Какие свойства алгебраических дробей
При изучении обыкновенных дробей, сталкиваемся с понятиями основного свойства дроби. Формулировка упрощенного вида необходима для решения примеров с обыкновенными дробями. Данная статья предполагает рассматривание алгебраических дробей и применение к ним основного свойства, которое будет сформулировано с приведением примеров области его применения.
Формулировка и обоснование
Основное свойство дроби имеет формулировку вида:
Определение 1
При одновременном умножении или делении числителя и знаменателя на одно и то же число, значение дроби остается неизменным.
То есть, получаем, что a·mb·m=ab и a:mb:m=ab равнозначны, где ab=a·mb·m и ab=a:mb:m считаются справедливыми. Значения a, b, m являются некоторыми натуральными числами.
Деление числителя и знаменателя на число можно изобразить в виде a·mb·m=ab. Это аналогично решению примера 812=8:412:4=23. При делении используется равенство вида a:mb:m=ab, тогда 812=2·42·4=23. Его же можно представить в виде a·mb·m=ab , то есть812=2·43·4=23.
То есть, основное свойство дроби a·mb·m=ab и ab=a·mb·m будем рассматривать подробно в отличие от a:mb:m=ab и ab=a:mb:m.
Если в числителе и знаменателе имеются действительные числа, тогда свойство применимо. Предварительно следует доказать справедливость записанного неравенства для всех чисел. То есть, доказать существование a·mb·m=ab для всех действительных a, b, m, где b и m являются отличными от нуля значениями во избежание деления на ноль.
Доказательство 1
Пусть дробь вида ab считается частью записи z, иначе говоря, ab=z, тогда необходимо доказать, что a·mb·m отвечает z, то есть доказать a·mb·m=z. Тогда это позволит доказать существование равенства a·mb·m=ab.
Черта дроби означает знак деления. Применив связь с умножением и делением, получим, что из ab=z после преобразования получаем a=b·z. По свойствам числовых неравенств следует произвести умножение обеих частей неравенства на число, отличное от нуля. Тогда произведем умножение на число m, получаем, что a·m=(b·z)·m. По свойству имеем право записать выражение в виде a·m=(b·m)·z. Значит, из определения следует, что ab=z. Вот и все доказательство выражения a·mb·m=ab.
Равенства вида a·mb·m=ab и ab=a·mb·m имеют смысл, когда вместо a, b, m будут многочлены, причем вместо b и m – ненулевые.
Основное свойство алгебраической дроби: когда одновременно умножить числитель и знаменатель на одно и то же число, получим тождественно равное исходному выражение.
Свойство считается справедливым, так как действия с многочленами соответствуют действиям с числами.
Пример 1
Рассмотрим на примере дроби 3·xx2-xy+4·y3. Возможно преобразование к виду 3·x·(x2+2·x·y)(x2-xy+4·y3)·(x2+2·x·y).
Было произведено умножение на многочлен x2+2·x·y. Таким же образом основное свойство помогает избавиться от x2, имеющегося в заданной по условию дроби вида 5·x2·(x+1)x2·(x3+3) к виду 5·x+5×3+3. Это называется упрощением.
Основное свойство можно записать в виде выражений a·mb·m=ab и ab=a·mb·m, когда a, b, m являются многочленами или обычными переменными, причем b и m должны являться ненулевыми.
Сферы применения основного свойства алгебраической дроби
Применение основного свойства актуально для приведения к новому знаменателю или при сокращении дроби.
Определение 2
Приведение к общему знаменателю – это умножение числителя и знаменателя на аналогичный многочлен для получения нового. Полученная дробь равна исходной.
То есть дробь вида x+y·x2+1(x+1)·x2+1 при умножении на x2+1 и приведении к общему знаменателю (x+1)·(x2+1) получит вид x3+x+x2·y+yx3+x+x2+1.
После проведения действий с многочленами получаем, что алгебраическая дробь преобразуется в x3+x+x2·y+yx3+x+x2+1.
Приведение к общему знаменателю выполняется также при сложении или вычитании дробей. Если даны дробные коэффициенты, то предварительно необходимо произвести упрощение, что позволит упростить вид и само нахождение общего знаменателя. Например, 25·x·y-2x+12=10·25·x·y-210·x+12=4·x·y-2010·x+5.
Применение свойства при сокращении дробей выполняется в 2 этапа: разложение числителя и знаменателя на множители для поиска общего m, после чего осуществить переход к виду дроби ab, основываясь на равенстве вида a·mb·m=ab.
