Какие существуют свойства арифметических действий

Сочетай, перемещай, свойства действий

узнавай

Напомним известные уже из арифметики главнейшие свойства действий сложения, вычитания, умножения и деления, так
как этими свойствами придется часто пользоваться и в алгебре.

  •  Свойства сложения

Переместительный закон сложения

Сумма не изменяется от перестановки  слагаемых .

Пример:
3 + 8 = 8 + 3;  5 + 2 + 4 = 2 + 5 + 4 = 4 + 2 + 5.
В общем случае:

a+b=b+a

a+b+c=c+a+b
Стоит иметь ввиду, что число слагаемых может быть и более трёх.

Сочетательный закон сложения

Сумма нескольких слагаемых не изменится, если какие-нибудь из них заменить их суммой .

Пример:
3 + 5 + 7 = 3 + (5 + 7) = 3 + 12 = 15;
4 + 7+11+6 + 5 = 7 +(4+ 5)+ (11+6) = 7 + 9+17 = 33.
В общем случае:
а + b + с = а+(b + с) = b+(а + с) и т. п.
Иногда этот закон выражают так: слагаемые можно соединять в какие угодно группы.

Чтобы прибавить к какому-либо числу сумму нескольких чисел, можно прибавить отдельно каждое слагаемое одно за другим.

Пример:
5 + (7 + 3) = (5 + 7) + 3 = 12 + 3 = 15.
В общем случае:

a+(b+c+d+…+x)=a+b+c+d+…+x

  • Свойства вычитания

Свойство вычитания суммы из числа

Чтобы вычесть из какого-нибудь числа сумму нескольких чисел, можно вычесть отдельно каждое слагаемое одно за другим.

Например:
20 — (5+ 8) = (20 — 5) — 8 = 15 — 8 = 7.
В общем случае:
а — (b + с + d+ …) = а — Ь — с — d — …

Свойство сложения разности чисел

Чтобы прибавить разность двух чисел, можно прибавить уменьшаемое и затем вычесть вычитаемое.

Пример:
8 + (11-5) = 8+ 11 -5= 14.
В общем случае:
а + (b — с) = а + Ь — с.

Свойство вычитания разности из числа

Чтобы вычесть разность, можно сначала прибавить вычитаемое и затем вычесть уменьшаемое.

Например:
18-(9-5) = 18 + 5-9= 14.
Вообще:
а — (Ь — с) = а + с — b.

  •  Свойства умножения

Переместительный закон умножения

Произведение не изменится от перестановки сомножителей .
Так:
4·5 = 5·4; 3·2·5 = 2·3·5 = 5·3·2.
Вообще:
a*b = b*a; abc… =b*а*с*… = c*b*a* …

Сочетательный закон умножения

Произведение нескольких сомножителей не изменится, если какие-нибудь из них заменить их произведением .

Так:
7*3*5 = 5*(3*7) = 5*21 = 105.

Вообще:
abc = а(bс) = b(ас) и т. п.

Умножение числа на произведение чисел

Чтобы умножить какое-либо число на произведение нескольких сомножителей, можно умножить это число на
первый сомножитель, полученный результат умножить на второй сомножитель и т. д.

Так:
3*(5*4) = (3*5)*4= 15*4 = 60.
Вообще:
a•(bcd…) = {[(a·b)•c]•d}…
Чтобы умножить произведение нескольких сомножителей на какое-либо число, можно умножить на это число один
из сомножителей, оставив другие без изменения.

Так:
3 • 2 • 5 • 3 = (3 • 3) • 2 • 5 = 3 • (2 • 3) • 5 = 3 • 2 • (5 • 3).
Вообще:
(abc.. )m = (аm)bс… = а(bm)с… и т. п.

Умножение числа на сумму чисел

Чтобы умножить сумму на какое-либо число, можно каждое слагаемое умножить на это число и полученные ре-
результаты сложить.

Так:
(5 + 3)·7 = 5·7 + 3·7.
Вообще:
(а + b + с + .. .)n = an + bn + cn + …

В силу переместительного закона умножения это же свойство можно выразить так: чтобы умножить какое-либо число на
сумму нескольких чисел, можно умножить это число на каждое слагаемое отдельно и полученные результаты сложить.

Так:
5·(4 + 6) = 5·4 + 5·6.
Вообще:
r·(а + Ь + с +…) = rа + rb + rс + …

Это свойство называется распределительным законом умножения, так как умножение, производимое над суммой, распределяется на каждое слагаемое в отдельности.

