Какие свойства логарифмов вы знаете
1. Общие понятия
2. Свойства логарифмов
3. Понятие о модуле перехода от логарифма к логарифму
4. Задачи с применением логарифмических свойств
Общие понятия
Логарифм числа (b∈R) по основанию (a (a>0,a≠1)) – это такое число (c), в которое нужно возвести число a, чтобы получить число (b). Обозначается таким образом: (log_ab).
В соответствии с определением напрашивается вывод, что для числа( b≤0) не существует действительного логарифма. Сформулируем теорему о действительном логарифме:
Теорема
Каждому действительному числу b>0 соответствует один единственный логарифм по основанию (a (a>0,a≠1)).
Логарифм числа (b∈R) с основанием (a=10) называют десятичным логарифмом. Обозначается (log_10b=lgb)
Логарифм числа (b∈R) с основанием (a=e) называют натуральным логарифмом. Обозначается (log_eb=lnb).
Свойства логарифмов
Рассмотрим свойства логарифмов, первые два из них вытекают из определения:
1. (a^{log_ab} =b);
2. (log_aa^c=c).
3. Логарифм произведения будет равняться сумме логарифмов множителей:
(log_axy=log_ax+log_ay).
Докажем это свойство: воспользовавшись первым свойством логарифма и свойством суммы степеней, получаем:
(a^{log_axy} =xy; a^{log_ax+log_ay }=a^{log_ax} ∙a^{og_ay} =xy.) Из этого следует, что:
(a^{log_axy} =a^{log_ax+log_ay}, log_{axy}=log_{ax+log_ay}).
4. (log_ab^c=c log_ab.)
Докажем это свойство:
(log_ab^c= log_ab∙b∙…∙b), где (b) повторяется c раз, в соответствии с определением степени. А из третьего свойства мы получаем:
(log_ab^c=log_ab+log_ab+…+log_ab ) ((с) раз) (c log_ab)
5.(log_a{1over b}=- log_ab).
Докажем это свойство:
(log_a{1over b}= log_ab^{-1}), используя четвертое свойство, получаем:
(log_a{1over b}= log_ab^{-1}=)(-log_ab).
6. Логарифм частного двух чисел будет равняться разнице логарифмов этих чисел:
(log_a{xover y}=log_ax-log_ay ).
Докажем это свойство: воспользовавшись третьим и пятым свойствами логарифмов, имеем:
(log_a{xover y}=log_ax+log_a{1over y}= log_ax-log_ay ).
Не нашли что искали?
Просто напиши и мы поможем
7.Одним из свойств логарифма является его свойство перехода к другому основанию:
(log_bc={log_acover log_ab }).
Докажем это свойство: воспользовавшись первым и вторым свойствами логарифмов, имеем:
(log_ac=log_ab^{log_bc} =log_bc∙log_ab);
(log_bc={log_acover log_ab}) .
8. (log_ab={1over log_ba }).
Докажем это свойство, воспользовавшись седьмым логарифмическим свойством:
(log_ab={log_bbover log_ba} ={1over log_ba}) .
9. (log_a {^n} b={1over n} log_ab ).
Докажем это свойство, воспользовавшись седьмым и вторым логарифмическими свойствами:
(log_a{^n}b={log_abover log_aa^n} ={1over n} log_ab ).
Понятие о модуле перехода от логарифма к логарифму
Если рассмотреть формулу (log_bc={log_acover log_ab}) , то в ней (M={1over log_ab}) – это модуль перехода от логарифма с основанием a к логарифму с основанием b. Иным образом формула примет вид:
(log_bc=M log_ac).
Рассмотрим частные случаи этой формулы:
- В формуле (lgx=Mlnx), число (M={1over ln10}=lge≈0,(43)) – это число, которое является модулем перехода от натурального к десятичному логарифму.
- В формуле (lnx=Mlgx, M={1over lge}=ln10≈2,3026)… – это число, которое является модулем перехода от десятичного к натуральному логарифму.