Если дробь вида 4·x3-x·y16·x4-y2 после разложения преобразуется на x·(4·x2-y)4·x2-y·4·x2+y, очевидно, что общим множителем будет многочлен 4·x2−y. Тогда возможно будет произвести сокращение дроби по основному его свойству. Получим, что
x·(4·x2-y)4·x2-y·4·x2+y=x4·x2+y. Дробь упрощается, тогда при подстановке значений необходимо будет выполнять намного меньше действий, чем при подстановке в исходную.
Источник
Дробь – есть число вида ab, где a – целое число, и b – натуральное число. Также и алгебраическая дробь – число вида PQ, где P и Q – многочлены, и P является знаменателем, а Q – числителем дроби. Является частным случаем рационального выражения.
Пример алгебраической дроби:
y2-1y-1
Смотреть также деление многочленов.
Основное свойство дроби
Пожалуй, самым важным свойством дроби является записанное ниже. Именно оно позволяет проделывать практически любые известные операции и преобразования над дробями.
Свойство: если умножить или разделить числитель и знаменатель дроби на одно и то же число (отличное от 0), то значение дроби не изменится.
Иначе говоря:
ab=a×nb×n∀n≠0
.
То же, очевидно, применимо и к алгебраическим дробям, т.к. ясно, что умножение числителя и знаменателя на одно и то же число эквивалентно умножению числа на число, а потом делению на то же число, что является взаимно-обратными действиями ∴ взаимно уничтожают друг друга. Конечно, применение этого свойства к алгебраическим дробям является их тождественным преобразованием, что важно ∴ этим свойством всегда можно спокойно пользоваться.
Сокращение дробей
Важным вытекающим из основного свойства алгебраической дроби свойством является возможность её сокращения, т.е. деление числителя и знаменателя на число.
Пример:
x2-xx2=x2-x/xx2/x=x-1x
Приведение дробей к общему знаменателю
Алгебраические дроби (как и обычные) можно привести к общему знаменателю, используя основное свойство.
Сложение и вычитание алгебраических дробей
Приведённые к общему знаменателю дроби можно складывать и вычитать.
ac+bc=a+bc
Это достаточно легко доказывается, если потребуется: обозначим две складывающиеся дроби l и m, тогда по определению частного: a=cl; b=cm и a+b = cl+cm=c(l+m). Подводя итог, имеем выражение a+b = c(l+m), тогда получается: (a+b)/c=l+m, Q.E.D.
Умножение дробей
Умножать дроби очень легко, перемножая числитель с числителем и знаменатель с знаменателем.
ab×cn=a⁢cb⁢n
Опять же для быстрого исчерпывающего доказательства без каких-либо неинтуитивных понятий можно воспользоваться тем же трюком, что и для сложения дробей: обозначить дроби k и l. По определению частного: a=bk и c=nl. Теперь можно, перемножив левые и правые части данных равенств и применив переместительное и сочетательное свойства умножения, получить: ac = (bk)×(nl) = (nb)(kl) ∴ исходное перемножение дробей kl = ac⁄bn Q.E.D.
Возведение дроби в степень
Последовательное умножение дроби саму на себя – возведение в степень. Оно также возможно. Как именно возводить дробь в n-ую степень, легко понять, пользуясь правилом умножения дробей (возведение в степень есть последовательное умножение числа, переменной, многочлена самого на себя – см. свойства степени с целым показателем).
abn=anbn
Деление дробей
Делить дроби тоже можно. Деление на дробь эквивалентно умножению на ту же дробь, где числитель и знаменатель поменяли местами. Деление на дробь – это умножение на дробь ей обратную.
ac÷bd=ac×db
Для быстрого доказательства этого тождества (для всех чисел кроме 0 в знаменателе, конечно) можно уже даже обойтись без трюка, использованного выше (а просто воспользоваться остальными доказанными тождествами). adcb×bd=adbcbd=ac (значит, по определению частного изначальное выражение является тождеством).
Также одно очевидное свойство: если у дроби изменить знак числителя (или знаменателя) и знак перед дробью, то получится дробь ей тождественно равная. Однако этим иногда удобно пользоваться при различного рода преобразованиях, поэтому об этом не следует забывать.
При работе с рациональными дробями не обязательно обращаться к математическим выражениям другого рода, так как результаты всех перечисленных выше действий можно представить в виде рациональной дроби (что выше и показано).
