Какие свойства называют существенными

Существенные и несущественные свойства
математических объектов раскрываются в процессе
определения понятий математики. Множество
существенных свойств составляют содержание
понятия.

Под существенными свойствами будем понимать
те, без которых понятие не существует, и при
помощи которых выделяются объекты интересующего
нас множества. Существенные свойства – это
всегда общие свойства, но обратное неверно –
общие свойства могут быть несущественными. Так, в
школьных учебниках в уравнениях преобладает
обозначение переменной – “х”. Это свойство
общее, но не существенное.

Кроме того, понятия “существенное” и
“несущественное” свойство относительны, в
разных ситуациях одно и то же свойство
математического объекта может быть как
существенным, так и несущественным. Например, при
выделении линейных функций среди других знак
коэффициента при х – несущественное
свойство, но оно же становится существенным при
выделении среди линейных функций возрастающих.

Существенные свойства понятия в определении
могут быть связаны между собой конъюнктивно,
дизъюнктивно и в сочетании конъюнкции и
дизъюнкции. Большинство школьных определений –
конъюнктивны. Если

– существенные свойства какого-либо
математического понятия Р, то:

• если математический объект не обладает хотя
бы одним из свойств , то этот объект не принадлежит понятию Р;

• если математический объект обладает всеми
существенными свойствами , то он обязательно принадлежит
понятию Р.

Понять эту непростую закономерность ребятам
помогает такое объяснение материала, при котором
после введения определения ученикам
предъявляются математические объекты со
свойствами ; . Учащиеся
должны мотивированно ответить на вопрос, почему
эти объекты не принадлежат понятию Р. Такая
работа позволяет за один урок сформировать в
сознании ребят математическое понятие.

Процесс выделения свойств математических
объектов, отделения существенных от
несущественных очень сложен. Чтобы помочь в этом,
можно применять на уроках задания следующих
четырех типов.

Первый из них – учащимся известно определение
математического понятия и они с помощью учителя
или самостоятельно формулируют основные
существенные свойства этого понятия, заем
проверяют, обладают ли предложенные им
математические объекты этими свойствами.
Примером могут служить следующие задания:

• Сформулируйте определение линейной функции.
Укажите, какая из следующих функций является
линейной, а какая – нет. Поясните, почему?

; ; ; ; ; ; ; ; ; .

• Сформулируйте известные вам свойства
понятия функции. Укажите, какая из ломаных,
изображенных на рисунке, является графиком
функции:

Поясните свой ответ.

Задания второго типа состоят в том, что
учащиеся должны назвать математический объект
по перечисленным его свойствам.

1. Функция … принимает наибольшее значение при .

2. Функция … возрастает на интервале и убывает на
интервале .

3. График функции … симметричен относительно
прямой .

4. График функции … расположен в III и IV
координатных четвертях.

5. График функции … проходит через точку .

6. Точка пересечения графика функции … с осью ОУ
– .

Какая квадратичная функция обладает этими
свойствами? Задайте ее аналитической формулой и
постройте график этой функции.

Задания третьего типа – это задания, в которых
нужно выделить существенные свойства
математических объектов и привести
самостоятельно примеры объектов, обладающих
такими же свойствами или отбросить лишние
объекты:

• Какое из числовых выражений вы назвали бы
лишним в этой таблице?

Поясните свой ответ.

• Запишите еще несколько членов числовой
последовательности, задайте ее общий член
формулой:

.

В заданиях четвертого типа от учащихся
требуется добавить свойство или свойства, чтобы
от одного математического объекта перейти к
другому. На уроках геометрии предлагается
задание:

• Укажите то условие, которое нужно добавить,
чтобы от одного четырехугольника перейти к
другому. Назовите все известные вам свойства
перечисленных геометрических фигур.

• Укажите условия, необходимые для того, чтобы
перейти от одной функции к другой. Назовите все
известные вам свойства указанных функций.

Прием расчленяющей абстракции (Е.Н.
Кобанова-Меллер) при изучении понятий выражается
в таких действиях:

а) выделяются существенные свойства
математических объектов, они остаются
инвариантными в процессе формирования понятия;

б) выделяются несущественные свойства тех же
объектов и принцип их вариаций, в процессе
формирования понятия используются вариации
несущественных свойств.

После знакомства с графиками функций,
содержащих модули, можно предложить учащимся
графически решить уравнение, содержащее модуль и
параметр.

• Найти все значения а, при которых
уравнение имеет
ровно два корня.

Данное уравнение имеет вид , где ; .

Раскрывая знаки модулей в , рассмотрим три случая:

1) : .

2) : .

3) : .

Запишем в
виде:

Решим данное уравнение графически, построив в
системе координат ОХУ графики функций и . Заметим, что задает множество прямых,
параллельных оси ОХ.

Решением задачи будет промежуток .

Учитель может варьировать задания:

• Найти все а, при которых уравнение

1) имеет ровно два корня;

2) имеет ровно три корня;

3) имеет бесконечно много корней;

4) не имеет корней;

5) имеет хотя бы одни корень;

6) имеет хотя бы один корень, причем все его
корни принадлежат отрезку .

Другое направление варьирования исходного
задания – изменять :

• Найти все а, при которых уравнение:

1)

2)

3)

имеет два корня.

Наконец, варьированию поддаются функции,
входящие в левую часть исходного уравнения:

• Найти все а, при которых уравнение:

1)

2)

3)

имеет ровно два корня.

Из получившихся заданий учитель может выбрать
материал для “Урока одной задачи”, учитывая
особенности своего класса.