Какие прямые называются перпендикулярными свойства
В статье рассматривается вопрос о перпендикулярных прямых на плоскости и трехмерном пространстве. Определение перпендикулярных прямых и их обозначения с приведенными примерами подробно разберем. Рассмотрим условия применения необходимого и достаточного условия перпендикулярности двух прямых и подробно рассмотрим на примере.
Перпендикулярные прямые – основные сведения
Угол между пересекающимися прямыми в пространстве может быть прямым. Тогда говорят, что данные прямые перпендикулярные. Когда угол между скрещивающимися прямыми прямой, тогда прямые также являются перпендикулярными. Отсюда следует, что перпендикулярные прямые на плоскости пересекающиеся, а перпендикулярные прямые пространства могут быть пересекающимися и скрещивающимися.
То есть понятия «прямые a и b перпендикулярны» и «прямые b и a перпендикулярны» считаются равноправными. Отсюда и взялось понятие взаимно перпендикулярные прямые. Обобщив вышесказанное, рассмотрим определение.
Определение 1
Две прямые называют перпендикулярными, если угол при их пересечении дает 90 градусов.
Перпендикулярность обозначается «⊥», а запись принимает вид a⊥b, что значит, прямая a перпендикулярна прямой b.
Например, перпендикулярными прямыми на плоскости могут быть стороны квадрата с общей вершиной. В трехмерном пространстве прямые Ox, Oz, Oy перпендикулярны попарно: Ox и Oz, Ox и Oy, Oy и Oz.
Перпендикулярность прямых – условия перпендикулярности
Свойства перпендикулярности необходимо знать, так как большинство задач сводится к его проверке для последующего решения. Бывают случаи, когда о перпендикулярности идет речь еще в условии задания или когда необходимо пользоваться доказательством. Для того, чтобы доказать перпендикулярность достаточно, чтобы угол между прямыми был прямым.
Для того, чтобы определить их перпендикулярность при известных уравнениях прямоугольной системы координат, необходимо применить необходимое и достаточное условие перпендикулярности прямых. Рассмотрим формулировку.
Теорема 1
Для того, чтобы прямые a и b были перпендикулярными, необходимо и достаточно, чтобы направляющий вектор прямой обладал перпендикулярностью относительно направляющего вектора заданной прямой b.
Само доказательство основывается на определении направляющего вектора прямой и на определении перпендикулярности прямых.
Доказательство 1
Пусть введена прямоугольная декартова система координат Оху с заданными уравнениями прямой на плоскости, которые определяют прямые a и b. Направляющие векторы прямых a и b обозначим a→ и b→. Из уравнения прямых a и b необходимым и достаточным условием является перпендикулярность векторов a→ и b→. Это возможно только при скалярном произведении векторов a→=(ax, ay) и b→=(bx, by) равном нулю, а запись имеет вид a→, b→=ax·bx+ay·by=0. Получим, что необходимым и достаточным условием перпендикулярности прямых a и b, находящихся в прямоугольной системе координат Оху на плоскости, является a→, b→=ax·bx+ay·by=0, где a→=(ax, ay) и b→=bx, by – это направляющие векторы прямых a и b.
Условие применимо, когда необходимо найти координаты направляющих векторов или при наличии канонических или параметрических уравнений прямых на плоскости заданных прямых a и b.
Пример 1
Заданы три точки A (8, 6), B(6, 3), C(2, 10) в прямоугольной системе координат Оху. Определить, прямые АВ и АС перпендикулярны или нет.
Решение
Прямые АВ и АС имеют направляющие векторы AB→ и AC→ соответственно. Для начала вычислим AB→=(-2, -3), AC→=(-6, 4). Получим, что векторы AB→ и AC→ перпендикулярны из свойства о скалярном произведении векторов, равном нулю.
AB→, AC→=(-2)·(-6)+(-3)·4=0
Очевидно, что необходимое и достаточное условие выполнимо, значит, АВ и АС перпендикулярны.
Ответ: прямые перпендикулярны.
Пример 2
Определить, заданные прямые x-12=y-73 и x=1+λy=2-2·λ перпендикулярны или нет.
Решение
a→=(2, 3) является направляющим вектором заданной прямой x-12=y-73,
b→=(1, -2) является направляющим вектором прямой x=1+λy=2-2·λ.
Перейдем к вычислению скалярного произведения векторов a→ и b→. Выражение будет записано:
a→,b→=2·1+3·-2=2-6≠0
Результат произведения не равен нулю, можно сделать вывод, что векторы не перпендикулярны, значит и прямые также не перпендикулярны.
