Какие свойства преобразования подобия
Страница 1 из 2
Вопрос 1. Что такое преобразование подобия?
Ответ. Преобразование фигуры (F) в фигуру (F’) называется преобразованием подобия, если при этом проеобразовании расстояния между точками изменяются в одно и то же число раз (рис. 233). Это значит, что если произвольные точки (X), (Y) фигуры (F) при преобразовании подобия переходят в точки (X’), (Y’) фигуры (F’), то (X’Y’ = kcdot XY), причем число (k) – одно и то же для всех точек (X), (Y). Число (k) называется коэффициентом подобия. При (k = 1) преобразование подобия, очевидно, является движением.
Вопрос 2. Что такое гомотетия (центр гомотетии, коэффициент гомотетии)?
Ответ. Пусть (F) – данная фигура и (O) – фиксированная точка (рис. 234). Проведем через произвольную точку (X) фигуры (F) луч (OX) и отложим на нем отрезок (OX’), равный (kcdot OX), где (k) – положительное число. Преобразование фигуры (F), при котором каждая ее точка (X) переходит в точку (X’), построенную указанным способом, называется гомотетией относительно центра (O). Число (k) называется коэффициентом гомотетии, фигуры (F) и (F’) называется гомотетичными.
Вопрос 3. Докажите, что гомотетия есть преобразование подобия.
Ответ. Теорема 11.1. Гомотетия есть преобразование подобия.
Доказательство. Пусть (O) – центр гомотетии, (k) – коэффициент гомотетии, (X) и (Y) – две произвольные точки фигуры (рис. 235).
При гомотетии точки (X) и (Y) переходят в точки (X’) и (Y’) на лучах (OX) и (OY) соответственно, причем (OX’ = kcdot OX), (OY’ = kcdot OY). Отсюда следуют векторные равенства
(overline{OX’} = koverline{OX},, overline{OY’} = koverline{OY}).
Вычитая эти равенства почленно, получим:
(overline{OY’} – overline{OX’} = k(overline{OY} – overline{OX})).
Так как (overline{OY’} – overline{OX’} = overline{X’Y’}), (overline{OY} – overline{OX} = overline{XY}), то (overline{X’Y’} = koverline{XY}). Значит, (|overline{X’Y’}| = k|overline{XY}|), т.е. (X’Y’ = kXY). Следовательно, гомотетия есть преобразование подобия. Теорема доказана.
Вопрос 4. Какие свойства преобразования подобия вы знаете? Докажите, что преобразование подобия сохраняет углы между полупрямыми.
Ответ. Так же как и для движения, доказывается, что при преобразовании подобия три точки (A, B, C), лежащие на одной прямой, переходят в три точки (A_1, B_1, C_1), также лежащие на одной прямой. Причем если точка (B) лежит между точками (A) и (C), то точка (B_1) лежит между точками (A_1) и (C_1). Отсюда следует, что преобразование подобия переводит прямые в прямые, полупрямые в полупрямые, отрезки в отрезки.
Докажем, что преобразование подобия сохраняет углы между полупрямыми.
Действительно, пусть угол (ABC) преобразованием подобия с коэффициентом (k) переводится в угол (A_1B_1C_1) (рис. 237). Подвергнем угол (ABC) преобразованию гомотетии относительно его вершины (B) с коэффициентом гомотетии (k). При этом точки (A) и (C) перейдут в точки (A_2) и (C_2). Треугольники (A_2BC_2) и (A_1B_1C_1) равны по третьему признаку. Из равенства треугольников следует равенство углов (A_2BC_2) и (A_1B_1C_1). Значит, углы (ABC) и (A_1B_1C_1) равны, что и требовалось доказать.
Вопрос 5. Какие фигуры называются подобными?
Ответ. Две фигуры называются подобными, если они переводятся друг в друга преобразованием подобия.
Вопрос 6. Каким знаком обозначается подобие фигур? Как записывается подобие треугольников?
Ответ. Для обозначения подобия фигур используется специальный значок: (sim).
Запись (Fsim F’) читается так: “Фигура (F) подобна фигуре (F’)”.
Запись подобия треугольников (ABC) и (A_1B_1C_1): (triangle ABC sim triangle A_1B_1C_1).
Вопрос 7. Сформулируйте и докажите признак подобия треугольников по двум углам.
