Какие свойства электромагнитных колебаний есть
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ.
СВОБОДНЫЕ И ВЫНУЖДЕННЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ.
Электромагнитные колебания – взаимосвязанные колебания электрического и магнитного полей.
Электромагнитные колебания появляются в различных электрических цепях. При этом колеблются величина заряда, напряжение, сила тока, напряженность электрического поля, индукция магнитного поля и другие электродинамические величины.
Свободные электромагнитные колебания возникают в электромагнитной системе после выведения ее из состояния равновесия, например, сообщением конденсатору заряда или изменением тока в участке цепи.
Это затухающие колебания, так как сообщенная системе энергия расходуется на нагревание и другие процессы.
Вынужденные электромагнитные колебания – незатухающие колебания в цепи, вызванные внешней периодически изменяющейся синусоидальной ЭДС.
Электромагнитные колебания описываются теми же законами, что и механические, хотя физическая природа этих колебаний совершенно различна.
Электрические колебания – частный случай электромагнитных, когда рассматривают колебания только электрических величин. В этом случае говорят о переменных токе, напряжении, мощности и т.д.
КОЛЕБАТЕЛЬНЫЙ КОНТУР
Колебательный контур – электрическая цепь, состоящая из последовательно соединенных конденсатора емкостью C, катушки индуктивностью L и резистора сопротивлением R.
Состояние устойчивого равновесия колебательного контура характеризуется минимальной энергией электрического поля (конденсатор не заряжен) и магнитного поля (ток через катушку отсутствует).
Величины, выражающие свойства самой системы (параметры системы): L и m, 1/C и k
величины, характеризующие состояние системы:
величины, выражающие скорость изменения состояния системы: u = x'(t) и i = q'(t) .
ХАРАКТЕРИСТИКИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ КОЛЕБАНИЙ
Можно показать, что уравнение свободных колебаний для зарядаq = q(t) конденсатора в контуре имеет вид
где q” – вторая производная заряда по времени. Величина
является циклической частотой. Такими же уравнениями описываются колебания тока, напряжения и других электрических и магнитных величин.
Одним из решений уравнения (1) является гармоническая функция
Период колебаний в контуре дается формулой (Томсона):
Величина φ = ώt + φ0, стоящая под знаком синуса или косинуса, является фазой колебания.
Фаза определяет состояние колеблющейся системы в любой момент времени t.
Ток в цепи равен производной заряда по времени, его можно выразить
Чтобы нагляднее выразить сдвиг фаз, перейдем от косинуса к синусу
ПЕРЕМЕННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК
1. Гармоническая ЭДС возникает, например, в рамке, которая вращается с постоянной угловой скоростью в однородном магнитном поле с индукцией В. Магнитный поток Ф , пронизывающий рамку с площадью S ,
где- угол между нормалью к рамке и вектором магнитной индукции .
По закону электромагнитной индукции Фарадея ЭДС индукции равна
где – скорость изменения потока магнитной индукции.
Гармонически изменяющийся магнитный поток вызывает синусоидальную ЭДС индукции
где – амплитудное значение ЭДС индукции.
2. Если к контуру подключить источник внешней гармонической ЭДС
то в нем возникнут вынужденные колебания, происходящие с циклической частотой ώ, совпадающей с частотой источника.
При этом вынужденные колебания совершают заряд q, разность потенциалов u , сила тока i и другие физические величины. Это незатухающие колебания, так как к контуру подводится энергия от источника, которая компенсирует потери. Гармонически изменяющиеся в цепи ток, напряжение и другие величины называют переменными. Они, очевидно, изменяются по величине и направлению. Токи и напряжения, изменяющиеся только по величине, называют пульсирующими.
В промышленных цепях переменного тока России принята частота 50 Гц.
Для подсчета количества теплоты Q, выделяющейся при прохождении переменного тока по проводнику с активным сопротивлением R, нельзя использовать максимальное значение мощности, так как оно достигается только в отдельные моменты времени. Необходимо использовать среднюю за период мощность – отношение суммарной энергии W, поступающей в цепь за период, к величине периода:
Поэтому количество теплоты, выделится за время Т:
Действующее значение I силы переменного тока равно силе такого постоянного тока, который за время, равное периоду T, выделяет такое же количество теплоты, что и переменный ток:
Отсюда действующее значение тока
Аналогично действующее значение напряжения
ТРАНСФОРМАТОР
Трансформатор – устройство, увеличивающее или уменьшающее напряжение в несколько раз практически без потерь энергии.
Трансформатор состоит из стального сердечника, собранного из отдельных пластин, на котором крепятся две катушки с проволочными обмотками. Первичная обмотка подключается к источнику переменного напряжения, а к вторичной присоединяют устройства, потребляющие электроэнергию.
