Какие свойствами обладают вертикальные углы
День 4, занятие 3 Раздаточный материал 4
Раздел долгосрочного планирования: 7.1.А.
Начальные геометрические сведения
Школа: КГУ «Зааятская СШ»
Дата :
ФИО учителя: Ахмеджанова Румия Рафаиловна
класс: 7
Участвовали:
Не участвовали:
Тема урока
Смежные и вертикальные углы, и их свойства (2 урок)
Цели обучения, достигаемые на этом уроке
7.1.1.32
знать понятие о перпендикуляре;
7.1.1.10
доказывать и применять свойства вертикальных и смежных углов.
Цель урока
Все:
знать понятие о перпендикуляре;
определять смежные и вертикальные углы;
доказывать и применять свойства вертикальных и смежных углов.
Большинство: находить вертикальные и смежные углы через составления уравнения.
Критерии оценивания
Все:
знают понятие о перпендикуляре;
определяют смежные и вертикальные углы;
доказывают и применяют свойства вертикальных и смежных углов.
Большинство: находят вертикальные и смежные углы через составления уравнения.
Языковые задачи
Учащиеся будут:
– воспроизводить формулировки
теорем;
– объяснять выполнение чертежа;
– комментировать решения задач
Предметная лексика и терминология
– аксиома, теорема;
– виды углов, острый угол, тупой угол,
развернутый угол, прямой угол;
– вертикальные углы, смежные углы;
Серия полезных фраз для диалога
– отрезки/углы равны…;
−градусная мера углов…;
−углы смежные, если….
−углы вертикальные, если…
Уровни мыслительных навыков
Знание, понимание, применение, анализ, синтез, оценка
Воспитание ценностей
Сотрудничество, трудолюбие, аккуратность, самостоятельность через групповую и индивидуальную работу.
Межпредметная связь
Черчение, музыка, география
Предыдущие знания
Умение использовать линейку и транспортир при построении и измерении отрезков и углов; полуплоскость и угол; равенство углов .
Ход урока
Запланированные этапы урока
Виды упражнений, запланированных на урок:
Ресурсы
Начало урока
7 минут
Фронтальная работа
Фронтальный опрос
I.Организационный момент.
Психологическая подготовка учащихся к уроку на организацию внимания «воздушный змей».
Учитель: -Прежде, чем мы начнем наш урок сконцентрируем ваше внимание. Сядьте удобней, закройте глаза, и представьте, что вы держите в руках воздушный змей.
Какого цвета ваш воздушный змей.
Теперь выпустите его в небо и откройте глаза.
Какого цвета вы отпустили в небо воздушного змея?
Сигнальные карточки
– желтый – символ света и солнца;
– синий – покой, гармония с людьми и с самим собой;
– красный – возбуждения, агрессии;
– зеленый – самый спокойный и мирный цвет;
– фиолетовый – олицетворяет духовную чистоту, цвет космоса;
– оранжевый – цвет радости, гордости, власти, силы.
Учитель: -По выбранным цветам я могу судить, что вы сегодня готовы к уроку, и мы начинаем.
Мы продолжаем тему смежные и вертикальные углы, и их свойства.
– Как вы думаете каковы цели нашего урока?
(Учащиеся определяют цель урока).
-Где нам может это пригодится?
II. Проверка домашнего задания
Цель: 7.1.1.9
знать определения смежных и вертикальных углов
Критериальное оценивание:
-знают определения смежных и вертикальных углов;
-умеют находить количество углов смежных и вертикальных данному
Уровни мыслительных навыков: знание, понимание.
№ 4.8; 4.9; 4.10.
Задание
Дескриптор:- знают определения смежных и вертикальных углов
-умеют находить количество углов смежных и вертикальных данному
ФО. Взаимооценивание. Меняются друг с другом тетрадями(проверяют тетрадь соседа по парте) и проверяют по образцу на экране.
Когда проверят меняются обратно.
Прием «Светофор».
Покажите сигнальной карточкой кто справился, а кто нет.
– поднять зеленую, кто справился с домашним заданием;
-желтую, кто справился, но допустил ошибки;
-красную, кто совсем не справился.
Обратная связь:
Учитель:- Какие трудности были при выполнении домашнего задания?
III. Актуализация опорных знаний
Вопросы:
Что такое луч?
Какая фигура называется отрезком?
Какая фигура называется углом?
В каких единицах измеряются углы?
Какой угол называется острым?
Какой угол называется прямым?
Какой угол называется тупым?
Какой угол называется развернутым?
