Какие существуют свойства равенств

После получения общих сведений о равенствах в математике переходим к более узким темам. Материал этой статьи даст представление о свойствах числовых равенств.

Что такое числовое равенство

Первый раз мы сталкиваемся с числовыми равенствами еще в начальной школе, когда происходит знакомство с числами и понятием «столько же». Т.е. самые примитивные числовые равенства это: 2=2, 5=5 и т.д. И на том уровне изучения мы называли их просто равенствами, без уточнения «числовые», и закладывали в них количественный или порядковый смысл (который несут натуральные числа). Например, равенство 2=2 будет соответствовать изображению, на котором – два цветка и на каждом сидит по две шмеля. Или, к примеру, две очереди, где вторыми по порядку стоят Вася и Ваня.

По мере появления знаний об арифметических действиях числовые равенства становятся сложнее: 5+7=12; 6-1=5; 2·1=2; 21:7=3 и т.п. Затем начинают встречаться равенства, в записи которых участвуют числовые выражения разного рода. Например, (2+2)+5=2+(5+2); 4·(4−(1+2))+12:4−1=4·1+3−1 и т.п. Дальше мы знакомимся с прочими видами чисел, и числовые равенства приобретают все более и более интересный и разнообразный вид.

Определение 1

Числовое равенство – это равенство, обе части которого состоят из чисел и/или числовых выражений.

Свойства числовых равенств

Сложно переоценить значимость свойств числовых равенств в математике: они являются опорой многому, определяют принцип работы с числовыми равенствами, методы решений, правила работы с формулами и многое другое.Очевидно, что существует необходимость детального изучения свойств числовых равенств.

Свойства числовых равенств абсолютно согласованы с тем, как определяются действия с числами, а также с определением равных чисел через разность: число a равно числу bтолько в тех случаях, когда разность a−b есть нуль. Далее в описании каждого свойства мы проследим эту связь.

Основные свойства числовых равенств

Изучать свойства числовых равенств начнем с трех базовых свойств, которые присущи всем равенствам. Перечислим основные свойства числовых равенств:

свойство рефлексивности: a=a;
свойство симметричности: если a=b, то b=a;
свойство транзитивности: если a=b и b=c, то a=c,где a, b и c – произвольные числа.

Определение 2

Свойство рефлексивности обозначает факт равенства числа самому себе: к примеру, 6=6, −3=−3, 437=437 и т.п.

Доказательство 1

Нетрудно продемонстрировать справедливость равенства a−a=0для любого числа a: разность a−a можно записать как сумму a+(−a), а свойство сложения чисел дает нам возможность утверждать, что любому числу a соответствует единственное противоположное число −a, и сумма их есть нуль.

Определение 3

Согласно свойству симметричности числовых равенств: если число a равно числу b,
то число b равно числу a. К примеру, 43=64, тогда 64=43.

Доказательство 2

Обосновать данное свойство можно через разность чисел. Условию a=b соответствует равенство a−b=0. Докажем, что b−a=0.

Запишем разность b−aв виде −(a−b), опираясь на правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак минус. Новая запись выражения равна -0, а число, противоположное нулю, это нуль. Таким образом, b−a=0, следовательно: b=a.

Определение 4

Свойство транзитивности числовых равенств гласит, что два числа равны друг другу в случае их одновременного равенства третьему числу. К примеру, если 81=9 и 9=32, то 81=32.

Свойству транзитивности также отвечает определение равных чисел через разность и свойства действий с числами. Равенствам a=b и b=c соответствуют равенства a−b=0 и b−c=0.

Доказательство 3

Докажем справедливость равенства a−c=0, из чего последует равенство чисел a и c. Посколькусложение числа с нулем не меняет само число, то a−c запишем в виде a+0−c. Вместо нуля подставим сумму противоположных чисел −b и b, тогда крайнее выражение станет таким: a+(−b+b)−c. Выполним группировку слагаемых: (a−b)+(b−c). Разности в скобках равны нулю, тогда и сумма (a−b)+(b−c) есть нуль. Это доказывает, что, когда a−b=0 и b−c=0, верно равенство a−c=0, откуда a=c.