Величину
называют коэффициентом трансформации. Для понижающего трансформатора К > 1, для повышающего К < 1.
Пример. Заряд на пластинах конденсатора колебательного контура изменяется с течением времени в соответствии с уравнением . Найдите период и частоту колебаний в контуре,циклическую частоту, амплитуду колебаний заряда и амплитуду колебаний силы тока. Запишите уравнение i = i(t), выражающее зависимость силы тока от времени.
Из уравнения следует, что . Период определим по формуле циклической частоты
Частота колебаний
Зависимость силы тока от времени имеет вид:
Амплитуда силы тока.
Ответ: заряд совершает колебания с периодом 0,02 с и частотой 50 Гц, которой соответствует циклическая частота 100 рад/с, амплитуда колебаний силы тока равна 510 3 А, ток изменяется по закону:
i=-5000 sin100t
Источник
Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 14 марта 2013; проверки требует 61 правка.
Электромагнитные колебания можно изобразить в виде самораспространяющихся поперечных колебаний электрического и магнитного полей. На рисунке — плоскополяризованная волна, распространяющаяся слева направо. Колебания электрического поля изображены в вертикальной плоскости, а колебания магнитного поля — в горизонтальной.
Электромагнитные колебания — периодические изменения напряжённости и индукции .
Электромагнитными колебаниями являются радиоволны, микроволны, инфракрасное излучение, видимый свет, ультрафиолетовое излучение, рентгеновские лучи, гамма-лучи.
Существует близкий термин — электрические колебания. Периодические ограниченные изменения величин заряда, тока I или напряжения U называют электрическими колебаниями[1]. Переменный электрический ток является одним из видов электрических колебаний.
Вывод формулы[править | править код]
Электромагнитные волны как универсальное явление были предсказаны классическими законами электричества и магнетизма, известными как уравнения Максвелла. Если вы внимательно посмотрите на уравнения Максвелла в отсутствие источников (зарядов или токов), то обнаружите, что помимо тривиального решения, когда напряжённости электрического и магнитного поля равны нулю в каждой точке пространства и ничего не меняется, существуют нетривиальные решения, представляющие собой изменения обеих напряжённостей в пространстве и времени. Начнём с уравнений Максвелла для вакуума:
где
— векторный дифференциальный оператор набла.
Система уравнений (1)—(4) имеет тривиальное решение
Чтобы найти нетривиальное решение, мы воспользуемся векторным тождеством, которое справедливо для любого вектора, в виде:
Чтобы посмотреть как мы можем использовать его, возьмём операцию вихря от выражения (2):
Левая часть (5) эквивалентна:
где мы упрощаем, используя уравнение (1).
Правая часть эквивалентна:
Уравнения (6) и (7) равны, таким образом эти результаты в дифференциальном уравнении для электрического поля, а именно
Применяя аналогичные исходные результаты в аналогичном дифференциальном уравнении для магнитного поля:
Эти дифференциальные уравнения эквивалентны волновому уравнению:
где — скорость волны в вакууме, — описывает смещение.
Или
где — оператор Д’Аламбера:
Заметьте, что в случае электрического и магнитного полей скорость[2].:
которая есть скорость света в вакууме. Уравнения Максвелла объединили диэлектрическую проницаемость вакуума , магнитную проницаемость вакуума и непосредственно скорость света . До этого вывода не было известно, что была такая строгая связь между светом, электричеством и магнетизмом.
Но имеются только два уравнения, а мы начали с четырёх, поэтому имеется ещё больше информации относительно волн, спрятанных в уравнениях Максвелла. Давайте рассмотрим типичную векторную волну для электрического поля.
Здесь — постоянная амплитуда колебаний, — любая мгновенная дифференцируемая функция, — единичный вектор в направлении распространения, а – радиус-вектор. Мы замечаем, что — общее решение волнового уравнения. Другими словами
для типичной волны, распространяющейся в направлении.
Эта форма будет удовлетворять волновому уравнению, но будет ли она удовлетворять всем уравнениям Максвелла, и с чем соответствуется магнитное поле?
Первое уравнение Максвелла подразумевает, что электрическое поле ортогонально (перпендикулярно) направлению распространению волны.
Второе уравнение Максвелла порождает магнитное поле. Оставшиеся уравнения будут удовлетворяться выбором .
Мало того, что волны электрического и магнитного полей распространяются со скоростью света, но они имеют ограниченную ориентацию и пропорциональную величину, , которую можно сразу же заметить из вектора Пойнтинга. Электрическое поле, магнитное поле и направление распространения волны все являются ортогональными, и распространение волны в том же направлении как вектор .