Какие прямые называются перепендикулярными?
Могут ли два смежных угла быть: острыми, тупыми, прямыми. Почему?
Отрезки/ углы называются равными, если…
Углы смежные, если…
Углы вертикальные, если…
ФО: самооценивание
Прием «Бросание мяча». Учитель задает вопрос, бросая мяч ученику. Ученик отвечает на вопрос, если он не может ответить на вопрос, то перекидывает мяч другому ученику. Учащиеся воспроизводят формулировки теорем.
Обратная связь: –Что бы вы пожелали своим одноклассникам, которые допускали ошибки?
Звучит спокойная музыка
Презентация
на экране
Карточки
разных цветов
Презентация
Слайд с готовым домашним заданием
Мяч
Середина урока
Работа в группах
10 минут
Индивидуальная работа
8 минут
12 минутСамостоятельная работа.
Предлагаю классу рассчитаться на первый, второй.
Образовываются две смешанные группы.
1 группа: Смежные
2 группа: Вертикальные
Каждой группе дается одинаковая карточка, но с разными заданиями.
Цель обучения:7.1.1.10 доказывать и применять свойства вертикальных и смежных углов
Критерийоценивания:
-доказывают и применяют свойства вертикальных и смежных углов
Уровни мыслительных навыков: знание, понимание, применение
В С
О
А Д
Задание:
1 группа: 1)найти и написать смежные углы;
2) доказать, что они смежные.
2 группа: 1) найти и написать вертикальные углы;
2) доказать, что они веритикальные.
Дескриптор:
-определяют смежные и вертикальные углы;
-доказывают свойства смежных и вертикальных углов.
ФО. Взаимооценивание. Меняются друг с другом записями (одна группа проверяет другую группу) и проверяют по образцу на экране.
Когда проверят меняются обратно.
Прием «Светофор».
Обратная связь:
-Что было для вас сложным?
-На что нужно обратить внимание, чтобы справляться с заданием?
Дифференциация по результату
Практическая работа
Цель: 7.1.1.32 знать понятие о перпендикуляре
Критерийоценивания
-знает понятие о перпендикуляре.
Уровни мыслительных навыков: применение, анализ
Задание:
Лодка плыла на юг, затем повернула на 900. В каком направлении она теперь плывет? Сколько решений имеет задача? Сколько раз и в какую сторону должна повернуться лодка на 90, чтобы вернуться обратно? Начертите путь лодки.
Дескриптор:
– выполняют чертеж;
– знают понятие о перпендикуляре;
– находят все решения.
ФО: самооценивание
Учащиеся знают направление сторон света, но также можно показать на экране, если кто-то забыл.
Прием «Углы». Вчетырех углах класса развесить возможные ответы. Ученики размещаются в тех углах, который считают правильным. Те ученики которые выполнили несколькими способами, становятся посередине класса.
Каждая группа формулирует свой ответ. Объясняет выполнение чертежа.
Затем обосновывает и доказывает свой ответ, те кто посередине класса. Если какая то группа соглашается, то переходит в середину класса.
Обратная связь: –почему задача все таки имеет несколько решений?
Дифференциация по уровню сложности задания.
Цель: определять смежные и вертикальные углы;
Критерийоценивания
Обучающийся
-определяет смежные и вертикальные углы;
Уровни мыслительных навыков: знание, понимание, применение.
Задание
Уровень А
Рис.1 Рис.2
1. 1=47˚. Найдите 2.(рис1)
2. 1=15˚. Найдите 2, 3 , 4. (рис2)
3. 1+4=78˚. Найдите1,2, 3 , 4. (рис2)
Уровень В
1.Один из смежных углов в 9 раз больше другого. Найдите эти углы.
2.Сумма трех углов, образовавшихся при пересечении двух прямых, равна 240˚. Найдите все образовавшиеся углы.
Дескриптор:
-определяют смежные и вертикальные углы;
-находят вертикальные и смежные углы через составление уравнения
ФО: самооценивание по образцу на экране
Прием: «Светофор»
Покажите сигнальной карточкой кто справился, а кто нет.
– поднять зеленую, кто справился с заданием;
-желтую, кто справился, но допустил ошибки;
-красную, кто совсем не справился
Обратная связь: –какие задания были трудными?
карточка
Презентация
с
з в
ю
Раздаточный материал
(карточки)
Презентация
Конец урока
3 минуты
Домашнее задание: дифференциация по источникам.
учащиеся самостоятельно выбирают уровень сложности задания
Уровень А: найти смежные и вертикальные углы в окружающем мире (своего села).
