Какие свойства можно привести при описании множества

Итак, чтобы получился продукт с энергетическим эффектом, нам нужен сам эгрегор, который это создает. На данный период это Имблок (астрономическое начало весны).

О нем я написала здесь

Отсюда получаем:

Смысл и основа:

1. Встреча с Судьбой
2. Возможность выбора любого пути
3. Видение и понимание этого пути (Смысл Сретения)
4. Возможность расчистить этот путь
5. Оставить за собой управление судьбой

Компоненты:

1. Молоко – очищение, молодость, набор сил и их возвращение, достаток, невидимая защита Богов (пелена), соответствует выражению: «Как у Бога за пазухой». В идеале именно овечье))), но можно и любое, вплоть до кокосового.
2. Воск – очищение, достаток, надежность, гармония, уют, оберег.
3. Овчина – богатство (достаток тут слабо выражен, он увеличен), стабильность, защита, здоровье.
4. Солома (все злаковые) – здоровье, стабильность, достаток, любовь.
5. Камни соответствующие «Смыслу и основе» – самый идеальный лазурит – нахождение и понимание своего пути.
6. Вода, набранная в этот период – лучше талая, тут снег выполняет функцию «Манна небесная» – прибыль, очищение, набор сил.
7. Травы – конечно же, первоцветы:

Сам первоцвет – здоровье, молодость, очарование, истина (т.е. располагает людей говорить правду), можно и культурный (примула);

подснежники – целомудренность, очищение, омолаживание;

пролеска – исполнение мечты, молодость;

Так же флора, соответствующая этому временному периоду:

эхинацея – иммунитет, молодость, здоровье, энергия, снятие стресса;

корица – бизнес, стабильность, красота, любовь;

бузина – богатство, связь с Богами, защита.

Это не все, только самые основные.

1. Птицы – значит перья, пух. Дают легкость, очищают от навязчивых мыслей, привлечение любви, здоровья, сил, достатка, нужных шансов (конечно же неплохо знать соответствие и символизм каждой птички, но если я тут напишу об этом, то…….)

Теперь сам продукт, его создание. Допустим, это будет мыло.

Я не покупаю основы, варю мыло сама, уверена, основа не испортит энергоэффект его.

Берем лазурит, очищаем под проточной водой, потом очищаем солью, чтобы снять всю инфу, которые они уже накопили до нас. Затем его колошматим и перетираем в порошок. По затратам он доступен для многих.

Составляем свой травяной сбор, у меня он такой: 3 ч. эхинацеи, 2 части подснежников, 1 ч. пролески, 1 ч. ржи, 2 ч. первоцвета.

Снег набираю с определенными словами и мыслеформой, не топлю его, жду когда сам растает. Фильтрую его через кремний и магнитную крошку, пирит использовать не стала, может ослабить эффект привлечения. Фильтр в упрощенном варианте это носовые платочки, купленные в аптеке, свернутые в форму кулечка и насыпанной туда использованной кофейной гущей.

Можно снег заменить водой из источника или, если христианин, то Св. водой из церкви.

Делаем отвар, добавляю туда мед, воск (церковные свечи), молоко (молоко перетапливаю). Далее по всем правилам приготовления мыла ручной работы из основы (в инете полно, или задам вопрос, потом и сама на него отвечу).

Пока не застыло, добавляю туда крошку лазурита, немного птичьего пуха для легкости и эфирные мала, у меня лаванда, эхинацея, апельсин и иланг-иланг, они стимулируют нас к движению и поиску решений.

Теперь самое интересное для рукотворников)))) форма мылок. Мылко у нас с задачей поиска своего пути и его открытия, то форма тут может быть равностороннего креста – перекресток. Формочку сделать просто, по кругу вырезать из широкой пластиковой бутылки круг, и перегнуть его по форме креста.

Форма камня, как в сказке и в заговорах Алатырь, да еще написать цитату из нее. Видела, мылки у рукодельниц, похожие на натуральные камни, лазурит тоже умудрились сделать, вот молодцы.

Можно в форме птицы.

Не отметаем наш Овсений и овечье молоко. Берем овечью пряжу, зорим её – это выносим на мороз, чтобы выморозилась. И навязываем разных волшебных мочалок, они так классно поправляют здоровье.

