Какие свойства сложения и умножения

Умножение, сложение, вычитание и деление – основные операции с целыми числами. Результаты этих операций с любыми целыми числами обладают рядом характеристик. Иначе говоря, операции умножения, сложения, вычитания и деления целых чисел обладают свойствами. Данная статья посвящена рассмотрению основных свойств умножения, сложения, вычитания и деления целых чисел.

Сложение целых чисел. Основные свойства

Все свойства сложения натуральных чисел оказываются справедливы и для целых чисел. Ведь множество целых чисел ℤ включает в себя множество натуральных чисел ℕ. Приведем ниже основные свойства сложения.

Коммутативное свойство сложения

Переместительное (коммутативное свойство) или переместительный закон.

От перемены мест слагаемых сумма не меняется

a+b=b+a

 Согласно этому свойству, справедливо равенство:

35+251=251+35

Свойство коммутативности работает вне зависимости от знака.

-528+3700=3700+-528

Ассоциативное свойство сложения

Сочетательное (ассоциативное свойство) или сочетательный закон. 

Сложение целого числа с суммой двух целых чисел эквивалентно сложению суммы двух первых чисел с третьим.

a+b+c=a+b+c

Примечание: данное свойство применимо и для большего количества слагаемых.

Вот несколько примеров. Согласно свойству ассоциативности справедливы равенства:

64+81+(-49)=64+81+(-49)=64+81+(-49);

(128+(-75))+96=128+((-75)+96).

Свойства сложения, связанные с числом 0

1. Число нуль – нейтральный по сложению элемент.

Прибавление нуля к любому целому числу не меняет этого числа.

a+0=a

2. Сумма любого целого числа и противоположного ему числа равна нулю.

a+(-a)=0

Умножение целых чисел. Основные свойства

Как и в случае со сложением, все свойства умножения натуральных чисел переносятся на целые числа.

Для умножения также действуют переместительный и сочетательный (коммутативный и ассоциативный) законы.

Переместительное свойство умножения

От перемены мест множителей произведение не меняется.

a·b=b·a

Приведем пример. Очевидно, что произведение целых чисел 2·3 эквивалентно произведению 3·2.

Сочетательное свойство умножения

Сочетательное свойство для умножения эквивалентно сочетательному свойству сложения. В буквенном виже оно записывается следующим образом:

a·(b·c)=(a·b)·c

a, b, c – произвольные целые числа.

Примечание: данное свойство применимо и для большего количества множителей.

В соответствии с этим свойством можно говорить о справедливости следующих равенств:

-12·3·8=-12·3·8;

119·((-251)·36)=(119·(-251))·36.

Умножение числа на нуль

Результатом умножения любого целого числа на нуль является число нуль.

a·0=0

Справедливо и обратное: произведение двух целых чисел a и b равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

a·b=0 если a=0 или b=0.

Умножение числа на единицу

Умножение любого целого числа на единицу дает в результате это число. Иными словами, умножение на единицу не изменяет умножаемое число.

a·1=a

Распределительное свойство умножения относительно суммы.

Произведение целого числа a на сумму двух чисел b и c равно сумме произведений a·b и a·c.

a·(b+c)=a·b+a·c

Данное свойство часто используется при упрощении выражений, одновременно содержащих как операции сложения, так и умножения.

В совокупности с ассоциативным свойством и распределительным законом можно легко расписать произведение целого числа на сумму из более чем трех слагаемых, а также произведение сумм.

Вычитание целых чисел. Основные свойства

Вычитание – действие, обратное сложению. Число c является разностью двух чисел a и b тогда, когда сумма b+c равна a. Можно сказать, что разность чисел a и b – это сумма чисел a и -b. Свойства вычитания являются следствием свойств сложения и умножения.

Основные свойства вычитания

  1. Вычитание чисел не обладает переместительным свойством за исключением случая, когда a=b. a-b≠b-a.
  2. Разность целых чисел, равных друг другу: a-a=0.
  3. Вычитание суммы двух чисел из другого числа: a-(b+c)=a-b-c.
  4. Вычитание целого числа из суммы: a+b-c=a-c+b=a+(b-c).
  5. Распределительное свойство умножения относительно вычитания: a·(b-c)=a·b-a·c.

