Какие свойства используют при решении уравнений
Раздел 5 ВЫРАЖЕНИЯ И УРАВНЕНИЯ
§ 31. УРАВНЕНИЯ. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА УРАВНЕНИЙ
Вы уже знаете, что такое уравнение, корень уравнения. Вспомним основные формулировки.
Запомнить’помните
Уравнением называется равенство, содержащее неизвестное, значение которого надо найти.
Неизвестное число в уравнении обозначают буквой х, или у, или z и тому подобное. Например, запись 4х + 7 = 15 является уравнением, где х — неизвестное и является искомым.
Значение неизвестного, при котором уравнение превращается в верное числовое равенство, называется корнем уравнения.
Так, корнем уравнения 4х + 7 = 15 является число 2, потому 4-2 + 7 = 15.
Уравнение может иметь больше, чем один корень. Например, уравнение 0 ∙ х = 0 имеет бесконечное множество корней, поскольку любое число перетворюе уравнение в верное числовое равенство. С уравнениями, которые имеют два, три или более корней, вы встретитесь позже.
Уравнение может не иметь корней. Например, уравнение 0 ∙ х = -12 не имеет корней, потому что не существует числа, которое в произведении с числом 0 дает число -12.
Решить уравнение — значит найти все его корни или установить, что уравнение не имеет ни одного корня.
В 5 классе вы ознакомились с простейшими уравнениями. Решая их, вы находили корень уравнения как неизвестный компонент арифметического действия. При решении более сложных уравнений опираются на свойства равенств. Рассмотрим основные из них.
Поди вит вся на рисунок 139. Вы видите, что на левой чаше весов размещается арбуз неизвестной массы, а на правой — гири массой 5 кг и 3 кг. Если на обе чаши весов положить по гири массой По кг, то весы останутся в равновесии (рис. 140). Понятно, что, сняв эти гири или поставив на весы одинаковые гири другой массы, снова получим равновесие на весах. Этот пример иллюстрирует такое свойство равенств.
Запомните!
Если к обеим частям равенства прибавить (от обеих частей равенства вычесть) одно и то же число, то равенство не изменится.
Рис. 139
Рис. 140
Задача 1. Решите уравнение: х – 12 = 20.
Решения. К левой и правой часто уравнения прибавим число 12 и упростим полученное равенство:
х -12 = 20, х-12 + 12 = 20 + 12, х= 20 + 12, х= 32.
Решая уравнение, в левой его части «усамітнили неизвестное». Такой же результат получим, если число 1 2 перенесем из левой части в правую, изменив при этом его знак.
Запомните!
Слагаемое можно переносить из одной части уравнения в другую, изменив знак этого слагаемого на противоположный.
? Можно переносить в другую часть уравнения слагаемое, содержащее неизвестное? Так.
Посмотрите на рисунок 141. Вы видите, что масса пакета муки равна 2 кг. Понятно, что масса трех таких пакетов втрое больше (рис.142). Этот пример иллюстрирует другое свойство равенств.
Запомните!
Если обе части равенства умножить (разделить) на одно и то же число, отличное от нуля, то равенство не изменится.
Рис. 141
Рис. 142
Приведенную властивіств используют для решения уравнений. Рассмотрим пример.
Задача 9 Решите уравнение
Решения. Чтобы избавиться от дробного коэффициента, умножим на 3 обе части уравнения:
Запомните!
Основные свойства уравнений
1. Корни уравнения не изменятся, если к обеим частям уравнения добавить (от обеих частей уравнения вычесть) одно и то же число.
2. Корни уравнения не изменятся, если обе части уравнения умножить (разделить) на одно и то же число, отличное от нуля.
Узнайте больше
Считают, что язык алгебры — уравнения. «Чтобы решить вопросы, которые относятся к числам или к отвлеченным отношениям величин, нужно лишь перевести задачу с родного языка на язык алгебраической», — писал великий И. Ньютон (1643-1727) в своем учебнике алгебры, озаглавленном «Всеобщая арифметика».
ВСПОМНИТЕ ГЛАВНОЕ
1. Что такое уравнение ? корень уравнения ?
2. Что означает «решить уравнение»?
