Какие свойства площади вы знаете
Общая площадь всех трёх фигур составляет около 15-16 квадратиков
Пло́щадь — в узком смысле, площадь фигуры — численная характеристика, вводимая для определённого класса плоских геометрических фигур (исторически, для многоугольников, затем понятие было расширено на квадрируемые фигуры) и обладающая свойствами площади[1]. Интуитивно, из этих свойств следует, что бо́льшая площадь фигуры соответствует её «большему размеру» (например, вырезанным из бумаги квадратом большей площади можно полностью закрыть меньший квадрат), a оценить площадь фигуры можно с помощью наложения на её рисунок сетки из линий, образующих одинаковые квадратики (единицы площади) и подсчитав число квадратиков и их долей, попавших внутрь фигуры[2] (на рисунке справа). В широком смысле понятие площади обобщается[1] на k-мерные поверхности в n-мерном пространстве (евклидовом или римановом), в частности, на двумерную поверхность в трёхмерном пространстве.
Исторически вычисление площади называлось квадратурой. Конкретное значение площади для простых фигур однозначно вытекает из предъявляемых к этому понятию практически важных требований (см. ниже). Фигуры с одинаковой площадью называются равновеликими.
Общий метод вычисления площади геометрических фигур предоставило интегральное исчисление. Обобщением понятия площади стала теория меры множества, пригодная для более широкого класса геометрических объектов.
Для приближённого вычисления площади на практике используют палетку или специальный измерительный прибор — планиметр.
Определение понятия площади[править | править код]
Свойства[править | править код]
Множество измеримо по Жордану, если внутренняя мера Жордана равна внешней мере Жордана
Площадь — функция, которая обладает следующими свойствами[3][1]:
- Положительность, то есть площадь неотрицательная (скалярная) величина;
- Аддитивность, то есть площадь фигуры равна сумме площадей составляющих её фигур без общих внутренних точек;
- Инвариантность, то есть площади конгруэнтных фигур равны;
- Нормированность, то есть площадь единичного квадрата равна 1.
Из данного определения площади следует её монотонность, то есть площадь части фигуры меньше площади всей фигуры[3].
Квадрируемые фигуры[править | править код]
Первоначально определение площади было сформулировано для многоугольников, затем оно было расширено на квадрируемые фигуры. Квадрируемой называется такая фигура, которую можно вписать в многоугольник и в которую можно вписать многоугольник, причём площади обоих многоугольников отличаются на произвольно малую величину. Такие фигуры называются также измеримыми по Жордану[1]. Для фигур на плоскости, не состоящих из целого количества единичных квадратов, площадь определяется с помощью предельного перехода; при этом требуется, чтобы как фигура, так и её граница были кусочно-гладкими[4]. Существуют неквадрируемые плоские фигуры[1]. Предложенное выше аксиоматическое определение площади в случае плоских фигур обычно дополняют конструктивным, при котором с помощью палетки осуществляется собственно вычисление площади. При этом для более точных вычислений на последующих шагах используют палетки, у которых длина стороны квадрата в десять раз меньше длины у предыдущей палетки[5].
Площадь квадрируемой плоской фигуры существует и единственна. Понятие площади, распространённое на более общие множества, привело к определению множеств, измеримых по Лебегу, которыми занимается теория меры. В дальнейшем возникают более общие классы, для которых свойства площади не гарантируют её единственность[1].
Общий метод определения площади[править | править код]
Площадь плоской фигуры[править | править код]
На практике чаще всего требуется определить площадь ограниченной фигуры с кусочно-гладкой границей. Математический анализ предлагает универсальный метод решения подобных задач.
Декартовы координаты[править | править код]
Определённый интеграл как площадь фигуры
Площадь между графиками двух функций равна разности интегралов от этих функций в одинаковых пределах интегрирования
Площадь, заключённая между графиком непрерывной функции на интервале и горизонтальной осью, может быть вычислена как определённый интеграл от этой функции:
Площадь, заключённая между графиками двух непрерывных функций на интервале находится как разность определённых интегралов от этих функций:
Полярные координаты[править | править код]
В полярных координатах: площадь, ограниченная графиком функции и лучами вычисляется по формуле:
.