Ответ. Теорема 11.2. Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Доказательство. Пусть у треугольников (ABC) и (A_1B_1C_1) (angle A = angle A_1), (angle B = angle B_1). Докажем, что (triangle ABC sim triangle A_1B_1C_1).
Пусть (k = frac{AB}{A_1B_1}). Подвергнем треугольник (A_1B_1C_1) преобразованию подобия с коэффициентом подобия (k), например гомотетии (рис. 238). При этом получим некоторый треугольник (A_2B_2C_2), равный треугольнику (ABC). Действительно, так как преобразование подобия сохраняет углы, то (angle A_2 = angle A_1), (angle B_2 = angle B_1). А значит, у треугольников (ABC) и (A_2B_2C_2) (angle A = angle A_2), (angle B = angle B_2). Далее, (A_2B_2 = kA_1B_1 = AB). Следовательно, треугольники (ABC) и (A_2B_2C_2) равны по второму признаку (по стороне и прилежищим к ней углам).
Так как треугольники (A_1B_1C_1) и (A_2B_2C_2) гомотетичны и, значит, подобны, а треугольники (A_2B_2C_2) и (ABC) равны и поэтому тоже подобны, то треугольники (A_1B_1C_1) и (ABC) подобны.
Теорема доказана.
Вопрос 8. Сформулируйте и докажите признак подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними.
Ответ. Теорема 11.3. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то треугольники подобны.
Доказательство (аналогично доказательству теоремы 11.2). Пусть у треугольников (ABC) и (A_1B_1C_1) (angle C = angle C_1) и (AC = kA_1C_1), (BC = kB_1C_1). Докажем, что (triangle ABC sim triangle A_1B_1C_1).
Подвергнем треугольник (A_1B_1C_1) преобразованию подобия с коэффициентом подобия (k), например гомотетии (рис. 240). При этом получим некоторый треугольник (A_2B_2C_2), равный треугольнику (ABC). Действительно, так как преобразование подобия сохраняет углы, то (angle C_2 = angle C_1). А значит, у треугольников (ABC) и (A_2B_2C_2) (angle C = angle C_2). Далее, (A_2C_2 = kA_1C_1 = AC), (B_2C_2 = kB_1C_1 = BC). Следовательно, треугольники (ABC) и (A_2B_2C_2) равны по первому признаку (по двум сторонам и углу между ними).
Так как треугольники (A_1B_1C_1) и (A_2B_2C_2) гомотетичны и, значит, подобны, а треугольники (A_2B_2C_2) и (ABC) равны и поэтому тоже подобны, то треугольники (A_1B_1C_1) и (ABC) подобны.
Теорема доказана.
Вопрос 9. Сформулируйте и докажите признак подобия треугольников по трем сторонам.
Ответ. Теорема 11.4. Если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Доказательство (аналогично доказательству теоремы 11.2). Пусть у треугольников (ABC) и (A_1B_1C_1) (AB = kA_1B_1), (AC = kA_1C_1), (BC = kB_1C_1). Докажем, что (triangle ABC sim triangle A_1B_1C_1).
Подвергнем треугольник (A_1B_1C_1) преобразованию подобия с коэффициентом подобия (k), например гомотетии (рис. 242). При этом получим некоторый треугольник (A_2B_2C_2), равный треугольнику (ABC). Действительно, у треугольников соответствующие стороны равны:
(A_2B_2 = kA_1B_1 = AB),
(A_2C_2 = kA_1C_1 = AC),
(B_2C_2 = kB_1C_1 = BC).
Следовательно, треугольники (ABC) и (A_2B_2C_2) равны по третьему признаку (по трем сторонам).
Так как треугольники (A_1B_1C_1) и (A_2B_2C_2) гомотетичны и, значит, подобны, а треугольники (A_2B_2C_2) и (ABC) равны и поэтому тоже подобны, то треугольники (A_1B_1C_1) и (ABC) подобны.
Теорема доказана.
Вопрос 10. Докажите, что катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу.
Ответ. У прямоугольного треугольника один угол прямой. Поэтому по теореме 11.2 для подобия двух прямоугольных треугольников достаточно, чтобы у них было по равному острому углу.
Пусть (ABC) – прямоугольный треугольник с прямым углом (C). Проведем высоту (CD) из вершины прямого угла (рис. 243).
Треугольники (ABC) и (CBD) имеют общий угол при вершине (B). Следовательно, они подобны: (triangle ABC sim triangle CBD). Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:
[frac{AB}{BC} = frac{BC}{BD},, или, BC = sqrt{ABcdot BD}.]
