Какие свойства биссектрисы треугольника
Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 29 марта 2020;
проверки требуют 11 правок.
Биссектриса AD делит пополам угол A
Биссектри́са (от лат. bi- «двойное», и sectio «разрезание») угла — луч, исходящий из вершины угла и делящий этот угол на два равных угла. Можно также определить биссектрису как геометрическое место точек внутри угла, равноудалённых от сторон этого угла[1].
Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла, проведенный от вершины угла до её пересечения с противолежащей стороной. У треугольника существуют три биссектрисы, соответствующие трём его вершинам.
Связанные определения[править | править код]
- Точка пересечения биссектрисы угла треугольника с его стороной, не являющейся стороной этого угла, называется основанием биссектрисы.
Свойства[править | править код]
Свойства точек пересечения биссектрис[править | править код]
- Биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке — центре вписанной в этот треугольник окружности (инцентре).
- Биссектрисы одного внутреннего и двух внешних углов треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка — центр одной из трёх вневписанных окружностей этого треугольника.
- Каждая биссектриса треугольника делится точкой пересечения биссектрис в отношении суммы прилежащих сторон к противолежащей, считая от вершины.
- Гипербола Фейербаха — описанная гипербола, проходящая через ортоцентр и центр вписанной окружности (он же — инцентр или точка пресечения внутренних биссектрис треугольника). Её центр лежит в точке Фейербаха. Подерные и чевианные окружности точек на гиперболе Фейербаха проходят через точку Фейербаха.
Свойства, связанные с углами[править | править код]
- Каждая внутренняя (внешняя) биссектриса угла треугольника, выходящая из его вершины, делит этот внутренний (внешний) угол треугольника пополам (на две равные половинки).
- Угол между биссектрисами двух смежных углов (между внутренними и внешними биссектрисами углов треугольника при одной вершине) равен 90 градусам.
- Внутренняя биссектриса угла треугольника изогонально сопряжена самой себе.
Свойства, связанные с дугами[править | править код]
- Свойство биссектрисы вписанного угла: биссектриса вписанного угла делит на две равные части дугу, на которую этот угол опирается.
- То же свойство верно и для биссектрисы центрального угла.
Свойства биссектрис равнобедренного треугольника[править | править код]
- Если в треугольнике две биссектрисы равны, то треугольник — равнобедренный (теорема Штейнера — Лемуса), и третья биссектриса одновременно является медианой и высотой того угла, из которого она выходит.
- Верно и обратное: в равнобедренном треугольнике две биссектрисы равны, и третья биссектриса одновременно является медианой и высотой.
- В равнобедренном треугольнике внутренняя биссектриса угла, противоположного основанию треугольника, является медианой и высотой.
- Одна и только одна биссектриса внешнего угла неравностороннего треугольника может быть параллельна противоположной стороне — основанию, если треугольник равнобедренный.
- У равностороннего треугольника все три биссектрисы внешних углов параллельны противоположным сторонам.
- У равностороннего треугольника все три внутренние биссектрисы равны.
Свойства оснований биссектрис[править | править код]
- Теорема о биссектрисе (см. рис.): Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону (то есть делит своим основанием противоположную сторону) в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон. То есть или .
- Теорема о биссектрисе — частный случай теоремы Штейнера.
- Основания биссектрис двух внутренних и одного внешнего углов треугольника лежат на одной прямой, если биссектриса внешнего угла не параллельна противоположной стороне треугольника (Одна и только одна биссектриса внешнего угла треугольника может быть параллельна противоположной стороне — основанию, если треугольник равнобедренный. У равностороннего треугольника все три биссектрисы внешних углов параллельны противоположным сторонам. Других возможностей нет).
- Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону изотомически по отношению к антибиссектрисе того же угла.
- Окружности, построенные, как на диаметре, на отрезке, соединяющем основания внутренней и внешней биссектрисы, выпущенных из одного угла, проходят через точки Аполлония.
- Через точку Фейербаха проходит окружность, проведённая через основания биссектрис .[4]
Свойства осей биссектрис[править | править код]
- Если биссектрисы внешних углов треугольника не параллельны противоположным сторонам, то их основания лежат на одной прямой, называемой осью внешних биссектрис.
- Точка Лемуана треугольника лежит на прямой Обера четырёхсторонника, образованного четырьмя осями биссектрис.
