Какие свойства в математике используют
Дорогие друзья! Сегодня на странице своего канала я размещаю публикацию своего друга, математика, специалиста в области проективной геометрии Франца Германа. Его работы очень помогли мне в постижении многих премудростей геометрической науки. Всем, кто серьёзно думает заняться вопросами Пространства, я рекомендую ознакомиться с его публикациями на его личном сайте. Франц живёт и работает в Германии, серьёзно увлекается футболом и квантовой физикой элементарных частиц. И хотя наши взгляды на разные темы не всегда совпадают, я с уважением отношусь к любой его точке зрения. Итак.
Основное свойство математики
Спросите у своих знакомых, знают ли они основное свойство математики. Скорее всего, если вы не профессиональный математик, то ответ будет отрицательным. А какие вообще свойства присущи этой науке? Кто-то скажет, что математика непонятна. А для кого-то математика является интересной. Кто-то скажет, что она таинственна, кто-то увидет в ней поэзию… Лейбниц назвал еѐ «музыкой души». Гильберт сравнил огромным садом. Сколько людей вы спросите, столько ответов и получите. Так всѐ-таки существует ли основное свойство математики и как оно звучит? На этот вопрос ответят лучше всего наверное сами математики. Математика – это научное чудо. Одно из главных свойств математики в том, что она призвана помогать другим наукам. Карл Маркс говорил, что «наука только тогда достигает совершенства, когда ей удаѐтся пользоваться математикой». Возможно математика является хранительницей истины в последней инстанции. А ведь математика создана, как и вся наука, человеческим разумом. А. Н. Колмогоров, например, так определяет математику: «математика – это то, посредством чего люди управляют природой и собой». Не будем томить неискушѐнного читателя. Учѐные пришли к выводу, что основное свойство математики проявляется в том, что математика почему-то описывает законы природы и «…точность этих законов, если над ней задуматься, обладает всеми элементами чуда». Эти слова принадлежат выдающемуся физику-теоретику, лауреату Нобелевской премии Е. Вигнеру. Наверно, один из первых, кто обратил на это математическое свойство внимание, был выдающийся итальянский учѐный Галилей, когда в конце шестнадцатого века сбрасывал шары различной массы с Пизанской башни и открыл закон свободного падения: скорость падающего тела пропорциональна времени падения и не зависит от его массы (Аристотель был не прав). Спустя чуть больше полувека Ньютон открыл свой знаменитый закон всемирного тяготения. Примерно в это же время, используя огромный архив астрономических наблюдений, Кеплер открыл законы движения небесных тел, а Ньютон показал, что эти законы выводятся чисто математически. Наверное с этого времени и началось победное шествие главного математического свойства. Учѐные физики стали описывать законы природы на языке математики. Планета Уран была открыта «на кончике пера». Были рассчитаны параметры орбиты Урана, а чуть позже астрономы увидели еѐ визуально в телескоп. Великий английский учѐный Фарадей был самоучкой. Он описывал все свои опыты с электричеством словесно, без единой математической формулы. Он просто не знал математики. Однако, чуть позже не менее великий его соотечественник Дж. Максвелл, когда познакомился с трудами Фарадея, понял, что опыты эти очень хорошо описываются математикой. Так родилась электродинамика и открыла собой эру теоретической физики. Теоретическая физика – это наука, инструментом которой и является математика. А на основе еѐ построений физики-экспериментаторы проверяют на своих опытах построения теоретиков. Сегодня физические эксперименты с невероятной точностью подтверждают математические расчѐты теоретиков. Например, в квантовой электродинамике такая точность доходит аж до одиннадцатого знака после запятой. В настоящее время всѐ естествознание буквально пронизано математикой. Более того экономические науки, биология, медицина невозможны сегодня без математики. Компьютеризация и нанотехнологии с их невообразимыми по сложности коллайдерами и космическими аппаратами основаны на фундаментальных принципах математической науки. В общем вся современная деятельность человечества невозможна без математики. Но давайте заглянем и в саму математику. Любая математическая теория является более фундаментальной, чем меньше аксиом требуется для еѐ определения. В математике такой теорией является теория групп. Для еѐ определения требуется всего четыре аксиомы. Сегодня ни одно направление в математике не может обойтись без теории групп. При помощи теории групп строятся новые геометрии, о чѐм математики прошлого не могли даже и мечтать. Любой математический аппарат, где используется современная топология, не может обойтись без теории групп. Теорию групп порой называют теорией симметрии. Методы теории групп используются не только в самой математике, но и в других науках. Например, в квантовой механике и физике элементарных частиц, современной кристаллографии и такой абстрактной науке, как общая теория систем. Теория групп – это любимое детище математиков ХХ века и современности. Однако, вернѐмся к основному свойству математики – почему законы природы описываются с невероятной точностью математикой? Мне представляется такая схема (Рис. 1).
