Какие свойства доказывают поперечность электромагнитных волн

Система уравнений Максвелла

Приведем законы, которым подчиняется поведение электрического и магнитного полей, лежащие в основе теории электромагнетизма. Эти законы, являющиеся обобщением опыта, формулируются ниже в интегральной форме, так как именно в таком виде обычно выражаются данные эксперимента. Используя основные положения векторного анализа, можно записать эти законы электромагнитного поля в дифференциальной форме.

Если исследуют электромагнитное поле в каком-либо веществе, изотропно заполняющем пространство, то значение векторов Е и В получаются при усреднении микроскопических величин <Eмикр>=Е и <Hмикр>=В. Такая запись позволяет оперировать с мгновенными напряженностями электрического и магнитного полей в любой точке пространства.

Усреднение микроскопических величин законно в том случае, линейные размеры области, где <Eмикр> и<Hмикр> можно считать неизменными ,значительно превышают размеры атомов (молеукл). Длина волны  является тем отрезком , на котором напряженность поля сильно изменяется. Поэтому усреднение можно проводить лишь в том случае, когда значительно больше атомных размеров .Такое равенство соблюдается для всего оптического диапазона спектра, включая короткие ультрафиолетовые лучи. Сложнее обстоит дело в рентгеновской области спектра, где  см, т.е. того же порядка что размеры атомов.

При переходе к дифференциальной форме законов электромагнитного поля используют следующие теоремы векторного анализа:

Теорема Гаусса о преобразовании поверхностного интеграла в объемный:  .        (2.3.1)

Теорема Стокса о преобразовании интеграла по замкнутой кривой в поверхностный интеграл (поток ротора через поверхность, охватываемую исследуемой кривой):

.         (2.3.2)

Итак , вспомним законы электрического и магнитного полей. Первый из них – основной закон электростатики – закон Кулона. Как следствие этого закона формулируется теорема Гаусса о потоке, которая при наличии диэлектриков в исследуемом пространстве записывается в виде

.        (2.3.3)

Отсюда указанным выше способом переходим к дифференциальной форме закона

,             (2.3.3а)

где D – вектор электрического смещения, – объемная плотность зарядов.

Существенно, что выражения (2.3.3) и (2.3.3а), полученные из уравнений электростатики, обобщаются Максвеллом для переменных полей, где D и  зависят от времени .

Отсутствие в природе магнитных зарядов (монополей) приводит к выражению

(2.3.4)

которое преобразуется к виду

div B = 0. (2.3.4а)

Эти формулы соответствуют хорошо известным модельным представлением о силовых линиях электрического поля, начинающихся на положительных зарядах и  заканчивающихся на отрицательных, тогда как линии магнитного поля замкнуты и охватывают породившие их токи. Введение понятия линий электрического и магнитного полей совершенно не обязательно (смысл законов содержится в приведенных формулах), но, как и во многих случаях, наглядность модельных  представлений помогает пониманию явления.

Переходя к описанию свойств электрического тока. сформулируем основной закон о зависимости напряженности магнитного поля от силы породившего его тока. Этот закон обычно связывают с именами Био, Савара и Лаплпса. Запишем его в виде, который называют теоремой о циркуляции вектора Н:

Дифференциальная форма этого закона получается применением теоремы Стокса к равенству (2.3.5) и описывает плотности тока  j с напряженностью магнитного поля в данной точке:

Как известно, Максвелл ввел ток смещения, плотность которого удовлетворяет соотношению

Ток проводимости и ток смещения дополняют друг друга, образуя полный ток плотностью

которая, согласно Максвеллу, и фигурирует в уравнении (2.3.6) последним из требующихся нам фундаментальных соотношений является математическая формулировка знаменитого открытия Фарадея – закона электромагнитной индукции.

в котором электродвижущая сила , возникающая в замкнутом контуре, связывается со скоростью изменения потока магнитной индукции Ф, пронизывающего этот контур.