Ответ: прямые не перпендикулярны.
Необходимое и достаточное условие перпендикулярности прямых a и b применяется для трехмерного пространства, записывается в виде a→, b→=ax·bx+ay·by+az·bz=0, где a→=(ax, ay, az) и b→=(bx, by, bz) являются направляющими векторами прямых a и b.
Пример 3
Проверить перпендикулярность прямых в прямоугольной системе координат трехмерного пространства, заданные уравнениями x2=y-1=z+10 и x=λy=1+2·λz=4·λ
Решение
Знаменатели из канонических уравнений прямых считаются координатами направляющего вектора прямой. Координаты направляющего вектора из параметрического уравнения – коэффициенты. Отсюда следует, что a→=(2, -1, 0) и b→=(1, 2, 4) являются направляющими векторами заданных прямых. Для выявления их перпендикулярности найдем скалярное произведение векторов.
Выражение примет вид a→,b→=2·1+(-1)·2+0·4=0.
Векторы перпендикулярны, так как произведение равно нулю. Необходимое и достаточное условие выполнено, значит прямые также перпендикулярны.
Ответ: прямые перпендикулярны.
Проверка перпендикулярности может проводится, исходя из других необходимых и достаточных условий перпендикулярности.
Теорема 2
Прямые a и b на плоскости считаются перпендикулярными при перпендикулярности нормального вектора прямой a с вектором b, это и есть необходимое и достаточное условие.
Доказательство 2
Данное условие применимо, когда уравнения прямых дают быстрое нахождение координат нормальных векторов заданных прямых. То есть при наличии общего уравнения прямой вида Ax+By+C=0, уравнения прямой в отрезках вида xa+yb=1, уравнения прямой с угловым коэффициентом вида y=kx+b координаты векторов возможно найти.
Пример 4
Выяснить, перпендикулярны ли прямые 3x-y+2=0 и x32+y12=1.
Решение
Исходя их уравнений, необходимо найти координаты нормальных векторов прямых. Получим, что nα→=(3, -1) – это нормальный вектор для прямой 3x-y+2=0.
Упростим уравнение x32+y12=1 до вида 23x+2y-1=0. Теперь четко видны координаты нормального вектора, которые запишем в такой форме nb→=23, 2.
Векторы na→=(3, -1) и nb→=23, 2 будут перпендикулярными, так как их скалярное произведение даст в итоге значение равное 0. Получим na→, nb→=3·23+(-1)·2=0.
Необходимое и достаточное условие было выполнено.
Ответ: прямые перпендикулярны.
Когда прямая a на плоскости определена при помощи уравнения с угловым коэффициентом y=k1x+b1, а прямая b – y=k2x+b2, отсюда следует, что нормальные векторы будут иметь координаты (k1, -1) и (k2, -1). Само условие перпендикулярности сводится к k1·k2+(-1)·(-1)=0⇔k1·k2=-1.
Пример 5
Выяснить, перпендикулярны ли прямые y=-37x и y=73x-12.
Решение
Прямая y=-37x имеет угловой коэффициент, равный -37, а прямая y=73x-12- 73.
Произведение угловых коэффициентов дает значение -1, -37·73=-1, то есть прямые являются перпендикулярными.
Ответ: заданные прямые перпендикулярны.
Имеется еще одно условие, используемое для определения перпендикулярности прямых на плоскости.
Теорема 3
Для перпендикулярности прямых a и b на плоскости необходимым и достаточным условием является коллинеарность направляющего вектора одной из прямых с нормальным вектором второй прямой.
Доказательство 3
Условие применимо, когда есть возможность нахождения направляющего вектора одной прямой и координат нормального вектора другой. Иначе говоря, одна прямая задается каноническим или параметрическим уравнением, а другая общим уравнением прямой, уравнением в отрезках или уравнением прямой с угловым коэффициентом.
Пример 6
Определить, являются ли заданные прямые x-y-1=0 и x0=y-42 перпендикулярными.
Решение
Получаем, что нормальный вектор прямой x-y-1=0 имеет координаты na→=(1, -1), а b→=(0, 2) – направляющий вектор прямой x0=y-42.
Отсюда видно, что векторы na→=(1, -1) и b→=(0, 2) не коллинеарны, потому что условие коллинеарности не выполняется. Не существует такого числа t, чтобы выполнялось равенство na→=t·b→. Отсюда вывод, что прямые не являются перпендикулярными.
Ответ: прямые не перпендикулярны.
