Какие свойства бывают у графиков
Определение : Числовой функцией называется соответствие, которое каждому числу х из некоторого заданного множества сопоставляет единственное число y.
Обозначение:
y = f(x),
где x – независимая переменная (аргумент), y – зависимая переменная (функция). Множество значений x называется областью определения функции (обозначается D(f)). Множество значений y называется областью значений функции (обозначается E(f)). Графиком функции называется множество точек плоскости с координатами (x, f(x))
Способы задания функции.
- аналитический способ (с помощью математической формулы);
- табличный способ (с помощью таблицы);
- описательный способ (с помощью словесного описания);
- графический способ (с помощью графика).
Основные свойства функции.
1. Четность и нечетность
Функция называется четной, если
– область определения функции симметрична относительно нуля
– для любого х из области определения f(-x) = f(x)
График четной функции симметричен относительно оси 0y
Функция называется нечетной, если
– область определения функции симметрична относительно нуля
– для любого х из области определения f(-x) = –f(x)
График нечетной функции симметричен относительно начала координат.
2.Периодичность
Функция f(x) называется периодической с периодом , если для любого х из области определения f(x) = f(x+Т) = f(x-Т).
График периодической функции состоит из неограниченно повторяющихся одинаковых фрагментов.
3. Монотонность (возрастание, убывание)
Функция f(x) возрастает на множестве Р , если для любых x1 и x2 из этого множества, таких, что x12 выполнено неравенство f(x1)2).
Функция f(x) убывает на множестве Р , если для любых x1 и x2 из этого множества, таких, что x12 выполнено неравенство f(x1) > f(x2).
4. Экстремумы
Точка Хmax называется точкой максимума функции f(x) , если для всех х из некоторой окрестности Хmax , выполнено неравенство f(х) f(Xmax).
Значение Ymax=f(Xmax) называется максимумом этой функции.
Хmax – точка максимума
Уmax – максимум
Точка Хmin называется точкой минимума функции f(x) , если для всех х из некоторой окрестности Хmin , выполнено неравенство f(х) f(Xmin).
Значение Ymin=f(Xmin) называется минимумом этой функции.
Xmin – точка минимума
Ymin – минимум
Xmin, Хmax – точки экстремума
Ymin, Уmax – экстремумы.
5. Нули функции
Нулем функции y = f(x) называется такое значение аргумента х , при котором функция обращается в нуль: f(x) = 0.
Х1,Х2,Х3 – нули функции y = f(x).
Задачи и тесты по теме “Основные свойства функции”
Рекомендации к теме
Изучив эту тему, Вы должны уметь находить область определения различных функций, определять с помощью графиков промежутки монотонности функции, исследовать функции на четность и нечетность. Рассмотрим решение подобных задач на следующих примерах.
Примеры.
1. Найти область определения функции.
a)
Решение: область определения функции находится из условия
Ответ:
б)
Решение: область определения функции находится из условий
Ответ:
2. Исследовать на четность и нечетность функцию:
a)
Решение:
| 1) |
– симметрична относительно нуля.
| 2) |
следовательно, функция f(x) – четная.
Ответ: четная.
в)
1)
D(f) = [-1; 1] – симметрична относительно нуля.
| 2) |
следовательно, функция не является ни четной, ни нечетной.
Ответ: ни четная, ни не четная.
Источник
Изучение свойств функций и их графиков занимает значительное место как в школьной математике, так и в последующих курсах. Причем не только в курсах математического и функционального анализа, и даже не только в других разделах высшей математики, но и в большинстве узко профессиональных предметов. Например, в экономике – функции полезности, издержек, функции спроса, предложения и потребления…, в радиотехнике – функции управления и функции отклика, в статистике – функции распределения… Чтобы облегчить дальнейшее изучение специальных функций, нужно научиться свободно оперировать графиками элементарных функций. Для этого после изучения следующей таблицы рекомендую пройти по ссылке “Преобразования графиков функций”. и/или по ссылке Построение графиков, содержащих модуль аргумента или модуль функции, а также сумму или разность нескольких модулей.