Прочие важные свойства числовых равенств

Основные свойства числовых равенств, рассмотренные выше, являются базисом для ряда дополнительных свойств, довольно ценных в разрезе практики. Перечислим их:

Определение 5

Прибавив к (или убавив от) обеим частям числового равенства, являющегося верным, одно и то же число, получим верное числовое равенство. Запишем буквенно: если a=b, где a и b – некоторые числа, то a+c=b+c при любом c.

Доказательство 4

В качестве обоснования запишем разность (a+c)−(b+c).
Это выражение легко преобразуется в вид (a−b)+(c−c).
Из a=b по условию следует, что a−b=0 и c−c=0, тогда (a−b)+(c−c)=0+0=0. Это доказывает, что (a+c)−(b+c)=0, следовательно, a+c=b+c;

Определение 6

Если обе части верного числового равенства перемножить с любым числом или разделить на число, не равное нулю, тогда получим верное числовое равенство.
Запишем буквенно: когда a=b, то a·c=b·c при любом числе c. Если c≠0, тогда и a:c=b:c.

Доказательство 5

Равенство верно: a·c−b·c=(a−b)·c=0·c=0, и из него следует равенство произведений a·c и b·c. А деление на отличное от нуля число c возможно записать как умножение на обратное число 1c;

Определение 7

При a и b, отличных от нуля и равных между собой, обратные им числа также равны.
Запишем: когда a≠0, b≠0 и a=b, то 1a=1b. Крайнее равенство нетрудно доказать: с этой целью разделим обе части равенства a=b на число, равное произведению a·b и не равное нулю.

Укажем еще на пару свойств, которые позволяют осуществлять сложение и умножение соответствующих частей верных числовых равенств:

Определение 8

При почленном сложении верных числовых равенств получается верное равенство. Запись этого свойства такова: если a=b и c=d, то a+c=b+d для любых чисел a, b, c и d.

Доказательство 6

Обосновать это полезное свойство возможно, опираясь на указанные ранее свойства. Мы знаем, что к обеим частям верного равенства возможно прибавить любое число.
К равенству a=bприбавим число c, а к равенству c=d – число b, итогом станут верные числовые равенства: a+c=b+c и c+b=d+b. Крайнее запишем в виде: b+c=b+d. Из равенств a+c=b+c и b+c=b+d согласно свойству транзитивности следует равенство a+c=b+d. Что и нужно было доказать.

Необходимо уточнить, что почленно можно сложить не только два верных числовых равенства, но и три, и более;

Определение 7

Наконец, опишем такое свойство: почленное перемножение двух верных числовых равенств дает верное равенство. Запишем при помощи букв: если a=b и c=d, то a·c=b·d.

Доказательство 7

Доказательство этого свойства подобно доказательству предыдущего. Умножим обе части равенства на любое число, умножим a=b на c, а c=d на b, получим верные числовые равенства a·c=b·c и c·b=d·b. Крайнее запишем как b·c=b·d. Свойство транзитивности дает возможность из равенства a·c=b·c и b·c=b·d вывести равенство a·c=b·d, которое нам необходимо было доказать.

И вновь уточним, что данное свойство применимо для двух, трех и более числовых равенств.
Так, можно записать: если a=b, то an=bn для любых чисел a и b, и любого натурального числа n.

Завершим данную статью, собрав для наглядности все рассмотренные свойства:

a=a.

Если a=b, то b=a.

Если a=bи b=c, то a=c.

Если a=b, то a+c=b+c.

Если a=b, то a·c=b·c.

Если a=bи с≠0, то a:c=b:c.

Если a=b, a=b, a≠0 и b≠0, то 1a=1b.

Если a=b и c=d, то a·c=b·d.

Если a=b, то an=bn.

Источник

Материал статьи позволит ознакомиться с математической трактовкой понятия равенства. Порассуждаем на тему сути равенства; рассмотрим его виды и способы его записи; запишем свойства равенства и проиллюстрируем теорию примерами.

Что такое равенство

Само понятие равенства тесно переплетено с понятием сравнения, когда мы сопоставляем свойства и признаки, чтобы выявить схожие черты. Процесс сравнения требует наличия двух объектов, которые и сравниваются между собой. Данные рассуждения наводят на мысль, что понятие равенства не может иметь место, когда нет хотя бы двух объектов, чтобы было что сравнивать. При этом, конечно, может быть взято большее количество объектов: три и более, однако, в конечном, счете, мы так или иначе придем к сравнению пар, собранных из заданных объектов.

