Какие свойства луча есть у прямой
Трактовка понятий
Впервые термин «луч» использовал в 1833 году швейцарский учёный Якоб Штейнер. Для его определения потребуется на плоскости поставить точку. Из неё должна исходить часть прямой, которая состоит из множества точек, расположенных по одну сторону от первоначальной. Само понятие «точка» считается абстрактным объектом, который не имеет высоты, радиуса, длины, сторон, угла. В задачах важно её местоположение на плоскости либо полуплоскости.
На чертеже она обозначается заглавной латинской буквой. Чтобы различить несколько точек, на рисунке используется несколько букв. Можно вводить числовое обозначение. В отличие от луча, отрезок считается частью прямой, ограниченной двумя точками на концах. Множество точек образует линию, у которой нет толщины и ширины. На плоскости можно начертить следующие её виды:
- замкнутая (расположение двух точек в одной, когда совпадает начало и конец);
- разомкнутая (не соединены конечная и начальная точки);
- самопересекающаяся;
- нет пересечения;
- кривая;
- прямая (линия не искривляется, у нее нет начала и конца, она бесконечно продолжается в две стороны на разное расстояние).
Линии пересекаются, если имеют одну общую точку. Чтобы они были перпендикулярны друг другу, между ними должен образовываться угол в 90 градусов. При параллельности части прямой не могут скрещиваться.
К особым формам луча относится ломаная. Она состоит из последовательно соединенных отрезков (звенья) под углом, отличным от 180°. Смежные звенья находятся на разных прямых.
У ломаной есть вершины. Они могут обозначаться с помощью латинских заглавных букв. Их нельзя править на маленькие. Сама вершина считается точкой, откуда начинается одна ломаная и заканчивается другая. Основным примером замкнутой линии является многоугольник. Его стороны представлены в виде звеньев.
Описание лучей
В геометрических задачах встречаются дополнительные лучи. Чтобы их начертить, потребуется отобразить на плоскости прямую, разделённую точкой на две полупрямые. Каждая часть является дополнительной относительно другой. Свойства лучей:
- общее начало;
- направления в разные стороны;
- расположение на одной прямой.
Дополнительные лучи могут дополнять друг друга до прямой. Отдельно рассматриваются совпадающие лучи. Если их наложить друг на друга, они совпадут. Для них характерна равная длина.
Чтобы отметить лучи на рисунке, используются порядковые номера.
Незамкнутый открытый луч состоит из точек, находящихся по одну сторону относительно проведённой линии. Для его обозначения используется строчная латинская буква либо две заглавные. Одна точка является началом, а вторая размещается на самом луче. В основе такой фигуры находятся полупрямые. Если в условиях задачи дана линия, формула выглядит следующим образом: (АB). Отрезок записывается в квадратных скобках.
Принципы классификации
Так как луч является частью прямой, поэтому через любую его точку проводится множество прямых, но только через две несовпадающие проходит одна прямая. Луч можно изобразить в нескольких вариантах: пересечение, скрещивание и параллельность.
Чтобы задать луч на плоскости, используется линейное уравнение. Фигуры называются разными способами и с помощью знаков. Можно провести полупрямую «О». Её начальная точка считается исходной и другой не существует. Другой способ записи — использование нескольких букв в середине либо в иных частях линии. Если в задаче дана прямая, её можно обозначить двумя буквами, размещёнными в разных её частях, к примеру, (АB).
Третий метод обозначения: точка «О» находится с некоторым отступом от начала. Центральную часть можно назвать буквой К. В таком случае весь луч будет называться ОК. Если нужно начертить продолжение к прямой, понадобится отметить на чертеже линию и точку, которая будет считаться производной. С помощью последней фигуры делится первая на 2 линии, которые не пересекаются между собой. Чтобы обозначить продолжение, рисуется линия карандашом.
Она будет иметь общее начало с основополагающей, но не будет совпадать с ней. Из т. О проводится прямая, не располагающаяся на дополняющих, но имеющая с ними одно общее начало. На новом луче отмечается т. В. На продолжении лежит отрезок ОВ.
Неразвернутый угол является случаем луча. Если стороны первой фигуры представлены в виде дополнительных полупрямых одной прямой, тогда угол является развёрнутым. Его значение равняется 180 градусов. Если значение угла иное, тогда он неразвернутый.
Следует отличать геометрические лучи от световых.