Внимание: в течение учебного года доступ к интерактивным упражнениям (по кнопке “К движению”) ограничен. За месяц перед экзаменом кнопка будет открыта для общего пользования без регистрации. Чтобы получить доступ к “живым” графикам раньше, нужно быть моим учеником или присоединиться к спонсорам сайта.
| Название функции | Формула функции | График функции | Название графика | Комментарий |
|---|---|---|---|---|
| Линейная | y = kx |  | Прямая | Cамый простой частный случай линейной зависимости – прямая пропорциональность у = kx, где k ≠ 0 – коэффициент пропорциональности. На рисунке пример для k = 1, т.е. фактически приведенный график иллюстрирует функциональную зависимость, которая задаёт равенство значения функции значению аргумента. |
| Линейная | y = kx + b |  | Прямая | Общий случай линейной зависимости: коэффициенты k и b – любые действительные числа. Здесь k = 0.5, b = -1. Подробнее.
К движению. |
| Квадратичная | y = x2 | | Парабола | Простейший случай квадратичной зависимости – симметричная парабола с вершиной в начале координат. Демо упражнения.
Видео на YouTube |
| Квадратичная | y = ax2 + bx + c |  | Парабола | Общий случай квадратичной зависимости: коэффициент a – произвольное действительное число не равное нулю (a принадлежит R, a ≠ 0), b, c – любые действительные числа. Подробнее.
К движению. |
| Степенная | y = x3 |  | Кубическая парабола | Самый простой случай для целой нечетной степени. Случаи с коэффициентами изучаются в разделе “Движение графиков функций”. К движению. |
| Степенная | y = x1/2 |  | График функции y = √x | Самый простой случай для дробной степени (x1/2 = √x). Случаи с коэффициентами изучаются в разделе “Движение графиков функций”. К движению √x. К движению 3√x. |
| Степенная | y = k/x |  | Гипербола | Самый простой случай для целой отрицательной степени (1/x = x-1) – обратно-пропорциональная зависимость. Здесь k = 1. |
| Показательная | y = ex |  | Экспонента | Экспоненциальной зависимостью называют показательную функцию для основания e – иррационального числа примерно равного 2,7182818284590… |
| Показательная | y = ax |  | График показательной функции | Показательная функция определена для a > 0 и a ≠ 1. Графики функции существенно зависят от значения параметра a. Здесь пример для y = 2x (a = 2 > 1). К движению. |
| Показательная | y = ax |  | График показательной функции | Показательная функция определена для a > 0 и a ≠ 1. Графики функции существенно зависят от значения параметра a. Здесь пример для y = 0,5x (a = 1/2 < 1). |
| Логарифмическая | y = lnx |  | График логарифмической функции | График логарифмической функции для основания e (натурального логарифма) иногда называют логарифмикой. |
| Логарифмическая | y = logax |  | График логарифмической функции | Логарифмы определены для a > 0 и a ≠ 1. Графики функции существенно зависят от значения параметра a. Здесь пример для y = log2x (a = 2 > 1). К движению. |
| Логарифмическая | y = logax |  | График логарифмической функции | Логарифмы определены для a > 0 и a ≠ 1. Графики функции существенно зависят от значения параметра a. Здесь пример для y = log0,5x (a = 1/2 < 1). |
| Синус | y = sinx |  | Синусоида | Тригонометрическая функция синус. Случаи с коэффициентами изучаются в разделе “Движение графиков функций”. К движению. |
| Косинус | y = cosx |  | Косинусоида | Тригонометрическая функция косинус. Случаи с коэффициентами изучаются в разделе “Движение графиков функций”. К движению. |
| Тангенс | y = tgx |  | Тангенсоида | Тригонометрическая функция тангенс. Случаи с коэффициентами изучаются в разделе “Движение графиков функций”. К движению. |
| Котангенс | y = сtgx |  | Котангенсоида | Тригонометрическая функция котангенс. Случаи с коэффициентами изучаются в разделе “Движение графиков функций”. К движению. |
На сервере youtube.com открыт канал Mathematichka, на котором размещаются видео, связанные с изучением графиков функций и экзаменационными задачами на эту тему. Подписывайтесь и пишите в комментариях свои вопросы и пожелания.
Пример такого видео.
Перейти на главную страницу.
Понравились материалы сайта? Узнайте, как поддержать сайт и помочь его развитию.
Есть вопросы? пожелания? замечания?
Обращайтесь – mathematichka@yandex.ru
Внимание, ©mathematichka. Прямое копирование материалов на других сайтах запрещено. Ставьте гиперссылку.
Источник
Salima Churakova
30 ноября 2018 · 9,0 K
Люблю видеоигры, путешествия, электронику, урбанистику.