Площадь поверхности[править | править код]
Для определения площади кусочно гладкой поверхности в трёхмерном пространстве используют ортогональные проекции к касательным плоскостям в каждой точке, после чего выполняют предельный переход. В результате, площадь искривлённой поверхности A, заданной вектор-функцией , даётся двойным интегралом[1]:
То же в координатах:
Здесь .
Теория площадей[править | править код]
Теория площадей занимается изучением обобщений, связанных с распространением определения k-мерной площади с кусочно-гладкого погружения на более общие пространства. Для кусочно-гладкого погружения f площадь определяют способом, аналогичным указанному выше, при этом у площади сохраняются такие свойства как положительность, аддитивность, нормированность, а также ряд новых.
Единицы измерения площади[править | править код]
В одном квадратном сантиметре сто квадратных миллиметров
Метрические единицы[править | править код]
- Квадратный метр, производная единица Международной системы единиц (СИ); 1 м² = 1 са (сантиар);
- Квадратный километр, 1 км² = 1 000 000 м²;
- Гектар, 1 га = 10 000 м²;
- Ар (сотка), 1 а = 100 м²:
- Квадратный дециметр, 100 дм² = 1 м²;
- Квадратный сантиметр, 10 000 см² = 1 м²;
- Квадратный миллиметр, 1 000 000 мм² = 1 м²;
- Барн, 1 б = 10−28 м².
Русские устаревшие[править | править код]
- Квадратная верста = 1,13806 км²
- Десятина = 10925,4 м²
- Копна = 0,1 десятины — сенные покосы мерили копнами
- Квадратная сажень = 4,55224 м²
Мерами земли при налоговых расчётах были выть, соха, обжа, размеры которых зависели от качества земли и социального положения владельца. Существовали и различные местные меры земли: коробья, верёвка, жеребья и др.
Античные[править | править код]
- Актус
- Арура
- Центурия
- Югер
Другие[править | править код]
- Акр
- Рай = 1600 м² (40 м × 40 м).
- Квадратный парсек
- Планковская площадь () ≈ 2,612099 · 10−70 м2
Формулы вычисления площадей простейших фигур[править | править код]
Многоугольники[править | править код]
| Фигура | Формула | Переменные |
|---|---|---|
| Правильный треугольник | — длина стороны треугольника | |
| Прямоугольный треугольник | и — катеты треугольника | |
| Произвольный треугольник | — сторона треугольника, — высота, проведённая к этой стороне | |
| и — любые две стороны, — угол между ними | ||
| (формула Герона) | , и — стороны треугольника, — полупериметр | |
| , , — координаты вершин треугольника (в случае обхода вершин по часовой стрелке получим положительный результат, иначе отрицательный) | ||
| Квадрат | — длина стороны квадрата | |
| Прямоугольник | и — длины сторон прямоугольника (его длина и ширина) | |
| Ромб | и — длины диагоналей ромба | |
| Параллелограмм | и — длины стороны и опущенной на неё высоты соответственно | |
| и — соседние стороны параллелограмма, — угол между ними | ||
| Трапеция | и — основания трапеции, — высота трапеции | |
| Произвольный четырёхугольник | (формула Брахмагупты) | , , , — стороны четырёхугольника, — его полупериметр, — полусумма противолежащих углов четырёхугольника |
| Правильный шестиугольник | — длина стороны шестиугольника | |
| Правильный восьмиугольник | — длина стороны восьмиугольника | |
| Правильный многоугольник | — периметр, — количество сторон | |
| Произвольный многоугольник (выпуклый и невыпуклый) | (метод трапеций) | — координаты вершин многоугольника в порядке их обхода, замыкая последнюю с первой: ; при наличии отверстий направление их обхода противоположно обходу внешней границы многоугольника |
| Произвольный многоугольник (выпуклый и невыпуклый) | Вычисление площадей многоугольников по способу Саррона [6]. Есть аналитическая формула. | Даны длины сторон многоугольника и азимутальные углы сторон |
Площади круга, его частей, описанных и вписанных в круг фигур[править | править код]