В математике фигура представлена в виде линии, у которой нет ничего общего с энергией. Для световых лучей характерно несконцентрированное направление, дефракция (переломанный). Но при сильном потоке света наблюдается их чёткое направление.
Аксиомы и доказательства
Свойства лучей определяются аксиомами. Положение 1: на любом луче от начала можно отложить отрезок определённой длины, и только один.
Доказательство: если на линии от начала А отложить 2 равных отрезка АВ и АС, тогда точки С и В совпадут. В и А не лежат на прямой, а находятся с одной стороны от неё. Если отрезок АВ не пересекает эту прямую, тогда множество точек, лежащих с единой стороны от прямой, называется полуплоскостью. При доказательстве положения 1 следует ориентироваться на определение луча.
Аксиома: прямая разделяет плоскость на 2 полуплоскости. Следствие: если D и С находятся в различных полуплоскостях от прямой а, тогда отрезок DC пересекает а. Из этого вытекает теорема: A, B, O, C расположены на прямой а таким образом, что А и В находятся с одной стороны от т. О, т. С и В — с одной стороны от О. При этом А и С размещены с одной стороны от О.
Доказательство: нужно провести через О прямую b, которая отлична от а. Она будет разбивать плоскость на 2 полуплоскости. На одной из них находится т. В. Так как отрезки BC и AB не пересекают прямую b, поэтому точки А и С находятся в одной полуплоскости с В. Отрезок АС не пересекает b. На нём не находится т. О. От неё по одну сторону размещены т. А и С.
Предположение: если O, A, B, C принадлежат прямой а, при этом А находится между В и О, тогда А лежит между О и С. По одну сторону от О находятся три точки А, B и C.
Доказательство: так как по условию т. А находится между О и В, поэтому А и В лежат по одну сторону от О. По второму условию В и С лежат по эту же сторону от О. Исходя из теоремы 1, А, В и С лежат по одну сторону от т. О.
Теорема: если O, A, B, C принадлежат одной линии а, т. А лежит между В и О, а т. В между О и С, тогда В находится между А и С.
Доказательство: выдвигается предположение, что из условия теоремы заключение не следует. Точка В не находится между А и С. По свойству взаиморасположения A, B, C, точки А и С лежат по одну сторону от В. По предположению следует, что они лежат по одну сторону от О, либо A, C, O лежат по одну сторону от B. Это противоречит условию: О и С находятся по разные стороны от В, либо А и С размещены по иную сторону от В, в отличие от т. О.
Подобное противоречит условию принадлежности А отрезку ОВ. Такое противоречие показывает, что предположение о т. В, не лежащей между А и С, неверное. Следовательно, точка В находится между А и С, что доказывает теорему. При решении геометрических задач, связанных с плоскостью и фигурами на ней, учитываются основные теоремы, доказанные учеными за всю историю математики.
Источник
Ïðÿìàÿ ëèíèÿ – îäíî èç ôóíäàìåíòàëüíûõ ïîíÿòèé ãåîìåòðèè.
Íàãëÿäíî ïðÿìóþ ëèíèþ ìîæåò ïðîäåìîíñòðèðîâàòü òóãî íàòÿíóòûé øíóð, êðîìêà ñòîëà, êðàé ëèñòà áóìàãè, ìåñòî, ñîåäèíåíèÿ äâóõ ñòåí êîìíàòû, ëó÷ ñâåòà. Ïðè íà÷åðòàíèè ïðÿìûõ ëèíèé íà ïðàêòèêå ïðèìåíÿþò ëèíåéêó.
Ïðÿìîé ëèíèè ïðèñóùè òàêèå õàðàêòåðíûå îñîáåííîñòè:
1.Ó ïðÿìîé ëèíèè íåò íè íà÷àëà íè êîíöà, òî åñòü îíà áåñêîíå÷íà. Ñóùåñòâóåò âîçìîæíîñòü íà÷åðòèòü òîëüêî åå ÷àñòü.
2.×åðåç äâå ïðîèçâîëüíûå òî÷êè ìîæíî ïðîâåñòè ïðÿìóþ ëèíèþ, è ïðèòîì òîëüêî îäíó.
3. ×åðåç ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó ìîæíî ïðîâåñòè íå îãðàíè÷åííîå êîëè÷åñòâî ïðÿìûõ íà ïëîñêîñòè.
4.Äâå íåñîâïàäàþùèå ïðÿìûå íà ïëîñêîñòè èëè ïåðåñåêàþòñÿ â åäèíñòâåííîé òî÷êå, èëè îíè ïàðàëëåëüíû.