При соблюдении некоторых условий эксперимента ( в частности , если контур с током неподвижен и не деформируется за время изменений ) справедлива следующая интегральная форма записи закона индукции:

откуда легко получается дифференциальная форма закона

Здесь уместно сделать следующее значения:

1. Хорошо известны соображения о вихревом характере электрического поля, порождаемого изменяющимся во времени магнитным полем. Это переменное электрическое поле существенно отличается от потенциального электростатического поля , создаваемого системой неподвижных электрических зарядов, для которого rotE = 0. В последующем нас будет интересовать именно переменное электрическое поле . Но , как было показано Максвеллом , наличие переменного электрического поля с неизбежностью приводит к возникновению связанного с ним магнитного поля и поэтому нужно говорить о едином электромагнитном поле , характеризуемом в каждой точке пространства взаимосвязанными ортогональными векторами Е и В.

2. Введение Максвеллом понятий тока смещения в начале выглядело как гениальная догадка. Но несовместимость сформулированного уравнения электромагнитного поля (2.3.6) и уравнения непрерывности

выражающего одно из самых общих свойств материи – закон сохранения электрического заряда, – с неизбежностью приводит к необходимости введения дополнительного слагаемого  в правую часть уравнения поля. Следовательно, уравнение (2.3.6) должно иметь вид

Именно это изменяющееся во времени электрическое поле , столь неудачно названо «током смещения», и связанное с ним магнитное поле будут играть главную роль в дальнейшем  изложении.

Итак, имеем уравнение электромагнитного поля в следующем виде:

,  ,

, .      (2.3.11)

Их нужно дополнить «материальными» уравнениями, учитывающими соотношения между векторами Е,D,В,Н и j. При отсутствии ферромагнитных сегнетоэлектрических материалов для изотропных сред можно записать эти уравнения при помощи трех констант:  (электропроводность),  (диэлектрическая проницаемость) и  (магнитная проницаемость), постулируя линейную связь между D и Е, В и Н, j и E, т.е.

D =E , В = Н, j = E.                     (2.3.12)

Следует также сформулировать граничные условия для уравнений электромагнитного поля, из которых наиболее широко будем использовать равенство тангенциальных составляющих Е и Н на границе раздела двух сред, т.е.

,  (2.3.13)

если предположить, что граничащие среды разделены слоем, в котором константы , и изменяются непрерывно, а j и конечны, то при стремлении к нулю толщины этого слоя уравнения (2.3.9) и (2.3.6) сведутся к равенствам (2.3.14). Однако при решении конкретных задач часто возникает необходимость задать значение искомых функций на границе исследуемой области. Такие граничные условия определяются условиями эксперимента и не вытекают из уравнений электромагнитного поля. Они должны быть добавлены к системе уравнений (2.3.11). В частности, при рассмотрении безграничного пространства часто задают вид тех или иных функций на бесконечности, руководствуясь физическими условиями решаемой задачи.

Система уравнений, включающая в себя уравнения электромагнитного поля, «материальные» соотношения и граничные условия, названа системой уравнений Максвелла и играетв электродинамике ту же роль. что и аксиоматика уравнений Ньютона в классической механике.

Поперечность электромагнитных волн

Допустим, что волны распространяются в однородном незаряженном диэлектрике. Применим к ним фундаментальные уравнения Максвелла

И материальные уравнения D =E , В = Н.

Пусть волна – плоская и монохроматическая. Запишем ее в комплексном виде

,  (2.3.15)

где  – круговая частота, k- волновой вектор, а амплитуды  постоянны. Дифференцируя по времени, получаем , т.е. операция дифференцирования в этом случае сводится к умножению на . Аналогично, дифференцирование по координатам x, y, z сводится к умножению на . Заметив это и обозначая координатные орты через  получаем

и аналогично для rot E. В результате уравнения Максвелла перейдут в

Введем единичный вектор N нормали к фронту волны и скорость распространения последнего в направлении этой нормали – так называемую нормальную скорость v.