Распределительный закон умножения для разности чисел

Распределительный закон можно применять и к разности.

Так:
(8 — 5) • 4 = 8 • 4 — 5 • 4;

7 • (9 — 6) = 7 • 9 — 7 • 6.

Вообще:
(а — b)с = ас — bc,

а(b — с) = ab — ас,
т. е. чтобы умножить разность на какое-либо число, можно умножить на это число отдельно уменьшаемое и вычитаемое
и из первого результата вычесть второй; чтобы умножить какое-либо число на разность, можно это число умножить
отдельно на уменьшаемое и вычитаемое и из первого результата вычесть второй.

  • Свойства деления

Деление суммы на число

Чтобы разделить сумму на какое-либо число, можно разделить на это число каждое слагаемое отдельно и полученные результаты сложить:

Например:

(30+12+5)/3=30/3+12/3+5/3
Вообще:
(a+b+c+…+v)/m= (a/m)+(b/m)+(c/m)+…(v/m)

Деление разности на число

Чтобы разделить разность на какое-либо число, можно разделить на это число отдельно уменьшаемое и вычитаемое
и из первого результата вычесть второй:

(20-8)/5= 20/5 — 8/5

Вообще:

(a-b)/c = (a/c) -(b/c)

Деление произведения на число

Чтобы разделить произведение нескольких сомножителей на какое-либо число, можно разделить на это число один
из сомножителей, оставив другие без изменения:

(40 • 12 • 8) : 4 = (40:4) • 12 • 8 = 10 • 12 • 8 = 40 • 12 • 2.
Вообще:

(a·b·c…) : t = (а : t)bс… = а(b : t)с… и т. д.

Читайте также:  Какие физические свойства имеют кислоты

Деление числа на произведение

Чтобы разделить какое-либо число на произведение нескольких сомножителей, можно разделить это число на
первый сомножитель, полученный результат разделить на второй сомножитель и т.д.:

120 : (12 • 5 • 3) = [(120 : 2) : 5] : 3 = (60 : 5) : 3 = 12 : 3 = 4.

Вообще:

а : (bcd …) = [(а : b) : с] : d… и т. п.

Укажем еще следующее свойство деления:

Если делимое и делитель умножим (или разделим) на одно и то же число, то частное не изменится.
Поясним это свойство на следующих двух примерах:
1)8:3 = 8/3|,
умножим делимое и делитель, положим, на 5; тогда получим
новое частное: (8*5)/(3*5)
которое по сокращении дроби на 5 даст прежнее частное — 8/3

Вообще, какие бы числа a, b и m ни были, всегда
(am) : (bm) = а : b, что можно написать и так:
am/bm= a/b

Если частное не изменяется от умножения делимого и делителя на одно и то же число, то оно не изменяется и от деления делимого и делителя на одно и то же число, так как деление на какое-нибудь число равносильно умножению на обратное число.

Комментирование и размещение ссылок запрещено.

Источник

Сидоркина Анна Владимировна

Учитель начальных классов

I категории

ГУ «Средняя школа № 1 г. Есиль»

Урок математики «Свойства арифметических действий. Рациональные вычисления.»

4 класс

Цели и задачи:

  • Закрепить навыки применения свойств арифметических действий с числами в пределах 1 000 000. Развивать навыки рациональных вычислений.

  • Развивать математическую речь, логическое мышление, наблюдательность, внимание, интерес к предмету, навыки самостоятельной работы и творческие способности учащихся.

  • Воспитывать умение работать самостоятельно, в парах, в группах, воспитывать умение вести диалог, оказывать взаимопомощь.

Ожидаемый результат:

  • Учащиеся знают свойства арифметических действий.

  • Умеют применять приемы рациональных вычислений.

  • Понимают важность взаимопомощи, умение работать в группах, парах.

Ход урока

I. Организационный момент. 1 мин.

Посадка. Проверка готовности.

II. Психологический настрой. 2 мин.

Игра «Я желаю тебе сегодня…»

III. Математический диктант. 5 мин.

1. Увеличите число 263 в 10 000 раз.
2. Найдите частное от 9000 и 20.
3. Найдите сумму чисел 7100 и 2900. Уменьшите сумму в 1000 раз.
4. Найдите произведение чисел 350 и 50.
5. Найдите 2/3 от суммы чисел 160 и 440.
6. Сколько сантиметров в 8 метрах и 3 дм?