3. Сколько корней может иметь уравнение?
4. Сформулируйте основные свойства уравнений.
РЕШИТЕ ЗАДАЧИ
1408′. Из записей является уравнением:
1)14-4 = 56; 2) 5х – 10=0; 3) в + 7 > 21; 4)15 = 4z + 1? Ответ объясните.
1409′. Петрик утверждает, что корнем уравнения является число, подстановка которого в уравнение превращает его в равенство. Прав ли Петя?
1410′. Сколько корней может иметь уравнение? Приведите пример уравнения, которое: 1) не имеет корней; 2) имеет множество корней.
1411′. Или на любое число можно умножить обе части уравнения при решении? А поделить? Ответ объясните.
1412°. Чье число 3 корнем уравнения:
1) 2х-6 = 0; 3)3х – 1 =5;
2) 5y+15 = 0; 4)4х = 9 + х?
1413°. Правильно ли, что число 0 является корнем уравнения:
1)-6x = 0; 3)5х = 0;
2)0: в = -25; 4)1,2:в=0?
1414°. Назовите шаги решения уравнения:
1) 2х + 10 = -3х; 3) 5х + 4=-2х – 10;
2)-4y-5 = 3; 4) 12-3у=8 + у.
Какие свойства уравнений вы при этом использовали?
1415°. Решите уравнение:
1) 9x-16 = 2; 7) 5х + 4 = 3х-12;
2) 4 – 2у = 24; 8)-у + 25= 12y- 1;
3) бх-32 – 2х; 9) 10 = 4z-2-2z;
4) -2у-4у + 24; 10)-2 = 3х+ 14+ х;
5)3х-8 = х; 11)10y +6=12y — 8;
6)-20 = 4y+8; 12) 11z-3 = -3 – 12z.
1416°. Решите уравнение:
1) 5x- 16 = 14; 4) 12 — y=2y + 6;
2) 8y= 10 + Зу; 5) 3х + 3 = 27 – 5х;
3) 2x -16 = 8+ 12х; 6)-3y-8 = 2у + 7.
1417°. Найдите корень уравнения:
1418. Вычислите:
1) 1,1 -0,1 z = -1,9-0,7z; 2)-0,2 х + 4=-2 + 0,1x;
1419°. Составьте уравнение, содержащее неизвестное в обеих частях, корнем которого является число: 1) 8; 2) 14.
1420°. Составьте уравнение, содержащее неизвестное в обеих частях, корнем которого является число: 1) 5; 2) 9.
1421. Решите уравнение:
1) 5(x – 4) = 3x – 10; 7) 12 – 5(x + 1)=7 + 3x – 2x;
2) 4y + 2 = 3(10 – в); 8) -0,2(3 – у) + 1,2 = -0,2(y – 1);
3) 7(x-4) = 5(x + 4); 9) 1-4z-3(1 -z) =-5(z + 2);
4) 3(y + 1) = 6(1 -в) + 6; 10) (18-x)-7(2x-4) = 5x+ 20;
5) 2(x-3)-3(4 -x) = 5; 11) 3(0,4y+3)-0,6y= 8;
6) 7 + 4(3 – у) = 5(в + 2); 12) 2(2 + x) + (4x – 1) ∙ 3 = 10x – 7.
1422. Решите уравнение:
1) 7(x + 2) = -14; 4) 7(x + 3) – 2(x – 5) = 8;
2) 8y = 2(5 – у): 5) 5 + 3(2у – 1) = 2(у – 3);
3) 2(3x – 4) = 4(x – 3); 6) -x – 5,2 = 12 – 2(x + 0,6) – 10.
1423. Найдите корень уравнения:
1424. Найдите корень уравнения:
1425. Решите уравнение:
1427. Найдите корень уравнения:
1428. Найдите корень уравнения:
1429*. Какими могут быть значения х и у, если:
1) х + 3у= 11 и 2x + 3у =13; 2) х + у – 18 и х-у – 6?
1430*. Решите уравнение:
1431*. Дано уравнение:
1)х+2-а; 4)3(x-2) = 2 х-а;
2)5х-а=10; 5) 12-5x = 8(а + 4x);
3) 4(х + 2) = а + 8; 6)7х-2(а-6) = 5х-2.