Деление целых чисел. Основные свойства

Деление – операция, обратная умножению. Число c называется частным от деления чисел a и b, когда произведение b·c равно a. Запишем основные свойства деления целых чисел.

Основные свойства деления

  1. Деление на нуль невозможно.
  2. Деление нуля на число: 0a=0.
  3. Деление равных чисел: aa=1.
  4. Деление на единицу: a1=a.
  5. Для деления переместительное свойства не выполняется: ab≠ba.
  6. Деление суммы и разности на число: a±bc=ac±bc.
  7. Деление произведения на число: a·bc=ac·b, если a делится на c; a·bc=a·bс, если b делится на c; a·bc=a·bс=ac·b, если a и b делятся на c.
  8. Деление числа на произведение: ab·c=ab·1c=ac·1b.

Источник

  • Переместительное свойство умножения
  • Сочетательное свойство умножения
  • Распределительное свойство умножения

Переместительное свойство умножения

От перестановки сомножителей местами произведение не меняется.

Следовательно, для любых чисел  a  и  b  верно равенство:

a · b = b · a,

выражающее переместительное свойство умножения.

Примеры:

6 · 7 = 7 · 6 = 42;

4 · 2 · 3 = 3 · 2 · 4 = 24.

Обратите внимание, что данное свойство можно применять и к произведениям, в которых более двух множителей.

Сочетательное свойство умножения

Результат умножения трёх и более множителей не изменится, если какую-либо группу множителей заменить их произведением.

Следовательно, для любых чисел  ab  и  c  верно равенство:

a · b · c = (a · b) · c = a · (b · c),

выражающее сочетательное свойство умножения.

Пример:

3 · 2 · 5 = 3 · (2 · 5) = 3 · 10 = 30

или

3 · 2 · 5 = (3 · 2) · 5 = 6 · 5 = 30.

Сочетательное свойство используется для удобства и упрощения вычислений при умножении. Например:

25 · 15 · 4 = (25 · 4) · 15 = 100 · 15 = 1500.

В данном случае можно было вычислить всё последовательно:

25 · 15 · 4 = (25 · 15) · 4 = 375 · 4 = 1500,

но проще и легче сначала умножить  25  на  4  и получить  100,  а уже потом умножить  100  на  15.

Распределительное свойство умножения

Сначала рассмотрим распределительное свойство умножения относительно сложения:

Чтобы число умножить на сумму чисел, можно это число умножить отдельно на каждое слагаемое и полученные произведения сложить.

Следовательно, для любых чисел  ab  и  m  верно равенство:

m · (a + b) = m · a + m · b,

выражающее распределительное свойство умножения.

Так как в данном случае число и сумма являются множителями, то, поменяв их местами, используя переместительное свойство, можно сформулировать распределительное свойство так:

Чтобы сумму чисел умножить на число, можно каждое слагаемое отдельно умножить на это число и полученные произведения сложить.

Следовательно, для любых чисел  ab  и  m  верно равенство:

(a + b) · m = a · m + b · m.

Теперь рассмотрим распределительное свойство умножения относительно вычитания:

Чтобы число умножить на разность чисел, можно это число умножить отдельно на уменьшаемое и вычитаемое и из первого полученного произведения вычесть второе.

Следовательно, для любых чисел  ab  и  m  верно равенство:

m · (ab) = m · am · b.

Так как в данном случае число и разность являются множителями, то поменяв их местами, используя переместительное свойство, можно сформулировать распределительное свойство так:

Чтобы разность чисел умножить на число, можно уменьшаемое и вычитаемое отдельно умножить на это число и из первого полученного произведения вычесть второе.

Следовательно, для любых чисел  ab  и  m  верно равенство:

(ab) · m = a · mb · m.

Переход от умножения:

m · (a + b)    и    m · (ab)

соответственно к сложению и вычитанию:

m · a + m · b    и    m · am · b

называется раскрытием скобок.

Переход от сложения и вычитания:

m · a + m · b    и    m · am · b

к умножению:

m · (a + b)    и    m · (ab)

называется вынесением общего множителя за скобки.

Источник

Сочетай, перемещай, свойства действий

узнавай

Напомним известные уже из арифметики главнейшие свойства действий сложения, вычитания, умножения и деления, так
как этими свойствами придется часто пользоваться и в алгебре.

  •  Свойства сложения

Переместительный закон сложения

Сумма не изменяется от перестановки  слагаемых .