Самопроверка.

– Проверьте правильность выполненного задания.

– Кто выполнил правильно?

– Кто допустил ошибки? Почему?

– Что общего у этих заданий?

Обменяйтесь тетрадями в паре. (взаимопроверка)

Все задания выполнены верно – 10 баллов.

Допущены 1-2 ошибки – 8 баллов

Допущены 3 ошибки – 5 баллов.

Допущены 4 ошибки – 3 балла.

Только одно верное задание – 1 балл.

IV. Повторение.

1. Работа в паре. 5 мин.

Обсудите, как удобнее произвести вычисление. Найдите результат записывая решение столбиком.

324 000 + 272 000 + 128 000 + 276 000

– Какой получили результат? (1 000 000)

– Какое арифметическое действие использовали? (сложение)

– Как быстро найти результат? (применить сочетательное свойство сложения)

– Можно назвать этот способ рациональным? (да)

-Оцените работу:

Применено сочетательное свойство сложения – 10 баллов.

Действия выполнены по порядку – 5 баллов.

Еще раз внимательно посмотрите на задание и попробуйте определить тему нашего урока. Тема урока «Свойства арифметических действий. Рациональные приемы вычисления чисел в пределах 1 000 000.

Поставьте задачи на сегодняшний урок.

2. Работа в группе. (Учащиеся первых парт поворачиваются к учащимся за вторыми партами. Учащиеся третьих парт 1 и 2 рядов подходят к учащимся третий парты второго ряда.) 12 мин.

1 группа: вспомнить и записать на листе А4 свойства сложения;

2 группа: свойства вычитания;

3 группа: свойства умножения;

4 группа: свойства деления.

Защита работ.

Проверка правильности выполнения задания.

Учитель вывешивает на доску таблицу свойств арифметических действий.

Переместительное свойство сложения: a + b = b + a

От перемены мест слагаемых сумма не меняется.

Сочетательное свойство сложения: a +b + c = a + (b + c)

Сумма не меняется, если какую-нибудь группу рядом стоящих слагаемых заменить их суммой.

Вычитание суммы из числа: a – (b + c) = a – b – c.

Чтобы вычесть сумму из числа, можно вычесть из этого числа одно слагаемое, из полученной разности – второе слагаемое.

Вычитание числа из суммы: (a + b) – c = (a – c) + b = a + (b – c).

Чтобы вычесть число из суммы, можно вычесть это число из какого-нибудь одного слагаемого и полученную разность прибавить к сумме остальных слагаемых.

Прибавление разности к числу: а + (b – c) = a + b – c.

Чтобы прибавить разность к числу, можно прибавить к нему уменьшаемое и из полученной суммы вычесть вычитаемое.

Переместительное свойство умножения: а · b = b · а.

От перемены мест множителей произведение не меняется

Читайте также:  Какие свойства присущи литературному языку

Сочетательное свойство умножения: а · b · c = а · (b · c).

Произведение не изменится, если какую-нибудь группу рядом стоящих множителей заменить их произведением.

Распределительное свойство умножения относительно сложения: (а + b) · с = ас + bс.

Произведение суммы чисел на какое-нибудь число равно сумме произведений каждого слагаемого на это число

а · 1 = 1 · а = а.

При умножении числа на единицу получаем само число.

а · 0 = 0 · а = 0.

При умножении числа на нуль получаем нуль.

a : 1 = a.

При делении числа на единицу получаем само число.

0 : a = 0.

При делении нуля на любое число, не равное нулю, получаем нуль.

На нуль делить нельзя!

a : a = 1.

При делении числа, не равного нулю, на само себя, получаем единицу.

Деление суммы на число: (a + b) : c = a : c + b : c.

Чтобы разделить сумму на какое-нибудь число, можно разделить на это число каждое слагаемое отдельно (если это возможно) и полученные частные сложить.

Деление разности на число: (a – b) : c = a : c – b : c.

Чтобы разделить разность на какое-нибудь число, можно разделить на это число уменьшаемое и вычитаемое отдельно (если это возможно) и из первого частного вычесть второе.

Деление произведения на число: (a · b) : c = (a : c) · b = a · (b : c).

Чтобы разделить произведение двух множителей на число, можно разделить на это число любой из множителей (если деление выполнимо) и частное умножить на второй множитель.

Оцените себя.

Я вспомнил все свойства – 5 баллов.