Äëÿ îáîçíà÷åíèÿ ïðÿìîé ëèíèè èñïîëüçóþò èëè îäíó ìàëóþ áóêâó ëàòèíñêîãî àëôàâèòà, èëè äâå áîëüøèå áóêâû, íàïèñàííûå â äâóõ ðàçëè÷íûõ ìåñòàõ ýòîé ïðÿìîé.
Åñëè íà ïðÿìîé ëèíèè óêàçàòü òî÷êó, òî â ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì äâà ëó÷à:
Ëó÷îì íàçûâàþò ÷àñòü ïðÿìîé ëèíèè, îãðàíè÷åííóþ ñ îäíîé ñòîðîíû. Äëÿ îáîçíà÷åíèÿ ëó÷à ïðèìåíÿþò èëè îäíó ìàëóþ áóêâó ëàòèíñêîãî àëôàâèòà, èëè äâå áîëüøèå áóêâû, èç êîòîðûõ îäíà îáîçíà÷àåòñÿ â íà÷àëå ëó÷à.
×àñòü ïðÿìîé, îãðàíè÷åííàÿ ñ îáåèõ ñòîðîí, èìåíóþò åå îòðåçêîì. Îòðåçîê, êàê è ïðÿìàÿ ëèíèÿ, îáîçíà÷àåòñÿ èëè îäíîé áóêâîé, èëè äâóìÿ.  ïîñëåäíåì ñëó÷àå ýòè áóêâû óêàçûâàþò êîíöû îòðåçêà.
Ëèíèþ, ñôîðìèðîâàííóþ íåñêîëüêèìè îòðåçêàìè, íå ëåæàùèìè íà îäíîé ïðÿìîé, ïðèíÿòî íàçûâàòü ëîìàíîé. Êîãäà êîíöû ëîìàíîé ñîâïàäàþò, òî òàêàÿ ëîìàíàÿ èìåíóåòñÿ çàìêíóòîé.
Êàëüêóëÿòîðû ïî ãåîìåòðèè | |
| Ïîìîùü â ðåøåíèè çàäà÷ ïî ãåîìåòðèè, ó÷åáíèê îíëàéí (âñå êàëüêóëÿòîðû ïî ãåîìåòðèè). | |
| Êàëüêóëÿòîðû ïî ãåîìåòðèè | |
Ãåîìåòðèÿ 6,7,8,9,10,11 êëàññ, ÅÃÝ, ÃÈÀ | |
| Îñíîâíàÿ èíôîðìàöèÿ ïî êóðñó ãåîìåòðèè äëÿ îáó÷åíèÿ è ïîäãîòîâêè â ýêçàìåíàì, ÃÂÝ, ÅÃÝ, ÎÃÝ, ÃÈÀ | |
| Ãåîìåòðèÿ 6,7,8,9,10,11 êëàññ, ÅÃÝ, ÃÈÀ | |
Ïðÿìàÿ ëèíèÿ. Óðàâíåíèå ïðÿìîé. | |
| Îñíîâíàÿ èíôîðìàöèÿ ïî êóðñó ãåîìåòðèè äëÿ îáó÷åíèÿ è ïîäãîòîâêè â ýêçàìåíàì, ÃÂÝ, ÅÃÝ, ÎÃÝ, ÃÈÀ | |
| Ïðÿìàÿ ëèíèÿ. Óðàâíåíèå ïðÿìîé. | |
Источник
Точка — это абстрактный объект, который не имеет измерительных характеристик: ни высоты, ни длины, ни радиуса. В рамках задачи важно только его местоположение
Точка обозначается цифрой или заглавной (большой) латинской буквой. Несколько точек — разными цифрами или разными буквами, чтобы их можно было различать
точка A, точка B, точка C
ABC
точка 1, точка 2, точка 3
123Можно нарисовать на листке бумаги три точки “А” и предложить ребёнку провести линию через две точки “А”. Но как понять через какие?
AAA
Линия — это множество точек. У неё измеряют только длину. Ширины и толщины она не имеет
Обозначается строчными (маленькими) латинскими буквами
линия a, линия b, линия c
abc
Линия может быть
- замкнутой, если её начало и конец находятся в одной точке,
- разомкнутой, если её начало и конец не соединены
замкнутые линии
разомкнутые линии
Ты вышел из квартиры, купил в магазине хлеб и вернулся обратно в квартиру. Какая линия получилась? Правильно, замкнутая. Ты вернулся в исходную точку.