Другие свойства[править | править код]
- Если треугольник разносторонний (неравносторонний), то внутренняя биссектриса, проведённая из любой его вершины, лежит между внутренними медианой и высотой, проведёнными из той же вершины.
- Расстояния от сторон угла до любой точки биссектрисы одинаковы.
- Построение треугольника по трем заданным биссектрисам с помощью циркуля и линейки невозможно,[5] причём даже при наличии трисектора.[6]
- Три внешние биссектрисы любого треугольника пересекаются в трёх разных точках, которые являются центрами вневписанных окружностей исходного треугольника или вершинами так называемого треугольника трёх внешних биссектрис исходного треугольника[7].
Длина биссектрис в треугольнике[править | править код]
Для выведения нижеприведённых формул можно воспользоваться теоремой Стюарта.
, где — полупериметр.
Для трёх биссектрис углов , и с длинами соответственно и , справедлива формула[8]
,
,
где:
- — стороны треугольника против вершин соответственно,
- — внутренние углы треугольника при вершинах соответственно,
- — высота треугольника, опущенная на сторону .
- — длина внутренней биссектрисы, проведённой к стороне ,
- — длины отрезков, на которые внутренняя биссектриса делит сторону ,
- — длина внешней биссектрисы, проведённой из вершины к продолжению стороны .
- — длины отрезков, на которые внешняя биссектриса делит сторону и её продолжение до основания самой биссектрисы.
- Если медиана , высота и внутренняя биссектриса выходят из одной и той же вершины треугольника, около которого описана окружность радиуса , тогда[9]:p.122,#96
Длина частей биссектрис в треугольнике[править | править код]
Уравнения биссектрис[править | править код]
Мнемоническое правило (шуточное)[править | править код]
- Биссектриса — это крыса, которая бегает по углам и делит угол пополам.
См. также[править | править код]
- Антибиссектриса
- Высота (геометрия)
- Высота треугольника
- Инцентр
- Медиана треугольника
- Симедиана
- Теорема о биссектрисе
- Ось внешних биссектрис или антиортовая ось
- Треугольник
- Треугольник трёх внешних биссектрис
- Центроид
- Чевиана
Примечания[править | править код]
- ↑ Иванов А. Б. Биссектриса угла // Математическая энциклопедия / И. М. Виноградов (гл. ред.). — М.: Советская энциклопедия, 1977. — Т. 1. — С. 496. — 576 с. — 150 000 экз.
- ↑ Kimberling, Clark (1994), Central Points and Central Lines in the Plane of a Triangle, Mathematics Magazine Т. 67 (3): 163–187, DOI 10.2307/2690608.
- ↑ v. Nagel, C. H. (1836), Untersuchungen über die wichtigsten zum Dreiecke gehörenden Kreise, Leipzig.
- ↑ Акопян А. В., Заславский А. А.. Геометрические свойства кривых второго порядка. — 2-е изд., дополн.. — 2011. — С. 105.
- ↑ Кто и когда доказал невозможность построения треугольника по трем биссектрисам?. Дистанционный консультационный пункт по математике МЦНМО.
- ↑ Можно ли построить треугольник по трем биссектрисам, если кроме циркуля и линейки разрешается использовать трисектор. Дистанционный консультационный пункт по математике МЦНМО.
- ↑ Стариков В. Н. Исследования по геометрии// Сборник публикаций научного журнала Globus по материалам V-й международной научно-практической конференции «Достижения и проблемы современной науки» г. Санкт-Петербург: сборник со статьями (уровень стандарта, академический уровень). С-П.: Научный журнал Globus, 2016. С. 99-100
- ↑ Simons, Stuart. Mathematical Gazette 93, March 2009, 115—116.
- ↑ Altshiller-Court, Nathan, College Geometry, Dover Publ., 2007.
Литература[править | править код]
- Коган Б. Ю. Приложение механики к геометрии. — М.: Наука, 1965. — 56 с.
- Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 т. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 30-31. — ISBN 5-94057-170-0.
Источник
Базовым понятием и одним из наиболее интересных и полезных объектов школьной математики является биссектриса. С её помощью доказываются многие положения планиметрии, упрощается решение задач.