С точки зрения электромагнитной волны, перемещающейся прямолинейно, электрическое поле может колебаться вверх и вниз, в то время как магнитное поле может колебаться вправо и влево, но эта картина может чередоваться с электрическим полем, колеблющемся вправо и влево, и магнитным полем, колеблющимся вверх и вниз. Эта произвольность в ориентации с предпочтением к направлению распространения известна как поляризация.
См. также[править | править код]
- Электромагнитное излучение
- Уравнения Максвелла
- Вибратор Герца
- Колебательный контур
Примечания[править | править код]
- ↑ Кошкин Н. И., Ширкевич М. Г. Справочник по элементарной физике. — 9-е изд. — М.: Наука, 1982. — С. 141. — 208 с.
- ↑ Калашников С. Г.,
Электричество, М., ГИТТЛ, 1956, Гл. XXIII «Свободные электромагнитные волны», п. 265 «Свойства электромагнитных волн», с. 599;
Литература[править | править код]
- Баумгарт К. К.,. Электрические колебания // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
Источник
Автор статьи — профессиональный репетитор, автор учебных пособий для подготовки к ЕГЭ Игорь Вячеславович Яковлев
Темы кодификатора ЕГЭ: свободные электромагнитные колебания, колебательный контур, вынужденные электромагнитные колебания, резонанс, гармонические электромагнитные колебания.
Электромагнитные колебания — это периодические изменения заряда, силы тока и напряжения, происходящие в электрической цепи. Простейшей системой для наблюдения электромагнитных колебаний служит колебательный контур.
Колебательный контур
Колебательный контур — это замкнутый контур, образованный последовательно соединёнными конденсатором и катушкой.
Зарядим конденсатор, подключим к нему катушку и замкнём цепь. Начнут происходить свободные электромагнитные колебания — периодические изменения заряда на конденсаторе и тока в катушке. Свободными, напомним, эти колебания называются потому, что они совершаются без какого-либо внешнего воздействия — только за счёт энергии, запасённой в контуре.
Период колебаний в контуре обозначим, как всегда, через . Сопротивление катушки будем считать равным нулю.
Рассмотрим подробно все важные стадии процесса колебаний. Для большей наглядности будем проводить аналогию с колебаниями горизонтального пружинного маятника.
Начальный момент: . Заряд конденсатора равен , ток через катушку отсутствует (рис. 1). Конденсатор сейчас начнёт разряжаться.
Рис. 1.
Несмотря на то, что сопротивление катушки равно нулю, ток не возрастёт мгновенно. Как только ток начнёт увеличиваться, в катушке возникнет ЭДС самоиндукции, препятствующая возрастанию тока.
Аналогия. Маятник оттянут вправо на величину и в начальный момент отпущен. Начальная скорость маятника равна нулю.
Первая четверть периода : . Конденсатор разряжается, его заряд в данный момент равен . Ток через катушку нарастает (рис. 2).
Рис. 2.
Увеличение тока происходит постепенно: вихревое электрическое поле катушки препятствует нарастанию тока и направлено против тока.
Аналогия . Маятник движется влево к положению равновесия; скорость маятника постепенно увеличивается. Деформация пружины (она же — координата маятника) уменьшается.
Конец первой четверти : . Конденсатор полностью разрядился. Сила тока достигла максимального значения (рис. 3). Сейчас начнётся перезарядка конденсатора.
Рис. 3.
Напряжение на катушке равно нулю, но ток не исчезнет мгновенно. Как только ток начнёт уменьшаться, в катушке возникнет ЭДС самоиндукции, препятствующая убыванию тока.
Аналогия. Маятник проходит положение равновесия. Его скорость достигает максимального значения . Деформация пружины равна нулю.
Вторая четверть: . Конденсатор перезаряжается — на его обкладках появляется заряд противоположного знака по сравнению с тем, что был вначале (рис. 4).
Рис. 4.
Сила тока убывает постепенно: вихревое электрическое поле катушки, поддерживая убывающий ток, сонаправлено с током.
Аналогия. Маятник продолжает двигаться влево — от положения равновесия к правой крайней точке. Скорость его постепенно убывает, деформация пружины увеличивается.
Конец второй четверти . Конденсатор полностью перезарядился, его заряд опять равен (но полярность другая). Сила тока равна нулю (рис. 5). Сейчас начнётся обратная перезарядка конденсатора.
Рис. 5.
Аналогия. Маятник достиг крайней правой точки. Скорость маятника равна нулю. Деформация пружины максимальна и равна .