| Фигура | Формула | Переменные |
|---|---|---|
| Круг | или | — радиус, — диаметр круга |
| Сектор круга | — радиус круга, — центральный угол сектора (в радианах) | |
| Сегмент круга | — радиус круга, — центральный угол сегмента (в радианах) | |
| Эллипс | , — большая и малая полуоси эллипса | |
| Треугольник, вписанный в окружность | , и — стороны треугольника, — радиус описанной окружности | |
| Четырёхугольник, вписанный в окружность | (формула Брахмагупты) | , , , — стороны четырёхугольника, — его полупериметр |
| Многоугольник, описанный около окружности | — радиус окружности, вписанной в многоугольник, — периметр многоугольника | |
| Прямоугольная трапеция, описанная около окружности | , — основания трапеции |
Площади поверхностей тел в пространстве[править | править код]
Исторический очерк[править | править код]
Площадь плоских фигур[править | править код]
Многие годы площадь считалась первичным понятием, не требующим определения. Основной задачей математиков являлось вычисление площади, при этом были известны основные свойства площади[3]. В Древнем Египте использовались точные правила вычисления площади прямоугольников, прямоугольных треугольников и трапеций, площадь произвольного четырёхугольника определялась приближённо как произведение полусумм пар противоположных сторон. Применение такой приближённой формулы связано с тем, что участки, площадь которых надо было померить, были в основном близки к прямоугольным и погрешность в таком случае оставалась небольшой. Историк математики А. П. Юшкевич предполагает, что египтяне могли и не знать, что пользуются приближённой формулой. В задаче 50 папируса Ринда содержится формула вычисления площади круга, которая считалась равной площади квадрата со стороной 8/9 диаметра круга[7]. Такими же формулами пользовались и в Вавилоне, однако для площади круга приближение было менее точным. Кроме того, вавилоняне могли приближённо посчитать площади правильных пяти-, шести- и семиугольника со стороной равной единице. В шестидесятиричной системе им соответствовали 1,40, 2,37,20 и 3,41, соответственно[8].
Основным приёмом вычисления площади при этом являлось построение квадрата, площадь которого равна площади заданной многоугольной фигуры, в частности в книге I «Начал» Евклида, которая посвящена планиметрии прямолинейных фигур, доказывается, что треугольник равновелик половине прямоугольника, имеющего с ним равные основания и высоту[9]. Метод разложения, основанный на том, что две равносоставленные фигуры равновелики, позволял также вычислить площади параллелограммов и любых многоугольников[5].
Следующим шагом было вычисление площадей круга, кругового сектора, лунок и других фигур. Основу вычислений при этом составлял метод исчерпывания многоугольниками[1][5], с которого берёт начало теория пределов. Метод заключается в построении последовательности площадей, которые при постепенном нарастании «исчерпывают» требуемую площадь. Метод исчерпывания, получивший своё название только в XVII веке, основан на аксиоме непрерывности Евдокса — Архимеда и приписывается Евдоксу Книдскому, который с его помощью показал, что площади кругов относятся друг к другу как квадраты их диаметров. Метод описан в «Началах» Евклида: аксиома Евдокса сформулирована в книге V, а сам метод исчерпывания и основанные на нём отношения — в книге XII[9]. Особого совершенства в применении метода достиг Архимед, который с его помощью посчитал площадь сегмента параболы и другие[10][11]. Труд Архимеда «О спиралях» включает много утверждений, касающихся площадей различных витков спирали и их отношений[12]. Архимеду принадлежит идея использования площадей или объёмов как вписанных, так и описанных фигур для определения требуемой площади или объёма[13].
