Какие свойства корней степени n вам известны

Чтобы успешно использовать на практике операцию извлечения корня,
нужно познакомиться со свойствами этой операции.
Все свойства формулируются и доказываются только для неотрицательных значений переменных, содержащихся под знаками корней.

Теорема 1. Корень n-й степени (n=2, 3, 4,…) из произведения двух неотрицательных чипсел равен произведению корней n-й степени из этих чисел:

Замечание:

1. Теорема 1 остается справедливой и для случая, когда
подкоренное выражение представляет собой произведение более чем двух
неотрицательных чисел.

Теорема 2. Если,
и n – натуральное число, большее 1, то справедливо равенство

Краткая (хотя и неточная) формулировка, которую удобнее использовать на практике: корень из дроби равен дроби от корней.

Теорема 1 позволяет нам перемножать только корни одинаковой степени,
т.е. только корни с одинаковым показателем.

Теорема 3. Если, k – натуральное число и n – натуральное число, большее 1, то справедливо равенство

Иными словами, чтобы возвести корень в натуральную степень, достаточно возвести в эту степень подкоренное выражение.
Это — следствие теоремы 1. В самом деле, например, для к = 3 получаем: Точно так же можно рассуждать в случае любого другого натурального значения показателя к.

Теорема 4. Если, k, n – натуральные числа, большее 1, то справедливо равенство

Иными словами, чтобы извлечь корень из корня, достаточно перемножить показатели корней.
Например,

Будьте внимательны! Мы
узнали, что над корнями можно осуществлять четыре операции: умножение,
деление, возведение в степень и извлечение корня (из корня). А как же
обстоит дело со сложением и вычитанием корней? Никак.
Например, вместо нельзя написать В самом деле, Но ведь очевидно, что

Теорема 5. Если показатели корня и подкоренного выражения умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то значение корня не изменится, т.е.

Примеры решения заданий

Пример 1. Вычислить

Решение. Воспользовавшись первым свойством корней (теорема 1), получим:

Пример 2. Вычислить
Решение. Обратим смешанное число в неправильную дробь.
Имеем Воспользовавшись вторым свойством корней (теорема 2), получим:

Пример 3. Вычислить:

Решение.
Любая формула в алгебре, как вам хорошо известно, используется не
только «слева направо», но и «справа налево». Так, первое свойство
корней означает, что можно представить в виде и, наоборот, можно заменить выражением . То же относится и ко второму свойству корней. Учитывая это, выполним вычисления:

Пример 4.

(показатели корня и подкоренного выражения разделили на 4);

(показатели корня и подкоренного выражения разделили на 3);

(показатели корня и подкоренного выражения умножили на 2).
решении примера 5, где требовалось выполнить умножение корней с
разными показателями:

Пример 5. Вычислить

Решение.
Вот как обычно рассуждают в подобных случаях.
1)    По теореме 5 в выражении
можно и показатель корня (т.е. число 2) и показатель подкоренного
выражения (т.е. число 1) умножить на одно и то же натуральное число.
Воспользовавшись этим, умножим оба показателя на 3; получим:
2)    По теореме 5 в выражении
можно и показатель корня (т.е. число 3) и показатель подкоренного
выражения (т.е. число 1) умножить на одно и то же натуральное число.
Воспользовавшись этим, умножим оба показателя на 2; получим:
3)    Поскольку получили корни одной и той же 6-й степени, то можно их перемножить:

Задания по теме: “Свойства корня n-ой степени”

Задание № 1
Скачай задание из Приложений к странице. Распечатай, выполни предложенные задания, отсканируй и отошли учителю