Какие свойства у проекции
1. Предмет и метод инженерной графики. Задачи курса.
2. Центральная проекция и её свойства.
3. Параллельная проекция и её свойства.
4. Аксонометрическая проекция.
5. Комплексный чертёж (Метод Монжа): общие представления.
Комплексный чертёж точки.
1. Предмет и метод инженерной графики. Задачи курса
Учебная дисциплина «Начертательная геометрия и инженерная графика» даёт студентам знания, которые необходимы им для общения с техническими специалистами на специальном графическом языке. Дисциплина включает следующие разделы: начертательную геометрию, машиностроительное черчение, основы компьютерной графики.
В первом семестре мы будем с вами изучать начертательную геометрию, представляющую собой раздел геометрии, в котором пространственные формы предметов действительного мира и соответствующие геометрические закономерности изучаются при помощи изображений на плоскости – чертежей.
Чертёж при этом является инструментом, с помощью которого изучаются геометрические формы предметов, и выполняется решение пространственных задач. Не всякое изображение предмета на листе бумаги позволяет точно определить его геометрическую фигуру.
Для того чтобы чертёж был геометрически равноценным изображаемому предмету, он должен быть построен при помощи метода проецирования (от латинского слова projecere – бросать вперёд). Поэтому чертежи, применяемые в инженерной графике, носят название проекционных чертежей.
Средитребований, предъявляемых к чертежам, наиболее существенными являются:
1) наглядность чертежа (давать пространственное представление изображаемого предмета);
2) обратимость чертежа (по нему можно однозначно воспроизвести форму и размеры изображаемого предмета).
Перед НГ стоят следующие основные задачи:
1) разработка способов построения чертежей пространственных предметов на плоскости;
2) изучение способов решения и исследования пространственных задач при помощи чертежей;
3) развитие пространственного воображения.
В настоящее время чертежи используются практически во всех областях науки и техники. Ни одна, даже самая простая деталь не изготавливается без чертежа. «Чертёж является языком техники», – говорил один из создателей начертательной геометрии французский учёный и инженер Гаспар Монж (11746-1818). Причём этот язык является интернациональным, он понятен любому технически грамотному специалисту, независимо от того, на каком языке он говорит. Дополняя высказывание Монжа, профессор В.И. Курдюмов (1853-1904) – автор классического русского учебника начертательной геометрии – писал: «Если чертёж является языком техники, то начертательная геометрия служит грамматикой этого языка, так как она учит нас правильно читать чужие и излагать наши собственные мысли, пользуясь в качестве слов одними только линиями и точками, как элементами всякого изображения.
2. Центральная проекция и её свойства
Пусть дана некоторая плоскость П/, которую назовём плоскостью проекций, и вне её т.S, называемая центром проекций (Рис. 1). Для построения проекций некоторой т.А проводят через неё и центр проекций S прямую SA, называемую проецирующей прямой, а затем находят точку пересечения этой прямой с плоскостью П/ – точку A/. Эта точка и называется центральной проекцией точки А на плоскость П/.
SA – проецирующая прямая (луч),
A/ – центральная проекция т.А.
Проецирование можно выполнить для любой точки пространства, за исключением точек, лежащих в плоскости, проходящей через центр проекций S и параллельной плоскости проекций П/. За проекции таких точек принято считать бесконечно удалённые точки плоскости П/, которые называются несобственными точками плоскости. И только для центра проекций S проекцию построить нельзя, т.к. проецирующая прямая при этом становится неопределённой.
Если задана какая-либо геометрическая фигура, то проекцией этой фигуры будет являться совокупность проекций всех её точек.
Свойства центрального проецирования:
1) проекцией точки является точка;
2) проекцией прямой линии является прямая линия;
3) проекцией точки, лежащей на некоторой прямой, является точка, лежащая на проекции данной прямой.