Индийцы поначалу пользовались той же формулой для вычисления четырёхугольников, что египтяне и греки. Брахмагупта пользовался формулой для площади четырёхугольников, выраженной через его полупериметр., которая верна для вписанного в окружность четырёхугольника. Формулы вычисления площади обычно не доказывались, но демонстрировались с наглядными рисунками[14]. Формула Брахмагупты представляет собой аналог формулы Герона для площади треугольника, которую тот привёл в своей «Метрике»[15].
Развитие и обобщение метода исчерпывания произошло только в XVII веке. В 1604 году в работе «Три книги о центре тяжести тел» Валерио широко использует теорему, по которой разность между площадями вписанной и описанной фигур, составленных из параллелограммов можно сделать меньше любой данной площади[16]. Настоящий прорыв был сделан Кеплером, которому для астрономических расчётов нужно было уметь вычислять площадь эллипса. Кеплер рассматривал площадь как «сумму линий» и, разлиновывая эллипс с шагом в один градус, показал[17], что . Кавальери, обосновывая подобный метод, названный «методом неделимых», сравнивал площади плоских фигур, используя сечение фигур параллельными прямыми[18]. Применение первообразной для нахождения площади плоской фигуры является наиболее универсальным методом. С помощью первообразной доказывается принцип Кавальери, по которому две плоские фигуры имеют равную площадь, если при пересечении каждой из них прямой, параллельной фиксированной, получаются отрезки одинаковой длины. Принцип был известен задолго до формирования интегрального исчисления[1][5].
Площадь поверхности[править | править код]
Вычислением площадей кривых поверхностей занимался Архимед, определив, в частности, площадь поверхности шара[13]. В общем случае для определения площади поверхности нельзя пользоваться ни развёрткой (не подходит для сферы), ни приближением многогранными поверхностями, то есть аналогом метода исчерпывания. Последнее показал Шварц, построив для боковой последовательности цилиндра последовательности, которые приводят к разным результатам (так называемый сапог Шварца)[1][19].
Общий приём вычисления площади поверхности на рубеже XIX—XX веков предложил Минковский, который для каждой поверхности строил «окутывающий слой» малой постоянной толщины, тогда площадь поверхности будет приближённо равна объёму этого слоя, делённому на его толщину. Предельный переход при толщине, стремящейся к нулю даёт точное значение площади. Однако, для площади по Минковскому не всегда выполняется свойство аддитивности. Обобщение данного определения приводит к понятию линии по Минковскому и другим[20].
Примечания[править | править код]
- ↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Площадь // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 4.
- ↑ Чиркова, Наталья Ивановна, and Валентина Николаевна Зиновьева. Формирование у младших школьников представлений о площади предметов и её измерении // Вестник Калужского университета 1 (2017): 92-97.
- ↑ 1 2 3 Геометрия, 1966, с. 7—13.
- ↑ Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — Изд. 6-е. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 1966. — Т. 2. — С. 186—224. — 800 с.
- ↑ 1 2 3 4 Болтянский В. О понятиях площади и объёма. Квант, № 5, 1977, c.2—9
- ↑ Хренов Л. С. Вычисление площадей многоугольников по способу Саррона// Матем. просвещение. 1936. Выпуск 6. С. 12–15
- ↑ История математики, т. I, 1970, с. 30—32.
- ↑ История математики, т. I, 1970, с. 47—53.
- ↑ 1 2 История математики, т. I, 1970, с. 111—114.
- ↑ Исчерпывания метод // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 2.
- ↑ История математики, т. I, 1970, с. 101—105.
- ↑ Boyer & Merzbach, 2010, p. 127—128.
- ↑ 1 2 История математики, т. I, 1970, с. 117—124.
- ↑ История математики, т. I, 1970, с. 197—198.
- ↑ Boyer & Merzbach, 2010, p. 172, 219.
- ↑ История математики, т. II, 1970, с. 131—135.
