Какие свойства сложения и умножения выражают записанные равенства
- Переместительное свойство умножения
- Сочетательное свойство умножения
- Распределительное свойство умножения
Переместительное свойство умножения
От перестановки сомножителей местами произведение не меняется.
Следовательно, для любых чисел a и b верно равенство:
a · b = b · a,
выражающее переместительное свойство умножения.
Примеры:
6 · 7 = 7 · 6 = 42;
4 · 2 · 3 = 3 · 2 · 4 = 24.
Обратите внимание, что данное свойство можно применять и к произведениям, в которых более двух множителей.
Сочетательное свойство умножения
Результат умножения трёх и более множителей не изменится, если какую-либо группу множителей заменить их произведением.
Следовательно, для любых чисел a, b и c верно равенство:
a · b · c = (a · b) · c = a · (b · c),
выражающее сочетательное свойство умножения.
Пример:
3 · 2 · 5 = 3 · (2 · 5) = 3 · 10 = 30
или
3 · 2 · 5 = (3 · 2) · 5 = 6 · 5 = 30.
Сочетательное свойство используется для удобства и упрощения вычислений при умножении. Например:
25 · 15 · 4 = (25 · 4) · 15 = 100 · 15 = 1500.
В данном случае можно было вычислить всё последовательно:
25 · 15 · 4 = (25 · 15) · 4 = 375 · 4 = 1500,
но проще и легче сначала умножить 25 на 4 и получить 100, а уже потом умножить 100 на 15.
Распределительное свойство умножения
Сначала рассмотрим распределительное свойство умножения относительно сложения:
Чтобы число умножить на сумму чисел, можно это число умножить отдельно на каждое слагаемое и полученные произведения сложить.
Следовательно, для любых чисел a, b и m верно равенство:
m · (a + b) = m · a + m · b,
выражающее распределительное свойство умножения.
Так как в данном случае число и сумма являются множителями, то, поменяв их местами, используя переместительное свойство, можно сформулировать распределительное свойство так:
Чтобы сумму чисел умножить на число, можно каждое слагаемое отдельно умножить на это число и полученные произведения сложить.
Следовательно, для любых чисел a, b и m верно равенство:
(a + b) · m = a · m + b · m.
Теперь рассмотрим распределительное свойство умножения относительно вычитания:
Чтобы число умножить на разность чисел, можно это число умножить отдельно на уменьшаемое и вычитаемое и из первого полученного произведения вычесть второе.
Следовательно, для любых чисел a, b и m верно равенство:
m · (a – b) = m · a – m · b.
Так как в данном случае число и разность являются множителями, то поменяв их местами, используя переместительное свойство, можно сформулировать распределительное свойство так:
Чтобы разность чисел умножить на число, можно уменьшаемое и вычитаемое отдельно умножить на это число и из первого полученного произведения вычесть второе.
Следовательно, для любых чисел a, b и m верно равенство:
(a – b) · m = a · m – b · m.
Переход от умножения:
m · (a + b) и m · (a – b)
соответственно к сложению и вычитанию:
m · a + m · b и m · a – m · b
называется раскрытием скобок.
Переход от сложения и вычитания:
m · a + m · b и m · a – m · b
к умножению:
m · (a + b) и m · (a – b)
называется вынесением общего множителя за скобки.
Источник
Умножение, сложение, вычитание и деление – основные операции с целыми числами. Результаты этих операций с любыми целыми числами обладают рядом характеристик. Иначе говоря, операции умножения, сложения, вычитания и деления целых чисел обладают свойствами. Данная статья посвящена рассмотрению основных свойств умножения, сложения, вычитания и деления целых чисел.
Сложение целых чисел. Основные свойства
Все свойства сложения натуральных чисел оказываются справедливы и для целых чисел. Ведь множество целых чисел ℤ включает в себя множество натуральных чисел ℕ. Приведем ниже основные свойства сложения.
Коммутативное свойство сложения
Переместительное (коммутативное свойство) или переместительный закон.
От перемены мест слагаемых сумма не меняется.
a+b=b+a
Согласно этому свойству, справедливо равенство:
35+251=251+35
Свойство коммутативности работает вне зависимости от знака.