Метод центрального проецирования слишком сложен и в значительной степени искажает форму и размеры оригинала, т.к. не сохраняет параллельности прямых и отношения отрезков. Поэтому в технике этот метод не применяется, а используется лишь художниками при написании картин – метод перспективы (глаз человека устроен по принципу центральной проекции).
3. Параллельная проекция и её свойства
Параллельная проекция является частным случаем центральной, когда центр проекций S удалён в бесконечность. В этом случае задаётся направление проецирования, //-но которому проводятся проецирующие лучи.
Пусть дана плоскость проекций П/ и точка А (Рис. 2). Для построения проекции точки проведём через т.А проецирующую прямую // заданному направлению проецирования S. Затем определим точку пересечения этой прямой с плоскостью П/.
| Рис. 2 | A/ – параллельная проекция т.А. |
Поскольку // проекция является частным случаем центральной, то 3 её свойства распространяются и на //-ую проекцию,
+ свои свойства:
4) проекциями //-ых прямых являются //-ые прямые;
5) отношение проекций отрезков, лежащих на //-ых прямых или на одной и той же прямой, равны отношению самих отрезков;
6) проекция фигуры не меняется при //-ном переносе плоскости проекций.
Эти свойства параллельной проекции обеспечивают более простое построение чертежа, меньше искажающего форму и размеры оригинала по сравнению с центральной проекцией. Так, в связи с сохранением параллельности прямых параллельной проекцией параллелограмма является параллелограмм, а трапеции – тоже трапеция, в то время как в центральной проекции эти фигуры проецируются в четырёхугольники произвольного вида.
В зависимости от величины угла, образованного направлением проецирования S и плоскостью проекций П/ , //-ное проецирование делится на:
1) ортогональное или прямоугольное (90о);
2) косоугольное проецирование.
Ортогональная проекция получила наибольшее распространение в технических чертежах, т.к. она позволяет наиболее легко судить о размерах изображаемых предметов.
Рассмотренные выше методы проецирования однозначно решают прямую задачу – по данному оригиналу построить его проекционный чертёж. Однако обратная задача – по данному проекционному чертежу воспроизвести (реконструировать) оригинал – не решается однозначно. Эта задача допускает бесчисленное множество решений, т.к. точку A/, например, можно считать проекцией любой точки проецирующей прямой, проходящей через т.А. Таким образом, рассмотренные проекционные чертежи не обладают свойством обратимости. Для получения обратимых чертежей нужно дополнить проекционный чертёж необходимыми данными. Существуют различные методы такого дополнения. В данном курсе мы будем рассматривать два вида обратимых чертежей, а именно, аксонометрические и комплексные чертежи в ортогональных проекциях.
4. Аксонометрическая проекция
Название аксонометрическая происходит от древнегреческих слов аксон – ось и метрио – измеряю. Метод аксонометрического проецирования состоит в том, что данная фигура вместе с осями прямоугольной системы координат, которым она отнесена в пространстве, проецируется на некоторую плоскость проекций, называемую аксонометрической плоскостью проекцийиликартинной плоскостью.
В зависимости от вида проецирования аксонометрическая проекция называется:
1) центральной , когда используется центральное проецирование;
2) параллельной, когда используется параллельное проецирование.
Причём в последнем случае аксонометрическая проекция может быть:
а) косоугольной (при косоугольном проецировании);
б) ортогональной (при ортогональном проецировании).
Центральная аксонометрия в нашем курсе не рассматривается и всё, что мы будем говорить далее, касается лишь параллельной и ортогональной проекций.
На Рис. 3 показана схема проецирования т.А на некоторую аксонометрическую плоскость проекций По по направлению проецирования S.
Рис. 3
OXYZ – натуральная система координат,
OX, OY, OZ – оси натуральной системы координат,
OoXoYoZo – аксонометрическая система координат,
OXo,OYo, OZo – оси аксонометрической системы координат,
ОАхА1А – натуральная координатная ломаная, определяет положение т. А относительно натуральной системы координат OXYZ. Звенья этой ломаной являются отрезками координат.