Уровень В: составить задачу на составление уравнения по теме «Смежные и вертикальные углы, и их свойства» используя материалы интернета.
Рефлексия: итак, подведем итоги нашего урока.
Сигнальные карточки. Прием: «Светофор»
-желтая, если понял, но нужно повторить
– зеленая, все понял
Сигнальные карточки
Дифференциация – каким способом вы хотите больше оказывать поддержку? Какие задания вы даете ученикам более способным по сравнению с другими?
Оценивание – как Вы планируете проверять уровень усвоения материала учащимися?
Охрана здоровья и соблюдение техники безопасности
Дифференциация по уровню сложности (самостоятельная работа).
Дифференциация по источникам (домашнее задание)
Дифференциация по заключению(индивидуальная работа)
Дифференциация по уровню знаний(цели урока)
Обратная связь.
Взаимооценивание.
«Сигнальные карточки».
Самооценивание .
Приём «Светофор».
Метод «Углы»
.
Психологический настрой.
Движение во время метода «Углы»
Рефлексия по уроку
Была ли реальной и доступной цель урока или учебные цели?
Все ли учащиесы достигли цели обучения? Если ученики еще не достигли цели, как вы думаете, почему? Правильно проводилась дифференциация на уроке?
Эффективно ли использовали вы время во время этапов урока? Были ли отклонения от плана урока, и почему?
Используйте данный раздел урока для рефлексии. Ответьте на вопросы, которые имеют важное значение в этом столбце.
Итоговая оценка
Какие две вещи прошли действительно хорошо (принимайте в расчет, как преподавание, так и учение)?
1:
2:
Какие две вещи могли бы улучшить Ваш урок (принимайте в расчет, как преподавание, так и учение)?
1:
2:
Что нового я узнал из этого урока о своем классе или об отдельных учениках, что я мог бы использовать при планировании следующего урока?
Источник
Вертикальные углы – два угла, у которых стороны одного являются продолжениями сторон другого. Вертикальные углы равны. (Вертикальными называются углы, образованные пересекающимися прямыми и не являющиеся прилегающими друг к другу, то есть общей стороны у них нет, но вертикальные углы имеют вершину в одной точке. Вертикальные углы равны между собой).
22. Какие прямые называются перпендикулярными?Две пересекающиеся прямые называютсяперпендикулярными (или взаимно перпендикулярными), если они образуют четыре прямых угла. Или Перпендикулярные прямыеэто прямые пересекающиеся под углом 90 градусов. Или Две прямые, образующие при пересечении прямые углы, называют перпендикулярными.
23. Объясните, какой отрезок называется перпендикуляром, проведенным из данной точки к данной прямой. Что такое основание перпендикуляра? Перпендикуляром к данной прямой называется отрезок прямой, перпендикулярной к данной, который имеет одним из своих концов их точку пересечения. Этот конец отрезка называется основанием перпендикуляра.Перпендикуляром к данной прямой называется отрезок прямой, перпендикулярной к данной, который имеет одним из своих концов их точку пересечения. Конец отрезка, лежащий на данной прямой, называется основанием перпендикуляра.
24. Что такое теорема и доказательство теоремы? В математике утверждение, справедливость которого устанавливается путем рассуждений, называется теоремой, а само рассуждение – доказательством теоремы.
Теоре́ма — утверждение, для которого в рассматриваемой теории существует доказательство (иначе говоря, вывод) . В отличие от теорем, аксиомаминазываются утверждения, которые, в рамках конкретной теории, принимаются истинными без всяких доказательств или обоснований. Доказательство– это утверждение, объясняющее теорему. Теорема –такая гипотеза, которую требуется доказать;Гипотеза всегда требует доказательства. Доказательство –доводы, подтверждающие действенность, правильность теоремы.
Докажите теорему о существовании перпендикуляра к прямой. (Рис.56 в учебнике)
Теорема. Из точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой.
Доказательство.Пусть A – точка, не лежащая на данной прямой a (рис. 56, а). Докажем, что из точки A можно провести перпендикуляр к прямой a. Мысленно перегнем плоскость по прямой a (рис. 56, б) так, чтобы полуплоскость с границей a, содержащая точку A, наложилась на другую полуплоскость. При этом точка Aналожится на некоторую точку. Обозначим ее буквой B. Разогнем плоскость и проведем через точки A и Bпрямую.