Источник
$blacktriangleright$ Пример 1. $4$ друга в кафе заказали пиццу. Официант принес пиццу, разрезанную на $8$ частей. Сколько кусков пиццы досталось каждому другу, если они разделили пиццу поровну? Какая часть пиццы досталась каждому?
Решение:
Так как всего кусков $8$, а друзей четверо, то каждому досталось $8:4 = 2$ куска пиццы.
Нарисуем схему к этой задаче и обозначим разным цветом части пиццы, которые достались каждому другу. Мы видим, что каждому другу досталось по $2$ куска $dfrac{1}{8}$ части пиццы, то есть по $dfrac{2}{8}$ частей пиццы.
С другой стороны, если $1$ пиццу разделить поровну на $4$ части, то каждому достанется $dfrac{1}{4}$ часть пиццы.
Следовательно, $dfrac{2}{8} = dfrac{1}{4}$.
Заметим, что дробь $dfrac{1}{4}$ можно получить из дроби $dfrac{2}{8}$, если числитель и знаменатель разделить на $2$.
Основное свойство дроби
Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же, отличное от нуля число, то получится равная ей дробь.
Когда числитель и знаменатель дроби делят на одно и то же натуральное число, говорят, что дробь сокращают. Если числитель и знаменатель дроби нельзя разделить на одно и то же натуральное число, такую дробь называют несократимой.
Например, дробь $dfrac{15}{20}$ можно сократить, так как числитель и знаменатель делятся на одно и то же число. $dfrac{15}{20} = dfrac{15:5}{20:5} = dfrac{3}{4}$ или записывают $dfrac{15}{20}$ в виде $dfrac{5cdot 3}{5cdot 4}$ и сокращают одинаковые множители $dfrac{15}{20} = dfrac{3}{4}$.
Дробь $dfrac{13}{25}$ нельзя сократить, так как нет такого натурального числа, на которое делились бы и числитель, и знаменатель, значит, эта дробь несократимая.
Для каждой дроби существует единственная, равная ей, несократимая дробь.
Например, $dfrac{12}{36} = dfrac{6cdot 2}{18cdot 2} = dfrac{6}{18} = dfrac{3cdot 2}{9cdot 2} = dfrac{3}{9} = dfrac{1cdot 3}{3cdot 3} = dfrac{1}{3}$ — несократимая.
Если числитель дроби делится на знаменатель, то дробь равна частному от деления числителя на знаменатель.
Например, $dfrac{25}{5} = dfrac{5cdot 5}{1cdot 5} = dfrac{5}{1} = 5$.
Правильной дробью называется дробь, у которой числитель меньше знаменателя:
$dfrac{10}{23}$ — правильная дробь, так как $10 < 23$.
Правильная дробь всегда меньше 1.
Неправильной дробью называется дробь, у которой числитель больше знаменателя:
$dfrac{23}{10}$ — неправильная, так как $23 > 10$.
Неправильная дробь больше или равна 1.
Из неправильной дроби можно выделить целую часть, для этого нужно разделить числитель на знаменатель. Неполное частное будет целой частью, остаток — числителем, а делитель останется знаменателем:
$23:10 = 2 (ост.3)$, следовательно, $dfrac{23}{10}$ = $2$ $dfrac{3}{10}$
Число, состоящее из целой и дробной частей, называют смешанным. $2$ $dfrac{3}{10}$ — смешанное число.
Чтобы найти числитель неправильной дроби, нужно целую часть умножить на знаменатель и прибавить числитель смешанного числа.
Задачки от мистера Фокса
№1. Сократите дроби, если это возможно:
$1)$ $dfrac{2}{4}$;
$2)$ $dfrac{3}{6}$;
$3)$ $dfrac{5}{20}$;
$4)$ $dfrac{49}{56}$;
$5)$ $dfrac{7}{15}$;
$6)$ $dfrac{22}{55}$.
$1)$ $dfrac{2}{4} = dfrac{1cdot 2}{2cdot 2} = dfrac{1}{2}$;
$2)$ $dfrac{3}{6} = dfrac{1cdot 3}{2cdot 3} = dfrac{1}{2}$;
$3)$ $dfrac{5}{20} = dfrac{1cdot 5}{4cdot 5} = dfrac{1}{4}$;
$4)$ $dfrac{49}{56} = dfrac{7cdot 7}{8cdot 7} = dfrac{7}{8}$;
$5)$ $dfrac{7}{15}$ — несократимая;
$6)$ $dfrac{22}{55} = dfrac{2cdot 11}{5cdot 11} = dfrac{2}{5}$.