Источник
Основные свойства
При рассмотрении того, какие прямые называют перпендикулярными, нужно уделить внимание свойствам. Они выглядят следующим образом:
- Через одну точку А можно провести только одну перпендикулярную линию основному отрезку, остальные линии будут наклонными и могут скрещиваться.
- Несколько перпендикуляров никогда не будут между собой пересекаться.
Для обозначения перпендикуляра применяется знак «⊥”. В подобном случае угол составляет 90°. На чертеже пересечение обозначается своеобразным квадратом, которые рисуется от двух пересекающихся линий.
Доказательство взаимного расположения
Рассматриваемый термин получил широкое распространение, он фигурирует практически в каждой геометрической задаче. В некоторых случаях о взаимном расположении известно, в других это нужно доказать. Задача доказательства заключается в определении прямого угла между двумя прямыми или плоскостями. Необходимое и достаточное условие перпендикулярности заключается в теореме:
- Прямые взаимно перпендикулярны в случае, если направляющие векторы прямых перпендикулярны.
- Доказательство связано с определением направления векторов, любой должен быть перпендикулярен.
Для определения расположения плоскостей или отрезков относительно друг друга следует провести геометрическое построение. Проходить отрезки должны в одной точке.
Определение перпендикулярности прямой и плоскости
Рассматривая определение перпендикулярных прямых следует учитывать, что подобное свойство применимо к плоскости. Основной признак заключается в перпендикулярности отрезка к любому другому, который находится в плоскости. Перпендикулярность прямых в пространстве указывается определенным знаком.
Доказать перпендикулярность можно проведя геометрические построения. Признаки расположения плоскости и прямой под углом 90° заключаются в следующем:
- Если прямая перпендикулярна плоскости, то в ней можно отложить другую прямую, лежащую под углом 90°.
- В одной точке под прямым углом может пересекаться только две линии, значит, будет лежать только одна плоскость.
Отрезки могут быть также параллельными. В этом случае нет точки, в которой будут они пересекаться.
Построение перпендикуляра
Выдержать угловой коэффициент можно различным образом. В большинстве случаев для этого нужно иметь при себе циркуль. Построить перпендикуляр можно следующим образом:
- С помощью циркуля проводится построение полуокружности с центром в точке Х. На основном отрезке в результате этого получается две точки А и В. Для отображения полуокружности применяется другой цвет, полученная линия вспомогательная, поэтому не выделяется жирным.
- С точки А и В проводится откладывание двух полуокружностей, пересекающихся в двух местах по касательной. Данные точки (P и Q) используются для откладывания линии, которая может пересечь их и основной отрезок с ранее отложенными точками А и В.
Существенно упростить задачу можно путем применения специального чертежного инструмента, к примеру, любого прямоугольного треугольника. Он может называться угольником, основной его признак заключается в наличии двух перпендикулярных плоскостей. Построение проводится следующим образом:
- Одна из сторон, смежная с прямым углом, прикладывается к проведенному отрезку. На этом этапе главное — правильно совместить поверхность инструмента с ранее отложенной линией. Незначительное отклонение может привести к изменению угла.
- Проводится откладывание вертикального отрезка.
В геометрии чаще всего применяется именно второй способ. Однако первый урок позволяет начертить два взаимно перпендикулярных отрезка с высокой точностью. Недостаток применения циркуля заключается в наличии вспомогательных линий, которые стереть сложно. Написать о взаимном расположении линий можно в описательной записке.
Трехмерное пространство
В начертательной геометрии линии всегда находятся в двухмерном пространстве. В специальных программах можно начертить отрезки в трехмерном пространстве. Подобное взаимное расположение может выглядеть следующим образом:
- Два отрезка перпендикулярны относительно друг друга в случае, если они параллельны другим взаимно перпендикулярным линиям, лежащим в одной плоскости.
- Показать правильное взаимное расположение можно путем обозначения угла. Для этого применяются различные способы.
- Если две линии лежат в одной плоскости, то они взаимно перпендикулярны при образовании четырех прямых углов.
В жизни подобное расположение прямых встречается крайне часто. Проверить угол можно при применении специальных инструментов.
Четырехмерная система координат и лемма
Некоторые программы работают с четырехмерным пространством. Взаимное расположение плоскостей под прямым углом в этом случае имеет два смысла: они могут быть перпендикулярны в трехмерном смысле при образовании двугранного угла 90°.
Рассматриваться взаимное расположение плоскостей может и в 4-мерном смысле. Условия выглядят следующим образом:
- Они должны пересекаться в точке.
- Любые две линии, проведенные в плоскостях через точку пересечения также могут быть перпендикулярными.
