Какие свойства есть у ромба

1. Противолежащие стороны ромба параллельны и равны.
2. Диагонали ромба перпендикулярны.
3. Точка пересечения диагоналей делит их пополам.
4. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.
5. Диагонали образуют из ромба 4 прямоугольных треугольника.
6. Любой ромб может содержать окружность с центром в точке пересечения его диагоналей.
7. Сумма квадратов диагоналей равна квадрату одной из сторон ромба умноженному на четыре

1. Параллелограмм с перпендикулярными диагоналями является ромбом.
2. Когда в параллелограмме хотя бы одна из диагоналей разделяет оба угла (через которые она проходит) пополам, то эта фигурой будет ромб.
   Примечание: Не каждая фигура (четырехугольник) с перпендикулярными диагоналями будет ромбом, так как прежде всего ромб это частный случай параллелограмма, а следовательно должен иметь все его признаки
3. Если в параллелограмм можно вписать круг, то он является ромбом

Длина стороны ромба через площадь (S) и высоту (AE)

$$
AB = {S over AE}
$$

Длина стороны ромба через площадь (S) и синус угла

$$
AB = {sqrt{S} over sqrt{sin(∠CDA)}} = {sqrt{S} over sqrt{sin(∠DAB)}}
$$

Длина стороны ромба через диагонали

$$
AB = {sqrt{AC^2 + DB^2} over 2}
$$

Длина стороны ромба через диагональ и угол

$$
AB = {BD over 2 * cos(∠CDA)} = {AC over 2 * cos(∠DAB)}
$$

Длина стороны ромба через периметр

$$
AB = {P over 4}
$$

Длина большой диагонали ромба через сторону и косинус острого угла(∠CDA) или косинус тупого угла(∠DAB)

$$
BD = AB * sqrt{2 + 2 * cos(∠CDA)}
$$
$$
BD = AB * sqrt{2 – 2 * cos(∠DAB)}
$$

Длина малой диагонали ромба через сторону и косинус острого угла(∠CDA) или косинус тупого угла(∠DAB)

$$
AC = AB * sqrt{2 – 2 * cos(∠CDA)}
$$
$$
AC = AB * sqrt{2 + 2 * cos(∠DAB)}
$$

Длина диагонали ромба через сторону и другую диагональ

$$
BD = sqrt{4 * AB^2 + AC^2}
$$
$$
AC = sqrt{4 * AB^2 + BD^2}
$$

Длина диагонали ромба через площадь и другую диагональ

$$
BD = {2 * S over AC}
$$
$$
AC = {2 * S over BD}
$$

Длина диагонали ромба через тангенс острого tg(∠CDA) или тупого tg(∠DAB) угла и другую диагональ

$$
BD = AC * tg({∠DAB over 2 })
$$
$$
AC = BD * tg({∠CDA over 2 })
$$

Площадь ромба через высоту (AE) и сторону

$$
S = AB * AE
$$

Площадь ромба через сторону и синус любого угла

$$
S = AB^2 * sin(∠CDA) = AB^2 * sin(∠DAB)
$$

Площадь ромба через две диагонали

$$
S = {1 over 2} * AC * BD
$$

Площадь ромба через большую диагональ и тангенс острого угла(∠CDA) или малую диагональ и тангенс тупого угла(∠DAB)

$$
S = {1 over 2} * BD^2 * tg({∠CDA over 2})
$$
$$
S = {1 over 2} * AC^2 * tg({∠DAB over 2})
$$

Радиус вписанного круга в ромб через высоту ромба (AE)

$$
R = {AE over 2}
$$

Радиус вписанного круга в ромб через площадь и сторону ромба

$$
R = {S over 2 * AB}
$$

Радиус вписанного круга в ромб через сторону и синус любого угла

$$
R = {AB * sin(∠CDA) over 2} = {AB * sin(∠DAB) over 2}
$$

Радиус вписанного круга в ромб через диагональ и синус угла

$$
R = {BD * sin(∠CDA / 2) over 2}
$$
$$
R = {AC * sin(∠DAB / 2) over 2}
$$

Радиус вписанного круга в ромб через две диагонали

$$
R = {BD * AC over 2 * sqrt{BD^2 + AC^2}}
$$

Высота ромба через сторону и угол

$$
AE = AB * sin(∠CDA) = AB * sin(∠DAB)
$$

Высота ромба через диагональ и угол

$$
AE = BD * sin({∠CDA over 2})
$$
$$
AE = AC * sin({∠DAB over 2})
$$

Высота ромба через диагонали

$$
AE = {BD * AC over sqrt{BD^2 + AC^2}}
$$

Высота ромба через диагонали и сторону

$$
AE = {BD * AC over 2 * AB}
$$

Косинус углов через диагональ и сторону

$$
cos(∠CDA) = {BD over 2 * AB^2} – 1 = 1 – {AC over 2 * AB^2}
$$
$$
cos(∠DAB) = {AC over 2 * AB^2} – 1 = 1 – {BD over 2 * AB^2}
$$

Синусы углов через диагонали

$$
sin(∠CDA) = sin(∠DAB) = {2 * BD * AC over BD^2 + AC^2}
$$

Синусы углов через площадь и сторону

$$
sin(∠CDA) = sin(∠DAB) = {S over AB^2}
$$

Тангенс половинных углов через диагонали

$$
tg(∠CDA) = {AC over BD}
$$
$$
tg(∠DAB) = {BD over AC}
$$