Тогда  (2.3.17)

И предыдущие соотношения перейдут в

 (2.3.18)

отсюда видно, что векторы E, H, v в плоской электромагнитной волне взаимно перпендикулярны . Перпендикулярность векторов Е и Н к вектору v, или, что то же, к направлению распространения волны, означает, что электромагнитные волны поперечны. Т.е. проблема поперечности световых волн, с которой не могли справиться теории механического эфира, совсем не возникает в электромагнитной теории света.

Скорость электромагнитной волны

Из уравнений Максвелла можно определить и скорость электромагнитной волны v. С этой целью запишем эти уравнения в скалярной форме:

или

Отсюда после почленного перемножения и сокращения на ЕН получаем для v и показателя преломления  следующие выражения:

,

Последнее соотношение  называется законом Максвелла. Для немагнитных сред () оно переходит в .

В вакууме v=c, т.е. v совпадает с электродинамической постоянной с. Тем самым раскрывается глубокий смысл открытия В.Вебера и Кольрауша, впервые измеривших эту постоянную в 1856г.

Энергия переносимая электромагнитной волной

Электромагнитная волна представляет собой электромагнитное возмущение распространяющееся, как уже говорилось, в вакууме со скорость c, а в среде – со скоростью . С этим электромагнитным возмущением связанна энергия, плотность которой (т.е. энергия, заключенная в единице объема) выражается для электрического поля через , а для магнитного поля через . В случае монохроматической волны  и , так что энергия волны пропорциональна квадрату ее амплитуды. Это соотношение между энергией и амплитудой сохраняет свое значение и для любой другой волны.

При распространении электромагнитной волны происходит перенос энергии, подобно тому как это имеет место при распространении упругой волны. Вопрос о течении энергии в упругой волне был впервые (1874г.) рассмотрен Н. А. Умовым который доказал общую теорему о потоке энергии в любой среде. Поток энергии в упругой волне может быть вычислен через величины, характеризующие потенциальную энергию упругой деформации и кинетическую энергию движения частиц упругой среды. Плотность потока энергии выражается с помощью специального вектора (вектор Умова). Аналогичное рассмотрение плодотворно и для электромагнитных. До известной степени можно уподобить энергию электрического поля потенциальной энергии упругой деформации, а энергию магнитного поля – кинетической энергии движения частей деформированного тела. Так же как и в случае упругой деформации, передача энергии от точки к точке в электромагнитной волне связанна с тем обстоятельством, что волны электрической магнитной напряженности находятся в одной фазе. Такая волна называется бегущей. Движение энергии в бегущей упругой волне удобно изображается с помощью вектора S, который можно назвать вектором энергии и который показывает, какое количество энергии протекает в волне за 1с. через 1 метр в квадрате. Для электромагнитных волн вектор этот был введен Пойтингом (1884г.) Его уместно называть вектором Умова-Пойтинга.

Нетрудно найти выражение этого вектора для простого случая, рассмотренного нами в пункте 2.2 и выражающего распространение полоской электромагнитной волны вдоль оси x.

Умножив  на Н и  на Е и сложив,

получим

где  есть плотность энергии. Рассматривая поток энергии S, входящий и выходящий из элементарного объема, найдем выражение для изменения плотности энергии по времени

Отсюда

что представляет собой численное выражение вектора Умова – Пойтинга для электромагнитной волны. Что касается направления вектора Умова – Пойтинга, то он перпендикулярен к плоскости, проходящей через векторы электрической м магнитной напряженности, т.е. в векторной форме запишется в общем виде

Своим направление вектор Умова – Пойтинаг определяет направление переноса энергии волны и может бать во многих случаях принят за направление светового луча. Не следует, однако, забывать, что понятие луча есть понятие геометрической оптики и не имеет вполне соответствующего образа в области волновых представлений, для которых введен вектор Умова – -Пойтинга.