Условия четырехмерного пространства определяют то, что через одну точку можно провести 6 взаимно перпендикулярных плоскостей. Определять их взаимное расположение можно несколькими различными способами.
Лемма, касающаяся перпендикулярности, связана с определением параллельности. Если одна из параллельных линий расположена под прямым углом относительно плоскости или отрезка, то вторая также перпендикулярна. Ответ на многие задачи связан с доказательством леммы:
- Даны два параллельных отрезка а и b, а также с. Задача заключается в доказательстве b ⊥ c при условии, что a ⊥ c.
- Через произвольную точку М проводится третий и четвертый отрезок, которые параллельны прямой а и с. Образующийся угол АМС равен 90°.
- Параллельны b и a при условии, что третий дополнительный отрезок параллелен отрезку а. В этом случае он будет параллелен и b.
При соблюдении условий полученный угол будет являться прямым. С учетом проведенных построений можно сформулировать определение перпендикулярности параллельных отрезков.
Применение термина
Как ранее было отмечено, встречается большое количество примеров применения рассматриваемого термина. На основе теоремы и доказательства были созданы различные формулы, позволяющие определить протяженность одного из сторон геометрической фигуры.
В средних и старших классах встречается большое количество задач, связанных с определением угла и протяженности сторон построенной фигуры. В некоторых случаях проводится построение диагонали, которая делит 90° на две равные части.
В жизни взаимное перпендикулярное расположение плоскостей встречается крайне часто. Примером служат несущие элементы различных сооружений. Подобное расположение позволяет правильно распределить оказываемую нагрузку. Править наклон можно путем применения специальных измерительных инструментов.
Многие геометрические фигуры построены на основе перпендикулярного расположения отрезков. Наиболее распространен параллелограмм или квадрат, треугольник. За счет выдерживания правильного угла обеспечивается также взаимное параллельное расположение сторон.
Приведенная выше информация указывает на то, что определение угла, под которым расположены плоскости, проводится в самых различных сферах. Инженеры и строители должны с высокой точностью контролировать этот показатель.
Источник
Геометрия
7 класс
Урок № 7
Перпендикулярные прямые
Перечень рассматриваемых вопросов:
- Перпендикулярные прямые.
- Способы построения прямых углов на местности.
- Экер.
- Теодолит.
- Свойство перпендикулярных прямых.
Тезаурус:
Две пересекающиеся прямые называются перпендикулярными (или взаимно перпендикулярными), если они образуют при пересечении четыре прямых угла.
Основная литература:
- Атанасян Л. С. Геометрия: 7–9 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. – М.: Просвещение, 2017. – 384 с.
Дополнительная литература:
- Атанасян Л. С. Геометрия: Методические рекомендации 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А. и др. – М.: Просвещение, 2019. – 95 с.
- Зив Б. Г. Геометрия: Дидактические материалы 7 класс. // Зив Б. Г., Мейлер В. М. – М.: Просвещение, 2019. – 127 с.
- Мищенко Т. М. Дидактические материалы и методические рекомендации для учителя по геометрии 7 класс. // Мищенко Т. М., – М.: Просвещение, 2019. – 160 с.
- Атанасян Л. С. Геометрия: Рабочая тетрадь 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А., Юдина И. И. – М.: Просвещение, 2019. – 158 с.
- Иченская М. А. Геометрия: Самостоятельные и контрольные работы 7–9классы. // Иченская М. А. – М.: Просвещение, 2019. – 144 с.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Ранее вы уже познакомились с прямыми и выяснили, что они могут пересекаться или не пересекаться.
Сегодня мы продолжим изучать пересекающиеся прямые, которые являются перпендикулярными.
Введём понятие «перпендикулярные прямые».
Для этого рассмотрим две пересекающиеся прямые а и b. Они образуют четыре неразвёрнутых угла. Если один из этих углов будет прямой, то остальные тоже будут прямые, т.к.
∠1 и ∠2 – смежные (по определению смежных углов),
∠1 +∠2=180°(по свойству смежных углов),
∠2=180° – 90° = 90°,
∠1 =∠ 3 = 90° – вертикальные (по свойству вертикальных углов),
∠2 =∠ 4 = 90° – вертикальные (по свойству вертикальных углов).
Две пересекающиеся прямые называются перпендикулярными (или взаимно перпендикулярными), если они образуют при пересечении четыре прямых угла.
Обозначение перпендикулярных прямых:
а ┴ b
Построим перпендикулярные прямые.
Для этого воспользуемся чертёжным угольником и линейкой, как изображено на рисунке.
Рассмотрим свойство перпендикулярных прямых.