Задачи с применением логарифмических свойств
Рассмотрим три примера решения логарифмических задач:
Задача 1. Найти значение числа, записанного в форме логарифма (5∙0,6^{log_{0,6}12}) .
Решение:
оспользовавшись первым логарифмическим свойством, получим:
(5∙0,6^{log_{0,6}12})( =5∙12=60).
Сложно разобраться самому?
Попробуй обратиться за помощью к преподавателям
Задача 2. Найти значение числа, записанного в форме логарифма
(log_315- log_35+3^{{log_3}5 } ).
Решение:
воспользовавшись первым и шестым логарифмическими свойствами, имеем:
(log_315- log_35+3^{{log_3}5 } )(= log_3 {15over5}+5=log_3 3+5=1+5=6).
Задача 3. Найти значение числа, записанного в форме логарифма (9^{log_92} +log_5 {1over25}).
Решение:
(9^{log_92} +log_5 {1over25})=(2+(-{1over 2})=1,5.)
Источник
Многие школьники считают логарифмы сложной темой в курсе математики. Но если разобрать, что такое логарифм подробно, от простого к сложному, то на ЕГЭ вы не станете их опасаться.
Часто у учеников возникает путаница, где аргумент, а где основание логарифма. И что же нужно возвести в степень, чтобы этот логарифм, наконец, посчитать.
В этой статье мы откроем секрет, как легче запомнить принцип решения логарифма.
Итак, давайте разбираться, что такое логарифм.
- Что такое логарифм и как его посчитать
- Зачем логарифмам специальные обозначения
- Основные свойства логарифмов — все формулы в одном месте
- 10 примеров логарифмов с решением
Что такое логарифм и как его посчитать
Логарифм имеет следующий вид:
где a – это основание логарифма,
b – это аргумент логарифма
Чтобы узнать значение логарифма приравняем его к X.и преобразовываем вЗапомните, что именно основание (оно выделено красным) возводится в степень.
Чтобы было легче, можно запоминать так – основание всегда остается внизу (и в первом, и во втором выражении a внизу)!
Приведем пример:
Чтобы вычислить данный логарифм, необходимо приравнять его к X и воспользоваться правилом, описанным выше:А в какую степень нужно возвести 2, чтобы получилось 8? Конечно же в третью степень, таким образом:
Еще раз обращаю ваше внимание, что основание (в нашем случае это – 2) всегда находится внизу и именно оно возводится в степень.
Еще примеры:
Логарифмы со специальным обозначением
Для некоторых логарифмов в математике введены специальные обозначения. Это связано с тем, что такие логарифмы встречаются особенно часто. К таким логарифмам относятся десятичный логарифм и натуральный логарифм. Для этих логарифмов справедливы все правила, что и для обычных логарифмов.
Десятичный логарифм
Десятичный логарифм обозначается lg и имеет основание 10, т.е.
Чтобы вычислить десятичный логарифм, нужно 10 возвести в степень X.
Например, вычислим lg100
Натуральный логарифм
Натуральный логарифм обозначается ln и имеет основание e, то есть
Чтобы вычислить данный логарифм нужно число е возвести в степень x. Некоторые из вас спросят, что это за число такое е? Число е – это иррациональное число, т.е. точное его значение вычислить невозможно. е = 2,718281…
Сейчас не будем подробно разбирать, зачем это число нужно, просто запомним, что
И вычислить его можно таким образом:
Основные свойства логарифмов
Логарифмы можно преобразовывать, но для этого необходимо знать правила, которые называются основными свойствами логарифмов. Данные свойства обязательно нужно знать каждому ученику! Без знания этих свойств невозможно решить ни одну серьезную логарифмическую задачу. Вот эти свойства:
Совет – тренируйтесь применять эти свойства в обе стороны, то есть как слева направо, так и справа налево!
Рассмотрим свойства логарифмов на примерах.
Логарифмический ноль и логарифмическая единица
Это следствия из определения логарифма. И их нужно обязательно запомнить. Эти простейшие свойства нередко вводят учеников в ступор.
Запомните, что логарифм от a по основанию а всегда равен единице:
loga a = 1 – это логарифмическая единица.