Пусть H – точка пересечения прямых AB и a (рис. 56, в). При повторном перегибании плоскости по прямой aточка H останется на месте. Поэтому луч HA наложится на луч HB, и, следовательно, угол 1 совместится с углом 2. Таким образом, ∠1 = ∠2. Так как углы 1 и 2 – смежные, то их сумма равна 180°, поэтому каждый из них – прямой. Следовательно, отрезок AH – перпендикуляр к прямой a. Теорема доказана.
Докажите теорему о единственности перпендикуляра к прямой. (Рис.57 в учебнике)
Теорема. Из точки, не лежащей на прямой, нельзя провести два перпендикуляра к этой прямой.
Доказательство.Пусть A – точка, не лежащая на данной прямой a (см. рис. 56, а). Докажем, что из точки Aнельзя провести два перпендикуляра к прямой a. Предположим, что из точки A можно провести два перпендикуляра AH и AK к прямой a (рис. 57). Мысленно перегнем плоскость по прямой a так, чтобы полуплоскость с границей a, содержащая точку A, наложилась на другую полуплоскость. При перегибании точки H и K остаются на месте, точка A накладывается на некоторую точку. Обозначим ее буквой B. При этом отрезки AH и AK накладываются на отрезки BH и BK.
Углы AHB и AKB – развернутые, так как каждый из них равен сумме двух прямых углов. Поэтому точки A, Hи B лежат на одной прямой и также точки A, K и B лежат на одной прямой.
Таким образом, мы получили, что через точки A и B проходят две прямые AH и AK. Но этого не может быть. Следовательно, наше предположение неверно, а значит, из точки A нельзя провести два перпендикуляра к прямой a. Теорема доказана.
https://mthm.ru/geometry7/perpendicular
Источник
Медвед 7 лет назад Вертикальными называются углы, образованные пересекающимися прямыми и не являющиеся прилегающими друг к другу, то есть общей стороны у них нет, но вертикальные углы имеют вершину в одной точке. Вертикальные углы равны между собой. автор вопроса выбрал этот ответ лучшим Lalique 3 года назад Изучая школьный курс геометрии, мы знаем что есть вертикальные и смежные углы. Вертикальные углы довольно просто получить построением. Рисуем два луча, которые имеют точку пересечения. Теперь мы видим, что образовалось четыре угла. Те углы, которые будут симметричны относительно центра – именуют вертикальными. У этих углов есть одно главное свойство: они равны по величине. Знание этого равенства позволяет решить различные геометрические задачи неугомонная 5 лет назад Вертикальные углы. Нарисовали две скрещенные прямые. Углы напротив друг друга будут вертикальными. Они касаются в одной точке в вершине. Прямая дает сторону углу одному и сторону углу другому. Получается четрые всего угла. Пара противоположных углов является вертикальными. TextExpert 3 года назад Это два угла, имеющие одну вершину – у двух пересекающихся прямых отрезков это два противоположных угла, где сторона одного есть продолжение стороны другого угла. Естественно, что такие углы будут равны друг с другом. Сashshi 7 лет назад Вертикальные углы — два угла, которые образуются при пересечении двух прямых, эти углы не имеют общих сторон. Другими словами — два угла называют вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого. Два вертикальных угла равны. Так же они в сумме дают девяносто градусов. Что мешает вам просто открыть учебник – все еще загадка для меня. Знаете ответ? |
Источник
Геометрия
7 класс
Урок № 6
Смежные и вертикальные углы. Аксиомы и теоремы
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
- Понятие смежных и вертикальных углов
- Свойства смежных и вертикальных углов
- Отличие аксиомы от теоремы
Тезаурус
Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями друг друга, называются смежными.
Свойства смежных углов:
- Сумма смежных углов равна 1800.
- Если два угла равны, то и смежные с ними углы равны.
- Угол, смежный с прямым углом, есть прямой угол.
Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого.
Свойство вертикальных углов: вертикальные углы равны.
Аксиома– положение, принимаемое без доказательств.
Основная литература:
- Атанасян Л. С. Геометрия: 7 – 9 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. – М.: Просвещение, 2017. – 384 с.
Дополнительная литература:
- Погорелов А. В. Геометрия: 7 – 9 класс. // Погорелов А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 224 с.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Давайте построим развёрнутый угол АОС и проведём в нём луч ОВ. В результате у нас получилось два угла ∠АОВ – острый угол и ∠ВОС– тупой угол. Стороны АО и ОС – продолжают друг друга, ВО– общая сторона. Углы АОВ и ВОС – это смежные углы. На основании этого сформулируем определение смежных углов.
Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями друг друга, называются смежными.