Длины отрезков координат т.А, измеренные установленной натуральной масштабной единицей е:
– натуральные координаты т.А
е – натуральная масштабная единица
А0 – аксонометрическая проекция т. А,
00 Ах0 А10 А0 – аксонометрическая координатная ломаная,
ex,ey,ez – аксонометрические масштабные единицы по соответствующим осям координат,
Т.к. при параллельном проецировании сохраняется простое отношение трёх точек, получим:
Мы получилиосновное свойство аксонометрических проекций:
Аксонометрические координаты точек, измеренные аксонометрическими масштабами, численно равны натуральным. Таким образом, особенностью рассматриваемого метода аксонометрии заключается в том, что это есть координатный метод построения наглядного однокартинного чертежа, обладающего свойством обратимости.
Для удобства построения аксонометрических чертежей используют показатели искажения – отношения аксонометрического масштаба к соответствующему натуральному масштабу:
(k); (m); (n).
В зависимости от величины коэффициентов искажения аксонометрические проекции делятся на:
1) изометрические – u = v = w,
2) диметрические – 2 равны, 3-ий не равен им,
3) триметрические – все 3 коэффициента разные.
Приведём теорему, которая даёт ответ на вопрос, как можно выбрать на чертеже аксонометрические оси и аксонометрические масштабы:
Теорема Польке – Шварца:
3 отрезка произвольной длины, лежащие в одной плоскости и выходящие из одной точки под произвольными углами друг к другу, представляют собой //-ую проекцию 3-х равных отрезков, отложенных на осях прямоугольной системы координат от её начала.
Стандартизовано 5 видов аксонометрических проекций. ГОСТ 2.317-69.
5. Комплексный чертёж (Метод Монжа): общие представления.
Источник
Проекции, полученные при центральном и параллельном проецировании, обладают рядом свойств.
Проекция точки есть точка. При заданном центре Р (.или направлении S) проецированию любой точки А пространства соответствует иа плоскости проекций п’ единственная точка А’. При этом проекция точки В, лежащей в плоскости проекций, совпадает с самой точкой (см. рис. 43).
Проекция прямой есть прямая. На рис. 46 лучи, проецирующие прямую т, создают плоскость S, которая пересекает плоскость проекций п’ по линии m’, являющейся проекцией на плоскость n’; S ~ т; S п п = т’. Проекция прямой определена, если известны проекции хотя бы двух ее точек (рис. 49). Если в пространстве прямая параллельна плоскости проекции п’, то ее проекция параллельна самой прямой (рис. 50). При этом при центральном проецировании проекции отрезков пропорциональны самим отрезкам, а при параллельном — равны им.
Рис. 49
При параллельном проецировании сохраняется отношение величин отрезков прямой и их проекций (рис. 51):
АВ/ВС = А’В’/В’С.
При параллельном проецировании проекции параллельных прямых есть прямые параллельные (рис. 52). Если прямые т и п в пространстве параллельны, то и проецирующие их плоскости Sm и Sn тоже будут параллельны. При пересечении их с плоскостью проекций п’ получаем т’|| п’.
Проекцией плоскости является плоскость проекций. Плоскость состоит из бесконечного множества точек. При проецировании этого множества проецирующие лучи заполняют все пространство, а
Рис. 50
Рис. 51
Рис. 52
Рис. 53
их точки пересечения с плоскостью проекций п’ — всю плоскость проекций.
Так как положение любой плоскости в пространстве определяется тремя ее точками, не лежащими на одной прямой, то проекция трех таких точек плоскости (рис. 53, а) устанавливает однозначное соответствие между проецирующей плоскостью и плоскостью проекций n’, которое позволяет определить проекции (рис. 53, б) любой точки D или прямой этой плоскости.
Если плоскость параллельна плоскости проекций, то проекции ее плоских фигур при центральном проецировании подобны самим фигурам (рис. 54, а), а при параллельном — равны им (рис. 54,6).