- ↑ История математики, т. II, 1970, с. 166—171.
- ↑ История математики, т. II, 1970, с. 174—181.
- ↑ В. Н. Дубровский, В поисках определения площади поверхности. Квант. 1978. № 5. С.31—34.
- ↑ В. Н. Дубровский, Площадь поверхности по Минковскому. Квант. 1979. № 4. С.33—35.
Литература[править | править код]
- Энциклопедия элементарной математики. Книга пятая. Геометрия / под редакцией П. С. Александрова, А. И. Маркушевича и А. Я. Хинчина. — М.: Наука, 1966. — 624 с.
- Рашевский П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ. Изд. 3-е, М.: Наука, 1967.
- Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 1960. — Т. 2. — 680 с. — ISBN 5-9221-0155-2.
- История математики: в 3 т / под редакцией А. П. Юшкевича. — М.: Наука, 1970. — Т. I: С древнейших времён до начала Нового времени.
- История математики: в 3 т / под редакцией А. П. Юшкевича. — М.: Наука, 1970. — Т. II: Математика XVII столетия.
- Boyer C. B., Merzbach U. C. A History of Mathematics. — John Wiley & Sons, 2010. — 640 p. (англ.)
Источник
План урока:
Понятие площади многоугольника
Свойство аддитивности площади
Площадь квадрата
Соотношение между единицами измерения площадей
Площадь прямоугольника
Понятие площади многоугольника
Понятие площади уже знакомо нам из младших классов и повседневной жизни. Эта величина, которая, грубо говоря, характеризует размер плоских фигур. Она показывает, какую часть плоскости занимает та или иная фигура. Исторически понятие площади многоугольника считалось неопределяемым, так же как понятия точка, прямая, плоскость и т. д. Основная же задача геометров (а именно так называют математиков, специализирующихся на геометрии) сводилась к измерению площади.
Как известно, для проведения любых измерений должна существовать некоторая единица измерения. Так, массу измеряют в килограммах, длину – в метрах и т. д. При этом единицы измерения разных величин могут быть связаны друг с другом. С практической точки зрения удобно принять в качестве единицы измерения площади квадрат, сторона которого равна 1 метру. Принимается, что площадь такого квадрата равна 1 квадратному метру (обозначается символом м2):
Аналогично можно определить такие величины, как квадратный сантиметр (см2), квадратный километр (км2), квадратный миллиметр (мм2) и т.д.:
Как мы знаем, иногда в задачах единицу измерения длины не указывают вовсе. Например, говорят, что сторона квадрата равна единице. В таких случаях и площадь является безразмерной величиной. Принимается, что площадь квадрата со стороной, равной единице, также равна единице. Такой квадрат называется единичным.
Общепринято, что площадь фигуры обозначается буквой S.
Свойство аддитивности площади
Предположим, что нам надо найти площадь прямоугольника со сторонами 2 и 1. Его можно разбить на два квадрата со стороной 1, то есть на два единичных квадрата:
Этот прямоугольник занимает на плоскости в два раза больше места, чем единичный квадрат, поэтому логично считать, что его площадь равна 2. В данном случае мы разбили многоугольник на две фигуры, площадь каждой из которых нам была известна. Далее мы сложили площади известные нам площади и получили площадь прямоугольника.
В общем случае справедливо утверждение, что площадь всякой фигуры равна сумме площадей фигур, из которых она может быть составлена. Это свойство называют аддитивностью площади:
Площадь – не единственная величина, обладающая свойством аддитивности. Например, длина любого отрезка равна сумме длин отрезков, из которых он состоит. В классической физике считается, что масса сложного тела равна сумме масс тел, составляющих его. Аддитивность можно считать основным свойством площади.
Свойство аддитивности подсказывает нам, как измерять площадь произвольных многоугольников. Достаточно разбить такой многоугольник на несколько фигур, чья площадь нам известна, и сложить их площади.