-528+3700=3700+-528
Ассоциативное свойство сложения
Сочетательное (ассоциативное свойство) или сочетательный закон.
Сложение целого числа с суммой двух целых чисел эквивалентно сложению суммы двух первых чисел с третьим.
a+b+c=a+b+c
Примечание: данное свойство применимо и для большего количества слагаемых.
Вот несколько примеров. Согласно свойству ассоциативности справедливы равенства:
64+81+(-49)=64+81+(-49)=64+81+(-49);
(128+(-75))+96=128+((-75)+96).
Свойства сложения, связанные с числом 0
1. Число нуль – нейтральный по сложению элемент.
Прибавление нуля к любому целому числу не меняет этого числа.
a+0=a
2. Сумма любого целого числа и противоположного ему числа равна нулю.
a+(-a)=0
Умножение целых чисел. Основные свойства
Как и в случае со сложением, все свойства умножения натуральных чисел переносятся на целые числа.
Для умножения также действуют переместительный и сочетательный (коммутативный и ассоциативный) законы.
Переместительное свойство умножения
От перемены мест множителей произведение не меняется.
a·b=b·a
Приведем пример. Очевидно, что произведение целых чисел 2·3 эквивалентно произведению 3·2.
Сочетательное свойство умножения
Сочетательное свойство для умножения эквивалентно сочетательному свойству сложения. В буквенном виже оно записывается следующим образом:
a·(b·c)=(a·b)·c
a, b, c – произвольные целые числа.
Примечание: данное свойство применимо и для большего количества множителей.
В соответствии с этим свойством можно говорить о справедливости следующих равенств:
-12·3·8=-12·3·8;
119·((-251)·36)=(119·(-251))·36.
Умножение числа на нуль
Результатом умножения любого целого числа на нуль является число нуль.
a·0=0
Справедливо и обратное: произведение двух целых чисел a и b равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.
a·b=0 если a=0 или b=0.
Умножение числа на единицу
Умножение любого целого числа на единицу дает в результате это число. Иными словами, умножение на единицу не изменяет умножаемое число.
a·1=a
Распределительное свойство умножения относительно суммы.
Произведение целого числа a на сумму двух чисел b и c равно сумме произведений a·b и a·c.
a·(b+c)=a·b+a·c
Данное свойство часто используется при упрощении выражений, одновременно содержащих как операции сложения, так и умножения.
В совокупности с ассоциативным свойством и распределительным законом можно легко расписать произведение целого числа на сумму из более чем трех слагаемых, а также произведение сумм.
Вычитание целых чисел. Основные свойства
Вычитание – действие, обратное сложению. Число c является разностью двух чисел a и b тогда, когда сумма b+c равна a. Можно сказать, что разность чисел a и b – это сумма чисел a и -b. Свойства вычитания являются следствием свойств сложения и умножения.
Основные свойства вычитания
- Вычитание чисел не обладает переместительным свойством за исключением случая, когда a=b. a-b≠b-a.
- Разность целых чисел, равных друг другу: a-a=0.
- Вычитание суммы двух чисел из другого числа: a-(b+c)=a-b-c.
- Вычитание целого числа из суммы: a+b-c=a-c+b=a+(b-c).
- Распределительное свойство умножения относительно вычитания: a·(b-c)=a·b-a·c.
Деление целых чисел. Основные свойства
Деление – операция, обратная умножению. Число c называется частным от деления чисел a и b, когда произведение b·c равно a. Запишем основные свойства деления целых чисел.
Основные свойства деления
- Деление на нуль невозможно.
- Деление нуля на число: 0a=0.
- Деление равных чисел: aa=1.
- Деление на единицу: a1=a.
- Для деления переместительное свойства не выполняется: ab≠ba.
- Деление суммы и разности на число: a±bc=ac±bc.
- Деление произведения на число: a·bc=ac·b, если a делится на c; a·bc=a·bс, если b делится на c; a·bc=a·bс=ac·b, если a и b делятся на c.