Вот и всё, у нас получился банный волшебный набор для Судьбоносного движения к успеху и счастью. Название может быть разным: Имболк, Сретение, Путь и т.д., фантазируйте.

И не надо бояться тех сложностей, которые я якобы тут понагородила, поверьте, всё на самом деле намного проще, чем кажется. Ведь мы изо дня в день выполняем массу ритуалов: умываемся, чистим зубы, чашечка чая или кофе, даже БВ, уверена, у многих ритуалом стал.

Успехов в творчестве.

P.s. для тех моих “коллег”, которые на самом деле занимают позу волшебника, а не яв-ся как таковыми. Понимаю, что я тут вам дала возможность для наполнения ваших “Магических лавочек, таверн и т.д.”, но такое на поток чисто физически не поставишь. Это возможно только на уровне домашнего приготовления, поэтому не надо быть смешными и очернять отношение к настоящим мастерам и тем людям, которые могут этот мир делать улыбчивее.

Спасибо Афанасию44 за стимул))))

Данная тема содержит немало терминологии, поэтому я добавлю содержание темы, которое позволит легче ориентироваться в материале.

1. Обозначение множеств. Принадлежность элемента множеству. Пустое множество.
2. Подмножество. Универсальное множество. Равенство множеств. Булеан.
3. Способы задания множеств.

Начнём с того, что же, собственно, понимать под словом “множество”. На интуитивном уровне под множеством понимают некую совокупность объектов, именуемых элементами множества. Например, можно говорить о множестве груш на столе, множестве букв в слове “множество” и так далее. Георг Кантор (немецкий математик, основатель современной теории множеств) писал, что под “множеством я понимаю вообще всё то многое, которое возможно мыслить как единое, т.е. такую совокупность определённых элементов, которая посредством одного закона может быть соединена в одно целое”. Некоторое время понятие множества, введённое Кантором, полагалось довольно очевидным и не требующим дополнительных пояснений. Казалось, что появление работ Больцано, а затем и Кантора в конце 19 – начале 20 века, положит конец многим вопросам (например, окончательно разрешит апории Зенона, разрешит проблему бесконечности и т.д.) и станет началом новой математики. Гениальный немецкий математик Давид Гильберт отмечал, что “Никто не изгонит нас из рая, созданного Кантором”.

Однако появление парадоксов (Рассел, Бурали-Форти) положило конец “канторовскому раю”. Одна из формулировок парадокса Рассела, известная под названием “парадокс брадобрея” звучит так: в некотором селе брадобрей бреет тех и только тех жителей села, которые не бреются сами. Кто же тогда бреет самого брадобрея? Допустим, он бреет себя самостоятельно. Т.е. он принадлежит к тем жителям села, которые бреются сами, – а ведь согласно условию этих жителей брадобрей не имеет права брить. Следовательно, допущение о том, что брадобрей бреется сам, приводит к противоречию. Попробуем иначе: пусть брадобрей не бреется сам. Если он сам не бреется, то согласно условию его обязан брить брадобрей – вновь противоречие! Были предприняты попытки разрешить противоречия теории множеств, предложенной Кантором. Саму канторовскую теорию множеств математики назвали “наивной”. Целью многих математических трудов стало построение такой системы аксиом, в которой подобные парадоксы были бы невозможны. Но задача оказалась не столь уж проста. На данный момент, насколько мне известно, единой аксиоматики теории множеств нет. Наиболее распространенной считается система аксиом Цермело-Френкеля (ZFC), в которой особняком стоит так называемая “аксиома выбора”. Есть и вариации этой системы: например, автор B-метода Жан-Раймонд Абриал предложил типизированную теорию множеств, на основании которой создал формальный метод разработки программ.

Обозначение множеств. Принадлежность элемента множеству. Пустое множество.

Обычно множества записываются в фигурных скобках. Например, множество всех гласных букв русского алфавита будет записано так:

$${а, е, ё, и, о, у, ы, э, ю, я } $$

А множество всех целых целых чисел, больших 8, но меньших 15, будет таким:

$${9,10,11,12,13,14 } $$

Множество может вообще не содержать ни одного элемента. В этом случае его именуют пустым множеством и обозначают как $varnothing$.