Известные свойства позволяют рассматривать геометрические фигуры с разных точек зрения. Появляется вариативность при выборе пути доказательств.
Становится возможным использование инструмента алгебры, например, свойство пропорции, нахождение неизвестных величин, решение алгебраических уравнений при рассмотрении геометрических вопросов.
Что такое биссектриса в геометрии
Рассматривают луч, выходящий из вершины угла или его часть (отрезок), который делит угол пополам. Такой луч (или, соответственно, отрезок) называется биссектрисой.
Часто для треугольников определение немного сужают, говоря об отрезке, соединяющем вершину угла, делящем его пополам, с точкой на противолежащей стороне. При этом рассматривается внутренняя область фигуры.
В то же время, часто при решении задач используются прямые, делящие внешние углы на два равных.
Биссектриса прямоугольного треугольника
Для прямоугольного треугольника одна из биссектрис образует равные углы, величины которых хорошо просчитываются (45 градусов).
Это помогает вычислять углы при решении задач, связанных с фигурами, которые можно представить в виде прямоугольных треугольников или прямоугольников.
В тупоугольном треугольнике биссектриса делит больший угол на равные части, величина которых меньше 900.
Свойства биссектрисы треугольника
1. Каждая точка этой линии равноудалена от сторон угла. Часто эту характеристику выбирают в качестве определения, поскольку верно и обратное утверждение для любого произвольного треугольника. Это позволяет находить и радиус вписанной окружности.
2. Все внутренние отрезки, делящие углы пополам, пересекаются в одной точке, которая является центром окружности, вписанной в фигуру, т. е. точка пересечения находится на равных расстояниях от сторон.
Данное свойство позволяет решать целый класс разнообразных задач, выводить формулы для радиусов вписанных окружностей правильных многоугольников.
Благодаря этому утверждению, легко доказывается следующее правило:
Площадь описанного многоугольника равна:
S = p∗r
где p – полупериметр, а r – радиус вписанной окружности.
Это позволяет находить решение не только планиметрических, но и стереометрических задач.
Важную роль играют внешние биссектрисы треугольника. Вместе с внутренними они образуют прямые углы;
3. Сумма величин двух прилежащих сторон, делённая на длину противолежащей стороны, задаёт отношение частей биссектрисы (считая от вершины), полученных точкой пересечения всех трёх соответствующих линий.
Некоторые виды геометрических фигур, в силу своих особенностей, порождают особые примечательные характеристики;
4. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, одновременно является медианой и высотой. Две другие – равны между собой.
В этом случае основание параллельно внешней биссектрисе.
Обратное положение также имеет место. Если прямая проведена параллельно основанию равнобедренного треугольника через некоторую вершину, то внешняя биссектриса при этой вершине является частью этой линии;
5. Для равностороннего многоугольника важной характеристикой считается равенство всех биссектрис;
6. У правильного треугольника все внешние биссектрисы параллельны сторонам;
7. Выделяют несколько особенностей, среди которых есть следующая теорема:
«Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам».
Обратное утверждение («Прямая делит сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам») выражает признаки того, что рассматриваемая линия является внутренней биссектрисой;
8. Разносторонний треугольник позволяет определить взаимное расположение его высоты, медианы и биссектрисы, проведённых из одной точки. В частности, медиана и высота располагаются по разные стороны от третьей линии.
Все формулы биссектрисы в треугольнике
В зависимости от исходных данных, длина биссектрисы, проведённой к стороне C, lc, равна:
Примеры решения задач
Задача №1
В ΔABC ∠C = 90°, проведена биссектриса острого угла. Отрезок, соединяющий её основание с точкой пересечения медиан, перпендикулярен катету. Найти углы заданной фигуры.
Решение.
Пусть ∠ACB = 90°, AD – биссектриса, BE – медиана, O – точка пересечения медиан, OD⊥BC.
Тогда OE : OB = 1 : 2по свойству медиан.
Так как OD⊥BC, то ODIIOC, следовательно, ΔBOD ∼ ΔBEC по второму признаку подобия, поэтому, по свойству подобных фигур, CD : DB = 1 : 2.
Это означает, что CA : AB = 1 : 2.
Так как катет равен половине гипотенузы, то ∠ABC = 30°, откуда ∠CAB = 60°.
Ответ: 90°, 60°, 30°.