Явления интерференции и дифракции, отчетливо выявляя волновые свойства света, не отвечают на вопрос, являются ли волны продольными или поперечными. Действительно, указанные явления наблюдаются для обоих типов волн любой природы. В частности, при одинаковой длине волны (например, волне длиной 3 см отвечает акустическая частота 10 кГц и оптическая, электромагнитная частота 1010 Гц) явления дифракции можно одинаково хорошо наблюдать на одних и тех же объектах. Электромагнитная теория света Максвелла предсказывает поперечность световых волн. Группа явлений, доказывающих справедливость предсказания Максвелла, называется явлениями поляризации света. На радиочастотах легко обнаружить поперечность излучаемых волн и их линейную поляризацию: если волна распространяется свободно, то электрический вектор сохраняет в пространстве неизменное направление; разумеется, то же’ справедливо и для магнитного вектора, перпендикулярного электрическому. Так, если излучение осуществляется прямолинейным проводом, а приемный провод параллелен передающему, то прием наиболее силен; при вращении приемного провода вокруг прямой, соединяющей его с передающим проводом, прием ослабевает и полностью исчезает, когда провода располагаются взаимно перпендикулярно. Из рисунка 7.1 видно, что проекция вектора напряженности (совпадающего с направлением передающего провода) на направление приемного провода РР составляет

Так как эта проекция определит ток в приемном устройстве, а интенсивность приема пропорциональна квадрату тока, то отсюда получается:

(7.1)

Это соотношение в оптике носит название закона Малюса.

Плоскость, содержащую вектор и направление распространяющегося от передатчика луча, принято называть плоскостью колебаний. Плоскость же, содержащую вектор магнитной индукции волны и луч, называют плоскостью поляризации. Очевидно, эти плоскости взаимно перпендикулярны.

Рис. 7.1

Рис 7.2

Такой же закон изменения интенсивности проходящей волны получается, если между параллельными излучателем и приемником поместить решетку из параллельных металлических проволок (в плоскости, нормальной вектору скорости волны) и вращать ее в собственной плоскости. Не пропущенная решеткой энергия волны отражается от решетки; небольшим поглощением в металле можно пренебречь.

Разумеется, при продольных колебаниях никакой поляризации быть не может, так как все плоскости, проходящие через луч, равноправны.

Для лучшего понимания опытов, обнаруживающих поперечность световых волн, рассмотрим предварительно несколько опытов с сантиметровыми электромагнитными волнами.

Генератор снабжен рупором, создающим линейную (плоскую) поляризацию излучаемых волн. Вектор электрического поля лежит параллельно узкой стороне рупора, что можно проверить на опыте, принимая волну прямолинейным проводником. Расположим передающий рупор 1 так, чтобы колебания вектора происходили в плоскости рисунка (рис. 7.2). Приемный рупор 2 располагаем так, чтобы он мог принимать излучение, отражаемое некоторым препятствием, если вектор приходящей волны лежит в плоскостирисунка. Это препятствие представляет собой набор параллельных проволок, расположенных в плоскостях, параллельных чертежу, и способных поворачиваться в этих плоскостях. При положении А всякому углу падения можно подобрать равный угол отражения а, и приемник всегда отметит прием, хотя и различной (для разных углов падения) интенсивности.

Но если расположить проволоки решетки в направлении отраженного луча (положение В), то прием прекращается. Причина этого понятна: так как возбужденные проволоки можно уподобить диполям (см. «Электричество и магнетизм», § 12.4), а диполи не излучают в направлении своей оси, то, когда эта ось совпадает с направлением отражения, определяемым принципом Гюйгенса, отраженный луч образоваться не может.

Если же повернуть оба рупора на 90° вокруг их осей, чтобы вектор стал перпендикулярен плоскости чертежа (а это есть плоскость падения!), то отражение от проволок, которые теперь следует также вывести из плоскости чертежа, существует всегда (конечно, в направлении отраженного луча, т. е. под углом α). И этот результат понятен: теперь ось диполя никогда не совпадает с направлением отраженного луча, а потому отражение всегда существует.

Итак, если электрический вектор падающего луча лежит в плоскости падения, то можно добиться исчезновения отраженного луча. Если же он перпендикулярен этой плоскости, то отражение уничтожить невозможно.