Чаще всего в математической литературе множества обозначаются с помощью больших букв латинского алфавита. Например:

$$A={0, 5, 6, -9 },; B={Delta, +, -5, 0}.$$

Есть и устоявшиеся обозначения определённых множеств. Например, множество натуральных чисел принято обозначать буквой $N$; множество целых чисел – буквой $Z$; множество рациональных чисел – буквой $Q$; множество всех действительных чисел – буквой $R$. Есть и иные устоявшиеся обозначения, но к ним мы станем обращаться по мере необходимости.

Множество, которое содержит конечное количество элементов, именуют конечным множеством. Если множество содержит бесконечное количество элементов, его называют бесконечным.

Например, указанное выше множество $A={0, 5, 6, -9 }$ – конечное множество, ибо содержит 4 элемента (т.е. конечное число элементов). Множество натуральных чисел $N$ является бесконечным. Вообще говоря, мы не всегда можем сразу с уверенностью сказать, бесконечно некое множество или нет. Например, пусть $F$ – множество простых чисел.

Что такое простое число: показатьскрыть

Возникает вопрос: бесконечно множество $F$ или нет? Существует ли наибольшее простое число? Для ответа на этот вопрос понадобилась целая теорема, доказанная Эвклидом, о том, что множество простых чисел – бесконечно.

Под мощностью множества для конечных множеств понимают количество элементов данного множества. Мощность множества $A$ обозначается как $|A|$.

Например, так как конечное множество $A={0, 5, 6, -9 }$ содержит 4 элемента, то мощность множества $A$ равна 4, т.е. $|A|=4$.

Если нам известно, что некий объект $a$ принадлежит множеству $A$, то записывают это так: $ain A$. Например, для вышеуказанного множества $A$ можно записать, что $5in A$, $-9in A$. Если же объект $a$ не принадлежит множеству $A$, то обозначается это следующим образом: $anotin A$. Например, $19notin A$. Кстати, сказать, элементами множеств могут быть и иные множества, например:

$$
M={-9,1,0, { a, g}, varnothing }
$$

Элементами множества $M$ являются числа -9, 1, 0, а также множество $ { a,; g}$ и пустое множество $varnothing$. Вообще, для упрощения восприятия множество можно представлять как портфель. Пустое множество – пустой портфель. Эта аналогия пригодится чуть далее.

Подмножество. Универсальное множество. Равенство множеств. Булеан.

Множество $A$ называют подмножеством множества $B$, если все элементы множества $A$ являются также элементами множества $B$. Обозначение: $Asubseteq B$.

Например, рассмотрим множества $K={ -9,5}$ и $T={8,-9,0,5,p, -11}$. Каждый элемент множества $K$ (т.е. -9 и 5) является также элементом множества $T$. Следовательно, множество $K$ есть подмножество множества $T$, т.е. $Ksubseteq T$.

Так как все элементы любого множества $A$ принадлежат самому множеству $A$, то множество $A$ является подмножеством самого множества $A$. Пустое множество $varnothing$ является подможеством любого множества. Т.е. для произвольного множества $A$ верно следующее:

$$Asubseteq A; ; varnothingsubseteq A.$$

Введём ещё одно определение – универсальное множество.

Универсальное множество (универсум) $U$ обладает тем свойством, что все иные множества, рассматриваемые в данной задаче, являются его подмножествами.

Иными словами, универсум содержит в себе элементы всех множеств, которые рассматриваются в рамках некоей задачи. Например, рассмотрим такую задачу: проводится опрос студентов некоей академгруппы. Каждому студенту предлагается указать мобильных операторов РФ, сим-карты которых он использует. Данные этого опроса можно представить в виде множеств. Например, если студент Василий использует сим-карты от МТС и Life, то можно записать следующее:

$$
Vasilij={MTC, Life }
$$

Подобные множества можно составить для каждого студента. Универсумом в этой модели будет множество, в котором перечислены все операторы России. В принципе, в качестве универсума можно взять также множество, в котором перечислены все операторы СНГ, а также множество всех мобильных операторов мира. И это не будет противоречием, ибо любой оператор России входит в множество операторов как СНГ, так и всего мира. Итак, универсум определяется только в рамках некоей конкретной задачи, при этом зачастую можно рассмотреть несколько универсальных множеств.

Множества $A$ и $B$ называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов. Иными словами, если каждый элемент множества $A$ является также элементом множества $B$, и каждый элемент множества $B$ является также элементом множества $A$, то $A=B$.