Это соотношение обычно формулируют так: катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу.
Источник
1.Преобразование подобия и его свойства.
2.Подобие фигур. Подобие треугольников по двум углам.
3.Подобие треугольников по двум пропорциональным сторонам и углу между ними.
4.Подобие треугольников по трем пропорциональным сторонам.
5.Подобие прямоугольных треугольников.
6.Примеры.
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1.Преобразование подобия и его свойства
Преобразованием подобия называется преобразование фигуры G в фигуру G’, у которой расстояние между точками изменяется в одно и тоже число раз. Т.е. ОA’ = k OA. Это означает, что для любых двух точек геометрической фигуры выполняется равенство A’B’ = k AB. (Рис.1) Число k называется коэффициентом подобия.
Если взять произвольную точку, например точку О. И отложить отрезок OB’ = k OB, то такое преобразование фигуры G в фигуру G’ называется гомотетией. А число k называется коэффициентом гомотетии. Таким образом, гомотетия есть преобразование подобия.
Свойства преобразования подобия
Преобразование подобия переводит прямые в прямые, полупрямые в полупрямые, отрезки в отрезки и при этом углы между прямыми сохраняются.
Рис.1 Преобразование подобия и его свойства.
2.Подобие фигур. Подобие треугольников по двум углам
Две фигуры называются подобными, если преобразованием подобия они переходят друг в друга. (Рис.2)
Если две фигуры подобны третьей, то они подобны друг другу.
Из свойств преобразования подобия следует, что у подобных фигур, соответсвующие стороны пропорциональны и соответствующие углы равны.
Рис.2 Подобие фигур.
Подобие треугольников по двум углам
Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны. (Рис.3)
Докажем это утверждение. Пусть даны два треугольника ABC и A’B’C’.
Преобразованием подобия преобразуем треугольник A’B’C’ в треугольник A”B”C” с коэффициентом k, т.е. подвергнем гомотетии. Полученный треугольник A”B”C” равен треугольнику ABC по стороне и прилегающим к ней углам. Т.к. преобразование подобия сохраняет углы, а расстояние между двумя точками изменяется в k раз. Следовательно треугольники A’B’C’ и A”B”C” подобны. А т.к. треугольники ABC и A”B”C” равны, то треугольник ABC подобен треугольнику A’B’C’.
Рис.3 Подобие треугольников по двум углам.
3.Подобие треугольников по двум сторонам и углу между ними
Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы между этими сторонами равны, то такие треугольники подобны.
Докажем это утверждение. (Доказательство аналогично доказательству подобия по двум углам) Пусть даны два треугольника ABC и A’B’C’.
Преобразованием подобия преобразуем треугольник A’B’C’ в треугольник A”B”C” с коэффициентом k, т.е. подвергнем гомотетии. Полученный треугольник A”B”C” равен треугольнику ABC по двум сторонам и углу между ними со сторонами kA’B’=A”B” и kA’C’=A”C”. Т.к. преобразование подобия сохраняет углы, а расстояние между двумя точками изменяется в k раз. Следовательно треугольники A’B’C’ и A”B”C” подобны. А т.к. треугольники ABC и A”B”C” равны, то треугольник ABC подобен треугольнику A’B’C’, т.е. kA’B’=AB, kB’C’=BC и kA’C’=AC.
Рис.3 Подобие треугольников.
4.Подобие треугольников по трем сторонам
Если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Доказательство. (Доказательство аналогично доказательству подобия по двум углам) Пусть даны два треугольника ABC и A’B’C’.
Преобразованием подобия преобразуем треугольник A’B’C’ в треугольник A”B”C” с коэффициентом k, т.е. подвергнем гомотетии. В результате получим треугольник A”B”C”, который равен треугольнику ABC по трем сторонам kA’B’=A”B”, kВ’C’=В”C” и kA’C’=A”C”. Т.к. преобразование подобия сохраняет углы, а расстояние между двумя точками изменяется в k раз. Следовательно треугольники A’B’C’ и A”B”C” подобны. И т.к. треугольники ABC и A”B”C” равны, то треугольник ABC подобен треугольнику A’B’C’.
Рис.4 Подобие треугольников по трем сторонам.
5.Подобие прямоугольных треугольников
Если два прямоугольных треугольника имеют по одному равному острому углу, то такие треугольники подобны.