- Деление числа на произведение: ab·c=ab·1c=ac·1b.
Источник
Сочетай, перемещай, свойства действий
узнавай
Напомним известные уже из арифметики главнейшие свойства действий сложения, вычитания, умножения и деления, так
как этими свойствами придется часто пользоваться и в алгебре.
Свойства сложения
Переместительный закон сложения
Сумма не изменяется от перестановки слагаемых .
Пример:
3 + 8 = 8 + 3; 5 + 2 + 4 = 2 + 5 + 4 = 4 + 2 + 5.
В общем случае:
a+b=b+a
a+b+c=c+a+b
Стоит иметь ввиду, что число слагаемых может быть и более трёх.
Сочетательный закон сложения
Сумма нескольких слагаемых не изменится, если какие-нибудь из них заменить их суммой .
Пример:
3 + 5 + 7 = 3 + (5 + 7) = 3 + 12 = 15;
4 + 7+11+6 + 5 = 7 +(4+ 5)+ (11+6) = 7 + 9+17 = 33.
В общем случае:
а + b + с = а+(b + с) = b+(а + с) и т. п.
Иногда этот закон выражают так: слагаемые можно соединять в какие угодно группы.
Чтобы прибавить к какому-либо числу сумму нескольких чисел, можно прибавить отдельно каждое слагаемое одно за другим.
Пример:
5 + (7 + 3) = (5 + 7) + 3 = 12 + 3 = 15.
В общем случае:
a+(b+c+d+…+x)=a+b+c+d+…+x
Свойства вычитания
Свойство вычитания суммы из числа
Чтобы вычесть из какого-нибудь числа сумму нескольких чисел, можно вычесть отдельно каждое слагаемое одно за другим.
Например:
20 — (5+ 8) = (20 — 5) — 8 = 15 — 8 = 7.
В общем случае:
а — (b + с + d+ …) = а — Ь — с — d — …
Свойство сложения разности чисел
Чтобы прибавить разность двух чисел, можно прибавить уменьшаемое и затем вычесть вычитаемое.
Пример:
8 + (11-5) = 8+ 11 -5= 14.
В общем случае:
а + (b — с) = а + Ь — с.
Свойство вычитания разности из числа
Чтобы вычесть разность, можно сначала прибавить вычитаемое и затем вычесть уменьшаемое.
Например:
18-(9-5) = 18 + 5-9= 14.
Вообще:
а — (Ь — с) = а + с — b.
Свойства умножения
Переместительный закон умножения
Произведение не изменится от перестановки сомножителей .
Так:
4·5 = 5·4; 3·2·5 = 2·3·5 = 5·3·2.
Вообще:
a*b = b*a; abc… =b*а*с*… = c*b*a* …
Сочетательный закон умножения
Произведение нескольких сомножителей не изменится, если какие-нибудь из них заменить их произведением .
Так:
7*3*5 = 5*(3*7) = 5*21 = 105.
Вообще:
abc = а(bс) = b(ас) и т. п.
Умножение числа на произведение чисел
Чтобы умножить какое-либо число на произведение нескольких сомножителей, можно умножить это число на
первый сомножитель, полученный результат умножить на второй сомножитель и т. д.
Так:
3*(5*4) = (3*5)*4= 15*4 = 60.
Вообще:
a•(bcd…) = {[(a·b)•c]•d}…
Чтобы умножить произведение нескольких сомножителей на какое-либо число, можно умножить на это число один
из сомножителей, оставив другие без изменения.
Так:
3 • 2 • 5 • 3 = (3 • 3) • 2 • 5 = 3 • (2 • 3) • 5 = 3 • 2 • (5 • 3).
Вообще:
(abc.. )m = (аm)bс… = а(bm)с… и т. п.
Умножение числа на сумму чисел
Чтобы умножить сумму на какое-либо число, можно каждое слагаемое умножить на это число и полученные ре-
результаты сложить.
Так:
(5 + 3)·7 = 5·7 + 3·7.