Определение равенства множеств можно записать и по-иному: если $Asubseteq B$ и $Bsubseteq A$, то $A=B$.

Рассмотрим пару множеств: первое будет ${Delta, k }$, а второе – ${k, Delta}$. Каждый элемент первого множества (т.е. $Delta$ и $k$) является также элементом второго множества. Каждый элемент второго множества (т.е. $k$ и $Delta$) является также элементом второго множества. Вывод: ${Delta, k }={k, Delta}$. Как видите, порядок записи элементов в множестве роли не играет.

Рассмотрим ещё пару множеств: $X={k, Delta, k, k,k }$ и $Y={Delta, k }$. Каждый элемент множества $X$ является также элементом множества $Y$; каждый элемент множества $Y$ является также элементом множества $X$. Следовательно, ${k, Delta, k, k, k }={Delta, k }$. С учётом подобных равенств в теории множеств принято одинаковые элементы не повторять в записи дважды. Например, множество цифр числа 1111111555559999 будет таким: ${1,5,9}$. Есть, конечно, исключения: так называемые мультимножества. В записи мультимножеств элементы могут повторяться, однако в классической теории множеств повторения элементов не допускаются.

Используя понятие равенства множеств, можно классифицировать подмножества.

Если $Asubseteq B$, при этом $Aneq B$, то множество $A$ называют собственным (строгим) подмножеством множества $B$. Также говорят, что множество $A$ строго включено в множество $B$. Записывают это так: $A subset B$.

Если же некое подмножество множества $A$ совпадает с самим множеством $A$, то это подмножество называют несобственным. Иными словами, множество $A$ является несобственным подмножеством самого множества $A$.

Например, для рассмотренных выше множеств $K={ -9,5}$ и $T={8,-9,0,5,p, -11}$ имеем: $Ksubseteq T$, при этом $Kneq T$. Следовательно, множество $K$ является собственным подмножеством множества $T$, что записывается как $Ksubset T$. Можно сказать и так: множество $K$ строго включено в множество $T$. Запись $Ksubset T$ более конкретна, нежели $Ksubseteq T$. Дело в том, что записывая $Ksubset T$ мы гарантируем, что $Kneq T$. В то время как запись $Ksubseteq T$ не исключает случая равенства $K=T$.

Примечание относительно терминологии: показатьскрыть

Множество всех подмножеств некоего множества $A$ называют булеаном или степенью множества $A$. Обозначается булеан как $P(A)$ или $2^A$.

Пусть множество $A$ содержит $n$ элементов. Булеан множества $A$ содержит $2^n$ элементов, т.е.

$$
left| P(A) right|=2^{n},;; n=|A|.
$$

Рассмотрим пару примеров на использование введённых выше понятий.

Пример №1

Из предложенного списка выберите те утверждения, которые являются верными. Ответ аргументируйте.

1. ${-3,5, 9 }subseteq {-3, 9, 8, 5, 4, 6 } $;
2. ${-3,5, 9 }subset {-3, 9, 8, 5, 4, 6 } $;
3. ${-3,5, 9 }in {-3, 9, 8, 5, 4, 6 } $;
4. $varnothing subseteq varnothing$;
5. $varnothing={varnothing }$;
6. $varnothing in varnothing$;
7. $A={9, -5, 8 {7, 6 } };; |A|=5$.