Рис. 54
Рис. 55
Рис. 56
Рис. 57
Если плоскость угла параллельна плоскости проекций, величина проекции угла и при центральном, и при параллельном проецировании равна натуральной величине. На рис. 54, a угол ABC = уголA’B’C’, так как АВС бесконечность А’В’С’, а на рис. 54, б угол ABC = углу А’В’С’, так как АВС = А’В’С’.
При параллельном проецировании проекции фигуры не изменяется при параллельном переносе плоскости j проекций (рис. 55).
Прямые и плоскости (поверхности) могут занимать в пространстве проецирующее положение, если с ними совпадают проецирующие лучи. При центральном проецировании это прямые и плоскости, проходящие через центр проекций, пирамидальные и конические поверхности, у которых вершины совпадают с центром проецирования (рис. 56). При параллельном проецировании — это прямые и плоскости, параллельные направлению проецирования, призматические и цилиндрические поверхности, ребра и образующие которых параллельны направлению проецирования (рис. 57).
Все эти геометрические фигуры можно рассматривать состоящими из проецирующих лучей, каждый из которых изображается точкой. Отсюда следует, что проекциями прямых, плоскостей, поверхностей, занимающих проецирующее положение, есть точки или линии их пересечения с плоскостью проекций («вырожденные» проекции).
Источник
У этого термина существуют и другие значения, см. Проекция.
Проекция (лат. projectio — «выбрасывание вперёд»)
- изображение трёхмерной фигуры на так называемой картинной (проекционной) плоскости способом, представляющим собой геометрическую идеализацию оптических механизмов зрения, фотографии, камеры-обскуры. Термин проекция в этом контексте также означает метод построения такого изображения и технические приёмы, в основе которых лежит этот метод. Широко применяется в инженерной графике, архитектуре, живописи и картографии. Изучением методов построения проекций как инженерная дисциплина занимается начертательная геометрия.
- обобщение проекции в первом смысле (точнее — её разновидности — параллельной проекции) для отображения точек, фигур, векторов пространства любой размерности на его подпространство любой размерности, например, кроме проекции точек трёхмерного пространства на плоскость, это может быть проекция точек трёхмерного пространства на прямую, точек плоскости на прямую, точек 7-мерного пространства на его 4-мерное подпространство и т. п., а также проекция вектора на любое подпространство исходного пространства, и в особенности, как особенно важный частный случай, на прямую или на направление. Проекция в этом смысле находит широкое применение в отношении векторов (как в элементарном контексте, так и в абстрактном), при использовании декартовых координат и т. п.
Общее определение[править | править код]
Отображение из пространства в себя называется проекцией, если , то есть при повторном применении отображения результат не изменяется: .
Проекция из трёхмерного пространства на плоскость[править | править код]
Проекционный метод изображения предметов основан на их зрительном представлении. Если соединить все точки предмета прямыми линиями (проекционными лучами) с постоянной точкой О (центр проекции), в которой предполагается глаз наблюдателя, то на пересечении этих лучей с какой-либо плоскостью получается проекция всех точек предмета. Таким образом получаем на плоскости перспективное изображение предмета или центральную проекцию.
Если центр проекции бесконечно удалён от картинной плоскости, то говорят о параллельной проекции; при этом, если проекционные лучи падают перпендикулярно к плоскости — то об ортогональной проекции, а если наклонно — о косоугольной проекции.
Если плоскость проекции не параллельна ни одной из координатных плоскостей — это аксонометрическая проекция.
- При любом виде проекции отрезок прямой переходит в отрезок прямой (в вырожденном случае — когда отрезок лежит на проекционном луче — в точку); прямая может перейти в прямую или в луч.
- Это свойство заметно упрощает приложение проекции в изобразительных целях, особенно в техническом черчении, когда объект содержит много прямолинейных элементов. В последнем случае достаточно спроецировать концы отрезков и соединить их на чертеже прямыми.