Природа – (П) – по каким-то законам, отвечающим самым глубоким и фундаментальным законам математики – (М) – создала человеческий разум – (Р):
Разум, постигая природу, создаёт мощнейший инструмент познания – математику:
Математика, движимая разумом помогает понять тайны природы:
Цикл замкнулся. Мне кажется, что в этом и есть суть вечного развития и познания природы, познания истины.
Можно подвести итог: МИР САМОВОЗНИК И САМОРАЗВИВАЕТСЯ ПО ЗАКОНАМ МАТЕМАТИКИ.
Но будущих Лобачевских, Ньютонов и Эйнштейнов ещё ждёт множество научных открытий. Ещё не создана теория вселенского разума (ТВР), ещё не открыты фундаментальные теоремы и уравнения ТВР.
Ф. Герман.
Всего Вам доброго.
Источник
Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 30 января 2020;
проверки требуют 3 правки.
Эта статья — об атрибуте предмета или объекта в философии, математике и логике. О необходимом условии принадлежности классу см. Свойство (логика).
Сво́йство (в философии, математике и логике) — атрибут предмета (объекта).[B: 1][B: 2][B: 3][1]
Понятие «свойство» является категорией, имеющей «одинаковое значение для любой науки», наряду с двумя другими основными категориями; вещи и отношения.[2]
В соответствии с принципом отождествления вещей, который известен как закон Лейбница, две вещи тождественны, если все их свойства общие.[3]
По другому определению, свойство — сторона проявления качества. При этом не всякое свойство предмета (объекта) должно рассматриваться при определении качества: свойство у предмета может иметься, но при сравнении предмета с другими оно может не быть отличительным или существенным.[источник не указан 154 дня]
Общие положения[править | править код]
Свойства объекта зависят от вида взаимодействия объекта и субъекта, например: если на яблоко смотреть — оно имеет цвет и форму; если его откусить — имеет твёрдость и вкус; если его взвешивать — имеет вес; если оценивать его габариты — имеет размеры, если трогать — имеет шероховатость. Объект является своими свойствами не только субъекту, но и другим объектам, то есть свойства могут проявляться и в ходе взаимодействия объектов друг с другом.[источник не указан 154 дня]
Например, о красном предмете говорится, что он обладает свойством «красноты». Свойство можно рассматривать как форму предмета самого по себе, притом, что он может обладать и другими свойствами. Свойства, при такой расширенной интерпретации, подпадают под действие парадокса Тесея[4], парадокса Рассела и парадокса Греллинга-Нельсона.[источник не указан 154 дня]
Совокупность некоторых частных свойств предмета может проявляться в некотором обобщённом свойстве предмета (поглощаться обобщённым свойством). Например, «краснота» яблока — обобщённое свойство яблока, а процентные доли содержания отдельных химических веществ в кожице яблока (характеризующие эту «красноту» яблока) — частные свойства яблока; «динамика» автомобиля — обобщённое свойство автомобиля, а мощность двигателя, снаряжённая масса, отношение главной передачи и др. (характеризующие эту «динамику» автомобиля) — частные свойства автомобиля.[источник не указан 154 дня]
Ошибочный вывод от случайного часто встречается в индуктивных обобщениях. Заметив, что известное свойство обнаружено во всех наблюдавшихся до сих пор предметах класса, неосторожные исследователи часто думают, будто свойство это — существенное для предметов данного класса и потому должно быть обнаружено не только в уже рассмотренных экземплярах, но и во всяком представителе того же класса. Свойство, обнаруженное в нескольких (и даже многих) предметах класса, может оказаться существенным, но может оказаться и случайным.[5]