Найдите: а) х, если а = 3; б) а, если х= 1.
ПРИМЕНИТЕ НА ПРАКТИКЕ
1432. Тарасик демонстрирует друзьям математический фокус «Угадай дату рождения». Он предлагает одному из них мысленно выполнить действия: 1) день своего рождения умножить на два; 2) к результату прибавить 5; 3) полученный результат умножить на 50; 4) добавить номер месяца, в котором тот родился. Потом просит на-
зовут число. После этого Тарасик отнимает от полученного числа 250. У него получается четырехзначное или трицифрове число: первые две или одна цифра — день рождения одноклассника, а две последние — месяц его рождения. В чем заключается секрет фокуса?
1433. Придумайте свой математический фокус.
ЗАДАЧИ НА ПОВТОРЕНИЕ
1434. Обчислітьусно значение выражения 12b-7b-4b-9b, если:
1) b= 0,8; 2)b = -20.
1435. Длина садового участка прямоугольной формы равна 75 м, а ширина составляет 0,3 длины. Найдите длину забора, огораживающий этот участок.
Источник
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Школа № 12 г.Феодосии Республики Крым»
Урок математики в 6 классе
Тема урока:
Учитель математики Дубинина Татьяна Яковлевна
2016г.
Цель урока: раскрыть понятие уравнения, решения уравнения; рассмотреть основные свойства уравнений; разобрать понятие линейного уравнения с одной переменной; закрепить на простейших примерах. Продолжать формировать умения и навыки выполнения действий над рациональными числами.
Ход урока
Организационный момент (слайд 2): на тему выделено 12 часов, планируются 1 самостоятельная работа, 1 математический диктант и 1 контрольная работа.
Оглашение цели урока: сегодня наша с вами задача понять, что же такое уравнение, его корни, что значит решить уравнение, разобрать свойства уравнений и к концу урока на начальном уровне уже уметь ими пользоваться.
Восприятие новой темы
1.Давайте подумаем и попробуем сами определить: что же такое уравнение. Приведите пример уравнения и попробуйте дать определение уравнению. Подумайте, что должно быть в записи, чтобы это было уравнение.
(Дети пытаются приводить примеры, учитель записывает их на доске)
Слайд 3
1)2х +6;
2)4+9=13;
3)х+5=8.
Обсудить каждую запись:
1)буквенное выражение
Вопрос классу: чего не хватает в этой записи? Ответ: знака «равно» и ответа;
2)числовое равенство
Вопрос классу: почему это не уравнение? Ответ: нет буквы (переменной)
3)уравнение
Итак, давайте попробуем дать определение уравнения с одной переменной: (под запись в конспекты) Уравнением с одной переменной называется равенство, содержащее одну переменную.
Предложить нескольким учащимся повторить определение уравнения и ответить на вопрос, какие из записей на слайде являются уравнением:
Слайд 4
х+5;
х2+х=3;
х-у=1;
2х+1=х-5;
8+3=2+9.
2.Теперь разберём, что же называется корнем уравнения с одной переменной.
Слайд 5
х+2=5
Из чисел -1; 4; 3; 0 выберите корень данного уравнения.
1)х=-1
-1+2=1, 15, значит, х=-1 не является корнем уравнения
2)х=4
4+2=6, 65, значит, х=4 не является корнем уравнения
3)х=3
3+2=5, 5=5, значит, х=3 является корнем уравнения
4)х=0
0+2=2, 25, значит, х=0 не является корнем уравнения
Делаем вывод: (под запись в тетрадь)
Корнем уравнения с одной переменной называется числовое значение переменной, обращающее уравнение в верное числовое равенство.
4. Давайте решим следующие уравнения:
Слайд 6
х2=4; 0х=6; 0х=0; х+2=-9
Записывают уравнения в тетрадь и решают их, обсуждая:
1)х2=4;
х=2 или х=-2;
2)0х=6;
нет корней;
3)0х=0;
х-любое число.
Делаем вывод (с записью в тетради):
Решить уравнение – это значит найти все его корни или показать, что таковых нет.