- Эллипс или окружность переходят в эллипс (в вырожденном случае — в отрезок или окружность).
Проекция из произвольного пространства на его подпространство[править | править код]
Проекция в этом смысле (упомянутая во введении в пункте 2) — широко применяется в линейной алгебре (подробнее, см.: Проекция (линейная алгебра)), но на практике не только в достаточно абстрактных контекстах, но и при работе с векторами любой природы, размерности и степени абстракции, и даже в элементарной геометрии, а также — очень широко — при использовании прямолинейных координат (как прямоугольных или аффинных).
Отдельно следует упомянуть проекцию точки на прямую и проекцию вектора на прямую (на направление).
Ортогональная проекция на прямую и на направление[править | править код]
Чаще всего используется ортогональная проекция.
Ортогональная проекция точек на прямую
Термин проекция в этом смысле употребляется и в отношении самой операции проецирования, и в отношении её результата (при операции проецирования на прямую образы точки, вектора, множества точек называются проекцией точки, вектора, множества точек на эту прямую).
Элементарное описание ортогональной проекции точки на прямую сводится к тому, что из точки на прямую следует опустить перпендикуляр, и его пересечение с прямой даст образ точки (проекцию точки на эту прямую). Это определение работает и на плоскости, и в трёхмерном пространстве, и в пространстве любой размерности.
Элементарное определение проекции вектора на прямую легче всего дать, представив вектор направленным отрезком. Тогда на прямую можно спроецировать его начало и его конец, и направленный отрезок от проекции начала к проекции конца исходного вектора даст его проекцию на прямую.
Проекцией вектора на некоторое направление обычно называют число, совпадающее по абсолютной величине с длиной проекции этого вектора на прямую, определяющую это направление; знак же числа выбирается так, что оно считается положительным, когда направление этой проекции совпадает с данным направлением, и отрицательным, когда направление противоположно.
Неортогональная проекция на прямую и на направление[править | править код]
Неортогональная проекция используется реже, к тому же даже при использовании, особенно в элементарных контекстах, этот термин не всегда используется.
Преобразование T является косоугольной проекцией вдоль k на прямую m. U=m и V=k
Проще всего неортогональную проекцию на прямую можно задать, задав саму эту прямую и плоскость (в двумерном случае — вместо плоскости другую прямую, в случае n-мерного пространства — гиперплоскость размерности (n-1)), пересекающую прямую. Проекция точки определяется как пересечение плоскости (гиперплоскости), содержащей эту точку и параллельную плоскости, задающей проекцию.
В случае, когда плоскость (гиперплоскость), задающая проекцию, ортогональна прямой, мы получаем ортогональную проекцию (это может быть её альтернативным определением). Поэтому собственно для неортогональной проекции надо потребовать, чтобы эта ортогональность отсутствовала.
Для неортогональной проекции вектора на прямую и на направление определения получаются, исходя из приведённого определения проекции точки, прямо аналогично тому, как это было описано в параграфе об ортогональной проекции.
- Надо, правда, иметь в виду, что по умолчанию под проекцией вектора на прямую или на направление понимается всё же ортогональная проекция.
Тем не менее понятие неортогонального проецирования может быть полезным (по крайней мере, если не бояться терминологической путаницы) для введения косоугольных координат и работы с ними (через них может быть в принципе довольно легко определено понятие координат точки и координат вектора в этом случае).
См. также[править | править код]
- Проектор (математика)
Ссылки[править | править код]
- Проекция // Малый энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 4 т. — СПб., 1907—1909.
- Проекция — статья из Большой советской энциклопедии.
- Проекционный аппарат, Фотоувеличитель, Проекционное печатание, Кинопроекционный аппарат // Фотокинотехника: Энциклопедия / Гл. ред. Е. А. Иофис. — М.: Советская энциклопедия, 1981. — 447 с.
Источник