Свойство отличается от логического понятия класса тем, что не связано с понятием экстенсиональности, а от философского понятия класса — тем, что свойство рассматривается в качестве отличного (отделённого) от предмета, который обладает им.[источник не указан 154 дня]
Особенности использования термина[править | править код]
В логике[править | править код]
В логике, основанной на булевой алгебре, понятие «свойство» совпадает с понятием «предикат».[6]
В математике[править | править код]
В математике если дан любой элемент множества X, то определённое свойство p либо истинно, либо ложно, то есть понятие «свойство» совпадает с понятием «подмножество». На формальном языке: свойство p: X → {истинно, ложно}(то есть отображение, функция из Х в множество из двух элементов). Всякое свойство естественным образом задаёт подмножество {x: x обладает свойством p} и соответствующую индикаторную функцию (англ. indicator function). В некоторых разделах математики (например, теории искусственного интеллекта) применяется более сложное определение свойства как отношения эквивалентности на множестве Х. В этом случае p: X → {множество имен значений свойства}. Прообразы всех имен при этом отображении задают разбиение множества Х на непересекающиеся подмножества (значения свойства). Такое определение свойства позволяет единообразно рассматривать не только качественные, но и количественные характеристики объектов.[источник не указан 154 дня]
Использование[править | править код]
Свойства используются в науке для образования понятий.[источник не указан 154 дня]
Свойства объектов и ситуаций широко применяются в теории решения задач, в процессах автоматизации производства, управления и поиска информации, при построении экспертных систем.[B: 3]
См. также[править | править код]
Примечания[править | править код]
- ↑ При создании этой статьи использован материал «PlanetMath», которая лицензирована GFDL
- ↑ Уемов, 1963, с. 3.
- ↑ Уемов, 1963, с. 8.
- ↑ Уемов, 1963, с. 11—33.
- ↑ Асмус, 1954, с. 81—82.
- ↑ Предикат / М. М. Новосёлов // Плата — Проб. — М. : Советская энциклопедия, 1975. — (Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров ; 1969—1978, т. 20).
Литература[править | править код]
- ↑ Асмус В. Ф. Учение логики о доказательстве и опровержении. — М.: Госполитиздат, 1954. — 88 с. — 50 000 экз.
- ↑ Уемов А. И. Вещи, свойства и отношения. — М.: Издательство Академии Наук СССР, 1963. — 184 с. — 8000 экз.
- ↑ 1 2 Бенерджи Р. Теория решения задач. Подход к созданию искусственного интеллекта. — М.: Мир, 1972.
Источник
Сочетай, перемещай, свойства действий
узнавай
Напомним известные уже из арифметики главнейшие свойства действий сложения, вычитания, умножения и деления, так
как этими свойствами придется часто пользоваться и в алгебре.
Свойства сложения
Переместительный закон сложения
Сумма не изменяется от перестановки слагаемых .
Пример:
3 + 8 = 8 + 3; 5 + 2 + 4 = 2 + 5 + 4 = 4 + 2 + 5.
В общем случае:
a+b=b+a
a+b+c=c+a+b
Стоит иметь ввиду, что число слагаемых может быть и более трёх.
Сочетательный закон сложения
Сумма нескольких слагаемых не изменится, если какие-нибудь из них заменить их суммой .
Пример:
3 + 5 + 7 = 3 + (5 + 7) = 3 + 12 = 15;
4 + 7+11+6 + 5 = 7 +(4+ 5)+ (11+6) = 7 + 9+17 = 33.
В общем случае:
а + b + с = а+(b + с) = b+(а + с) и т. п.
Иногда этот закон выражают так: слагаемые можно соединять в какие угодно группы.
Чтобы прибавить к какому-либо числу сумму нескольких чисел, можно прибавить отдельно каждое слагаемое одно за другим.
Пример:
5 + (7 + 3) = (5 + 7) + 3 = 12 + 3 = 15.
В общем случае:
a+(b+c+d+…+x)=a+b+c+d+…+x
Свойства вычитания
Свойство вычитания суммы из числа
Чтобы вычесть из какого-нибудь числа сумму нескольких чисел, можно вычесть отдельно каждое слагаемое одно за другим.