Смысл понятия «равенство» в обобщенном толковании отлично определяется словом «одинаковые». О двух одинаковых объектах можно говорить – «равные». Например, квадраты и . А вот объекты, которые хоть по какому-то признаку отличаются друг от другу, назовем неравными.

Говоря о равенстве, мы можем иметь в виду как объекты в целом, так и их отдельные свойства или признаки. Объекты являются равными в целом, когда одинаковы по всем характеристикам. Например, когда мы привели в пример равенство квадратов, имели в виду их равенство по всем присущим им свойствам: форме, размеру, цвету. Также объекты могут и не быть равными в целом, но обладать одинаковыми отдельными признаками. Например: и . Указанные объекты равны по форме (оба – круги), но различны (неравны) по цвету и размеру.

Таким образом, необходимо заранее понимать, равенство какого рода мы имеем в виду.

Запись равенств, знак равно

Чтобы произвести запись равенства, используют знак равно (или знак равенства), обозначаемый как =.Такое обозначение является общепринятым.

Составляя равенство, равные объекты размещают рядом, записывая между ними знак равно. К примеру, равенство чисел 5 и 5 запишем как 5=5. Или, допустим, нам необходимо записать равенство периметра треугольника АВС 6 метрам: PАВС=6 м.

Определение 1

Равенство – запись, в которой использован знак равно, разделяющий два математических объекта (или числа, или выражения и т.п.).

Когда возникает необходимость письменно обозначить неравенство объектов, используют знак не равно, обозначаемый как ≠, т.е. по сути зачеркнутый знак равно.

Верные и неверные равенства

Составленные равенства могут соответствовать сути понятия равенства, а могут и противоречить ему. По этому признаку все равенства классифицируют на верные равенства и неверные равенства. Приведем примеры.

Составим равенство 7=7. Числа 7 и 7, конечно, являются равными, а потому 7=7 – верное равенство. Равенство 7=2, в свою очередь, является неверным, поскольку числа 7 и 2 не равны.

Свойства равенств

Запишем три основных свойства равенств:

Определение 2

свойство рефлексивности, гласящее, что объект равен самому себе;
свойство симметричности: если первый объект равен второму, то второй равен первому;
свойство транзитивности: когда первый объект равен второму, а второй – третьему, тогда первый равен третьему.

Буквенно сформулированные свойства запишем так:

a=a;
если a=b, то b=a;
если a=b и b=c, то a=c.

Отметим особенную пользу второго и третьего свойств равенств – свойств симметричности и транзитивности – они дают возможность утверждать равенство трех и более объектов через их попарное равенство.

Двойные, тройные и т.д. равенства

Совместно со стандартной записью равенства, пример которой мы приводили выше, также часто составляются так называемые двойные равенства, тройные равенства и т.д. Подобные записи представляют собой как бы цепочку равенств. К примеру, запись 2+2+2=4+2=6 – двойное равенство, а |AB|=|BC|=|CD|=|DE|=|EF| – пример четвертного равенства.

При помощи таких цепочек равенств оптимально составлять равенство трех и более объектов. Такие записи по своему смыслу являются обозначением равенства любых двух объектов, составляющих исходную цепочку равенств.

Например, записанное выше двойное равенство 2+2+2=4+2=6 обозначает равенства: 2+2+2=4+2, и 4+2=6, и 2+2+2=6, а в силу свойства симметричности равенств и 4+2=2+2+2, и 6=4+2, и 6=2+2+2.

Составляя подобные цепочки, удобно записывать последовательность решения примеров и задач: такое решение становится наглядным и отражает все промежуточные этапы вычислений.

Источник

свойства равенства они относятся к отношениям между двумя математическими объектами, числами или переменными. Он обозначается символом «=», который всегда находится между этими двумя объектами. Это выражение используется, чтобы установить, что два математических объекта представляют один и тот же объект; другими словами, что два объекта – это одно и то же.