Ты вышел из квартиры, купил в магазине хлеб, зашёл в подъезд и разговорился с соседом. Какая линия получилась? Разомкнутая. Ты не вернулся в исходную точку.
Ты вышел из квартиры, купил в магазине хлеб. Какая линия получилась? Разомкнутая. Ты не вернулся в исходную точку.
- самопересекающейся
- без самопересечений
самопересекающиеся линии
линии без самопересечений
- прямой
- ломанной
- кривой
прямые линии
ломанные линии
кривые линии
Прямая линия — это линия которая не искривляется, не имеет ни начала, ни конца, её можно бесконечно продолжать в обе стороны
Даже когда виден небольшой участок прямой, предполагается, что она бесконечно продолжается в обе стороны
Обозначается строчной (маленькой) латинской буквой. Или двумя заглавными (большими) латинскими буквами — точками, лежащими на прямой
прямая линия a
a
прямая линия AB
BA
Прямые могут быть
- пересекающимися, если имеют общую точку. Две прямые могут пересекаться только в одной точке.
- перпендикулярными, если пересекаются под прямым углом (90°).
- параллельными, если не пересекаются, не имеют общей точки.
параллельные линии
пересекающиеся линии
перпендикулярные линии
Луч — это часть прямой, которая имеет начало, но не имеет конца, её можно бесконечно продолжать только в одну сторону
У луча света на картинке начальной точкой является солнце
солнышко
Точка разделяет прямую на две части — два луча
A
A
Луч обозначается строчной (маленькой) латинской буквой. Или двумя заглавными (большими) латинскими буквами, где первая — это точка, с которой начинается луч, а вторая — точка, лежащая на луче
луч a
a
луч AB
BA
Лучи совпадают, если
- расположены на одной и той же прямой,
- начинаются в одной точке,
- направлены в одну сторону
лучи AB и AC совпадают
лучи CB и CA совпадают
CBA
Отрезок — это часть прямой, которая ограничена двумя точками, то есть она имеет и начало и конец, а значит можно измерить её длину. Длина отрезка — это расстояние между его начальной и конечной точками
Через одну точку можно провести любое число линий, в том числе прямых
Через две точки — неограниченное количество кривых, но только одну прямую
кривые линии, проходящие через две точки
BA
прямая линия AB
BA
От прямой «отрезали» кусочек и остался отрезок. Из примера выше видно, что его длина — наикратчайшее расстояние между двумя точками.
✂
BA✂
Отрезок обозначается двумя заглавными(большими) латинскими буквами, где первая — это точка, с которой начинается отрезок, а вторая — точка, которой заканчивается отрезок
отрезок AB
BAЗадача: где прямая, луч, отрезок, кривая?
Ломанная линия — это линия, состоящая из последовательно соединённых отрезков не под углом 180°
Длинный отрезок «поломали» на несколько коротких
Звенья ломаной (похожи на звенья цепи) — это отрезки, из которых состоит ломанная. Смежные звенья — это звенья, у которых конец одного звена является началом другого. Смежные звенья не должны лежать на одной прямой.
Вершины ломаной (похожи на вершины гор) — это точка, с которой начинается ломанная, точки, в которых соединяются отрезки, образующие ломаную, точка, которой заканчивается ломанная.
Обозначается ломанная перечислением всех её вершин.
ломанная линия ABCDE
вершина ломанной A, вершина ломанной B, вершина ломанной C, вершина ломанной D, вершина ломанной E
звено ломанной AB, звено ломанной BC, звено ломанной CD, звено ломанной DE
звено AB и звено BC являются смежными
звено BC и звено CD являются смежными
звено CD и звено DE являются смежными
ABCDE646212752
Длина ломанной — это сумма длин её звеньев: ABCDE = AB + BC + CD + DE = 64 + 62 + 127 + 52 = 305
Задача: какая ломанная длиннее, а у какой больше вершин? У первой линии все звенья одинаковой длины, а именно по 13см. У второй линии все звенья одинаковой длины, а именно по 49см. У третьей линии все звенья одинаковой длины, а именно по 41см.
Многоугольник — это замкнутая ломанная линия
Стороны многоугольника (помогут запомнить выражения: “пойти на все четыре стороны”, “бежать в сторону дома”, “с какой стороны стола сядешь?”) — это звенья ломанной. Смежные стороны многоугольника — это смежные звенья ломанной.