Например:
20 — (5+ 8) = (20 — 5) — 8 = 15 — 8 = 7.
В общем случае:
а — (b + с + d+ …) = а — Ь — с — d — …
Свойство сложения разности чисел
Чтобы прибавить разность двух чисел, можно прибавить уменьшаемое и затем вычесть вычитаемое.
Пример:
8 + (11-5) = 8+ 11 -5= 14.
В общем случае:
а + (b — с) = а + Ь — с.
Свойство вычитания разности из числа
Чтобы вычесть разность, можно сначала прибавить вычитаемое и затем вычесть уменьшаемое.
Например:
18-(9-5) = 18 + 5-9= 14.
Вообще:
а — (Ь — с) = а + с — b.
Свойства умножения
Переместительный закон умножения
Произведение не изменится от перестановки сомножителей .
Так:
4·5 = 5·4; 3·2·5 = 2·3·5 = 5·3·2.
Вообще:
a*b = b*a; abc… =b*а*с*… = c*b*a* …
Сочетательный закон умножения
Произведение нескольких сомножителей не изменится, если какие-нибудь из них заменить их произведением .
Так:
7*3*5 = 5*(3*7) = 5*21 = 105.
Вообще:
abc = а(bс) = b(ас) и т. п.
Умножение числа на произведение чисел
Чтобы умножить какое-либо число на произведение нескольких сомножителей, можно умножить это число на
первый сомножитель, полученный результат умножить на второй сомножитель и т. д.
Так:
3*(5*4) = (3*5)*4= 15*4 = 60.
Вообще:
a•(bcd…) = {[(a·b)•c]•d}…
Чтобы умножить произведение нескольких сомножителей на какое-либо число, можно умножить на это число один
из сомножителей, оставив другие без изменения.
Так:
3 • 2 • 5 • 3 = (3 • 3) • 2 • 5 = 3 • (2 • 3) • 5 = 3 • 2 • (5 • 3).
Вообще:
(abc.. )m = (аm)bс… = а(bm)с… и т. п.
Умножение числа на сумму чисел
Чтобы умножить сумму на какое-либо число, можно каждое слагаемое умножить на это число и полученные ре-
результаты сложить.
Так:
(5 + 3)·7 = 5·7 + 3·7.
Вообще:
(а + b + с + .. .)n = an + bn + cn + …
В силу переместительного закона умножения это же свойство можно выразить так: чтобы умножить какое-либо число на
сумму нескольких чисел, можно умножить это число на каждое слагаемое отдельно и полученные результаты сложить.
Так:
5·(4 + 6) = 5·4 + 5·6.
Вообще:
r·(а + Ь + с +…) = rа + rb + rс + …
Это свойство называется распределительным законом умножения, так как умножение, производимое над суммой, распределяется на каждое слагаемое в отдельности.
Распределительный закон умножения для разности чисел
Распределительный закон можно применять и к разности.
Так:
(8 — 5) • 4 = 8 • 4 — 5 • 4;
7 • (9 — 6) = 7 • 9 — 7 • 6.
Вообще:
(а — b)с = ас — bc,
а(b — с) = ab — ас,
т. е. чтобы умножить разность на какое-либо число, можно умножить на это число отдельно уменьшаемое и вычитаемое
и из первого результата вычесть второй; чтобы умножить какое-либо число на разность, можно это число умножить
отдельно на уменьшаемое и вычитаемое и из первого результата вычесть второй.
Свойства деления
Деление суммы на число
Чтобы разделить сумму на какое-либо число, можно разделить на это число каждое слагаемое отдельно и полученные результаты сложить:
Например:
(30+12+5)/3=30/3+12/3+5/3
Вообще:
(a+b+c+…+v)/m= (a/m)+(b/m)+(c/m)+…(v/m)
Деление разности на число
Чтобы разделить разность на какое-либо число, можно разделить на это число отдельно уменьшаемое и вычитаемое
и из первого результата вычесть второй:
(20-8)/5= 20/5 — 8/5
Вообще:
(a-b)/c = (a/c) -(b/c)
Деление произведения на число
Чтобы разделить произведение нескольких сомножителей на какое-либо число, можно разделить на это число один
из сомножителей, оставив другие без изменения:
(40 • 12 • 8) : 4 = (40:4) • 12 • 8 = 10 • 12 • 8 = 40 • 12 • 2.