Задание. Найдите площадь фигуры, показанной на рисунке. Длина стороны одной клеточки равна единице.
Решение. Каждая клеточка является, по сути, единичным квадратом, чья площадь равна 1. Можно видеть, что нарисованная фигура состоит 11 таких квадратов:
В силу свойства аддитивности площадь фигуры равна сумме площадей этих квадратов:
Если две фигуры можно разбить на одинаковые фигуры, то их называют равносоставленными фигурами. Покажем пример равносоставленных фигур, которые состоят из двух половинок круга:
Довольно очевидно, что равносоставленные фигуры имеют равную площадь. Также очевидно, что любые две равные фигуры являются равносоставленными, а потому их площади тоже равны.
Важно понимать разницу между равными и равносоставленными фигурами. Фигуры равны, если их можно наложить друг на друга, и при этом они полностью совпадут. Равносоставленные же фигуры могут и не накладываться друг на друга.
Ещё одно важное понятие – равновеликие фигуры. Так называют фигуры, чьи площади равны. Мы уже сказали, что любые две равносоставленные фигуры имеют одинаковую площадь, то есть являются равновеликими. Верно ли обратное? Всякие ли равновеликие фигуры являются равносоставленными? Оказывается, что нет. Можно нарисовать окружность и квадрат, имеющие равные площади, но разбить их на одинаковые фигуры не получится:
С помощью равных и равновеликих фигур можно находить площади фигур, которые невозможно разбить на единичные квадраты.
Задание. Найдите площадь прямоугольного треугольника, катеты которого равны единице.
Решение. Достроим такой прямоугольник до единичного квадрата. В результате гипотенуза треугольника окажется диагональю квадрата:
Получили, что единичный квадрат состоит из двух равных треугольников, чью площадь нам и надо найти. Обозначим площадь треугольника как S. Тогда справедливо равенство
Итак, зная свойства площади фигур, мы попытаемся дать этому понятию определение. Можно сказать, что площадь – это число, характеризующее плоскую фигуру и имеющее следующие свойства:
- площадь квадрата со стороной 1 равна единице:
- равносоставленные фигуры имеют равную площадь.
Такого описания вполне достаточно, чтобы вывести все формулы для нахождения площади многоугольников.
Площадь квадрата
Из младших классов известно, что для вычисления площади квадрата достаточно умножить его сторону саму на себя. Докажем это строго, используя лишь свойства площадей.
Попробуем вычислить площадь квадрата, если известна его сторона. Если она равна 2, то квадрат можно разбить на четыре единичных квадрата, а если она равна 3, то квадрат можно разделить уже на девять единичных квадратов:
Тогда площадь квадрата со стороной 2 равна 4, а со стороной 3 уже равна 9. В общем случае квадрат со стороной n (где n– натуральное число) можно разбить n2 единичных квадратов, поэтому его площадь будет равна n2.
Но что делать в случае, если сторона квадрата – это не целое, а дробное число? Пусть оно равно некоторой дроби 1/m, например, 1/2 или 1/3. Тогда поступим наоборот – разделим сам единичный квадрат на несколько частей. Получится почти такая же картина:
В общем случае единичный квадрат можно разбить на m2 квадратов со стороной 1/m. Тогда площадь каждого из таких квадратов (обозначим ее как S)может быть найдена из уравнения:
Снова получили, что площадь квадрата в точности равна его стороне, возведенной во вторую степень.
Наконец, рассмотрим случай, когда сторона квадрата равна произвольной дроби, например, 5/3. Возьмем квадраты со стороной 1/3 и построим из них квадрат, поставив 5 квадратов в ряд. Тогда его сторона как раз будет равна 5/3:
Площадь каждого маленького квадратика будет равна 1/9, а всего таких квадратиков 5х5 = 25. Тогда площадь большого квадрата может быть найдена так:
В общем случае, когда дробь имеет вид n/m, где m и n– натуральные числа, площадь квадрата будет равна величине
Получили, что если сторона квадрата – произвольное рациональное число, то его площадь в точности равна квадрату этой стороны. Конечно, возможна ситуация, когда сторона квадрата – это иррациональное число. Тогда осуществить подобное построение не получится. Здесь помогут значительно более сложные рассуждения, основанные на методе «от противного».