Есть случаи, когда использование равенства является тривиальным. Например, ясно, что 2 = 2. Тем не менее, когда дело доходит до переменных, это уже не тривиально и имеет конкретное применение. Например, если у вас есть y = x, а с другой стороны, x = 7, вы можете сделать вывод, что y = 7 также.

Предыдущий пример основан на одном из свойств равенства, как будет показано ниже. Эти свойства необходимы для решения уравнений (равенства с переменными), которые составляют очень важную часть в математике.

индекс

1 Каковы свойства равенства?
- 1.1 Отражающая способность
- 1.2 Симметричное свойство
- 1.3 Переходное свойство
- 1.4 Единое свойство
- 1.5 Отмена собственности
- 1.6 Замена имущества
- 1.7 Свойство власти в равенстве
- 1.8 Свойство корня в равенстве
2 Ссылки

Каковы свойства равенства?

Отражающая собственность

Отражающее свойство, в случае равенства, утверждает, что каждое число равно самому себе и выражается как b = b для любого действительного числа b.

В частном случае равенства это свойство кажется очевидным, но в другом типе отношений между числами это не так. Другими словами, не каждое отношение действительных чисел удовлетворяет этому свойству. Например, такой случай отношения «меньше чем» (

Симметричное свойство

Симметричное свойство равенства говорит о том, что если a = b, то b = a. Независимо от того, какой порядок используется в переменных, это будет сохраняться соотношением равенства.

Определенная аналогия этого свойства может наблюдаться с коммутативным свойством в случае сложения. Например, из-за этого свойства эквивалентно написать y = 4 или 4 = y.

Переходное свойство

Транзитивное свойство в равенстве гласит, что если a = b и b = c, то a = c. Например, 2 + 7 = 9 и 9 = 6 + 3; следовательно, по транзитивному свойству имеем 2 + 7 = 6 + 3.

Простое заявление таково: предположим, что Джулиану 14 лет, а Марио ровесник Розы. Если Роза ровесница Джулиана, то сколько лет Марио??

За этим сценарием транзитивное свойство используется дважды. Математически это интерпретируется так: быть “а” возрастом Марио, “б” возрастом Розы и “с” возрастом Юлиана. Известно, что b = c и c = 14.

Для переходного свойства имеем, что b = 14; то есть Розе 14 лет. Поскольку a = b и b = 14, снова используя транзитивное свойство, имеем a = 14; то есть возраст Марио тоже 14 лет.

Единое свойство

Равномерное свойство состоит в том, что, если обе стороны равенства складываются или умножаются на одну и ту же величину, равенство сохраняется. Например, если 2 = 2, то 2 + 3 = 2 + 3, что ясно, тогда 5 = 5. Это свойство имеет больше полезности, когда дело доходит до решения уравнения.

Например, предположим, что вас попросили решить уравнение x-2 = 1. Удобно помнить, что решение уравнения состоит из явного определения соответствующей переменной (или переменных) на основе определенного числа или ранее указанной переменной.

Возвращаясь к уравнению x-2 = 1, нужно явно определить, сколько стоит x. Для этого переменная должна быть очищена.

Было ошибочно сказано, что в этом случае, поскольку число 2 является отрицательным, оно переходит на другую сторону равенства с положительным знаком. Но это не правильно говорить так.

По сути, мы применяем универсальное свойство, как мы увидим ниже. Идея состоит в том, чтобы очистить «х»; то есть, оставьте это в покое с одной стороны уравнения. По договорённости его обычно оставляют слева.

Для этой цели число, которое вы хотите «устранить», равно -2. Способ сделать это – добавить 2, так как -2 + 2 = 0 и x + 0 = 0. Чтобы иметь возможность сделать это без изменения равенства, ту же операцию необходимо применить на другой стороне.

Это позволяет реализовать универсальное свойство: при x-2 = 1, если число 2 добавляется с обеих сторон равенства, универсальное свойство говорит о том, что то же самое не изменяется. Тогда мы имеем это x-2 + 2 = 1 + 2, что эквивалентно тому, что x = 3. С этим уравнение будет решено.

Точно так же, если вы хотите решить уравнение (1/5) y-1 = 9, вы можете использовать универсальное свойство следующим образом:

В более общем плане могут быть сделаны следующие заявления:

– Если a-b = c-b, то a = c.