Задача №2
Диагональ параллелограмма делит его острый угол пополам. Доказать, что этот параллелограмм является ромбом.
Доказательство.
Так как ABCD – параллелограмм, то ∠DAC = ∠ACB, как накрест лежащие при параллельных прямых AD, BC и секущей AC.
По условию, ∠DAC = ∠ACB = ∠BAC, поэтому ΔACB равнобедренный, то есть AB = BC, следовательно, ABCD – ромб.
Доказано.
Источник
Биссектриса треугольника – это уникальный отрезок; он один из самых сложных по восприятию и пониманию. Легко понять и осознать, что такое высота, можно разобраться с определением и назначением медианы, но биссектрисы – это сложно. Просто потому, что основой для понимания биссектрисы служит понимание угла, а это не так легко усвоить, как величину отрезка.
Определения
Какие определения нам понадобятся в процессе работы? Во-первых, это определение биссектрисы.
Биссектриса – это луч, имеющий начало в вершине угла и делящий угол пополам.
Биссектриса треугольника – это отрезок биссектрисы, которой начинается в вершине треугольника и заканчивается на стороне, противолежащей этой вершине.
Вписанная окружность – это окружность, которая касается всех сторон треугольника. Треугольник в этом случае называется описанным.
Теперь обозначим основные свойства биссектрисы и приведем для них доказательства.
Первое, что нужно обозначить, это различие понятий биссектрисы и биссектрисы треугольника. Это похожие вещи, но свойства биссектрис углов треугольников не будут действовать на все биссектрисы. Это нужно запомнить.
Свойства биссектрисы треугольника
- Биссектриса в треугольнике делит сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.
Проведем в треугольнике АВС биссектрису ВК. После этого проведем прямую СМ, параллельную этой биссектрисе так, что точка М будет являться точкой пересечения продолжения стороны АВ.
Тогда два параллельных отрезка ВК и МС отсекут от сторон угла ВАС пропорциональные отрезки. То есть: АВ:АК=ВМ:КС. Докажем, что ВМ=ВС. Для этого посмотрим на треугольник ВМС. Угол АВК равен углу ВМС, как соответственные углы параллельных прямых при секущей АМ. С другой стороны угол КВС равен углу ВСМ, как накрест лежащие при параллельных прямых и секущей ВС. Но при этом угол АВК равен углу КВС, так как ВК – это биссектриса. Запишем все в виде равенств для большего понимания.
$$АВК = ВМС$$
$$КВС = ВСМ$$
$АВК = КВС$, значит углы ВМС и МСВ равны, а треугольник МВС – равнобедренный. Тогда $ВМ=ВС$ и $АВ:АК=ВС:СК$. Что и требовалось доказать.
Рис. 1. Первое свойство
- Биссектриса равноудалена от сторон угла, в котором она проведена.
Это свойство не биссектрисы треугольника, а любой биссектрисы, поэтому ее доказательство проще рассматривать на рисунке угла.
Нарисуем угол АВС и проведем в нем биссектрису ВМ. Расстояние от биссектрисы до стороны в любой точке это перпендикуляр. Поэтому выберем произвольную точку на биссектрисе. Назовем ее D и опустим перпендикуляр на сторону АВ в точку Р и на сторону ВС в точку N. Тогда мы получим два прямоугольных треугольника: DРВ и DNB, равные между собой по гипотенузе ВD, которая будет общей стороной треугольников, и острому углу, так как угол PBD равен углу DBN, так как ВМ – биссектриса. Значит, и стороны PD=DN – как соответственные элементы. Доказательство простое, но изящное. Знание этого свойство поможет в доказательстве следующей теоремы.
Рис. 2. Второе свойство
- Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, и эта точка служит центром вписанной окружности. Это доказывается очень просто, необходимо из точки пересечения опустить перпендикуляры к каждой стороне.
Рис. 3. Третье свойство
Что мы узнали?
Мы узнали, что такое биссектриса треугольника и чем она отличается от обычной биссектрисы. Выделили три свойства биссектрисы треугольника, которые пригодятся при решении задач и доказательстве теорем.
Тест по теме
Оценка статьи
Средняя оценка: 3.9. Всего получено оценок: 183.
Источник
Определения
Медиана треугольника – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
Биссектриса треугольника – это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны.
Высота треугольника – это перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.