Предположим, что есть некоторое иррациональное число I, такое, что площадь квадрата (S) со стороной I НЕ равна величине I2. Для определенности будем считать, что I2<S (случай, когда I2>S, рассматривается абсолютно аналогично). Однако тогда, извлекая корень из обеих частей неравенства, можно записать, что
Далее построим два квадрата, стороны которых имеют длины I и R, и совместим их друг с другом:
Так как мы выбрали число R так, чтобы оно было больше I, то квадрат со стороной I является лишь частью квадрата со стороной R.Но часть меньше целого, значит, площадь квадрата со стороной I (а она равна S) должна быть меньше, чем площадь квадрата со стороной R (она равна R2):
из которого следует противоположный вывод – величина R2 меньше, чем S. Полученное противоречие показывает, что исходная утверждение, согласно которому площадь квадрата со стороной I НЕ равна I2, является ошибочным. А значит, площадь квадрата всегда равна его стороне, умноженной на саму себя.
Задание. Найдите площадь квадрата, если его сторона равна
Задание. Площадь квадрата равна 25. Найдите длину его стороны.
Решение. Пусть сторона квадрата обозначается буквой х (как неизвестная величина). Тогда условие, согласно которому его площадь равна 25, можно переписать в виде уравнения:
Его простейшее квадратное уравнение, для его решения надо просто извлечь квадратный корень из правой части:
Примечание. Строго говоря, записанное уравнение имеет ещё один корень – это число (– 5). Однако его можно отбросить, так как длина отрезка не может быть отрицательным числом. В более сложных геометрических задачах отрицательные корни также отбрасывают.
Задание. Численно площадь квадрата равна периметру квадрата (с учетом того, что площадь измеряется в см2, а периметр – в см). Вычислите его площадь.
Решение. Снова обозначим сторону квадрата как х, тогда площадь (S)и периметр (Р) будут вычисляться по формулам:
По условию эти величины численно равны, поэтому должно выполняться равенство, являющееся уравнением:
Естественно, сторона квадрата не может быть равна нулю, поэтому нас устраивает только ответ х = 4. Тогда и площадь, и периметр будут равны 16.
Ответ: 16 см2.
Обратите внимание, что ответ задачи зависит от единицы измерения. Если использовать миллиметры, то сторона квадрата окажется равной 40 мм, периметр будет равен 160 мм, а площадь составит 1600 мм2. Именно поэтому в условии задачи сказано, что площадь и периметр равны численно. «По-настоящему» равными бывают только величины, измеряемые в одинаковых единицах измерения.
Соотношение между единицами измерения площадей
Площадь измеряется в «квадратных» величинах: м2, см2, км2 и т.д. Как связаны эти единицы измерения? Для ответа на этот вопрос построим квадрат со стороной 1 см и разобьем каждую его сторону на отрезки длиной 1 мм. Естественно, что таких отрезков будет 10, ведь, в 1 см равен 10 мм. Далее разобьем большой квадрат на маленькие, их число будет равно 102 = 100:
Площадь большого квадрата равна 1 см2, а площадь маленьких составляет 1 мм2. Так как большой квадрат состоит из 100 маленьких, мы можем записать:
Существуют специальные единицы измерения площади, известные как ар (обозначается сокращением а) и гектар (сокращение га). Первый представляет собой квадрат со стороной 10 м, а второй – со стороной 100 м. Верны следующие соотношения:
В частности, если стороны квадратов отличаются в 10 раз, то их площади отличаются уже в 100 раз. Отсюда вытекает быстрый метод перевода единиц площади. Пусть надо перевести 1 квадратный километр в квадратные дециметры. Сначала мы считаем, во сколько раз километр длиннее дециметра:
Задание. Площадь окружности равна 24 см2. Выразите эту величину в мм2 и м2.