№2. Решите уравнение $dfrac{5}{8} = dfrac{x}{48}$, используя основное свойство дроби.
$dfrac{5}{8} = dfrac{x}{8cdot 6}$
По основному свойству дроби, дроби будут равными, если знаменатель и числитель умножить на одно и то же число, значит:
$x = 5cdot 6$
$x = 30$
.
Проверим:
$dfrac{30}{48} = dfrac{5cdot 6}{8cdot 6} = dfrac{5}{8}$
.
Ответ: $x = 30$.
№3. Представьте смешанное число в виде неправильной дроби:
$1)$ $4 dfrac{4}{25}$;
$2)$ $3 dfrac{3}{15}$;
$3)$ $2 dfrac{11}{12}$.
$1)$ $4cdot 25 + 4 = 104$, значит $4$ $dfrac{4}{25} = dfrac{104}{25}$;
$2)$ $3cdot 15 + 3 = 48$, значит $3$ $dfrac{3}{15} = dfrac{48}{15}$;
$3)$ $2cdot 12 + 11 = 35$, значит $2$ $dfrac{11}{12} = dfrac{35}{12}$.
№4. Выделите целую часть:
$1)$ $dfrac{124}{5}$;
$2)$ $dfrac{45}{12}$;
$3)$ $dfrac{1000}{37}$.
$1)$ $124:5 = 24 (ост. 4)$, значит $dfrac{124}{5} = 24 dfrac{4}{5}$;
$2)$ $45:12 = 3 (ост. 9)$, значит $dfrac{45}{12} = 3 dfrac{9}{12}$;
$3)$ $1000:37 = 27 (ост.1)$, значит $dfrac{1000}{37} = 27 dfrac{1}{37}$.
№5. При каких натуральных значениях $a$ дробь $dfrac{3cdot a + 4}{12}$ будет правильной?
Так как у правильной дроби числитель меньше знаменателя, то нам нужно найти такие значения a, при которых верно неравенство $3cdot a + 4 < 12$.
$3cdot a + 4 < 12$
Чтобы неравенство $3cdot a + 4 < 12$ выполнялось, нужно, чтобы $3cdot a$ было меньше $8$.
$3cdot a < 8$
$a < dfrac83$
.
Выделим целую часть:
$dfrac{8}{3} = 2 dfrac{2}{3}$
.
Значит, при $a = 1$ или $a = 2$ дробь $dfrac{3cdot a + 4}{12}$ будет правильной.
Проверим: $a = 1$, тогда $dfrac{3cdot 1 + 4}{12}$ = $dfrac{7}{12}$ — правильная.
Если $a = 2$, тогда $dfrac{3cdot2+4}{12} = dfrac{10}{12}$ — правильная.
Также дробь $dfrac{3cdot a + 4}{12}$ будет правильной при $a = 0$, но поскольку в задаче спрашивается только про натуральные значения $a$, а ноль не является натуральным числом, то мы его не рассматриваем.
Ответ: при $a = 1$ или $a = 2$ дробь $dfrac{3cdot a + 4}{12}$ будет правильной.
Источник
Любая обыкновенная дробь называется алгебраической дробью, так как она представляет собой деление, записанное с помощью дробной черты. В алгебраической дроби могут встречаться не только числа, но и буквенные выражения.
Примеры алгебраических дробей:
Для алгебраических дробей применяются правила, аналогичные обыкновенным дробям.
Сокращение алгебраической дроби
Сократить алгебраическую дробь – это значит разделить числитель и знаменатель на одно и то же выражение, на их общий множитель (одночлен, его степень или многочлен) – применяется основное свойство дроби. Причем и числитель, и знаменатель должны содержать множители.
Пример №1. Сократим дробь:
В числителе и знаменателе дроби мы видим переменную b, на которую и разделим каждую часть дроби:
Промежуточные действия можно не записывать, а выполнять устно.
Пример №2. Сократим дробь:
Здесь содержатся степени с одинаковым основанием, поэтому, необходимо помнить еще и правило деления степеней с одинаковым основанием (основание остается прежним, а показатели степеней вычитаем). Сократим дробь на меньшую степень – на m5:
Пример №3. Сократим дробь:
В каждой части дроби содержатся разные многочлены, поэтому сократить пока дробь мы не можем, так как нет множителей. Значит, по возможности, мы должны найти выражение, которое можно разложить на множители, это знаменатель, так как можем вынести за скобки общий множитель х(х – у). Только потом мы можем сократить дробь на одно и то же выражение – многочлен (х – у).