Пусть дан прямоугольный треугольник ABC. Проведем высоту CD. Треугольники ABC и ADC подобны, т.к. угол А у них общий. Так же как и треугольники ADC и BDC. Следовательно:
Т.е. катет прямоугольного треугольника равен средней геометрической гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу. А высота в прямоугольном треугольнике равна средней геометрической между проекциями катетов на гипотенузу.
Отсюда можно сделать вывод, что в любом треугольнике биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам. (Свойство биссектрисы треугольника).
Рис.5 Подобие прямоугольных треугольников.
Докажем это утверждение. Пусть дан треугольник ABC. (Рис.6) BE – биссектриса. Треугольники ABE и BCD подобны. Углы В у них равны. Треугольники ADE и DCF также подобны. Углы D у них равны, как вертикальные. Отсюда можно записать следующие соотношения для двух пар треугольников.
Т.е. отрезки AD и DC пропорциональны сторонам AB и BC.
Рис.6 Подобие прямоугольных треугольников.
6.Пример 1
Докажите, что фигура подобная окружности, есть окружность.
Доказательство:
Пусть даны две окружности F и F’ с радиусами R1 и R2 . Подберем коэффициент k так, чтобы kR1 = R2. Необходимо доказать, что окружности подобны.
Зададим на плоскости систему координат с осями Оx и Oy таким образом, чтобы центр первой окружности F совпал с началом координат. Параллельным переносом переместим вторую окружность F’ так, чтобы ее центр также совпал с началом координат. На окружности F возьмем две произвольные точки А и В. И проведем между ними хорду. Также проведем к этим точкам радиусы ОА и ОВ, которые продлим до окружности F’, т.е. ОA’ и OB’.
Оси Оx и Оy повернем так, чтобы ось Oy пересекала хорду под прямым углом (Рис.7). Тогда k OA = OA’.
Теперь рассмотрим треугольник ОАС.
Рис.7 Задача. Докажите, что фигура подобная окружности, есть окружность.
Таким образом, мы пришли к выводу, что A’B’ = k AB. А это означает, что расстояние между любыми двумя точками окружности F’ в k раз больше, чем расстояние между подобными точками в окружности F, т.е фигуру F’ можно получить преобразованием подобия или гомотетией относительно точки О. А это значит, что окружности F и F’ подобны.
Пример 2
У треугольников АВС и А1В1С1 ∠A = ∠A1, ∠B = ∠B1. AB = 6, AC = 9, A1B1 = 10, B1C1 = 10. Найдите остальные стороны треугольников.
Решение:
Пусть даны два треугольника АВС и А1В1С1 ∠A = ∠A1, ∠B = ∠B1 (Рис.8). Данные треугольники подобны по двум углам: ∠A = ∠A1 и ∠В = ∠B1. Отсюда следует, что все стороны второго треугольника отличаются от сторон первого треугольника в k число раз, т.е. коэффициент подобия. Найдем число k:
k = AB / А1В1 = 6 / 10 = 3 / 5
Отсюда следует, что
ВС = k * В1С1 = (3 / 5) * 10 = 6 см
А1С1 = АС / k = 9 / (3 / 5) = 15 см
Рис.8 Задача. У треугольников АВС и А1В1С1…
Пример 3
В трапеции ABCD основание АD = 32 см, а основание ВС = 8 см. Угол между диагональю АС и стороной СD равен углу ∠АВС, т.е. ∠АВС = ∠АСD. Найдите диагональ АС.
Решение:
В трапеции два основания лежат на параллельных прямых (Рис.9). Отсюда следует, что угол ∠CAD = ∠BCA, как внутренние накрест лежащие углы. Следовательно, треугольники АВС и АСD подобны по двум углам: ∠AВС = ∠АCD по условию задачи, ∠CAD = ∠BCA, как внутренние накрест лежащие углы.
Тогда можно составить следующие соотношение:
k = АС / ВС = AD / AC
. Следовательно,
AC2 = BC * AD
AC2 = 8 * 32 = 256
Отсюда, АС = 16 см.
Рис.9 Задача. В трапеции ABCD основание АD = 32 см…
Пример 4
В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты AD, BE, CF. Найдите углы треугольника DEF, если в треугольнике АВС ∠А = α, ∠В = β, ∠С = γ.