К основным свойствам функции относятся:
- Четность и нечетность функции
Функция называется четной, если
– область определения функции симметрична относительно нуля
– для любого х из области определения f(-x) = f(x)
!https://ykl-shk.azureedge.net//goods/ymk/algebra/work3/theory/5/image003.gif
График четной функции симметричен относительно оси 0y
Функция называется нечетной, если
– область определения функции симметрична относительно нуля
– для любого х из области определения f(-x) = –f(x)
!https://ykl-shk.azureedge.net//goods/ymk/algebra/work3/theory/5/image004.gif
График нечетной функции симметричен относительно начала координат.
2.Периодичность
Функция f(x) называется периодической с периодом !https://ykl-shk.azureedge.net//goods/ymk/algebra/work3/theory/5/image005.gif, если для любого х из области определения f(x) = f(x+Т) = f(x-Т).
!https://ykl-shk.azureedge.net//goods/ymk/algebra/work3/theory/5/image006.gif
График периодической функции состоит из неограниченно повторяющихся одинаковых фрагментов.
- Монотонность (возрастание, убывание)
Функция f(x) возрастает на множестве Р , если для любых x1 и x2 из этого множества, таких, что x1 < x2 выполнено неравенство f(x1)< f(x2).
!https://ykl-shk.azureedge.net//goods/ymk/algebra/work3/theory/5/image011.gif
Функция f(x) убывает на множестве Р , если для любых x1 и x2 из этого множества, таких, что x1 < x2 выполнено неравенство f(x1) > f(x2).
!https://ykl-shk.azureedge.net//goods/ymk/algebra/work3/theory/5/image013.gif
- Экстремумы
Точка Хmax называется точкой максимума функции f(x) , если для всех х из некоторой окрестности Хmax , выполнено неравенство f(х)!https://ykl-shk.azureedge.net//goods/ymk/algebra/work3/theory/5/image014.gif f(Xmax).
Значение Ymax=f(Xmax) называется максимумом этой функции.
!https://ykl-shk.azureedge.net//goods/ymk/algebra/work3/theory/5/image015.gif
Хmax – точка максимума
Уmax – максимум
Точка Хmin называется точкой минимума функции f(x) , если для всех х из некоторой окрестности Хmin , выполнено неравенство f(х)!https://ykl-shk.azureedge.net//goods/ymk/algebra/work3/theory/5/image016.gif f(Xmin).
Значение Ymin=f(Xmin) называется минимумом этой функции.
!https://ykl-shk.azureedge.net//goods/ymk/algebra/work3/theory/5/image017.gif
Xmin – точка минимума
Ymin – минимум
Xmin, Хmax – точки экстремума
Ymin, Уmax – экстремумы.
- Нули функции
Нулем функции y = f(x) называется такое значение аргумента х , при котором функция обращается в нуль: f(x) = 0.
!https://ykl-shk.azureedge.net//goods/ymk/algebra/work3/theory/5/image018.gif
Х1,Х2,Х3 – нули функции y = f(x).
Какой математический факт вас поражает больше всего?
IT-предприниматель (IIKO, Финград). Основатель и CEO Pyrus – платформы для…
Математика – обширна, в ней паралельно существуют совершенно разные науки. Уже в школе математика, начинаясь с основ арифметики и операций с натуральными числами, позже делится на алгебру и геометрию. В университете появляется математический анализ, аналитическая геометрия, комплексный анализ. А есть еще функциональный анализ, динамические системы, топология, теория кос, алгебры Ли, итд.
Но оказывается, что все разделы математики тесно связаны между собой. Например, есть такой математический факт:
В этой формуле соединены 5 фундаментальных математических констант из разных наук:
- 0 – “единичный элемент” в группе действительных чисел по сложению (арифметика)
- 1 – “единичный элемент” в поле действительных чисел по умножению (теория чисел)
- e – основание натуральных логарифмов, производная функции e^x равна самой себе (матанализ)
- pi – отношение длины окружности к ее диаметру (геометрия)
- i – “мнимая единица”, основа комплексных чисел (комлексный анализ)
Прочитать ещё 22 ответа
Между 0 и 1 бесконечное количество чисел. Какое значение это имеет для науки?
Можно сказать, что это имеет значение в том смысле, что позволяет сравнить между собой отрезок от 0 до 1 со множеством всех действительных чисел и сделать вывод о том, что они равномощны. Действительно, между ними достаточно просто установить взаимно-однозначное соответствие, например, вот таким образом: y = log((1 – x) / x), где x – число из интервала (0, 1), а y – любое действительное число. Если хочется включить границы интервала, то можно расширить соответствующее множество действительных чисел бесконечностями.