Пример:
3 + 8 = 8 + 3;  5 + 2 + 4 = 2 + 5 + 4 = 4 + 2 + 5.
В общем случае:

a+b=b+a

a+b+c=c+a+b
Стоит иметь ввиду, что число слагаемых может быть и более трёх.

Сочетательный закон сложения

Сумма нескольких слагаемых не изменится, если какие-нибудь из них заменить их суммой .

Пример:
3 + 5 + 7 = 3 + (5 + 7) = 3 + 12 = 15;
4 + 7+11+6 + 5 = 7 +(4+ 5)+ (11+6) = 7 + 9+17 = 33.
В общем случае:
а + b + с = а+(b + с) = b+(а + с) и т. п.
Иногда этот закон выражают так: слагаемые можно соединять в какие угодно группы.

Чтобы прибавить к какому-либо числу сумму нескольких чисел, можно прибавить отдельно каждое слагаемое одно за другим.

Пример:
5 + (7 + 3) = (5 + 7) + 3 = 12 + 3 = 15.
В общем случае:

a+(b+c+d+…+x)=a+b+c+d+…+x

  • Свойства вычитания

Свойство вычитания суммы из числа

Чтобы вычесть из какого-нибудь числа сумму нескольких чисел, можно вычесть отдельно каждое слагаемое одно за другим.

Например:
20 — (5+ 8) = (20 — 5) — 8 = 15 — 8 = 7.
В общем случае:
а — (b + с + d+ …) = а — Ь — с — d — …

Свойство сложения разности чисел

Чтобы прибавить разность двух чисел, можно прибавить уменьшаемое и затем вычесть вычитаемое.

Пример:
8 + (11-5) = 8+ 11 -5= 14.
В общем случае:
а + (b — с) = а + Ь — с.

Свойство вычитания разности из числа

Чтобы вычесть разность, можно сначала прибавить вычитаемое и затем вычесть уменьшаемое.

Например:
18-(9-5) = 18 + 5-9= 14.
Вообще:
а — (Ь — с) = а + с — b.

  •  Свойства умножения

Переместительный закон умножения

Произведение не изменится от перестановки сомножителей .
Так:
4·5 = 5·4; 3·2·5 = 2·3·5 = 5·3·2.
Вообще:
a*b = b*a; abc… =b*а*с*… = c*b*a* …

Сочетательный закон умножения

Произведение нескольких сомножителей не изменится, если какие-нибудь из них заменить их произведением .

Так:
7*3*5 = 5*(3*7) = 5*21 = 105.

Вообще:
abc = а(bс) = b(ас) и т. п.

Умножение числа на произведение чисел

Чтобы умножить какое-либо число на произведение нескольких сомножителей, можно умножить это число на
первый сомножитель, полученный результат умножить на второй сомножитель и т. д.

Так:
3*(5*4) = (3*5)*4= 15*4 = 60.
Вообще:
a•(bcd…) = {[(a·b)•c]•d}…
Чтобы умножить произведение нескольких сомножителей на какое-либо число, можно умножить на это число один
из сомножителей, оставив другие без изменения.

Так:
3 • 2 • 5 • 3 = (3 • 3) • 2 • 5 = 3 • (2 • 3) • 5 = 3 • 2 • (5 • 3).
Вообще:
(abc.. )m = (аm)bс… = а(bm)с… и т. п.

Умножение числа на сумму чисел

Чтобы умножить сумму на какое-либо число, можно каждое слагаемое умножить на это число и полученные ре-
результаты сложить.

Так:
(5 + 3)·7 = 5·7 + 3·7.
Вообще:
(а + b + с + .. .)n = an + bn + cn + …

В силу переместительного закона умножения это же свойство можно выразить так: чтобы умножить какое-либо число на
сумму нескольких чисел, можно умножить это число на каждое слагаемое отдельно и полученные результаты сложить.

Так:
5·(4 + 6) = 5·4 + 5·6.
Вообще:
r·(а + Ь + с +…) = rа + rb + rс + …

Это свойство называется распределительным законом умножения, так как умножение, производимое над суммой, распределяется на каждое слагаемое в отдельности.

Распределительный закон умножения для разности чисел

Распределительный закон можно применять и к разности.