Если же в аргументе стоит единица, то такой логарифм всегда равен нулю независимо от основания, так как a0 = 1:
loga 1 = 0 – логарифмический ноль.
Основное логарифмическое тождество
В первой формуле число m становится степенью, которая стоит в аргументе. Данное число может быть любым. Некоторые выражения могут быть решены только с помощью этого тождества.
Вторая формула по сути является просто переформулированным определением логарифма
Разберем применение тождества на примере:
Необходимо найти значение выраженияСначала преобразуем логарифм
Вернемся к исходному выражению и применим правило умножения степеней с одинаковым основанием:Теперь применим основное логарифмическое тождество и получим:
Сумма логарифмов. Разница логарифмов
Логарифмы с одинаковыми основаниями можно складывать:Логарифмы с одинаковыми основаниями можно вычитать:Мы видим, что исходные выражения состояли из логарифмов, которые по отдельности не вычисляются, а при применении свойств логарифмов у нас получились нормальные числа. Поэтому повторим, что основные свойства логарифмов нужно знать обязательно!
Обратите внимание, что формулы суммы и разности логарифмов верны только для логарифмов с одинаковыми основаниями! Если основания разные, то данные свойства применять нельзя!
Вынесение показателя степени из логарифма
Вынесение показателя степени из логарифма:
Переход к новому основанию
Когда мы разбирали формулы суммы и разности логарифмов, то обращали внимание на то, что основания логарифмов должны быть при этом одинаковыми. А что же делать, если основания логарифмов разные? Воспользоваться свойством перехода к новому основанию.
Такие формулы чаще всего нужны при решении логарифмических уравнений и неравенств.
Разберем на примере.
Необходимо найти значение такого выраженияДля начала преобразуем каждый логарифм с помощью свойства вынесения показателя степени из логарифма:
Теперь применим переход к новому основанию для второго логарифма:Подставим полученные результаты в исходное выражение:
10 примеров логарифмов с решением
1. Найти значение выражения2. Найти значение выражения3. Найти значение выражения4. Найти значение выражения5. Найти значение выражения6. Найти значение выраженияСначала найдем значениеДля этого приравняем его к Х:Тогда изначальное выражение принимает вид:
7. Найти значение выраженияПреобразуем наше выражение:Теперь воспользуемся свойством вынесения показателя степени из логарифма и получим: 8. Найти значение выраженияТак как основания логарифмов одинаковые, воспользуемся свойством разности логарифмов:9. Найти значение выраженияТак как основания логарифмов разные, применять свойство суммы логарифмов нельзя. Поэтому решаем каждый логарифм по отдельности:
Подставляем полученные значения в исходное выражение:
4 + 3 = 7
10. Найти значение выраженияОбращаем внимание, что данное выражение – это не произведение логарифмов. У логарифма по основанию 4 подлогарифным выражением является log216. Поэтому сначала найдем значение log216, а затем подставим полученный результат в log4:
Надеюсь, теперь вы разобрались, что такое логарифм.
Источник
Теория
| 1. | Основные свойства логарифмов |
| 2. | Формулы перехода от одного основания логарифма к другому |
Задания
| 1. | Логарифм произведения Сложность: | 2 |
| 2. | Логарифм частного Сложность: | 2 |
| 3. | Формула перехода от одного основания логарифма к другому основанию Сложность: | 2 |
| 4. | Сумма логарифмов, логарифм степени Сложность: | 3 |
| 5. | Основное логарифмическое тождество (логарифм степени) Сложность: | 4 |
| 6. | Свойства логарифмов (степени и произведения) Сложность: | 4 |
| 7. | Свойства логарифмов (степени и частного) Сложность: | 4 |
| 8. | Логарифм степени (произведение) Сложность: | 3 |
| 9. | Логарифм степени (частное) Сложность: | 5 |
| 10. | Свойства логарифмов (степень основания, основное логарифмическое тождество) Сложность: | 7 |
| 11. | Свойства логарифмов Сложность: | 7 |
| 12. | Свойства логарифмической функции Сложность: | 2 |
| 13. | Формула перехода к новому основанию (метод подстановки) Сложность: | 7 |
| 14. | Логарифм произведения (тригонометрическое выражение) Сложность: | 7 |
| 15. | Логарифм произведения Сложность: | 5 |
Тесты
| 1. | Тренировка по теме Свойства логарифмов Сложность: лёгкое | 15 |
Методические материалы
| 1. | Технологическая карта |
Источник
- Основное логарифмическое тождество
- Свойства логарифмов
Логарифм данного числа — это показатель степени, в которую нужно возвести основание, чтобы получить данное число.