Я вспомнил лишь некоторые свойства – 2 балла.

3. Работа со свойствами арифметических действий. 10 мин.

Выполнить задание индивидуально. Свериться в паре. Свериться в группе. При несовпадении ответов объяснить в группе последовательность выполнения действий.

1 группа:

(66 000 х 9) : 600 = (66 000 : 60) х 9 = 110 х 9 = 990

(54 500 + 7 500) : 5= 54 500 : 5 + 7 500 : 5 = 10 900 + 1500 = 12 400

2 группа:

390 х 250 х 40 = 390 х (250 х 40) = 390 х 10 000 = 3 900 000

(750 + 120) х 4 = 750 х 4 + 120 х 4 = 3000 + 480 = 3 480

3 группа:

18 300 – (4300 + 190) = 18 300 – 4300 -190 = 14 000 – 190 = 13 810

(14 300 + 2700) – 3300 = (14 300 – 3300) + 2700 = 11 000 + 27 000 = 13 700

4 группа:

197 + 2300 + 7700 = 197 + (2300 + 7700) = 197 + 10000 = 10 197

(63 300 – 9900) : 3 = 63 300 : 3 + 9900 : 3 = 21 100 + 3300 = 24 400

Проверка по таблице ответов.

Оба примера выполнены верно – 10 баллов.

Один пример – 5 баллов.
4. Решение задачи. 6 мин.

Решите задачу используя распределительное свойство умножения.

Два поезда одновременно выехали навстречу друг другу из двух населенных пунктов. Скорость первого поезда     85 км/ч, а второго – 65 км/ч. Через 4 часа они встретились. Каково расстояние между населенными пунктами, из которых выехали поезда?

85 км/ч 4ч 65 км/ч

? км

Решение:

(85 + 65) х 4 = 85 х 4 + 65 х 4 = 340 + 260 = 600 (км)

Ответ: 600 км расстояние между населенными пунктами.

Оцените себя.

Условие – 2 балла

Решение – 7 баллов

Ответ – 1 балл

V. Итог урока 2 мин.

Давайте вспомним какие цели мы перед собой ставили?

Удалось нам достичь поставленных целей?

Рефлексия. 2 мин.

Закончите предложения.

Я знаю …

Я умею …

Я понимаю …

Подсчитайте баллы, накопленные за урок. Выставляем отметки.

Наибольшее количество баллов за урок – 45

«5» – 36-45 баллов. Поставленная цель достигнута.

«4» – 27-35 баллов. На пути достижения.

«3» – 14 – 26 баллов. Необходимо повторить свойства арифметических действий.

Д/ з. Составить по одному примеру на каждое из арифметических свойств.

Источник

Название свойства
(правила)
Математическая
запись
Формулировка свойства (правила)
Переместительное свойство сложения А + В = В + А От перестановки слагаемых значение суммы не меняется
(о перестановке слагаемых)
Прибавление нуля А + 0 = А 
Сочетательное свойство сложения (А + В) + С = А + (В + С) Если при сложении нескольких чисел сумму рядом стоящих слагаемых заменить её значением, значение общей суммы не изменится
(о группировке слагаемых, о перестановке скобок)
Переместительное свойство умножения А * В = В * А От перестановки множителей значение произведения не изменится
(о перестановке множителей)
Умножение единицы и на единицу, деление на единицу 1 * А = А
А * 1 = А
А : 1 = А
 
Умножение нуля и на нуль 0 * А = 0
А * 0 = 0
 
Сочетательное свойство умножения (А * В) * С = А * (В * С) Если при умножении нескольких чисел произведение рядом стоящих множителей заменить его значением, значение общего произведения не изменится
(о группировке множителей, о перестановке скобок)
Невозможность деления на нуль А : 0 
Распределительное свойство умножения относительно сложения А*(В + С) = А* В + А* С
(А + В)*С = А*С + В*С
Значение произведения суммы на число не изменится, если на него умножить каждое слагаемое и полученные результаты сложить
 
Распределительное свойство умножения относительно вычитания А* (В – С) + А*В – А*С
(А – В)*С = А*С – В*С
 
Монотонность сложения А = В
А + С = В + С
 
Монотонность умножения А = В
А*С = В*С
 
Читайте также:  Какие физические свойства металлов обусловлены металлической связью

Приложение № 3

Программа М.И. Моро и др. УМК «Школа России», 2класс, концентр «Сотня», раздел: «Арифметические действия», тема: «Умножение и деление»

Логико–математический анализ темы урока: «Деление»

1.Определения смысла деления с позиции математики

В курсе математики существуют различные трактовки конкретного смысла действия деления. Это связано с тем, что трактовки определений смысла деления могут основываться на различных математических теориях: аксиоматической, теории множеств, теории скалярных величин. Рассмотрим эти определения:

а) при аксиоматическом построении теории натуральных чисел деление определяется как операция, обратная умножению. Поэтому между делением и умножением устанавливается тесная взаимосвязь. Если a*b=c, то, зная произведение c и один из множителей, можно при помощи деления найти другой множитель.