Так:
(8 — 5) • 4 = 8 • 4 — 5 • 4;

7 • (9 — 6) = 7 • 9 — 7 • 6.

Вообще:
(а — b)с = ас — bc,

а(b — с) = ab — ас,
т. е. чтобы умножить разность на какое-либо число, можно умножить на это число отдельно уменьшаемое и вычитаемое
и из первого результата вычесть второй; чтобы умножить какое-либо число на разность, можно это число умножить
отдельно на уменьшаемое и вычитаемое и из первого результата вычесть второй.

  • Свойства деления

Деление суммы на число

Чтобы разделить сумму на какое-либо число, можно разделить на это число каждое слагаемое отдельно и полученные результаты сложить:

Например:

(30+12+5)/3=30/3+12/3+5/3
Вообще:
(a+b+c+…+v)/m= (a/m)+(b/m)+(c/m)+…(v/m)

Деление разности на число

Чтобы разделить разность на какое-либо число, можно разделить на это число отдельно уменьшаемое и вычитаемое
и из первого результата вычесть второй:

(20-8)/5= 20/5 — 8/5

Вообще:

(a-b)/c = (a/c) -(b/c)

Деление произведения на число

Чтобы разделить произведение нескольких сомножителей на какое-либо число, можно разделить на это число один
из сомножителей, оставив другие без изменения:

(40 • 12 • 8) : 4 = (40:4) • 12 • 8 = 10 • 12 • 8 = 40 • 12 • 2.
Вообще:

(a·b·c…) : t = (а : t)bс… = а(b : t)с… и т. д.

Деление числа на произведение

Чтобы разделить какое-либо число на произведение нескольких сомножителей, можно разделить это число на
первый сомножитель, полученный результат разделить на второй сомножитель и т.д.:

120 : (12 • 5 • 3) = [(120 : 2) : 5] : 3 = (60 : 5) : 3 = 12 : 3 = 4.

Вообще:

а : (bcd …) = [(а : b) : с] : d… и т. п.

Укажем еще следующее свойство деления:

Если делимое и делитель умножим (или разделим) на одно и то же число, то частное не изменится.
Поясним это свойство на следующих двух примерах:
1)8:3 = 8/3|,
умножим делимое и делитель, положим, на 5; тогда получим
новое частное: (8*5)/(3*5)
которое по сокращении дроби на 5 даст прежнее частное — 8/3

Вообще, какие бы числа a, b и m ни были, всегда
(am) : (bm) = а : b, что можно написать и так:
am/bm= a/b

Если частное не изменяется от умножения делимого и делителя на одно и то же число, то оно не изменяется и от деления делимого и делителя на одно и то же число, так как деление на какое-нибудь число равносильно умножению на обратное число.

Комментирование и размещение ссылок запрещено.

Источник

Например, пусть Используя условия III, IV и V, можно выписать следующую цепочку равенств:

таким образом,

ТЕОРЕМА 2.1. Сложение натуральных чисел ассоциативно, т. е. для любых натуральных а, b, с

Доказательство. Зафиксируем произвольные натуральные числа а и b. Тогда формула (1) определяет предикат от одной свободной переменной с, обозначим его . Доказательство проводится индукцией по натуральной переменной с.

Базис индукции: А(0) истинно, поскольку верно равенство

Индукционный шаг. Предположим, что для некоторого натурального истинно , т. е. верна формула

и докажем, что тогда истинно , т. е. верна формула

В самом деле,

Согласно принципу индукции, предикат истинен для любого натурального с. Поскольку при доказательстве фиксировались произвольные а и , то формула (1) верна для любых натуральных а и b.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Алгебра называется аддитивным моноидом натуральных чисел.

ЛЕММА 2.2. Для любых натуральных а и b

Доказательство. Проведем доказательство индукцией по b. Зафиксируем произвольное натуральное число а.

Обозначим через предикат, определяемый формулой (1). Условимся в этой лемме и в дальнейшем в аналогичных случаях говорить, что является и обозначением соответствующей формулы.

Легко видеть, что верна формула

Предположим, что для некоторого натурального числа верна формула

и покажем, что верна формула . В самом деле,

(по аксиоме IV);

(по индуктивному предположению);

(по аксиоме IV).

Согласно принципу индукции, формула верна для любого натурального b. Так как при доказательстве фиксировалось произвольное значение а, то формула (1) верна для любых натуральных а и b.