Вообще:
(а + b + с + .. .)n = an + bn + cn + …
В силу переместительного закона умножения это же свойство можно выразить так: чтобы умножить какое-либо число на
сумму нескольких чисел, можно умножить это число на каждое слагаемое отдельно и полученные результаты сложить.
Так:
5·(4 + 6) = 5·4 + 5·6.
Вообще:
r·(а + Ь + с +…) = rа + rb + rс + …
Это свойство называется распределительным законом умножения, так как умножение, производимое над суммой, распределяется на каждое слагаемое в отдельности.
Распределительный закон умножения для разности чисел
Распределительный закон можно применять и к разности.
Так:
(8 — 5) • 4 = 8 • 4 — 5 • 4;
7 • (9 — 6) = 7 • 9 — 7 • 6.
Вообще:
(а — b)с = ас — bc,
а(b — с) = ab — ас,
т. е. чтобы умножить разность на какое-либо число, можно умножить на это число отдельно уменьшаемое и вычитаемое
и из первого результата вычесть второй; чтобы умножить какое-либо число на разность, можно это число умножить
отдельно на уменьшаемое и вычитаемое и из первого результата вычесть второй.
Свойства деления
Деление суммы на число
Чтобы разделить сумму на какое-либо число, можно разделить на это число каждое слагаемое отдельно и полученные результаты сложить:
Например:
(30+12+5)/3=30/3+12/3+5/3
Вообще:
(a+b+c+…+v)/m= (a/m)+(b/m)+(c/m)+…(v/m)
Деление разности на число
Чтобы разделить разность на какое-либо число, можно разделить на это число отдельно уменьшаемое и вычитаемое
и из первого результата вычесть второй:
(20-8)/5= 20/5 — 8/5
Вообще:
(a-b)/c = (a/c) -(b/c)
Деление произведения на число
Чтобы разделить произведение нескольких сомножителей на какое-либо число, можно разделить на это число один
из сомножителей, оставив другие без изменения:
(40 • 12 • 8) : 4 = (40:4) • 12 • 8 = 10 • 12 • 8 = 40 • 12 • 2.
Вообще:
(a·b·c…) : t = (а : t)bс… = а(b : t)с… и т. д.
Деление числа на произведение
Чтобы разделить какое-либо число на произведение нескольких сомножителей, можно разделить это число на
первый сомножитель, полученный результат разделить на второй сомножитель и т.д.:
120 : (12 • 5 • 3) = [(120 : 2) : 5] : 3 = (60 : 5) : 3 = 12 : 3 = 4.
Вообще:
а : (bcd …) = [(а : b) : с] : d… и т. п.
Укажем еще следующее свойство деления:
Если делимое и делитель умножим (или разделим) на одно и то же число, то частное не изменится.
Поясним это свойство на следующих двух примерах:
1)8:3 = 8/3|,
умножим делимое и делитель, положим, на 5; тогда получим
новое частное: (8*5)/(3*5)
которое по сокращении дроби на 5 даст прежнее частное — 8/3
Вообще, какие бы числа a, b и m ни были, всегда
(am) : (bm) = а : b, что можно написать и так:
am/bm= a/b
Если частное не изменяется от умножения делимого и делителя на одно и то же число, то оно не изменяется и от деления делимого и делителя на одно и то же число, так как деление на какое-нибудь число равносильно умножению на обратное число.
Комментирование и размещение ссылок запрещено.
Источник
Содержание:
- Свойства сложения и умножения.
Свойства сложения и умножения.
Свойства сложения и умножения. Следуя характеристикам I, II, III, рассмотрим некоторые характеристики сложения и умножения. Во-первых, операция сложения имеет обратную операцию-вычитание; определите ее. Для упорядоченной пары чисел a∈K и b∈K число a +(b) называется разностью между числами a и b, обозначаемой через a-B. В том случае, если вы добавите число-b к обеим сторонам этого уравнения, вы получите (a + b)+ (b)= c + (b). Итак, согласно определению ассоциативного метода 12 и разности、 a +(b +(b))= c-b, но b +(b)= 0; таким образом а = с-б. (2.3） Итак, после добавления числа b к числу a, число a восстанавливается путем вычитания числа b из суммы a + B. So, операция вычитания называется обратной операцией сложения. Далее обратимся к свойствам сложения и умножения действительных чисел. 10.Числа с нулевыми свойствами уникальны. На самом деле, я предполагаю, что есть 2 нуля 0 и 0’.Затем мимо 13.0 ′+ 0 = 0’、0 + 0 ’=0.
