Какие свойства параллельного переноса

Параллельный перенос, симметрия относительно плоскости.

Цель:

• Сформировать понятие параллельного переноса;

• Рассмотреть симметрию относительно плоскости.

Параллельный перенос

Параллельным переносом фигуры называется перенос всех точек пространства на одно расстояние в одном направлении.

Параллельный перенос определяет вектор, по которому совершается перенос.

Чтобы совершить параллельный перенос, нужно знать направление и расстояние, что означает задать вектор.

Чтобы при параллельном переносе построить изображение многоугольника, достаточно построить изображения вершин этого многоугольника.

Первоначальная фигура и фигура, полученная после параллельного переноса, равны.

Параллельный перенос используется для конструирования графиков функций.

На рисунке изображена парабола и два результата параллельного переноса.

Иногда параллельный перенос встречается в необычных ситуациях:

Симметрия

Термин «cимме́три́я» — (др.-греч. συμμετρία) по гречески означает «соразмерность, пропорциональность, одинаковость в расположении частей»

Математически строгое представление о симметрии сформировалось сравнительно недавно – в XIX веке. В наиболее простой трактовке известного немецкого математика Германа Вейля (1855-1955) современное определение симметрии выглядит так: симметричным называется такой объект, который можно как-то изменять, получая в результате то же, с чего начали.

Мы будем называть симметрией фигуры любое преобразование, переводящее фигуру в себя, т.е. обеспечивающее ее самосовмещение.

Перечислим виды симметрии.

Виды симметрии

Осевая симметрия

Преобразование, при котором каждая точка A фигуры (или тела) преобразуется в симметричную ей относительно некоторой оси l точу А, при этом отрезок AA´  l , называется осевой симметрией.

Если точка А лежит на оси l, то она симметрична самой себе, т.е. A совпадает с A´.

В частности, если при преобразовании симметрии относительно оси l,

фигура F переходит сама в себя, то она называется симметричной относительно оси l, а ось l называется ее осью симметрии.

Центральная симметрия.

Преобразования, переводящее каждую точку A фигуры или тела в точку A´, симметричную ей относительно центра O, называетсяпреобразованием центральной симметрии или просто центральной симметрией.

Точка O называется центром симметрии и является неподвижной. Других неподвижных точек это преобразование не имеет. Если при преобразовании центральной симметрии относительно центра О фигура F преобразуется в себя, то она называется симметричной относительно центра O.при этом центр O называется центром симметрии фигуры F. Примерами фигур, обладающих центром симметрии, являются параллелограмм, окружность и т.д.

Знакомые понятия поворота и параллельного переноса используются при определении так называемой трансляционной симметрии.

Рассмотрим трансляционную симметрию более подробно.

Трансляционная симметрия

Поворот

Преобразование, при котором каждая точка A фигуры или тела поворачивается на один и тот же угол α вокруг заданного центра O, называется вращением или поворотом плоскости. Точка О называется центром вращения, а угол α – углом вращения. Точка O является неподвижной точкой этого преобразования.

Центральная симметрия есть поворот фигуры или тела на 180˚.

Параллельный перенос.

Преобразование при котором каждая точка фигуры или тела перемещается в одном и том же направлении на одно и то же расстояние, называется параллельным переносом.

Чтобы задать преобразование параллельного переноса, достаточно задать вектор .

Скользящая симметрия

Скользящей симметрией называется такое преобразование, при котором последовательно выполняются осевая симметрия и параллельный перенос.

Все перечисленные преобразования будем называть преобразованиями симметрии. Для преобразований симметрии имеют место следующие свойства:

1. отрезок переходит в равный ему отрезок;

2. угол переходит в равный ему угол;

3. окружность переходит в равную ей окружность;

4. любой многоугольник переходит в равный ему многоугольник и т.д.

5. параллельные прямые переходят в параллельные, перпендикулярные в перпендикулярные.

* В стереометрии вводится еще один вид симметрии –

Параллельный перенос – движение.

Доказательство.

Рассмотрим в пространстве две произвольные точки $M$ и $N$. Будем рассматривать параллельный перенос на данный нам вектор $overline{α}$. Пусть при нашем параллельном переносе данные нам точки отображаются, соответственно, в точки $M_1$ и $N_1$ (рис. 3).

Из определения 3 параллельного переноса получим, что $overline{MM_1}=overline{a}$, а $overline{NN_1 }=overline{a}$, следовательно, получим, что $overline{MM_1}=overline{NN_1}$.

Тогда, из определения равных векторов будем получать, что

$|MM_1|=|NN_1|$, $MM_1||NN_1$

Получаем, что четырехугольник $MM_1N_1N$ будет являться параллелограммом и, как следствие, верно равенство: $|MN|=|M_1N_1|$. Отсюда получаем, что параллельный перенос будет сохранять расстояния, что и доказывает нашу теорему.

Постройте параллельный перенос куба на вектор $overline{h}$, изображенных на рисунке 4.

Решение.

Для построения параллельного переноса сначала проведем через все точки тетраэдра прямые, параллельные заданному нам вектору $overline{h}$ (рис. 5).