Вот так забавный факт – одно множество является подмножеством другого, а мощность у них одинаковая. Такой же трюк можно провести с множеством натуральных чисел, изъяв оттуда, например, все четные.
Прочитать ещё 2 ответа
Приведите примеры рациональных и иррациональных чисел. Почему они так называются?
Я не прав, потому что мои выводы не уложатся в твоей голове.
- Рациональное число – такое число, которое можно представить в виде несократимой дроби, у которой в числителе и знаменателе целые числа.
Например: 140/91 - А конечной или бесконечной бывает десятичная запись числа. Десятияная запись любого рационального числа либо конечная, либо периодическая (содержащая циклически повторяющиеся комбинации цифр).
- Иррациональное число – не являющееся рациональным. Его невозможно представить в виде несократимой дроби.
- например, иррациональным является √2 – длина диагонали квадрата, сторона которого равна 1.
- Чтобы доказать, что число иррационально, делают предположение, что оно рационально и может быть представлено в виде несократимой дроби p/q. Используя преобразования, доказывают, что p и q не взаимно простые, значит предположение о рациональности дроби было неверно.
- Название “рациональный” произошло от латинского слова “ratio” – , одним из значений которого является соотношение. Дробь это как раз отношение числителя к знаменателю, соотношение.
А “иррациональное” не является переводом слова, но, очевидно, онбозначает “не рациональное”.
Прочитать ещё 3 ответа
Каковы функции клеточного центра?
Мои интересы: разнообразны, но можно выделить следующие: литература, история…
Клеточный центр формирует внутренний скелет клетки – цитоскелет. Он обеспесчивает движение органоидов клетки, в том числе специализированных органоидов движения – ресничек и жгутиков. Кроме того, клеточный центр обеспечивает нормальный процесс деления клетки.
Источник
Функция – это одно из важнейших математических понятий.
Функция – зависимость переменной у от переменной x, если каждому значению
х соответствует единственное значение у. Переменную х называют независимой переменной или аргументом.
Переменную у называют зависимой переменной. Все значения независимой переменной (переменной x) образуют область определения функции.
Все значения, которые принимает зависимая переменная (переменная y), образуют область значений функции.
Графиком функции называют множество всех точек
координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты – соответствующим значениям функции, тоесть по оси абсцисс откладываются значения переменной x, а по
оси ординат откладываются значения переменной y. Для
построения графика функции необходимо знать свойства функции.
Основные свойства функции будут рассмотрены далее!
Для построения графика функции советуем использовать нашу программу –
Построение графиков функций онлайн.
Если при изучении материала на данной странице у Вас возникнут вопросы, Вы всегда можете задать их на нашем
форуме. Также на форуме Вам помогут
решить задачи по математике, химии,
геометрии,
теории вероятности
и многим другим предметам!
Основные свойства функций.
1) Область определения функции и область значений функции.
Область определения функции – это множество всех допустимых действительных значений аргумента x (переменной x), при
которых функция y = f(x) определена.
Область значений функции – это множество всех действительных значений y, которые принимает функция.
В элементарной математике изучаются функции только на множестве действительных чисел.
2) Нули функции.
Нуль функции – такое значение аргумента, при котором значение функции равно нулю.
3) Промежутки знакопостоянства функции.
Промежутки знакопостоянства функции – такие множества значений аргумента, на которых
значения функции только положительны или только отрицательны.
4) Монотонность функции.
Возрастающая функция (в некотором промежутке) – функция, у которой большему
значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.
Убывающая функция (в некотором промежутке) – функция, у которой большему значению
аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.
5) Четность (нечетность) функции.
Четная функция – функция, у которой область определения симметрична относительно
начала координат и для любого х из области определения выполняется равенство f(-x) = f(x). График четной функции симметричен
относительно оси ординат.
Нечетная функция – функция, у которой область определения симметрична относительно начала
координат и для любого х из области определения справедливо равенство f(-x) = – f(x). График нечетной функции симметричен
относительно начала координат.
6) Ограниченная и неограниченная функции.
Функция называется ограниченной, если существует такое положительное число
M, что |f(x)| ≤ M для всех значений x . Если такого числа не существует, то функция – неограниченная.
7) Периодическость функции.
Функция f(x) – периодическая, если существует такое отличное от нуля число T,
что для любого x из области определения функции имеет место: f(x+T) = f(x). Такое наименьшее число называется периодом функции.