Определение: Делением натуральных чисел a и b называется операция, удовлетворяющая условию: a: b=c тогда и только тогда, когда b*c=a.

б) с точки зрения теории множеств деление чисел связывается с разбиением конечного множества на равночисленные попарно непересекающиеся подмножества и с его помощью решаются две задачи: отыскание числа элементов в каждом подмножестве разбиения (деление на равные части) и отыскание числа таких подмножеств (деление по содержанию).

Определение: Если a=n(A) и множество A разбито на попарно непересекающиеся равночисленные подмножества и если:

b – число элементов в каждом подмножестве, то частное a: b – это число таких подмножеств;

b – число подмножеств, то частное a: b – это число элементов в каждом подмножестве.

в) с точки зрения теории скалярных величин деление натуральных чисел связано с переходом в процессе измерения к новой единице величины, более крупной.

Определение: если натуральное число a – мера величины X при единице величины E , а натуральное число b – мера новой единицы величины E1 при единице величины E , то частное a: b – это мера величины X при единице величины E1:

a: b=mE(X): mE(E1)=mE1(X)

2. Анализ методического подхода к изучению конкретного смысла деления в начальном курсе математики

В программе М.И.Моро и др. УМК «Школа России» при изучении конкретного смысла деления за основу берется теоретико – множественный подход. С точки зрения этого подхода конкретный смысл деления раскрывается как связь между операцией разбиения конечного множества на равночисленные попарно непересекающиеся подмножества и действием деления. Изучение смысла действия деления осуществляется последовательно через анализ младшими школьниками разного рода ситуаций, связанных с выполнением операции разбиения конечного множества на равночисленные попарно непересекающиеся подмножества. Сначала ученикам предлагаются ситуации, связанные с выполнением операции разбиения конечного множества на равночисленные попарно непересекающиеся подмножества с заданным числом элементов и неизвестным количеством этих подмножеств (на примерах задач на деление по содержанию). Затем, предлагаются ситуации, связанные с выполнением операции разбиения конечного множества на равночисленные попарно непересекающиеся подмножества с неизвестным числом элементов и заданным количеством этих подмножеств (на примере задач на деление на равные части). В учебнике не дается явного определения смысла деления, авторы используют контекстуальный способ неявного определения (через анализ ситуаций). Такой способ определения позволяет учащимся понять, что деление – это арифметическое действие, которое связано с разбиением групп предметов поровну (на равные части). При ознакомлении со смыслом деления используется индуктивный путь познания, поэтому чтобы ученики смогли выделить и понять существенные признаки деления необходимо рассмотреть достаточное количество разнообразных ситуаций.

Психолого – дидактический анализ знания

Предмет усвоения: знание конкретного смысла деления

Существенные признаки:

Термин: деление

Родовое отношение: арифметическое действие

Видовой признак: действие, связанное с разбиением групп предметов поровну (на равные части)

Несущественные признаки:

фабула (сюжет рассматриваемых ситуаций),

числовые характеристики (число элементов множества, число элементов в каждом из равночисленных подмножеств, количество подмножеств)

Средства усвоения:

знания: конкретного смысла вычитания, конкретного смысла умножения;

умения: практически выполнять операцию разбиения множества на равночисленные попарно непересекающиеся подмножества и находить численность разбиения.

Этап усвоения: восприятие, осмысление

Действие, направленное на формирование знания конкретного смысла деления:

умение устанавливать связь между операцией разбиения множества на равночисленные попарно непересекающиеся подмножества и действием деления.

Дата добавления: 2015-10-19; просмотров: 2892 | Нарушение авторских прав | Изречения для студентов

Читайте также:

Рекомендуемый контект:

Поиск на сайте:

© 2015-2020 lektsii.org – Контакты – Последнее добавление

Источник