Решение

1. Нам заданы два множества: ${-3,5, 9 }$ и ${-3, 9, 8, 5, 4, 6 }$. Каждый элемент первого множества является также элементом второго множества. Следовательно, первое множество есть подмножество второго, т.е. ${-3,5, 9 }subseteq {-3, 9, 8, 5, 4, 6 }$. Утверждение первого пункта – верное.
2. В первом пункте мы выяснили, что ${-3,5, 9 }subseteq {-3, 9, 8, 5, 4, 6 }$. При этом данные множества не равны между собой, т.е. ${-3,5, 9 }neq {-3, 9, 8, 5, 4, 6 }$. Значит, множество ${-3,5, 9 }$ является собственным (в иной терминологии строгим) подмножеством множества ${-3, 9, 8, 5, 4, 6 }$. Этот факт записывается как ${-3,5, 9 }subset {-3, 9, 8, 5, 4, 6 } $. Итак, утверждение второго пункта истинно.
3. Множество ${-3,5, 9 }$ не является элементом множества ${-3, 9, 8, 5, 4, 6 }$. Утверждение третьего пункта ложно. Для сравнения: утверждение ${-3,5, 9 }in {9, 8, 5, 4, {-3,5,9}, 6 }$ истинно.
4. Пустое множество является подможеством любого множества. Поэтому утверждение $varnothing subseteq varnothing$ истинно.
5. Утверждение ложно. Множество $varnothing$ не содержит элементов, а множество ${varnothing }$ содержит один элемент, посему равенство $varnothing={varnothing }$ неверно. Чтобы это было нагляднее, можно обратиться к той аналогии, что я описал выше. Множество – это портфель. Пустое множество $varnothing$ – пустой портфель. Множество ${varnothing }$ – портфель, внутри которого лежит пустой портфель. Естественно, что пустой портфель и непустой портфель, внутри которого нечто есть – разные портфели 🙂
6. Пустое множество не содержит элементов. Ни единого. Поэтому утверждение $varnothing in varnothing$ ложно. Для сравнения: утверждение $varnothingin{varnothing }$ истинно.
7. Множество $A$ содержит 4 элемента, а именно: 9, -5, 8 и ${7, 6 }$. Поэтому мощность множества $A$ равна 4, т.е. $|A|=4$. Следовательно, утверждение о том, что $|A|=5$ – ложно.

Ответ: Утверждения в пунктах №1, №2, №4 – истинны.

Пример №2

Записать булеан множества $A={-5,10,9}$.

Решение

Множество $A$ содержит 3 элемента. Иными словами: мощность множества $A$ равна 3, $|A|=3$. Следовательно, множество $A$ имеет $2^3=8$ подмножеств, т.е. булеан множества $A$ будет состоять из восьми элементов. Перечислим все подмножества множества $A$. Напомню, что пустое множество $varnothing$ является подмножеством любого множества. Итак, подмножества таковы:

$$
varnothing, {-5 }, { 10}, { 9}, {-5,10 }, {-5, 9 }, {-10, 9 }, {-5, 10, 9 }
$$

Напомню, что подмножество ${-5, 10, 9 }$ является несобственным, так как совпадает с множеством $A$. Все остальные подмножества – собственные. Все записанные выше подмножества являются элементами булеана множества $A$. Итак:

$$
P(A)=left{varnothing, {-5 }, { 10}, { 9}, {-5,10 }, {-5, 9 }, {-10, 9 }, {-5, 10, 9 } right}
$$

Булеан найден, остаётся лишь записать ответ.

Ответ: $P(A)=left{varnothing, {-5 }, { 10}, { 9}, {-5,10 }, {-5, 9 }, {-10, 9 }, {-5, 10, 9 } right}$.

Способы задания множеств.

Первый способ – это простое перечисление элементов множества. Естественно, такой способ подходит лишь для конечных множеств. Например, с помощью данного способа множество первых трёх натуральных чисел будет записано так:

$$
{1,2,3}
$$

Часто в литературе можно встретить обозначения такого характера: $T={0,2,4,6,8, 10, ldots }$. Здесь множество задаётся не перечислением элементов, как кажется на первый взгляд. Перечислить все чётные неотрицательные числа, которые и составляют множество $T$, невозможно, ибо этих чисел бесконечно много. Запись вида $T={0,2,4,6,8, 10, ldots }$ допускается только тогда, когда не вызывает разночтений.

Второй способ – задать множество с помощью так называемого характеристического условия (характеристического предиката) $P(x)$. В этом случае множество записывается в таком виде:

$${x| P(x)}$$

Запись ${x| P(x)}$ читается так: “множество всех элементов $x$, для которых высказывание $P(x)$ истинно”. Что именно значит словосочетание “характеристическое условие” проще пояснить на примере. Рассмотрим такое высказывание:

$$P(x)=”x; – ;натуральное; число,; последняя; цифра; которого ;равна; 7″$$

Подставим в это высказывание вместо $x$ число 27. Мы получим:

$$P(27)=”27; – ;натуральное; число,; последняя; цифра; которого ;равна; 7″$$

Это истинное высказывание, так как 27 действительно является натуральным числом, последняя цифра которого равна 7. Подставим в это высказывание число $frac{2}{5}$:

$$Pleft(frac{2}{5}right)=”frac{2}{5}; – ;натуральное; число,; последняя; цифра; которого ;равна; 7″$$

Это высказывание ложно, так как $frac{2}{5}$ не является натуральным числом. Итак, для некоторых объектов $x$ высказывание $P(x)$ может быть ложно, для некоторых – истинно (а для некоторых вообще не определено). Нас будут интересовать лишь те объекты, для которых высказывание $P(x)$ будет истинно. Именно эти объекты и образуют множество, заданное с помощью характеристического условия $P(x)$ (см. пример №3).