Теорема
В любом треугольнике высоты (или их продолжения) пересекаются в одной точке (рис. 1 и 2), биссектрисы пересекаются в одной точке (рис. 3), медианы пересекаются в одной точке (рис. 4).
Теорема
В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой.
Верны и другие утверждения:
В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.
В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.
[{Large{text{Медиана}}}]
Теорема
В любом треугольнике медианы точкой пересечения делятся в отношении (2:1), считая от вершины.
Доказательство
Пусть (AD) и (BE) – медианы в треугольнике (ABC), (O) – точка пересечения (AD) и (BE).
(DE) – средняя линия в треугольнике (ABC), тогда (DEparallel AB), значит (angle ADE = angle BAD), (angle BED = angle ABE), следовательно, треугольники (ABO) и (DOE) подобны (по двум углам).
Из подобия треугольников (ABO) и (DOE): (dfrac{BO}{OE} =
dfrac{AB}{DE} = dfrac{2}{1}).
Для других медиан треугольника (ABC) требуемое свойство доказывается аналогично.
Теорема
Медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника (равновеликие треугольники – это треугольники, у которых площади равны).
Доказательство
Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведенную к этому основанию: (S_{ABC} = 0,5cdot ACcdot
h).
Пусть (BD) – медиана в треугольнике (ABC), тогда (AD = DC).
(S_{ABD} = 0,5cdot ADcdot h),
(S_{BCD} = 0,5cdot DCcdot h).
Так как (AD = DC), то (S_{ABD} = S_{BCD}), что и требовалось доказать.
Теорема
В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.
Верно и обратное: если медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то она проведена из вершины прямого угла.
Доказательство
1) Докажем, что если (triangle ABC) – прямоугольный, то (BM=frac12AC), где (M) – середина гипотенузы (AC).
Достроим треугольник (ABC) до прямоугольника (ABCD) и проведем диагональ (BD). Т.к. в прямоугольнике диагонали делятся точкой пересечения пополам и равны, то (ACcap BD=M), причем (AM=MC=BM=MD), чтд.
2) Докажем, что если в треугольнике (ABC) медиана (BM=AM=MC), то (angle B=90^circ).
Треугольники (AMB) и (CMB) – равнобедренные, следовательно, (angle
BAM=angle ABM=alpha, quad angle MBC=angle MCB=beta).
Т.к. сумма углов в треугольнике равна (180^circ), то для (triangle
ABC):
(alpha+(alpha+beta)+beta=180^circ Rightarrow
alpha+beta=90^circ Rightarrow angle B=90^circ), чтд.
[{Large{text{Биссектриса}}}]
Теорема
Биссектриса треугольника делит его сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам:
Верно и обратное: если отрезок, проведенный из вершины треугольника к стороне, делит эту сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам, то это биссектриса.
Доказательство
Площади треугольников, у которых есть равные углы, относятся как произведения сторон, образующих эти углы, то есть [dfrac{S_{ACD}}{S_{BCD}} = dfrac{ACcdot CD}{CBcdot CD} =
dfrac{AC}{CB}]
С другой стороны, (dfrac{S_{ACD}}{S_{BCD}} = dfrac{0,5cdot
ADcdot h}{0,5cdot DBcdot h}), где (h) – высота, проведённая из точки (C), тогда (dfrac{S_{ACD}}{S_{BCD}} = dfrac{AD}{DB}).
В итоге (dfrac{AD}{DB} = dfrac{S_{ACD}}{S_{BCD}} =
dfrac{AC}{CB}), откуда (dfrac{AD}{AC} = dfrac{DB}{BC}), что и требовалось доказать.
Теорема
Если точка равноудалена от сторон угла, то она лежит на его биссектрисе.
Верно и обратное: если точка лежит на биссектрисе угла, то она равноудалена от его сторон.
Доказательство
1) Докажем, что если (KA=KB), то (OK) – биссектриса.
Рассмотрим треугольники (AOK) и (BOK): они равны по катету и гипотенузе, следовательно, (angle AOK=angle BOK), чтд.
2) Докажем, что если (OK) – биссектриса, то (KA=KB).
Аналогично треугольники (AOK) и (BOK) равны по гипотенузе и острому углу, следовательно, (KA=KB), чтд.
Источник