Третья четверть: . Началась вторая половина периода колебаний; процессы пошли в обратном направлении. Конденсатор разряжается (рис. 6).
Рис. 6.
Аналогия. Маятник двигается обратно: от правой крайней точки к положению равновесия.
Конец третьей четверти: . Конденсатор полностью разрядился. Ток максимален и снова равен , но на сей раз имеет другое направление (рис. 7).
Рис. 7.
Аналогия. Маятник снова проходит положение равновесия с максимальной скоростью , но на сей раз в обратном направлении.
Четвёртая четверть: . Ток убывает, конденсатор заряжается (рис. 8).
Рис. 8.
Аналогия. Маятник продолжает двигаться вправо — от положения равновесия к крайней левой точке.
Конец четвёртой четверти и всего периода: . Обратная перезарядка конденсатора завершена, ток равен нулю (рис. 9).
Рис. 9.
Данный момент идентичен моменту , а данный рисунок — рисунку 1. Совершилось одно полное колебание. Сейчас начнётся следующее колебание, в течение которого процессы будут происходить точно так же, как описано выше.
Аналогия. Маятник вернулся в исходное положение.
Рассмотренные электромагнитные колебания являются незатухающими — они будут продолжаться бесконечно долго. Ведь мы предположили, что сопротивление катушки равно нулю!
Точно так же будут незатухающими колебания пружинного маятника при отсутствии трения.
В реальности катушка обладает некоторым сопротивлением. Поэтому колебания в реальном колебательном контуре будут затухающими. Так, спустя одно полное колебание заряд на конденсаторе окажется меньше исходного значения. Со временем колебания и вовсе исчезнут: вся энергия, запасённая изначально в контуре, выделится в виде тепла на сопротивлении катушки и соединительных проводов.
Точно так же будут затухающими колебания реального пружинного маятника: вся энергия маятника постепенно превратится в тепло из-за неизбежного наличия трения.
Энергетические превращения в колебательном контуре
Продолжаем рассматривать незатухающие колебания в контуре, считая сопротивление катушки нулевым. Конденсатор имеет ёмкость , индуктивность катушки равна .
Поскольку тепловых потерь нет, энергия из контура не уходит: она постоянно перераспределяется между конденсатором и катушкой.
Возьмём момент времени, когда заряд конденсатора максимален и равен , а ток отсутствует. Энергия магнитного поля катушки в этот момент равна нулю. Вся энергия контура сосредоточена в конденсаторе:
Теперь, наоборот, рассмотрим момент, когда ток максимален и равен , а конденсатор разряжен. Энергия конденсатора равна нулю. Вся энергия контура запасена в катушке:
В произвольный момент времени, когда заряд конденсатора равен и через катушку течёт ток , энергия контура равна:
Таким образом,
(1)
Соотношение (1) применяется при решении многих задач.
Электромеханические аналогии
В предыдущем листке про самоиндукцию мы отметили аналогию между индуктивностью и массой. Теперь мы можем установить ещё несколько соответствий между электродинамическими и механическими величинами.
Для пружинного маятника мы имеем соотношение, аналогичное (1):
(2)
Здесь, как вы уже поняли, — жёсткость пружины, — масса маятника, и — текущие значения координаты и скорости маятника, и — их наибольшие значения.
Сопоставляя друг с другом равенства (1) и (2), мы видим следующие соответствия:
(3)
(4)
(5)
(6)
Опираясь на эти электромеханические аналогии, мы можем предвидеть формулу для периода электромагнитных колебаний в колебательном контуре.
В самом деле, период колебаний пружинного маятника, как мы знаем, равен:
B соответствии с аналогиями (5) и (6) заменяем здесь массу на индуктивность , а жёсткость на обратную ёмкость . Получим:
(7)
Электромеханические аналогии не подводят: формула (7) даёт верное выражение для периода колебаний в колебательном контуре. Она называется формулой Томсона. Мы вскоре приведём её более строгий вывод.
Гармонический закон колебаний в контуре
Напомним, что колебания называются гармоническими, если колеблющаяся величина меняется со временем по закону синуса или косинуса. Если вы успели забыть эти вещи, обязательно повторите листок «Механические колебания».
Колебания заряда на конденсаторе и силы тока в контуре оказываются гармоническими. Мы сейчас это докажем. Но прежде нам надо установить правила выбора знака для заряда конденсатора и для силы тока — ведь при колебаниях эти величины будут принимать как положительные, так и отрицательные значения.
Сначала мы выбираем положительное направление обхода контура. Выбор роли не играет; пусть это будет направление против часовой стрелки (рис. 10).
Рис. 10. Положительное направление обхода
Сила тока считается положительной , если ток течёт в положительном направлении. В противном случае сила тока будет отрицательной .