Решение:
Рассмотрим два прямоугольных треугольника AFC и ABE. Они подобны по одному острому углу, так как угол при вершине А у них общий. Следовательно, угол ∠FCE = ∠ABE. Обозначим его как ϕ3. Аналогичным образом обозначим:
∠BAD = ∠FCB = ϕ1
∠DAC = ∠CBE = ϕ2
Рассмотрим два прямоугольных треугольника AFO и DOC. Они подобны по одному острому углу: углы при вершине О равны как вертикальные (Рис.10). Отсюда следует, что треугольники FOD и AOC также подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними.
Так как OD / OF = OC / AO
Следовательно,
OD / OС = OF / AO
Отсюда следует равенство углов:
∠DFC = ∠DAC = ϕ2
Треугольники BFO и EOC подобны. У них углы при вершине О равны как вертикальные, а углы при вершинах F и E прямые. Отсюда следует подобие треугольников FOE и BOC. Следовательно,
∠EFC = ∠EBC = ϕ2
Рис.10 Задача. В остроугольном треугольнике АВС…
Так как ϕ1 + ϕ2 + ϕ3 = 90° (из прямоугольного треугольника BFC),
то в треугольнике FDE угол при вершине F равен:
∠F = 2 * ϕ2 = 180° – 2 * (ϕ1 + ϕ3) = 180° – 2 * γ
Аналогичным образом выводится, что:
∠D = 2 * ϕ3 = 180° – 2 * (ϕ1 + ϕ2) = 180° – 2 * α
∠E = 2 * ϕ1 = 180° – 2 * (ϕ2 + ϕ3) = 180° – 2 * β
Пример 5
В треугольник ABC вписан ромб ADEF, таким образом, что угол А у них общий, а вершина Е находится на стороне ВС. АВ = 12 см, АС = 4 см. Найдите сторону ромба.
Решение:
Так как у ромба противоположные стороны параллельны, то треугольники АВС и DBE подобны по двум углам:
∠А = ∠D, ∠C = ∠E
как соответственные (Рис.11).
Тогда можно составить следующие соотношение:
AC / DE = AB / DB
AC / DE = AB / (AB – AD)
так как AD = DE, то
AC / DE = AB / (AB – DE)
4 / DE = 12 / (12 – DE)
48 – 4 DE = 12 DE
48 = 16 DE
Отсюда, DE = 3 см.
Рис.11 Задача. В треугольник ABC вписан ромб ADEF…
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Содержание
2.Аксиомы планиметрии.
3.Смежные углы.
4.Вертикальные углы.
5.Перпендикулярные прямые.
6.Признаки равенства треугольников.
2.Симметрия относительно точки.
3.Симметрия относительно прямой.
4.Параллельный перенос и его свойства.
2.Признаки параллельности прямых.
3.Свойство углов при пересечении параллельных прямых.
4.Сумма углов треугольника.
5.Единственность перпендикуляра к прямой.
6.Высота, биссектриса и медиана треугольника.
7.Свойство медианы равнобедренного треугольника.
2.Сложение векторов.
3.Умножение вектора на число.
4.Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам.
5.Скалярное произведение векторов.
2.Окружность описанная около треугольника.
3.Окружность вписанная в треугольник.
4.Геометрическое место точек.
2.Подобие фигур. Подобие треугольников по двум углам.
3.Подобие треугольников по двум пропорциональным сторонам и углу между ними.
4.Подобие треугольников по трем пропорциональным сторонам.
5.Подобие прямоугольных треугольников.
2.Свойства диагоналей параллелограмма.
3.Ромб.
4.Теорема Фалеса.
5.Средняя линия треугольника.
6.Трапеция.
7.Теорема о пропорциональных отрезках.
2.Пропорциональность хорд и секущих окружности.
3.Теорема косинусов.
4.Теорема синусов.
5.Соотношение между углами и сторонами в треугольнике.
2.Египетский треугольник.
3.Соотношение между углами и сторонами в прямоугольном треугольнике.
4.Основные тригонометрические тождества.
2.Радиус вписанной и описанной окружностей правильных многоугольников.
3.Подобие многоугольников.
4.Длина окружности.
2.Расстояние между точками.
3.Уравнение окружности.
4.Уравнение прямой.
5.Координаты точки пересечения.
2.Площадь параллелограмма.
3.Площадь треугольника.
4.Площадь круга.
5.Площадь подобных фигур.
6.Площадь трапеции.
Источник