Обратите, внимание, что смежные углы АОВ и ВОС лежат на развёрнутом угле АОС. Отсюда можно сделать вывод: сумма смежных углов равна 180о.
Свойство смежных углов: сумма смежных углов равна 180о.
Давайте докажем это свойство.
Доказательство. Пусть углы ∠АОВ и ∠ВОС – смежные, луч ОВ – проходит между сторонами развёрнутого угла ∠АОС. Поэтому, сумма углов ∠АОВ и ∠ВОС равна ∠АОС, а этот угол развёрнутый, он равен 180о. Свойство доказано.
Укажем ещё одно свойство смежных углов.
- Если два угла равны, то и смежные с ними углы равны.
Сейчас давайте вспомним определение прямого угла: угол, равный 900, называется прямым углом. Опираясь на свойство суммы смежных углов, можно сделать вывод: угол, смежный с прямым углом, есть прямой угол.
Теперь построим две пересекающиеся прямые, АС и BD. Посмотрите, при пересечении прямых у нас получилось четыре угла: ∠АОВ, ∠АОD, ∠CОD, ∠BОC. Из них попарно являются смежными углы: ∠АОВ и ∠АОD, ∠АОD и ∠CОD, ∠CОD и ∠BОC, ∠АОВ и ∠BОC.
Углы, которые не являются смежными:
∠АОВ и ∠CОD; ∠АОD и ∠BОC. Пары этих углов называются вертикальными углами.
Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого.
Свойство вертикальных углов: вертикальные углы равны. Убедимся в справедливости этого свойства, докажем его.
Доказательство. Посмотрим на чертёж: пары углов 1 и 2, 2 и 3, 3 и 4, 4 и 1– смежные углы. Угол 2 одновременно является смежным с углом 1 и с углом 3. По свойству смежных углов
∠1+ ∠2= 1800 и ∠3+ ∠2= 1800. Получаем, что ∠1+ ∠2= ∠3+ ∠2, значит, ∠1= ∠3. Углы ∠1 и ∠3 – вертикальные. Мы доказали справедливость этого свойства.
Свойства смежных и вертикальных углов, которые мы сегодня рассмотрели– в геометрии называются теоремами. Правильность утверждения о свойстве той или иной геометрической фигуры устанавливается путём рассуждения. Это рассуждение называется доказательством. А само утверждение, которое доказывается, называется теоремой.
На предыдущих уроках вы познакомились с понятием аксиомы.
В чём же различие между аксиомой и теоремой? Ответ на этот вопрос таков: аксиома – положение, принимаемое без доказательств.
Разбор решения заданий тренировочного модуля
№1. Тип задания: ввод с клавиатуры пропущенных элементов в тексте.
Используя чертёж, найдите угол ∠ВОК.
Ответ: ∠ВОК=____0
Решение. Воспользуемся свойством смежных углов: сумма смежных углов равна 1800. По условию задачи ∠АОК= 110, то ∠ВОК+ ∠АОК= 1800
∠ВОК+ 110= 1800
∠ВОК= 1800– 110= 1690.
Ответ: ∠ВОК= 1690
№2. Тип задания: единичный / множественный выбор.
Используя чертёж, найдите угол ∠AOD.
Варианты ответов:
- 1120
- 640
- 1160
- 680
Решение. На чертеже указано, что углы ∠СОЕ= ∠DOE. Значит, ∠COD= ∠СОЕ+ ∠DOE= 320+ 320= 640. ∠AOD смежный с углом ∠COD, по свойству смежных углов: ∠AOD= 1800–∠COD= 1800– 640=1160.
Ответ: 1160
№3. Тип задания: выделение цветом.
Используя чертёж, найдите градусную меру угла ∠BMD, если ∠AMD= 1250, ∠BMC= 1150.
∠BМD=____0.
Выделите верный ответ из списка:
600; 300; 750; 900
Решение. По чертежу можно увидеть, что ∠BМD является частью ∠AMD и ∠BMC. Рассмотрим ∠DMC и ∠AMD. Эти углы – смежные, т.е. их сумма равна 1800. Значит, зная градусную меру ∠AMD, мы сможем найти градусную меру ∠DMC= 1800–∠AMD= 1800-–1250= 550. Теперь рассмотрим ∠BMC= ∠BMD+ ∠DMC. Мы знаем градусные меры ∠BMC и ∠DMC, значит, мы сможем найти градусную меру ∠BMD.
∠BMD= ∠BMC–∠DMC= 1150– 550= 600.
Верный ответ: 600
Источник