Пример №4. Сократим дробь:
Здесь мы видим, что в числителе многочлен, а в знаменателе произведение одночленов и многочлена, причем многочлены различны. Значит, надо сделать так, чтобы числитель и знаменатель содержали одинаковые множители. Числитель можно разложить на множители по формуле разности квадратов, то есть m2– n2=(m–n)(m+n), затем сократить дробь на одно и то же выражение (m–n).
Сложение и вычитание алгебраических дробей с одинаковым знаменателем
При сложении и вычитании алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями знаменатель остается прежним, а числители складывают или вычитают (из числителя первой вычитают числитель второй дроби).
Пример №5. Выполним сложение дробей:
Здесь одинаковые знаменатели, поэтому записываем его, а числители складываем: при сложении видим подобные слагаемые, которые приводим и получаем в числителе 5х.
Пример №6. Выполним вычитание дробей:
В знаменатель записываем 2х, а из числителя первой дроби вычитаем числитель второй дроби, при этом не забываем вычитаемое взять в скобки, если оно является многочленом. Затем раскрываем скобки, помня о том, что необходимо поменять знаки на противоположные, так как перед ними стоит знак «минус». Затем приводим подобные слагаемые и получаем новый числитель.
Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями
Алгоритм действий
Чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, необходимо:
- найти общий знаменатель, который может состоять из таких множителей, как числа, степени, многочлены и т.д.
- Найти дополнительный множитель к каждой дроби.
- Умножить каждый числитель на его дополнительный множитель.
- Выполнить сложение (вычитание) дробей с одинаковыми знаменателями.
- При необходимости сократить полученную дробь.
Пример №7. Выполнить сложение дробей:
Чтобы найти общий знаменатель, надо найти для чисел 5 и 10 наименьшее общее кратное (наименьшее число, которое делится и на 5, и на 10), это число 10. В первом знаменателе есть еще множитель – переменная у, поэтому также берем у для общего знаменателя. Таким образом, у нас есть два множителя 10 и у, это и есть наш общий знаменатель.
Теперь находим дополнительный множитель к каждой дроби. Для этого общий знаменатель 10у делим на первый знаменатель 5у, получим 2, значит, умножаем на 2 первый числитель 2х. Для второй дроби 10у делим на 10, получаем у, умножаем на него числитель второй дроби – с. Получаем в числителе 4х+су.
Пример №8. Выполнить вычитание дробей:
Здесь знаменатели дробей различные многочлены, поэтому надо рассмотреть каждый. Первый знаменатель – это формула сокращенного умножения, по ней можно разложить на множители данный многочлен а2 – с2=(а–с)(а+с). Второй знаменатель представляет собой простой многочлен, который нельзя разложить на множители. Составим новый знаменатель, состоящий из разных выражений – это (а–с)(а+с).
Находим дополнительные множители: к первой дроби дополнительного множителя нет, так как новый общий знаменатель – это полностью знаменатель первой дроби. А ко второй дроби это будет выражение (а – с). Поэтому умножаем числитель 2 на (а – с).
Приводим подобные слагаемые, а полученную дробь сокращаем на выражение (а+с).
Умножение алгебраических дробей
Алгоритм действий
Чтобы перемножить алгебраические дроби, надо числитель перемножить с числителем, а знаменатель со знаменателем. При необходимости выполнить сокращение алгебраической дроби, используя правило.
Пример №9. Выполнить умножение дробей:
Здесь перемножаем числители и знаменатели, полученную дробь сокращаем на 2с.
Пример №10. Выполнить умножение дробей:
Здесь в числителях и знаменателях — многочлены. Поэтому при записи умножения обязательно заключаем их в скобки. При этом мы видим, что числитель и знаменатель содержат одинаковые множители – многочлены (х+2), поэтому можно сократить дробь на этот многочлен.
Деление алгебраических дробей
Алгоритм действий
Чтобы разделить одну алгебраическую дробь на другую, надо первую дробь умножить на дробь, обратную второй (то есть умножить на дробь, у которой числитель равен знаменателю второй дроби, а знаменатель числителю второй дроби). Далее – выполнить умножение дробей по уже известному алгоритму.
Пример №11. Выполнить деление дробей:
Здесь выполним деление по алгоритму: перейдем от деления к умножению на дробь, обратную делителю. Сократим полученную дробь на выражение (a+b) и на 2.
Алла Василевская | ???? Скачать PDF |
Источник