Все тригонометрические функции являются периодическими. (Тригонометрические формулы).
Изучив данные свойства функции Вы без проблем сможете исследовать функцию и по
свойствам функции сможете построить график функции. Также посмотрите материал про
таблицу истинности,
таблицу умножения,
таблицу Менделеева,
таблицу производных и
таблицу интегралов.
Источник
Алгебра и начала математического анализа, 11 класс
Урок №48. Функции. Свойства функций и их графики. Исследование функций.
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
- функция, аргумент функции, значение функции
- график функции, преобразование графика функции
- свойства функции, исследование свойств функции
Глоссарий по теме урока
Определение
Зависимость переменной у от переменной х называется функцией, если каждому значению х соответствует единственное значение у.
х – независимая переменная, аргумент,
у – зависимая переменная, значение функции
Определение
Множество значений аргумента функции называется областью определения функции и обозначается D(y).
Определение
Множество значений, которые принимает сама функция, называется множеством значений функции и обозначается Е(у).
Определение
Функция у = f(х) называется четной, если она обладает двумя свойствами:
- область определения этой функции симметрична относительно 0;
- для любого х из области определения выполняется равенство f(-х)=f(х).
Функция у = f(х) называется нечетной, если она обладает двумя свойствами:
- область определения этой функции симметрична относительно 0;
для любого х из области определения выполняется равенство f(-х)=-f(х).
Определение
Значения аргумента, при которых значение функции равно 0, называются корнями (нулями) функции.
Определение
Функция у=f(x) возрастает на промежутке (а; в), если для любых х1, х2 из этого промежутка, таких, что х1<х2, выполняется неравенство у1<у2.
Функция у=f(x) убывает на промежутке (а; в), если для любых х1, х2 из этого промежутка, таких что, х1<х2, выполняется неравенство у1>у2.
Основная литература:
Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл.– М.: Просвещение, 2015. С. 98-118, 271-307.
Дополнительная литература:
Шахмейстер А.Х. Построение и преобразование графиков. Параметры. Ч.2-3. СПб.: Петроглиф; М.: МЦНМО, 2016. 392 с. С.73-307.
Открытые электронные ресурсы:
Образовательный портал “Решу ЕГЭ”.
https://mathb-ege.sdamgia.ru/test?theme=177
Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/.
Открытый банк заданий ЕГЭ ФИПИ, Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей, базовый уровень. Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей. Базовый уровень. https://ege.fipi.ru/.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
1. Исследование функции и построение графика
Схема исследования функции на примере функции
1) Область определения функции
Знаменатель дроби не равен нулю:
Получили область определения
D(y)=
- Множество значений функции
Отыскание Е(у) можно свести к решению уравнения с параметром у. Все значения параметра у, при которых уравнение имеет хотя бы одно решение, и составят Е (у).
Получили 
- Четность / нечетность функции
D(y)= 
– симметрична относительно нуля
,
следовательно, функция четная и ее график симметричен относительно оси ОУ
- Нули функции
Для нахождения нулей функции необходимо решить уравнение 
Уравнение не имеет действительных корней, значит, нулей у данной функции нет, ее график не пересекает ось ОХ
- Промежутки знакопостоянства
у>0 при 
у<0 при 
- Монотонность
Найдем производную
Найдем точки, в которых производная равна нулю или не существует: х=0, х=-1, х=1.
Определим знаки производной в полученных промежутках.
точки -1, 1 – выколоты, 0 – закрашена
Производная положительна, а значит, функция возрастает при 
.
Производная отрицательна, а значит, функция убывает при 
- Экстремум
х=0 – стационарная точка.
В ней производная меняет знак с плюса на минус, следовательно, х=0 – точка максимума.
Значение функции в точке максимума
- Дополнительные точки
у(0,5)= у(-0,5)=-5/3; у(2)=у(-2)=5/3; у(3)= у(-3)=5/4
- Отразим найденные свойства графически, построим график функции
2. Решение задачи на оптимизацию
Задачи на отыскание наибольших или наименьших значений величин решаются по определенному плану.
В решении таких задач выделяют 3 основных этапа:
1 этап. «Перевод» задачи на язык функций:
- вводят независимую переменную х
- выявляют оптимизируемую величину у, для которой надо найти наибольшее или наименьшее значение
- выражают у через х и другие известные величины
- устанавливают по условию задачи границы изменения переменной х
2 этап. Исследуют составленную функцию на наибольшее или наименьшее значение (в зависимости от условия задачи) с помощью производной или элементарными средствами.