Третий способ – задать множество с помощью так называемой порождающей процедуры. Порождающая процедура описывает, как получить элементы множества из уже известных элементов или неких иных объектов (см. пример №4).

Пример №3

Записать множество $A={x| xin Z wedge x^2 < 10}$ перечислением элементов.

Решение

Множество $A$ задано с помощью характеристического условия. Характеристическое условие в данном случае выражено записью “$xin Z wedge x^2 < 10$” (знак “$wedge$” означает “и”). Расшифровывается эта запись так: “$x$ – целое число, и $x^2 < 10$”. Иными словами, в множество $A$ должны входить лишь целые числа, квадрат которых меньше 10. Таких чисел всего 7, т.е.

$$
A={0,-1,1,-2,2,-3,3}
$$

Множество $A$ теперь задано с помощью перечисления элементов.

Ответ: $A={0,-1,1,-2,2,-3,3}$.

Пример №4

Описать элементы множества $M$, которое задано такой порождающей процедурой:

1. $3in M$;
2. Если элемент $xin M$, то $3xin M$.
3. Множество $M$ – является подмножеством любого множества $A$, удовлетворяющего условиям №1 и №2.

Решение

Давайте пока оставим в покое условие №3 и посмотрим, какие элементы входят в множество $M$. Число 3 туда входит согласно первому пункту. Так как $3in M$, то согласно пункту №2 имеем: $3cdot 3in M$, т.е. $9in M$. Так как $9in M$, то согласно пункту №2 получим: $3cdot 9in M$, т.е. $27in M$. Так как $27in M$, то по тому же пункту №2 имеем: $81in M$. Короче говоря, построенное множество 3, 9, 27, 81 и так далее – это натуральные степени числа 3.

$$3^1=1; ; 3^2=9; ; 3^3=27; ; 3^4=81;; ldots$$

Итак, кажется, что искомое множество задано. И выглядит оно так: ${3,9,27,81,ldots }$. Однако действительно ли условия №1 и №2 определяют только это множество?

Рассмотрим множество всех натуральных чисел, т.е. $N$. Число 3 – натуральное, посему $3in N$. Вывод: множество $N$ удовлетворяет пункту №1. Далее, для любого натурального числа $x$ множество $N$ содержит также и число $3x$. Например, 5 и 15, 7 и 21, 13 и 39 и так далее. Значит, множество $N$ удовлетворяет условию №2. И, кстати сказать, не только множество $N$ удовлетворяет условиям №1 и №2. Например, множество всех нечётных натуральных чисел $N_1={1,3,5,7,9,11, ldots}$ тоже подходит под условия пунктов №1 и №2. Как же указать, что нам нужно именно множество ${3,9,27,81,ldots }$?

Вот тут на помощь приходит пункт №3. Говоря огрублённо, он означает, что множество $M$ – наименьшее из всех возможных множеств. Так как множества $N$ и ${3,9,27,81,ldots }$ удовлетворяют пунктам №1 и №2, но $Nnsubseteq {3,9,27,81,ldots }$, то множество $N$ не удовлетворяет третьему пункту. Аналогично, так как $N_1nsubseteq {3,9,27,81,ldots }$, то множество $N_1$ также не удовлетворяет пункту №3. Можно показать (если это необходимо, отпишите мне на почту, я распишу подробнее), что всем трём пунктам удовлетворяет лишь множество ${3,9,27,81,ldots }$, т.е.

$$M={3,9,27,81,ldots }.$$

Обычно при задании множества с помощью таких правил (которые часто называют рекурсивными или индуктивными) третий пункт подразумевается, но не оговаривается явно. Но нужно иметь его в виду.

Ответ: $M={3,9,27,81,ldots }$.