5.Разберём теперь свойства уравнений (слайд 6). Все видели чашечные весы на рынке, представим себе, что на одну чашу положили 5 кг сахара, а на вторую – 5-ти килограммовую гирю. Что при этом происходит с весами?
Ответ: весы находятся в равновесии.
Вопрос: если теперь на обе чаши добавить по 1 кг, что при этом изменится, а что – нет?
Ответ: изменится вес на каждой чаше, но не изменится равновесие.
Вот так и в уравнении: важно равновесие, мы сейчас выясним, что можно делать с уравнением, чтобы корни его не изменились.
Вывод:
свойство 1
Корень уравнения не изменится, если к обеим частям прибавить одно и то же выражение.
Пример
2х+3=-х+6; /-3
2х+3-3=-х+6-3;
2х=-х+6-3; /+х
2х+х=-х+6-3+х;
2х+х=6-3;
3х=3;
х=1.
Из этого примера сделать вывод:
Свойство 2
Корень уравнения не изменится, если перенести слагаемое из одной его части в другую, поменяв при этом знак слагаемого на противоположный.
Пример:
3х-8=2х+6;
3х-2х=6+8;
х=14.
Свойство 3
Корень уравнения не изменится, если обе его части умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля.
Пример:
4-8х=х-5;
-8х-х=-5-4; /*(-1)
8х+х=5+4;
9х=9;
х=1.
Свойство 4
Корень уравнения не изменится, если раскрыть скобки, привести подобные слагаемые, упростить обе части уравнения.
Пример:
5х-8(2-х)=11+6(х-1);
5х-16+8х=11+6х-6;
13х-16=5+6х;
13х-6х=5+16;
7х=21;
х=3.
4.Осмысление
Решают сначала самостоятельно, чтобы понять – насколько хорошо усвоили тему, а затем у доски проверяем.
618(а, б) Является ли число 2 корнем уравнения:
а) х-2=0; б)х+4=0.
626(а) Решить уравнение 3х+2х=10
627(а) Решить уравнение х+3=3х-7
628(а) Решить уравнение 2(х-5)=9
Задать домашнее задание: п.3.9 – учить определение уравнения, знать понятие корня уравнения и знать, что значит решить уравнение, решать №№618(в, д), 626(г, ж), 627(г). Подумайте дома и попробуйте ответить на вопрос: зачем нужны уравнения?
Рефлексия:
1)что же мы сегодня изучали на уроке?
2)достигли ли мы поставленной цели?
3)всё ли было понятно или на что-то необходимо обратить внимание на следующем уроке?
Источник
Первое печатное появление знака равенства в книге Роберта Рекорда в 1557 году (записано уравнение 14x + 15 = 71)
Уравне́ние — равенство вида
,
где чаще всего в качестве выступают числовые функции, хотя на практике встречаются и более сложные случаи — например, уравнения для вектор-функций, функциональные уравнения и другие.
Решение уравнения[править | править код]
Иллюстрация графического метода нахождения корней уравнения x = f(x)
Решение уравнения — задача по нахождению таких значений аргументов, при которых это равенство достигается. На возможные значения аргументов могут быть наложены дополнительные условия (целочисленности, вещественности и т. д.).
Аргументы заданных функций (иногда называются «переменными») в случае уравнения называются «неизвестными».
Значения неизвестных, при которых это равенство достигается, называются решениями или корнями данного уравнения.
Про корни говорят, что они удовлетворяют данному уравнению.
Решить уравнение означает найти множество всех его решений (корней) или доказать, что корней нет.
Равносильные уравнения[править | править код]
Равносильными или эквивалентными называются уравнения, множества корней которых совпадают. Равносильными также считаются уравнения, которые не имеют корней.
Эквивалентность уравнений имеет свойство симметричности: если одно уравнение эквивалентно другому, то второе уравнение эквивалентно первому.
Эквивалентность уравнений имеет свойство транзитивности: если одно уравнение эквивалентно другому, а второе эквивалентно третьему, то первое уравнение эквивалентно третьему. Свойство эквивалентности уравнений позволяет проводить с ними преобразования, на которых основываются методы их решения.
Третье важное свойство задаётся теоремой: если функции заданы над областью целостности, то уравнение
эквивалентно совокупности уравнений
.