Вообще:
(a·b·c…) : t = (а : t)bс… = а(b : t)с… и т. д.
Деление числа на произведение
Чтобы разделить какое-либо число на произведение нескольких сомножителей, можно разделить это число на
первый сомножитель, полученный результат разделить на второй сомножитель и т.д.:
120 : (12 • 5 • 3) = [(120 : 2) : 5] : 3 = (60 : 5) : 3 = 12 : 3 = 4.
Вообще:
а : (bcd …) = [(а : b) : с] : d… и т. п.
Укажем еще следующее свойство деления:
Если делимое и делитель умножим (или разделим) на одно и то же число, то частное не изменится.
Поясним это свойство на следующих двух примерах:
1)8:3 = 8/3|,
умножим делимое и делитель, положим, на 5; тогда получим
новое частное: (8*5)/(3*5)
которое по сокращении дроби на 5 даст прежнее частное — 8/3
Вообще, какие бы числа a, b и m ни были, всегда
(am) : (bm) = а : b, что можно написать и так:
am/bm= a/b
Если частное не изменяется от умножения делимого и делителя на одно и то же число, то оно не изменяется и от деления делимого и делителя на одно и то же число, так как деление на какое-нибудь число равносильно умножению на обратное число.
Комментирование и размещение ссылок запрещено.
Источник
Основные правила математики (кратко). 5 класс
Содержание
- Натуральные числа
- Сравнение натуральных чисел
- Свойства сложения
- Формула пути
- Корень уравнения
- Правила решения уравнений
- Отрезок, прямая, луч
- Угол, биссектриса угла
- Углы: развернутый, прямой, острый, тупой
- Многоугольники. Равные фигуры
- Треугольники: остроугольный, прямоугольный, тупоугольный
- Треугольники: равнобедренный, равносторонний, разносторонний
- Прямоугольник. Квадрат. Периметр
- Умножение. Свойства умножения
- Деление. Деление с остатком
- Площадь. Площадь квадрата, прямоугольника
- Объем. Объем прямоугольного параллелепипеда, куба
- Дроби: правильная, неправильная, сравнение дробей
- Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
- Сложение и вычитание смешанных чисел
- Преобразование неправильной дроби в смешанное число
- Преобразование смешанного числа в неправильную дробь
- Десятичные дроби: свойства, сравнение, округление
- Десятичные дроби: сложение, вычитание
- Десятичные дроби: умножение, деление
- Среднее арифметическое
- Процент
Натуральные числа
Числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 и т. д., которые используют при счете предметов, называют натуральными.
Сравнение натуральных чисел
Число меньше любого натурального числа.
Из двух натуральных чисел, которые имеют разное количество цифр большим является то, у которого количество цифр больше.
Из двух натуральных чисел с одинаковым количеством цифр большим является то, у которого больше первая (при чтении слева направо) из неодинаковых цифр.
Свойства сложения
Переместительный закон: 
Сочетательный закон: 
Формула пути
,
где 
— пройденный путь, 
— скорость движения, 
— время, за которое пройден путь .
Корень уравнения
Корнем (решением) уравнения называют число, которое при подстановке его вместо буквы превращает уравнение в верное числовое равенство.
Что значит “Решить уравнение”
Решить уравнение — это значит найти все его корни или убедиться, что их вообще нет.
Правила решения уравнений
- Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое.
- Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо к разности прибавить вычитаемое.
- Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность.
- Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель.
- Чтобы найти неизвестное делимое, надо делитель умножить на частное.
- Чтобы найти неизвестный делитель, надо делимое разделить на частное.
Отрезок, прямая, луч
Отрезок
Отрезок – часть прямой, ограниченная двумя точками(концами) и все точки между этими концами(внутренние точки отрезка)
Свойство длины отрезка
Если на отрезке 
отметить точку 
, то длина отрезка равна сумме длин отрезков 
и 
.
Равные отрезки
Два отрезка называют равными, если они совмещаются при наложении.