3 этап. Интерпретация найденного решения для поставленной задачи – «перевод» полученного математического результата на язык задачи.
Рассмотрим план решения на примере задачи.
Задача. В распоряжении начальника имеется бригада рабочих в составе 24 человек. Их нужно распределить на день на два объекта. Если на первом объекте работает t человек, то их суточная зарплата составляет 4t2 у.е. Если на втором объекте работает t человек, то их суточная зарплата составляет t2 у.е. Как нужно распределить на эти объекты бригаду рабочих, чтобы выплаты на их суточную зарплату оказались наименьшими? Сколько у.е. в этом случае придется заплатить рабочим?
Решение:
1 этап. Ведем переменную, выразим нужные компоненты, составим искомую функцию.
Пусть на 1 объект направлено х рабочих, суточная зарплата которых составит 4×2 у.е.
Тогда на 2 объект направлено (24 – x) рабочих – суточная заработная плата (24 – x)2 (у.е.)
Всем рабочим нужно заплатить 4×2+(24 – x)2 = 5×2 -48x+576 (у.е.)
Причем 0≤ x ≤ 24, x ϵ N.
2 этап.
Рассмотрим функцию f(x)=5×2-48x+576.
Функция квадратичная, старший коэффициент положителен, следовательно, наименьшее значение в вершине при x0 = 4,8 .
3 этап. Перевод на язык задачи
Поскольку x ϵ N, подходящим будет ближайшее к вершине натуральное значение, x=5 (рабочих) – на 1 объекте.
24-5=19 (рабочих) – на 2 объекте.
Наименьшее значение f(5)=125+240-576=461 (у.е.) – наименьшая суточная выплата.
Примечание: исследовать функцию также можно было с помощью производной.
Ответ: 5 рабочих на 1 объекте, 19 – на втором, 461 у.е. – наименьшая суточная выплата.
Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля
1. Исследуйте функции на четность.
Функции |
у=0 |
у=sin(x+5π/2) |
у=lg(x+10) |
|
Решение:
- у=0
область определения – множество действительных чисел – симметрична относительно нуля
у(-х)=0, что можно интерпретировать и как у(х), и как –у(х). К тому же график этой функции – прямая, совпадающая с осью ОХ, – симметричен относительно оси ОУ и относительно начала координат.
Данная функция одновременно четна и нечетна.
- у=sin(x+5π/2)
область определения – множество действительных чисел – симметрична относительно нуля
преобразуем функцию, применив формулы приведения: sin(x+5π/2)=cos x
у= cos x – четная функция, значит, исходная функция также четная
- у=lg(x+10)
логарифмируемое выражение должно быть положительным
x+10>0; x>-10
D(y): x>-10
Область определения несимметрична относительно 0, значит, в проверке второго условия нет необходимости, – функция общего вида.
Найдем область определения D(f)
Проверим второе условие
Полученное в результате подстановки –х в функцию выражение, очевидно, не равно f(x), не дает пока понимания о выполнении условия нечетности.
Зайдем с другого конца, выразим -f(x):
домножим на сопряженное
Теперь можем сделать вывод: f(-x)=-f(x), функция нечётная.
Ответ:
Функции | Четность / нечетность |
у=0 | и четная, и нечетная |
у=sin(x+5π/2) | четная |
у=lg(x+10) | общего вида |
| нечетная |
2. 
Решение:
Используем функциональный подход при решении данной задачи. Представим каждое из уравнений как функции. Построим их графики. Единственное решение системы будем интерпретировать как единственную точку пересечения графиков функций первого и второго уравнений.
Второе уравнение проще, но содержит параметр. Перепишем его в явном виде для функции, выразив у: у=-х+а.
В таком виде понятно, что данное уравнение задает множество прямых, параллельных у=-х.
Первое уравнение содержит квадратные корни, что накладывает ограничения: х≥-4, у<7
Сгруппируем в скобках первое, третье и пятое слагаемые, второе и четвертое, получим: 
Приравнивая каждый из множителей числителя к нулю, получаем прямые: у=4, у=х+3, х=-4, точнее, с учетом ограничений, части прямых.
Выполним построения выделенных функций.
Условию задачи удовлетворяют только такие прямые второго уравнения у=-х+а, которые пересекают графики первого уравнения только в одной точке.
Анализируя рисунок, получаем: а ≤ -5, а ≥11, а=5.
Ответ: 
Источник