Это означает, что все корни первого уравнения являются корнями одного из двух других уравнений, и позволяет находить корни первого уравнения в два приёма, решая каждый раз более простые уравнения.
Основные свойства[править | править код]
С алгебраическими выражениями, входящими в уравнения, можно выполнять операции, которые не меняют его корней, в частности:
- в любой части уравнения можно раскрыть скобки;
- в любой части уравнения можно привести подобные слагаемые;
- любой член уравнения можно перенести из одной части в другую, заменив его знак на противоположный;
- к обеим частям уравнения можно прибавить одно и то же выражение;
- из обеих частей уравнения можно вычесть одно и то же выражение;
- обе части уравнения можно умножать или делить на одно и то же число, отличное от нуля.
Уравнения, которые являются результатом этих операций, являются эквивалентными начальному уравнению. Однако для свойств 4 и 5 существует ограничение: в случае прибавления к обеим частям уравнения одного и того же выражения (или в случае вычитания из обеих частей уравнения одного и того же выражения), содержащего неизвестное и теряющего смысл при неизвестном, принимающем значения корней данного уравнения, получится уравнение, неэквивалентное исходному (начальному). Но если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же выражение (или из обеих частей уравнения вычесть одно и то же выражение), содержащее неизвестное и теряющее смысл лишь при значениях неизвестного, не являющихся корнями данного уравнения, то получится уравнение, эквивалентное начальному.
Умножение или деление обеих частей уравнения на выражение, содержащее неизвестное, может привести, соответственно, к появлению посторонних корней или к потере корней.
Возведение обеих частей уравнения в квадрат может привести к появлению посторонних корней.
Следствие уравнения и посторонние корни[править | править код]
Уравнение
называется следствием уравнения
,
если все корни второго уравнения являются корнями первого. Первое уравнение может иметь дополнительные корни, которые для второго уравнения называются посторонними. Посторонние корни могут появиться при преобразованиях, необходимых для нахождения корней уравнений. Для того чтобы их обнаружить, необходимо проверить корень подстановкой в исходное уравнение. Если при подстановке уравнение становится тождеством, то корень настоящий, если нет — посторонний.
Пример[править | править код]
Уравнение при возведении обеих частей в квадрат даёт уравнение , или . Оба уравнения являются следствием исходного. Последнее из них легко решить; оно имеет два корня и .
При подстановке первого корня в исходное уравнение образуется тождество . При подстановке другого корня получается неправильное утверждение . Таким образом, второй корень нужно отбросить как посторонний.
Виды уравнений[править | править код]
Различают алгебраические уравнения, уравнения с параметрами, трансцендентные, функциональные, дифференциальные и другие виды уравнений.
Некоторые классы уравнений имеют аналитические решения, которые удобны тем, что не только дают точное значение корня, а позволяют записать решение в виде формулы, в которую могут входить параметры. Аналитические выражения позволяют не только вычислить корни, а провести анализ существования и количества корней в зависимости от значений параметров, что часто бывает даже важнее для практического применения, чем конкретные значения корней.
К уравнениям, для которых известны аналитические решения, относятся алгебраические уравнения не выше четвёртой степени: линейное, квадратное, кубическое уравнения и уравнение четвёртой степени. Алгебраические уравнения высших степеней в общем случае аналитического решения не имеют, хотя некоторые из них можно свести к уравнениям низших степеней.
Уравнения, в которые входят трансцендентные функции, называются трансцендентными. Среди них аналитические решения известны для некоторых тригонометрических уравнений, поскольку нули тригонометрических функций хорошо известны.
В общем случае, когда аналитического решения найти не удаётся, применяют вычислительные (численные) методы. Численные методы не дают точного решения, а только позволяют сузить интервал, в котором лежит корень, до определённого заранее заданного значения.
Алгебраические уравнения[править | править код]
Алгебраическим уравнением называется уравнение вида
где — многочлен от переменных , которые называются неизвестными.
Коэффициенты многочлена обычно берутся из некоторого поля , и тогда уравнение называется алгебраическим уравнением над полем . Степенью алгебраического уравнения называют степень многочлена .