Решение. Миллиметр в 10 раз меньше сантиметра, а потому 1 см2 равен 100 мм2:
Площадь прямоугольника
Ещё из младшей школы известно, что площадь прямоугольника равна произведению его сторон. Докажем этот факт, используя только свойства площади и выведенную нами ранее формулу площади квадрата.
Возьмем произвольный прямоугольник со сторонами a и b. Далее достроим его до квадрата со стороной (а + b):
С одной стороны, площадь большого квадрата (со стороной а + b) равна величине (а + b)2. С другой стороны, он состоит из 4 фигур, а потому его площадь равна сумме
Итак, мы доказали следующее утверждение:
Задание. Найдите площадь прямоугольника со сторонами 5 и 8 см?
Решение. Просто перемножаем эти числа:
Задание. Найдите площадь фигуры, изображенной на рисунке:
Решение. Необходимо разбить фигуры на несколько прямоугольников:
Далее считаем площадь каждого отдельного прямоугольника:
Задание. Полкомнаты необходимо покрыть паркетом. Длина и ширина комнаты равны 6 и 5,5 метрам, а каждая дощечка паркета имеет габариты 30х5 см. Сколько дощечек паркета необходимо купить для ремонта?
Решение. В таких задачах прежде всего следует все длины выразить в одних единицах измерения. Перепишем габариты комнаты:
Важно убедиться, что пол можно полностью покрыть целым числом дощечек, не используя какие-либо дощечки наполовину. Для этого габариты дощечки должны быть кратны габаритам комнаты. Это условие соблюдается:
Получается, что для покрытия пола дощечки необходимо разместить их в 20 рядов, в каждом из которых будет 110 досок. Тогда общее количество досок будет равно
Задание. Площадь прямоугольника равна 64, а одна из его сторон имеет длину 16. Найдите вторую сторону прямоугольника.
Решение. Запишем формулу площади прямоугольника:
Задание. Найдите стороны прямоугольника, если площадь равна 500, а одна из сторон в 5 раз больше другой стороны.
Решение. Обозначим меньшую сторону переменной х. Тогда большая сторона будет в 5 раз больше, то есть она равна 5х. Площадь прямоугольника будет вычисляться как произведение этих чисел
Мы получили два значения х, 10 и (– 10). Естественно, длина отрезка не может выражаться отрицательным числом, поэтому нам подходит только значение 10. Это длина меньшей стороны. Большая же сторона в 5 раз длиннее, то есть ее длина равна
Задание. Одна сторона прямоугольника длиннее другой на 5 см, а площадь прямоугольника равна 150 см2. Вычислите обе стороны прямоугольника.
Решение. Снова обозначим длину меньшей стороны буквой х, тогда большая сторона будет иметь длину х + 5 см. По условию произведение этих сторон равно 150:
Это обычное квадратное уравнение, решаемое с помощью:
Снова получили два корня, из которых только один является положительным. Итак, меньшая сторона равна 10 см. Тогда большая сторона буде равна
Задание. Периметр прямоугольника равен 16 см, а площадь составляет 15 см2. Каковы стороны этого прямоугольника?
Решение. Обозначим смежные стороны буквами a и b. Тогда и две другие стороны также будут равны а и b. Так как периметр (его обозначают буквой Р) по определению является суммой длин всех сторон, то для прямоугольника он будет равен:
Если сюда вместо S подставить 15, а вместо а выражение 8 – b, то получим такое уравнение:
Оба полученных корня являются положительными числами, то есть устраивают нас. Зная b, легко найдем и a:
В первом случае получается, что стороны равны 3 и 5 см. Во втором случае получились те же числа, только в другом порядке: 5 и 3 см. То есть эти два ответа, по сути, идентичны друг другу.
Ответ: 5 см; 3 см.
Источник