Две прямые, перпендикулярные к третьей, не пересекаются.
Дано:
АА1┴РQ
ВВ1┴РQ.
Доказать: АА1 и ВВ1 не пересекаются.
Доказательство.
Рассмотрим прямые АА1 и ВВ1, перпендикулярные к прямой РQ. Мысленно перегнем плоскость по прямой РQтак, чтобы верхняя часть рисунка наложилась на нижнюю. Так как прямые углы 1 и 2 равны, то луч РА наложится на луч РА1, аналогично, луч QB наложится на луч QB1.
Предположим, что прямые АА1 и ВВ1пересекаются в точке М.
Мысленно перегнем плоскость по прямой РQ, точка М накладывается на точку М1.
Через точки М и М1 проходят две прямые АА1 и ВВ1, что неверно. Следовательно, предположение, что прямые АА1 и ВВ1 пересекаются в точке М, невозможно (по аксиоме о взаимном расположении точек и прямых), следовательно, прямые АА1 и ВВ1 один не пересекаются. Что и требовалось доказать.
Данный метод доказательства называют методом от противного. Суть этого метода заключается в том, что предполагают противоположное тому, что требуется доказать. Исходя из предположения, путём рассуждений приходят к противоречию.
Этим методом можно воспользоваться для доказательства теоремыо единственности перпендикуляра к прямой.
Из точки, не лежащей на прямой, можно провести не более одного перпендикуляра к этой прямой.
Доказательство. Пустьточка не лежит на данной прямой a. Докажем, что из точки A нельзя провести два перпендикуляра к прямой a. Предположим, что из точки A можно провести два перпендикуляра AH и AK к прямой a. Мысленно перегнем плоскость по прямойaтак, чтобы полуплоскость с границей a, содержащая точку A, наложилась на другую полуплоскость. При этом точки H и K остаются на месте, точка A накладывается на некоторую точку B. Получается, что отрезки AH и AK накладываются на отрезки BH и BK.
Углы AHB и AKB – развернутые, так как каждый из них равен сумме двух прямых углов. Поэтому точки A, H и B лежат на одной прямой, и также точки A, K и B лежат на одной прямой.
Таким образом, мы получили, что через точки A и B проходят две прямые AH и AK. Но это невозможно (по аксиоме о взаимном расположении точек и прямых). Следовательно, из точки A можно провести единственный перпендикуляр к прямой а.
Итак, сегодня получили представление о том, что такое перпендикулярные прямые, рассмотрели свойства перпендикулярных прямых, научились строить и обозначать перпендикулярные прямые, узнали о методе доказательства от противного.
Рассмотрим более сложный метод построения прямых углов на местности.
Для построения прямых углов на местности применяют специальные приборы, например, теодолит (в геодезии).
Но самый простой прибор для построения прямых углов на местности – это экер. Он состоит из двух брусков расположенных под углом 90° и укреплённых на треножнике. На концах брусков вбиты гвоздитак, что прямые, проходящие через них, перпендикулярны. Рассмотрим, как с его помощью построить прямые углы. На заданном луче, в нашем случае ОА, устанавливают экер так, что отвес находится точно над точкойО, а направление одного из брусков совпадает с лучом ОА, совмещение помогает осуществить веха, поставленная на луче ОА. Далее провешивают прямую с помощью другого бруска, получается ∠АОВ =90°.
Тренировочные задания.
1.Прямые СА и ВD взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке О. Луч ОК – проведён из вершины прямого угла АОВ, так что∠КОВ = 52°. Найдите градусную меру ∠АОК.
Решение: нарисуем рисунок, исходя из условия задачи:
∠АОВ = 90°;
∠АОВ = ∠КОВ +∠АОК, следовательно, ∠АОК = ∠АОВ – ∠КОВ = 90° – 52° = 38°.
Ответ: ∠АОК = 38°.
2. Прямые СО и ОD взаимно перпендикулярны, найдите ∠МОВ, если ∠МОА = ∠СОА = 25°, ∠ВОD= ∠МОВ.
Решение. Т.к. прямые СО и ОD взаимно перпендикулярны, то ∠СОD = 90°
По условию задачи, ∠МОА = ∠СОА = 25°, ∠ВОD = ∠МОВ.
∠ СОD = ∠МОА + ∠СОА + ∠ВОD + ∠МОВ = 25° + 25° +2·∠МОВ = 50° + 2 · ∠МОВ = 90°
50° + 2 · ∠МОВ = 90°
∠МОВ = (90° – 50°) : 2
∠МОВ = 20°
Ответ: 20°.
Источник