Например, уравнение
является алгебраическим уравнением седьмой степени от трёх переменных (с тремя неизвестными) над полем вещественных чисел.
Линейные уравнения[править | править код]
Квадратные уравнения[править | править код]
где — свободная переменная, , , — коэффициенты, причём .
Выражение называют квадратным трёхчленом. Корень такого уравнения (корень квадратного трёхчлена) — это значение переменной , обращающее квадратный трёхчлен в нуль, то есть значение, обращающее квадратное уравнение в тождество. Коэффициенты квадратного уравнения имеют собственные названия: коэффициент называют первым или старшим, коэффициент называют вторым или коэффициентом при , называется свободным членом этого уравнения. Приведённым называют квадратное уравнение, в котором старший коэффициент равен единице. Такое уравнение может быть получено делением всего выражения на старший коэффициент : , где , а . Полным квадратным уравнением называют такое, все коэффициенты которого отличны от нуля. Неполным квадратным уравнением называется такое, в котором хотя бы один из коэффициентов кроме старшего (либо второй коэффициент, либо свободный член) равен нулю.
Для нахождения корней квадратного уравнения в общем случае следует пользоваться приводимым ниже алгоритмом:
Графиком квадратичной функции в прямоугольных координатах является парабола. Она пересекает ось абсцисс в точках, соответствующих корням квадратного уравнения .
Кубические уравнения[править | править код]
График кубической функции
Для графического анализа кубического уравнения в прямоугольных координатах используется кубическая парабола.
Любое кубическое уравнение канонического вида можно привести к более простому виду
,
поделив его на и подставив в него замену . При этом коэффициенты будут равны:
,
.
Уравнение четвёртой степени[править | править код]
Четвёртая степень для алгебраических уравнений является наивысшей, при которой существует аналитическое решение в радикалах в общем виде (то есть при любых значениях коэффициентов).
Так как является многочленом чётной степени, она имеет один и тот же предел при стремлении к плюс и к минус бесконечности. Если , то функция возрастает до плюс бесконечности с обеих сторон, и следовательно, имеет глобальный минимум. Аналогично, если , то функция убывает до минус бесконечности с обеих сторон, и следовательно, имеет глобальный максимум.
Иррациональные и рациональные уравнения[править | править код]
- Рациональное уравнение – это такой вид уравнения в которой левая и правая части рациональные выражения. В записи уравнения имеются только сложение, вычитание, умножение , деление , а также возведение в степень целого числа.
- Иррациональное уравнение — это уравнение, содержащее неизвестное под знаком корня. или возведённое в степень, которую нельзя свести к целому числу.
Системы линейных алгебраических уравнений[править | править код]
Система уравнений вида:
| (1) |
Здесь — количество уравнений, а — количество неизвестных. x1, x2, …, xn — неизвестные, которые надо определить. a11, a12, …, amn — коэффициенты системы — и b1, b2, … bm — свободные члены — предполагаются известными. Индексы коэффициентов (aij) системы обозначают номера уравнения (i) и неизвестного (j), при котором стоит этот коэффициент, соответственно[1].
Система называется однородной, если все её свободные члены равны нулю (b1 = b2 = … = bm = 0), иначе — неоднородной. Система называется квадратной, если число m уравнений равно числу n неизвестных. Решение системы — совокупность n чисел c1, c2, …, cn, таких что подстановка каждого ci вместо xi в систему обращает все её уравнения в тождества. Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если у неё нет ни одного решения. Решения c1(1), c2(1), …, cn(1) и c1(2), c2(2), …, cn(2) совместной системы называются различными, если нарушается хотя бы одно из равенств:
c1(1) = c1(2), c2(1) = c2(2), …, cn(1) = cn(2).
Совместная система называется определённой, если она имеет единственное решение; если же у неё есть хотя бы два различных решения, то она называется неопределённой. Если уравнений больше, чем неизвестных, она называется переопределённой.
Уравнения с параметрами[править | править код]
Уравнением с параметрами называется математическое уравнение, внешний вид и решение которого зависит от значений одного или нескольких параметров. Решить уравнение с параметром означает:
- Найти все системы значений параметров, при которых данное уравнение имеет решение.