Свойство прямой
Через две точки проходит только одна прямая.
Измерить отрезок
Измерить отрезок означает подсчитать, сколько единичных отрезков в нем помещается
Ломаная
Ломаная — геометрическая фигура, состоящая из отрезков, последовательно соединенных друг с другом
Луч
Луч (полупрямая) — это геометрическая фигура, часть прямой, состоящая из точки(начала луча) и всех точек прямой, лежащих по одну сторону от начала луча.В названии луча присутствуют две буквы, например, 
. Причем первая буква всегда обозначает точку начала луча, поэтому менять местами буквы нельзя.
Угол, биссектриса угла
Угол
Фигуру, образованную двумя лучами, имеющими общее начало, называют углом.
Равные углы
Два угла называют равными, если они совмещаются при наложении.
Свойство величины угла
Если между сторонами угла провести луч 
, то градусная мера угла равна сумме градусных мер углов 
и 
, то есть 
.
Биссектриса угла
Луч, который делит угол на два равных угла, называется биссектрисой угла.
Углы: развернутый, прямой, острый, тупой
Развернутый угол
Угол, стороны которого образуют прямую, называют развернутым. Градусная мера развернутого угла равна 180°.
Прямой угол
Угол, градусная мера которого равна 90°, называют прямым.
Острый угол
Угол, градусная мера которого меньше 90°, называют острым.
Тупой угол
Угол, градусная мера которого больше 90°, но меньше 180°, называют тупым.
Многоугольники. Равные фигуры
Равные многоугольники
Два многоугольники называют равными, если они совмещаются при наложении.
Равные фигуры
Две фигуры называют равными, если они совмещаются при наложении.
Треугольники: остроугольный, прямоугольный, тупоугольный
Остроугольный треугольник
Если все углы треугольника острые, то его называют остроугольным треугольником.
Прямоугольный треугольник
Если один из углов треугольника прямой, то его называют прямоугольным треугольником.
Тупоугольный треугольник
Если один из углов треугольника тупой, то его называют тупоугольным треугольником.
Треугольники: равнобедренный, равносторонний, разносторонний
Равнобедренный треугольник
Если две стороны треугольника равны, то его называют равнобедренным треугольником.
Равносторонний треугольник
Если три стороны треугольника равны, то его называют равносторонним треугольником.
Периметр равностороннего треугольника
Если сторона равностороннего треугольника равна 
, то его периметр 
вычисляют по формуле 
Разносторонний треугольник
Если три стороны треугольника имеют разную длину, то его называют разносторонним треугольником.
Прямоугольник. Квадрат. Периметр
Прямоугольник
Если в четырехугольнике все углы прямые, то его называют прямоугольником.
Свойство прямоугольника
Противоположные стороны прямоугольника равны.
Периметр прямоугольника
Если соседние стороны прямоугольника равны и 
, то его периметр вычисляют по формуле 
Квадрат
Прямоугольник, у которого все стороны равны, называют квадратом.
Периметр квадрата
Если сторона квадрата равна , то его периметр вычисляют по формуле 
.
Умножение. Свойства умножения
Умножение
Свойства умножения
Деление. Деление с остатком
Деление
Для натуральных чисел 
равенство 
является правильным, если является правильным равенство
В равенстве число называют делимым, число — делителем, число 
и запись 
– частным от деления, отношением, долей.
На ноль делить нельзя.
Для любого натурального числа правильными являются равенства:
,
Деление с остатком
, где — делимое, — делитель, 
— неполное частное, 
— остаток, 
.
Если остаток равен нулю, то говорят, что число делится нацело на число .
Площадь. Площадь квадрата, прямоугольника
Свойства площади фигуры
Равные фигуры имеют равные площади;
Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, из которых она состоит.
Площадь прямоугольника
Площадь прямоугольника равна произведению длин его соседних сторон, выраженных в одних и тех же единицах.
Площадь квадрата
,
где — площадь квадрата, — длина его стороны.
Объем. Объем прямоугольного параллелепипеда, куба
Свойства объема фигуры
Равные фигуры имеют равные объемы;
Объем фигуры равен сумме объемов фигур, из которых она состоит.