ТЕОРЕМА 2.3. Сложение натуральных чисел коммутативно, т. е. для любых натуральных а, b

Доказательство проводится индукцией по b. Докажем сначала, что верна формула

Проведем индукцию по о.. Очевидно, формула верна при Далее, если для некоторого натурального числа

то

Следовательно, по принципу индукции, формула А (0) верна для любого а.

Зафиксируем произвольное а. Обозначим через А(b) предикат, определяемый формулой (1). Предположим, что для некоторого натурального числа верна формула

тогда

(по аксиоме IV);

(по индуктивному предположению);

(по аксиоме IV);

(по лемме 2.2),

т. е. верна формула . Согласно принципу индукции, формула верна для любого 6. Поскольку фиксировалось произвольное значение а, то формула (I) верна для любых натуральных а и 6.

ТЕОРЕМА 2.4 (ЗАКОН СОКРАЩЕНИЯ ДЛЯ СЛОЖЕНИЯ). Для любых натуральных а, b, с

Доказательство (проводится индукцией по с; при этом фиксируются произвольные значения а и b). Рассмотрим формулу

Так как , то верно, что

т. е. верна формула А(0).

Предположим, что для некоторого натурального числа

и покажем, что тогда верна формула По аксиоме IV,

Далее, по аксиоме II,

Из того, что и (3) — верные формулы, следует, что верна формула

На основании (2) и (4) заключаем, что верна формула

Согласно принципу индукции, формула А(с) верна для любого натурального с. Так как а и b фиксировались произвольно, утверждение (1) верно для любых натуральных а, b, с.

СЛЕДСТВИЕ 2.5. Для любых натуральных а и b, если то

ТЕОРЕМА 2.6. Для любого натурального числа а либо либо существует такое натуральное число b, что

Доказательство. Рассмотрим формулу

Доказательство этой формулы проводится индукцией по а. Очевидно, формула верна при Предположим, что для некоторого натурального числа верна формула

Надо показать, что верна формула

Эта формула действительно верна, так как второй член дизъюнкции — истинная формула (при ). Согласно принципу индукции, формула верна для любого натурального а.

СЛЕДСТВИЕ 2.7. Для любых натуральных а и b, если или то

Доказательство. Предположим, что . Тогда, по теореме 2.6, существует такое натуральное с, что . В силу аксиомы IV

По аксиоме следовательно,

СЛЕДСТВИЕ 2.8. Для любых натуральных а и b, если а то

ТЕОРЕМА 2.9. Для любых натуральных выполняется одно и только одно из трех условий:

(для некоторого );

(для некоторого ).

Доказательство. Из следствия 2.5 вытекает, что не может выполняться более чем одно из трех условий.

В самом деле, если бы выполнялись условия , то что невозможно по следствию 2.5. Если бы выполнялись условия (а) и (7), то что невозможно. Если бы выполнялись условия , то что также противоречит следствию 2.5.

Теперь покажем, что выполняется хотя бы одно из условий . Фиксируем произвольное натуральное число а и обозначим через дизъюнкцию условий . Докажем индукцией по b верность формулы Верна формула . В самом деле, если , то либо либо а . Если где Следовательно, при выполняется условие (а) или условие

Предположим, что для некоторого числа верна формула

и покажем, что тогда верна формула . В самом деле, если выполняется условие (Р). Если выполняется условие (Р). Если же , то . В этом случае если то и, по аксиоме II, — выполняется условие (а). Так как , то, по теореме 2.6, существует такое, что . Если , то и из равенства по аксиоме II получаем — выполняется условие (y). Итак, в любом случае верна формула Согласно принципу индукции, формула верна для любого натурального b. Поскольку а фиксировалось произвольно, то утверждение теоремы верно для любых натуральных а и b.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Разностью двух натуральных чисел а и b называется такое натуральное число k, что

Из теоремы 2.9 следует, что разность двух натуральных чисел а и b существует в том случае, когда выполнено условие (а) (при этом или . В случае выполнения условия (Р) разность чисел а и b не существует.

Легко показать, что если разность чисел а и b существует, то она единственна. В самом деле, если , то откуда, по закону сокращения для сложения, следует, что .

Единственное натуральное число, являющееся разностью чисел а и b, обозначают а — b.

Источник