Далее, для построения будем использовать определение 3. Точка $X$ перейдет в такую точку $X_1$, которая будет принадлежать прямой $x$. Точка $Y$ перейдет в такую точку $Y_1$, которая будет принадлежать прямой $y$. Точка $Z$ перейдет в такую точку $Z_1$, которая будет принадлежать прямой $z$. Точка $O$ перейдет в такую точку $O_1$, которая будет принадлежать прямой $o$. Точка $X’$ перейдет в такую точку $X’_1$, которая будет принадлежать прямой $a$. Точка $Y’$ перейдет в такую точку $Y’_1$, которая будет принадлежать прямой $b$. Точка $Z’$ перейдет в такую точку $Z’_1$, которая будет принадлежать прямой $c$. Точка $O’$ перейдет в такую точку $O’_1$, которая будет принадлежать прямой $o’$. Причем будут выполняться равенства:

$overline{XX_1}=overline{h}$, $overline{YY_1}=overline{h}$, $overline{ZZ_1}=overline{h}$, $overline{OO_1}=overline{h}$, $overline{X’X’_1}=overline{h}$, $overline{Y’Y’_1}=overline{h}$, $overline{Z’Z’_1}=overline{h}$, $overline{O’O’_1}=overline{h}$

Отметим эти точки (рис. 6).

Соединив эти точки между собой, мы и получим искомый нами параллельный перенос на вектор $overline{h}$ (рис. 7).

11 класс геометрия

Тема: Параллельный перенос

Цель:

Обучающая – формирование знаний учащихся о параллельном переносе в пространстве; изучение его свойств и применение их к решению задач.

Развивающая – развивать умение качественно оценивать поставленную задачу для правильного выбора способа решения задачи; развивать самостоятельность; логическое мышления учащихся.

Воспитательная – формировать интерес к предмету, навыки контроля и самоконтроля; чувство ответственности, деловые качества учащихся.

Оборудование: раздаточный материал, учебник

Ход урока

I. Организационный момент

II. Актуализация знаний

2. Самостоятельная работа.

Вариант 1

1) Концы отрезка А(3; 1; 8) и В (5; 7; 2). Найдите точку, симметричную середине отрезка относительно плоскости xz. 

2) Точки А (4; 2; 10), B(10; -2; 8), С(-2; 0; 6) – вершины параллелограмма ABCD. Найдите координаты вершины D. 

Вариант 2

1) Концы отрезка А (5; -2; 1) и В (5; 4; 5). Найдите точку, симметричную середине отрезка относительно начала координат.

2) Точки В (2; 1; 3), C(1; 1; 4), D(0; 1; 3) – вершины параллелограмма ABCD. Найдите координаты вершины А.

Ответ. Вариант 1. 1) (4;-4;5); 2) D(-8;4;8). Вариант 2. 1) (-5;-1;-3); 2) A(1;1;2). 

III. Объяснение нового материала

Параллельный перенос в пространстве

Параллельным переносом в пространстве называется такое преобразование, при котором произвольная точка (х; у; z) фигуры переходит в точку (х+ а; у + b; z + c), где числа а, b, с – одни и те же для всех точек. Параллельный перенос в пространстве задают формулами: выражающие координаты х1, у1, z1 точки, в которую переходит точка (х; у; z) при параллельном переносе.

Физкультминутка

IV. Формирование умений и навыков.

1. Параллельный перенос задается формулами: х1 = х +3, y1 = у – 3, z1 = z + 1. В какую точку при этом параллельном переносе переходит точка А(1;2;3) ?

2. Параллельный перенос задается формулами: х1 = x + 1, у1 = у + 2, z1 = z +3. Точка А при этом переносе переходит в точку В (2; 3; 1). Найдите координаты точки А.

3. Точка А (1; 2; 3) при параллельном переносе переходит в точку В (3;2,1). Запишите формулы этого параллельного переноса.

4. Существует ли параллельный перенос, при котором точка А (1; 3; 2) переходит в точку В (0; 2; 4), а точка D (2; 2; 2) переходит в точку C (1; 1; 4)?

Свойства параллельного переноса

1. Параллельный перенос есть движение.

2. При параллельном переносе прямая переходит в параллельную ей прямую (или в себя).

3. При параллельном переносе плоскость переходит либо в себя, либо в параллельную ей плоскость.

4. Каковы бы ни были две точки А и А’, существует единственный параллельный перенос, в результате которого точка А переходит в точку А’. Учащиеся самостоятельно знакомятся с доведением свойства 3 по учебнику.

Решение задач

1. Постройте фигуру, в которую переходит куб при параллельном переносе, при котором точка А переходит в точку В (рис. 269).

2. Задача № 26 из учебника (с. 56).

3. Задача № 27 из учебника (с. 56).

V. Домашнее задание: читать п.57, выучить понятия; выполнить №509(а), дополнительно 505

VI. Подведение итогов. Рефлексия

Вопрос к классу

1) Дайте определение параллельного переноса.

2) Перечислите основные свойства параллельного переноса.

3) При параллельном переносе точка А (1;-1; 0) переходит в точку B(3;-1;2). Укажите, какие из приведенных утверждений правильные, а какие – неправильные:

а) данное параллельный перенос задается формулами x1 = x + 2 , y1 = в, z1 = z + 2;

б) начало координат при данном параллельном переносе переходит в точку (-2; 0; – 2);

в) точка В при данном параллельном переносе переходит в точку (5; -1; 4);

г) параллельные перенос, при котором точка В переходит в точку А, задается формулами x1 = x + 2 , y1 = y + 2,  z1 = z + 3.