Вершины многоугольника — это вершины ломанной. Соседние вершины — это точки концов одной стороны многоугольника.
Обозначается многоугольник перечислением всех его вершин.
замкнутая ломанная линия, не имеющая самопересечения, ABCDEF
многоугольник ABCDEF
вершина многоугольника A, вершина многоугольника B, вершина многоугольника C, вершина многоугольника D, вершина многоугольника E, вершина многоугольника F
вершина A и вершина B являются соседними
вершина B и вершина C являются соседними
вершина C и вершина D являются соседними
вершина D и вершина E являются соседними
вершина E и вершина F являются соседними
вершина F и вершина A являются соседними
сторона многоугольника AB, сторона многоугольника BC, сторона многоугольника CD, сторона многоугольника DE, сторона многоугольника EF
сторона AB и сторона BC являются смежными
сторона BC и сторона CD являются смежными
сторона CD и сторона DE являются смежными
сторона DE и сторона EF являются смежными
сторона EF и сторона FA являются смежными
ABCDEF120605812298141
Периметр многоугольника — это длина ломанной: P = AB + BC + CD + DE + EF + FA = 120 + 60 + 58 + 122 + 98 + 141 = 599
Многоугольник с тремя вершинами называется треугольником, с четырьмя — четырёхугольником, с пятью — пятиугольником и т.д.
треугольники
четырёхугольники: квадрат, прямоугольник, дельтоид, ромб, параллелограмм, трапеция
пятиугольники
Источник
- Главная
- Справочники
- Справочник по геометрии 7-9 класс
- Начальные геометрические сведения
- Луч
Луч – геометрическая фигура
Построим прямую АВ
(прямая обозначена двумя большими латинскими буквами, например, А и В)
Отметим на прямой АВ точку О
Точка О разбивает прямую АВ на две части (влево от точки О и вправо от точки О)
Части, на которые точка О разбивает прямую АВ, выделены цветом
Каждая из этих частей называется лучом, а точка О является началом одного и другого луча
Назовем получившиеся лучи:
Луч ОА, точка О – начало луча ОА; конца у луча ОА нет
Луч ОВ, точка О – начало луча ОВ; конца у луча ОВ нет
Луч является геометрической фигурой
Луч – это часть прямой, ограниченная с одной стороны
Луч имеет начало, но не имеет конца
Другой способ обозначений
Построим прямую m
(прямая обозначена малой латинской буквой, например, m)
Точка О разбивает прямую m на два луча
Чтобы лучи обозначить, отметим на прямой m дополнительно произвольным образом две точки – А и В
Назовем получившиеся лучи
Луч ОА, точка О – начало луча ОА; конца у луча ОА нет; точка А принадлежит лучу ОА;
Луч ОВ, точка О – начало луча ОВ; конца у луча ОВ нет; точка В принадлежит лучу ОВ;
Варианты обозначения лучей
1)
Луч ОВ (обозначение двумя большими латинскими буквами)
Точка О – начало луча; В – любая точка на луче ОВ (точка не отмечена)
2)
Луч ОВ (обозначение двумя большими латинскими буквами)
Точка О – начало луча; В – произвольная точка на луче ОВ (точка отмечена)
3)
Луч k (обозначение малой латинской буквой)
Начало луча обозначено буквой О
4)
Луч k (обозначение малой латинской буквой)
Начало луча не обозначено буквой (только отмечено точкой)
Дополнительные лучи
Лучи ОА и ОВ принадлежат одной прямой АВ
Лучи ОА и ОВ имеют общее начало (точка О)
Лучи ОА и ОВ противоположно направлены
При таких условиях лучи ОА и ОВ называются дополнительными
Поделись с друзьями в социальных сетях:
Советуем посмотреть:
Точки, прямые, отрезки
Провешивание прямой на местности
Угол
Равенство геометрических фигур
Сравнение отрезков
Сравнение углов
Длина отрезка
Единицы измерения длины, расстояний
Градусная мера угла
Измерение углов на местности
Смежные углы
Вертикальные углы
Перпендикулярные прямые
Построение прямых углов на местности
Начальные геометрические сведения
Правило встречается в следующих упражнениях:
7 класс
Задание 11,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 22,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 42,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 6,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 15,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 80,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 151,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 17,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 585,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 11,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Источник