Заряд конденсатора — это заряд той его пластины, на которую течёт положительный ток (т. е. той пластины, на которую указывает стрелка направления обхода). В данном случае — заряд левой пластины конденсатора.
При таком выборе знаков тока и заряда справедливо соотношение: (при ином выборе знаков могло случиться ). Действительно, знаки обеих частей совпадают: если , то заряд левой пластины возрастает, и потому .
Величины и меняются со временем, но энергия контура остаётся неизменной:
(8)
Стало быть, производная энергии по времени обращается в нуль: . Берём производную по времени от обеих частей соотношения (8); не забываем, что слева дифференцируются сложные функции (Если — функция от , то по правилу дифференцирования сложной функции производная от квадрата нашей функции будет равна: ):
Подставляя сюда и , получим:
Но сила тока не является функцией, тождественно равной нулю; поэтому
Перепишем это в виде:
(9)
Мы получили дифференциальное уравнение гармонических колебаний вида , где . Это доказывает, что заряд конденсатора колеблется по гармоническому закону (т.е. по закону синуса или косинуса). Циклическая частота этих колебаний равна:
(10)
Эта величина называется ещё собственной частотой контура; именно с этой частотой в контуре совершаются свободные (или, как ещё говорят, собственные колебания). Период колебаний равен:
Мы снова пришли к формуле Томсона.
Гармоническая зависимость заряда от времени в общем случае имеет вид:
(11)
Циклическая частота находится по формуле (10); амплитуда и начальная фаза определяются из начальных условий.
Мы рассмотрим ситуацию, подробно изученную в начале этого листка. Пусть при заряд конденсатора максимален и равен (как на рис. 1); ток в контуре отсутствует. Тогда начальная фаза , так что заряд меняется по закону косинуса с амплитудой :
(12)
Найдём закон изменения силы тока. Для этого дифференцируем по времени соотношение (12), опять-таки не забывая о правиле нахождения производной сложной функции:
Мы видим, что и сила тока меняется по гармоническому закону, на сей раз — по закону синуса:
(13)
Амплитуда силы тока равна:
Наличие «минуса» в законе изменения тока (13) понять не сложно. Возьмём, к примеру, интервал времени (рис. 2).
Ток течёт в отрицательном направлении: . Поскольку , фаза колебаний находится в первой четверти: . Синус в первой четверти положителен; стало быть, синус в (13) будет положительным на рассматриваемом интервале времени. Поэтому для обеспечения отрицательности тока действительно необходим знак «минус» в формуле (13).
А теперь посмотрите на рис. 8. Ток течёт в положительном направлении. Как же работает наш «минус» в этом случае? Разберитесь-ка, в чём тут дело!
Изобразим графики колебаний заряда и тока, т.е. графики функций (12) и (13). Для наглядности представим эти графики в одних координатных осях (рис. 11).
Рис. 11. Графики колебаний заряда и тока
Обратите внимание: нули заряда приходятся на максимумы или минимумы тока; и наоборот, нули тока соответствуют максимумам или минимумам заряда.
Используя формулу приведения
запишем закон изменения тока (13) в виде:
Сопоставляя это выражение с законом изменения заряда , мы видим, что фаза тока, равная , больше фазы заряда на величину . В таком случае говорят, что ток опережает по фазе заряд на ; или сдвиг фаз между током и зарядом равен ; или разность фаз между током и зарядом равна .
Опережение током заряда по фазе на графически проявляется в том, что график тока сдвинут влево на относительно графика заряда. Сила тока достигает, например, своего максимума на четверть периода раньше, чем достигает максимума заряд (а четверть периода как раз и соответствует разности фаз ).
Вынужденные электромагнитные колебания
Как вы помните, вынужденные колебания возникают в системе под действием периодической вынуждающей силы. Частота вынужденных колебаний совпадает с частотой вынуждающей силы.
Вынужденные электромагнитные колебания будут совершаться в контуре, поключённом к источнику синусоидального напряжения (рис. 12).
Рис. 12. Вынужденные колебания
Если напряжение источника меняется по закону:
то в контуре происходят колебания заряда и тока с циклической частотой (и с периодом, соответственно, ). Источник переменного напряжения как бы «навязывает» контуру свою частоту колебаний, заставляя забыть о собственной частоте .
Амплитуда вынужденных колебаний заряда и тока зависит от частоты : амплитуда тем больше,чем ближе к собственной частоте контура .При наступает резонанс — резкое возрастание амплитуды колебаний. Мы поговорим о резонансе более подробно в следующем листке, посвящённом переменному току.
Источник