– Если x-b = y, то x = y + b.

– Если (1 / a) z = b, то z = a ×

– Если (1 / c) a = (1 / c) b, то a = b.

Отмена собственности

Свойство отмены является частным случаем единообразного владения, особенно с учетом случая вычитания и деления (которые, в конце концов, также соответствуют сложению и умножению). Это свойство рассматривает этот случай отдельно.

Например, если 7 + 2 = 9, то 7 = 9-2. Или, если 2y = 6, то y = 3 (деление на два с обеих сторон).

Аналогично предыдущему случаю через свойство отмены могут быть установлены следующие утверждения:

– Если a + b = c + b, то a = c.

– Если x + b = y, то x = y-b.

– Если az = b, то z = b / a.

– Если ca = cb, то a = b.

Свойство замены

Если мы знаем значение математического объекта, свойство подстановки утверждает, что это значение может быть подставлено в любое уравнение или выражение. Например, если b = 5 и a = bx, то подставляя значение «b» во второе равенство, получаем, что a = 5x.

Другим примером является следующее: если «m» делит «n», а «n» делит «m», то должно быть, что m = n.

Фактически, сказать, что «m» делит «n» (или, что то же самое, «m» является делителем «n»), означает, что деление m ÷ n является точным; то есть, разделив «m» на «n», вы получите целое число, а не десятичное число. Это можно выразить, сказав, что существует целое число «k» такое, что m = k × n.

Поскольку «n» также делит «m», то существует целое число «p», такое что n = p × m. Для свойства подстановки имеем n = p × k × n, и для этого есть две возможности: n = 0, в этом случае мы будем иметь тождество 0 = 0; или p × k = 1, где тождество должно быть n = n.

Предположим, что «n» отлично от нуля. Тогда обязательно p × k = 1; следовательно, p = 1 и k = 1. Используя снова свойство подстановки, при подстановке k = 1 в равенстве m = k × n (или, что эквивалентно, p = 1 в n = p × m), в конечном итоге получается, что m = n, что и требовалось продемонстрировать.

Владение властью в равенстве

Как ранее было замечено, что если операция выполняется как сумма, умножение, вычитание или деление в обоих терминах равенства, она сохраняется, так же, как могут применяться другие операции, которые не изменяют равенство.

Ключ должен всегда делать это на обеих сторонах равенства и заранее убедиться, что операция может быть выполнена. Таков случай расширения прав и возможностей; то есть, если обе стороны уравнения возводятся в одну и ту же степень, все равно существует равенство.

Например, как 3 = 3, то 32= 32 (9 = 9). В общем случае задано целое число «n», если x = y, то xN= уN.

Свойство корня в равенстве

Это частный случай потенцирования и применяется, когда степень представляет собой нецелое рациональное число, такое как ½, которое представляет квадратный корень. Это свойство гласит, что если один и тот же корень применяется к обеим сторонам равенства (где это возможно), равенство сохраняется.

В отличие от предыдущего случая, здесь вы должны быть осторожны с четностью корня, который будет применяться, так как хорошо известно, что четный корень отрицательного числа не является четко определенным.

В том случае, если радикал ровный, проблем нет. Например, если х3= -8, даже если это равенство, вы не можете применить квадратный корень с обеих сторон, например. Однако, если вы можете применить кубический корень (что еще более удобно, если вы хотите явно знать значение x), получая, что x = -2.

ссылки

Aylwin, C. U. (2011). Логика, множества и числа. Мерида – Венесуэла: Издательский совет, Университет Лос-Андес.
Хименес, Ж., Рофригес, М. & Эстрада, Р. (2005). Математика 1 сен. порог.
Лира, М. Л. (1994). Симон и Математика: Математический текст на второй базовый год: студенческая книга. Андрес Белло.
Preciado, C. T. (2005). Курс математики 3о. Редакция Прогресо.
Сеговия, Б. Р. (2012). Математические занятия и игры с Мигелем и Люсией. Балдомеро Рубио Сеговия.
Toral, C. & Preciado, M. (1985). 2-й курс математики. Редакция Прогресо.

Источник