- Найти все решения для каждой найденной системы значений параметров, то есть для неизвестного и параметра должны быть указаны свои области допустимых значений.
Уравнения с параметром могут быть как линейными, так и нелинейными.
Пример линейного уравнения с параметром:
Пример нелинейного уравнения с параметром:
где — независимая переменная, — параметр.
Трансцендентные уравнения[править | править код]
Трансцендентным уравнением называется уравнение, не являющееся алгебраическим. Обычно это уравнения, содержащие показательные, логарифмические, тригонометрические, обратные тригонометрические функции, например:
Более строгое определение таково: трансцендентное уравнение — это уравнение вида , где функции и являются аналитическими функциями, и по крайней мере одна из них не является алгебраической.
Функциональные уравнения[править | править код]
Функциональным уравнением называется уравнение, выражающее связь между значением функции (или функций) в одной точке с её значениями в других точках. Многие свойства функций можно определить, исследуя функциональные уравнения, которым эти функции удовлетворяют. Термин «функциональное уравнение» обычно используется для уравнений, несводимых простыми способами к алгебраическим уравнениям. Эта несводимость чаще всего обусловлена тем, что аргументами неизвестной функции в уравнении являются не сами независимые переменные, а некоторые данные функции от них. Например:
- функциональному уравнению
где — гамма-функция Эйлера, удовлетворяет дзета-функция Римана ζ.
- Следующим трём уравнениям удовлетворяет гамма-функция; она является единственным решением этой системы трёх уравнений:
(формула дополнения Эйлера).
- Функциональное уравнение
где , , , являются целыми числами, удовлетворяющими равенству , то есть , определяет как модулярную форму порядка k.
Дифференциальные уравнения[править | править код]
Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее значение некоторой неизвестной функции в некоторой точке и значение её производных различных порядков в той же точке. Дифференциальное уравнение содержит в своей записи неизвестную функцию, её производные и независимые переменные. Порядок дифференциального уравнения — наибольший порядок производных, входящих в него. Решением дифференциального уравнения порядка n называется функция , имеющая на некотором интервале (a, b) производные до порядка n включительно и удовлетворяющая этому уравнению. Процесс решения дифференциального уравнения называется интегрированием.
Все дифференциальные уравнения можно разделить на
- обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ), в которые входят только функции (и их производные) от одного аргумента:
или ,
где — неизвестная функция (возможно, вектор-функция; в таком случае часто говорят о системе дифференциальных уравнений), зависящая от независимой переменной ; штрих означает дифференцирование по .
- и дифференциальные уравнения в частных производных, в которых входящие функции зависят от многих переменных:
,
где — независимые переменные, а — функция этих переменных.
Первоначально дифференциальные уравнения возникли из задач механики, в которых участвовали координаты тел, их скорости и ускорения, рассматриваемые как функции времени.
Примеры уравнений[править | править код]
См. также[править | править код]
- Диофантово уравнение
- Линейное уравнение
- Квадратное уравнение
- Решение какого-либо уравнения построением
- Система уравнений
- Переменная
Примечания[править | править код]
- ↑ Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра: Учебник для вузов. — 6-е изд., стер. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 280 с.
Литература[править | править код]
- Бекаревич А. Б. Уравнения в школьном курсе математики. — Минск: Нар. асвета, 1968. — 152 с.
- Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: Наука, 1978.
- Переиздание: Изд. АСТ, 2003, ISBN 5-17-009554-6.
- Зайцев В. В., Рыжков В. В., Сканави М. И. Элементарная математика. Повторительный курс. — Издание третье, стереотипное. — М.: Наука, 1976. — 591 с.
- Маркушевич, Л. А. Уравнения и неравенства в заключительном повторении курса алгебры средней школы / Л. А. Маркушевич, Р. С. Черкасов. / Математика в школе. — 2004. — № 1.
Ссылки[править | править код]
- Уравнение — статья из Большой советской энциклопедии.
- Уравнения // Энциклопедия Кольера. — Открытое общество. 2000.
- Уравнение // Энциклопедия Кругосвет
- Уравнение // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.
- EqWorld — Мир математических уравнений — содержит обширную информацию о математических уравнениях и системах уравнений.
Источник