных углов быть в на 50 Каким свойством нужно воспользоваться в | Учащиеся закрывают тетради. Открывают Открывают учебники, стр.27 Учащиеся читают вслух условие: Сумма двух вертикальные, смежные Нет Свойством вертикальных и смежных углов Учащиеся читают вслух условие: Один из углов, вертикальные, смежные Нет Свойством вертикальных и смежных углов Учащиеся читают вслух условие: Один из углов, вертикальные, смежные Нет Свойством вертикальных и смежных углов | Осмысление приемов и способов деятельности |
| 8.Рефлексия Цель: выявление уровня | – Выполнили вы сегодня условия учебной деятельности? – Какую цель ставили перед собой – Смогли ли ее достичь? – Выполнили ли основную задачу урока? – Что более всего понравилось на уроке? – Оцените свою деятельность на уроке с помощью Напиши, над чем тебе надо еще поработать дома и – Оцените свое настроение на сегодняшнем уроке. (Оценка – Спасибо вам большое! Вы хорошо поработали на | Ученики отвечают на вопросы фронтально. Оценивают свою деятельность с Пишут в тетради. Учащиеся вывешивают карточки на доску | Получение учащимися информации о реальных результатах. Оценка собственной |
Источник