Согласно коммутативному методу 12, левая сторона этих равенств равна, и поэтому правая сторона равна, то есть 0 = 0′.
Людмила Фирмаль
- Я не уверен. 20.Противоположное число уникально. Пусть числа b и c противоположны числу a, то есть a + b = 0 и a + c = 0.Из первого равенства мы можем сказать, что (a + b)+ c = 0 + c, то есть (a + B)+ c = c, откуда (a + c)+ b = c; однако a + c = 0;следовательно, b = c. я не уверен. 3°.Для любого числа a уравнение -(-ля. Из-за коммутативности сложения получаем (a)+ a = 0 из равенства a +(a)= 0, которое определяет обратное element. It означает a =(a). Я не уверен. 40.Для любого числа a равенство а-а = 0. На самом деле, a-a = a +(-a)= 0.Я не уверен. 40-А-Б = & А + Б）、 То есть, противоположность суммы 2 чисел будет равна сумме этих противоположных чисел. На самом деле, А + Б +(А-Б)=(А-А)+(Б-б)=0.Я не уверен. 60.Уравнение a + x = b имеет решение K, кроме того, оно уникально: x = b-a. На самом деле, если есть решение, то по формуле (2.2)-(2.3), x = b-a. это доказывает единственность решения уравнения a + x = b. для существования решения достаточно проверить, что численное значение x = b a равно solution. It действительно есть. a +(b-a)= a + [b +(-a)] = [a +(-a)] + b = B. Я не уверен.
Операции умножения также имеют обратную операцию. Это называется делением и определяется как: Упорядоченные пары чисел a и b, bΦ0, число Разделите a•a на b, называемое частное, представленное b через a, или / b, или a. B, я имею в виду О любых числах a и b、 Один Б описание частного (или / B) A и B в B называется дробь числитель и знаменатель б. Свойства, подобные свойствам сложения от 10 до 60, также полезны для операций умножения. 7°.Числа с характеристиками единства уникальны. 80.Обратная величина некоторого ненулевого числа уникальна. 90.Произвольное числовое aΦ0, уравнение Сорок один 10°.Произвольное числовое aΦ0, уравнение а = 1. Но… 11.Для любых чисел aΦ0 и bΦ0 существует уравнение 11 = 1_a б б ’ То есть реципрокность произведения ненулевых чисел равна произведению их реципрокности. 12°.Уравнения ax = b и Φ0 имеют вид、 Число витальности^ x, плюс единственное решение x = B. Свойство 70-120 доказано так же, как свойство 10-60. 130.Равенство b = _, bΦ0 и Φ0 справедливо только для a_ = bc.
Эти операции позволяют определять натуральные числа, целые числа и рациональные числа, операции, которые увеличиваются до целых степеней, и операции, которые извлекают маршруты.