Объем прямоугольного параллелепипеда
,
где — объем параллелепипеда, , и — его измерения, выраженные в одних и тех же единицах;
,
где — площадь основания параллелепипеда, 
— его высота.
Объем куба
,
где — объем куба, — длина его ребра.
Дроби: правильная, неправильная, сравнение дробей
Правильная дробь
Дробь, числитель которой меньше знаменателя, называют правильной
Неправильная дробь
Дробь, числитель которой больше знаменателя или равен ему, называют неправильной.
Сравнение дробей
- Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, числитель которой больше, и меньше та, числитель которой меньше.
- Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, знаменатель которого меньше, и меньшая та, знаменатель которой больше.
- Все правильные дроби меньше единицы, а неправильные — больше или равны единице.
- Любая неправильная дробь больше любой правильной дроби.
Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
- Чтобы найти сумму двух дробей с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить тот же.
- Чтобы найти разность двух дробей с одинаковыми знаменателями, надо из числителя уменьшаемого вычесть числитель вычитаемого, а знаменатель оставить тот же.
Сложение и вычитание смешанных чисел
- Чтобы найти сумму двух смешанных чисел, надо отдельно сложить их целые и дробные части.
- Чтобы найти разность двух смешанных чисел, надо от целой и дробной части уменьшаемого вычесть соответственно целую и дробную части вычитаемого.
Преобразование неправильной дроби в смешанное число
Чтобы неправильную дробь, числитель которой не делится нацело на знаменатель, преобразовать в смешанное число, нужно
- числитель разделить на знаменатель;
- полученное неполное частное записать как целую часть смешанного числа, а остаток — как числитель его дробной части.
Преобразование смешанного числа в неправильную дробь
Чтобы преобразовать смешанное число в неправильную дробь нужно
- целую часть числа умножить на знаменатель дробной части;
- к полученному произведению прибавить числитель дробной части;
- эту сумму записать как числитель неправильной дроби;
- в его знаменателе записать знаменатель дробной части смешанного числа.
Десятичные дроби: свойства, сравнение, округление
Свойства десятичной дроби
Если к десятичной дроби справа приписать любое количество нулей, то получим дробь, равную данной.
Значение дроби, которая заканчивается нулями, не изменится, если последние нули в его записи отбросить.
Сравнение десятичных дробей
Из двух десятичных дробей больше та, у которой целая часть больше.
Чтобы сравнить две десятичные дроби с равными целыми частями и разным количеством цифр после запятой, надо
- с помощью приписывания нулей справа уравнять количество цифр в дробных частях,
- после чего сравнить полученные дроби поразрядно.
Округление десятичных дробей
Для того чтобы десятичную дробь округлить до единиц, десятых, сотых и т. д., надо
- все следующие за этим разрядом цифры отбросить.
- если при этом первая из цифр, которые отбрасывают равна 0, 1, 2, или 4, то последнюю из цифр, которые оставляют, не меняют;
- если же первая из цифр, которые отбрасывют, равна 5, 6, 7, 8 или 9, то последнюю из цифр, которые оставляют, увеличивают на единицу.
Десятичные дроби: сложение, вычитание
Сложение десятичных дробей
Чтобы найти сумму двух десятичных дробей, нужно:
- уравнять количество цифр после запятых;
- записать слагаемые друг под другом так, чтобы каждый разряд второго слагаемого оказался под соответствующим разрядом первого слагаемого;
- сложить полученные числа так, как складывают натуральные числа;
- поставить в полученной сумме запятую под запятыми.
Вычитание десятичных дробей
Чтобы найти разность двух десятичных дробей, нужно:
- уравнять количество цифр после запятых;
- записать вычитаемое под уменьшаемым так, чтобы каждый разряд вычитаемого оказался под соответствующим разрядом уменьшаемого;
- выполнить вычитание так, как вычитают натуральные числа;
- поставить в полученной разности запятую под запятыми.
Десятичные дроби: умножение, деление
Умножение десятичных дробей
Чтобы перемножить две десятичные дроби, надо:
- перемножить их как натуральные числа, не обращая внимания на запятые;
- в полученном произведении отделить запятой справа столько цифр, сколько их стоит после запятых в обоих множителях вместе.
Чтобы умножить десятичную дробь на 1