О равенстве ax = N можно сказать, что x — это логарифм числа N по основанию a (где a > 0 и a ≠ 1).
Слово логарифм сокращённо обозначается log, основание же, при котором указывается логарифм данного числа, обозначается в виде нижнего индекса с правой стороны log.
Если мы знаем, что логарифм числа N при основании a равен числу x, то есть:
logaN = x,
то это равенство можно написать без знака логарифма
ax = N,
где a — основание степени, x — показатель степени, N — степень.
Оба равенства:
logaN = x и ax = N
выражают одну и ту же зависимость между числами a, x и N: если дано одно из равенств, значит можно написать и второе. Эту же зависимость между числами a, x и N можно выразить ещё одним равенством:
x√ N = a или a =x√ N .
Отрицательные числа и нуль ни при каком основании a (a > 0 и a ≠ 1) логарифмов не имеют.
Основное логарифмическое тождество
Степень, показателем которой является логарифм числа N при таком же основании, как и основание степени, равна числу N.
alogaN = N.
Возьмём логарифм числа N при основании a равный числу q
logaN = q, значит aq = N.
Подставив в последнее равенство вместо числа q равное ему выражение logaN, получим
alogaN = N.
Выражение alogaN = N называется основным логарифмическим тождеством.
Свойства логарифмов
Рассмотрены свойства логарифмов для оснований, которые больше нуля и не равны единице:
a > 0 и a ≠ 1.
Логарифм единицы равен нулю.
loga1 = 0,
так как нулевая степень любого числа (за исключением нуля) равна 1:
a0 = 1.
Логарифм числа равного основанию равен единице.
logaa = 1,
так как первая степень любого числа равна этому же числу без степени:
a1 = a.
Логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей.
logaMN = logaM + logaN ,
где M > 0, N > 0.
Логарифм частного равен разности логарифмов делимого и делителя (или логарифм дроби равен логарифму числителя минус логарифм знаменателя).
где M > 0, N > 0.
Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм основания этой степени.
loga(Nα) = α logaN ,
где N > 0.
Логарифм, у которого в основании стоит степень, равен частному от деления логарифма при этом же основании без степени на показатель степени основания.
| logaxN = | logaN | = | 1 | logaN , |
| x | x |
где N > 0, x ≠ 0.
Логарифм корня равен частному от деления логарифма подкоренного числа на показатель корня.
| logax√ N = | logaN | = | 1 | logaN . |
| x | x |
Из формулы логарифма корня и формулы логарифма, у которого в основании стоит степень, можно сделать вывод, что логарифм корня равен логарифму данного числа с основанием в степени, равной показателю корня.
| logax√ N = logaxN = | 1 | logaN . |
| x |
Свойства логарифмов степени и корня можно объединить ещё в одно:
где N > 0, β ≠ 0.
Любой логарифм можно представить в виде отношения двух логарифмов, взятых по одному и тому же произвольному основанию.
где N > 0. Данная формула называется формулой перехода к новому основанию.
Произведение взаимно обратных логарифмов равно единице.
logba · logab = 1.
Взаимно обратные логарифмы — это пара логарифмов, у которых основание и выражение под знаком логарифма поменялись местами.
Величина логарифма не изменится, если возвести число, стоящее под знаком логарифма, и одновременно основание логарифма в какую-либо степень.
logaN = logaxNx,
где N > 0, x ≠ 0.
Источник