Людмила Фирмаль
- Следствие (основное свойство дробей).Равны, независимо от количества дробей A / b, bΦ0 и Φ0 а = а. Bj. Фактически, если вы умножите обе стороны равенства a / b = c / _by b_ и используете определение деления, вы получите цепочку уравнений равенства равенства: а = «» за что = » _b » в•1, что = С1 _ Б «ох = КБ. Я не уверен. Б А Б А Б А Б А Б а Все рассмотренные свойства 10-130 относятся только к операциям сложения и умножения. Давай попробуем. Число 1 + 1 обозначается цифрой 2, а число 2 + 1-цифрой 3.Числа 1, 2, 3,…называются натуральными числами. Их обозначения и названия соответствуют количеству элементов в системе. Конечное множество (см.§ 1.3).Это не так accidental. To получаем положительное целое число n в новом смысле, нужен конечный набор единиц, то есть Добавьте элемент с тем же символом n в § 1.3 (см. (1.4)). кроме того, отношения упорядочения, введенные в множестве натуральных чисел (см.§ 1.3), совпадают с порядком этого множества по порядку множества всех вещественных чисел (см. свойство IV в§ 2.1). сразу после n есть n + 1.As уже упоминалось, что множество натуральных чисел обозначается Н. Как было доказано выше, единица уникальна, но вы можете вообще рассматривать несколько экземпляров единицы(и несколько экземпляров любого элемента в наборе) только в том случае, если вы пишете Формулу 1 + 1. Число 0,±1
Смотрите также:
Предмет математический анализ
Источник
Инфоурок
›
Начальные классы
›Презентации›Презентация по математике на тему” 2 урок Свойства сложения и умножения “4 класс
Описание презентации по отдельным слайдам:
1 слайд
Описание слайда:
Всё в наших руках
2 слайд
Описание слайда:
Занимательная математика Устный счет
3 слайд
4 слайд
Описание слайда:
Высота лошади 1 м 6 дм, а верблюда – на 6 дм выше. Выразите высоту верблюда в сантиметрах.
5 слайд
Описание слайда:
Кит достигает в весе 150 000 кг. Сколько тонн весит кит?
6 слайд
Описание слайда:
Прыжок дельфина составляет 680 см. Выразите высоту прыжка в метрах и сантиметрах.
7 слайд
Описание слайда:
Размах крыльев у кондора 275 см. Сколько это метров, дециметров и сантиметров?
8 слайд
Описание слайда:
Рост слона 3 м 5 дм, а жираф на 8 дм выше. Найдите рост жирафа.
9 слайд
Описание слайда:
Из данных величин составь сумму и разность, значения которых можно вычислить. 10т 7ч 342т 360с 12г 12ч 12т 500г
10 слайд
Описание слайда:
3782 + 6753 4893+3782 4893 + 6753 6753+ 4893 3782 + 4893 6753+ 3782 = = = a + b = b + a ? свойство сложения
11 слайд
Описание слайда:
3782 + 6753 4893+3782 4893 + 6753 6753+ 4893 3782 + 4893 6753+ 3782 = = = a + b = b + a Переместительное свойство сложения
12 слайд
Описание слайда:
Найдите значение выражения: 34 56 12 90 102 + + = ( ) + + 12 34 56 a + ( b + c) = ( a + b ) + c ?свойство сложения назад
13 слайд
Описание слайда:
Найдите значение выражения: 34 56 12 90 102 + + = ( ) + + 12 34 56 a + ( b + c) = ( a + b ) + c Сочетательное свойство сложения назад
14 слайд
Описание слайда:
? свойство умножения а • ( b • c) = ( a • b ) • c 11*(3*2)=(11*3)*2
15 слайд
Описание слайда:
Сочетательное свойство умножения а • ( b • c) = ( a • b ) • c 11*(3*2)=(11*3)*2
16 слайд
17 слайд
Описание слайда:
Тема урока: Сочетательные свойства сложения и умножения
18 слайд
19 слайд
Описание слайда:
Всё в наших руках
20 слайд
Описание слайда:
а • b = b • a а • ( b • c) = ( a • b ) • c 5• ( 37 • 2) = ( 5 • 2) • 37 = 370 20 • 17 • 2 • 5 = ( 20 • 5) • (17 • 2) = 3400 а + b = b + a a + ( b + c) = ( a + b ) + c 33 + 15 + 45 + 17 = 60 +50 = 110
21 слайд
Описание слайда:
Я научился … Я узнал о … Я смогу … Мне пригодится …
Выберите книгу со скидкой:
БОЛЕЕ 58 000 КНИГ И ШИРОКИЙ ВЫБОР КАНЦТОВАРОВ! ИНФОЛАВКА
Инфолавка – книжный магазин для педагогов и родителей от проекта «Инфоурок»
Курс повышения квалификации
Курс профессиональной переподготовки
Учитель начальных классов
Курс повышения квалификации
Найдите материал к любому уроку,
указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
также Вы можете выбрать тип материала:
Общая информация
Номер материала:
ДБ-1551453
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Источник