Какие основные свойства площадей многоугольников
[{Large{text{Основные факты о площади}}}]
Можно сказать, что площадь многоугольника — это величина, обозначающая часть плоскости, которую занимает данный многоугольник. За единицу измерения площади принимают площадь квадрата со стороной (1) см, (1) мм и т.д. (единичный квадрат). Тогда площадь будет измеряться в см(^2), мм(^2) соответственно.
Иными словами, можно сказать, что площадь фигуры — это величина, численное значение которой показывает, сколько раз единичный квадрат умещается в данной фигуре.
Свойства площади
1. Площадь любого многоугольника — величина положительная.
2. Равные многоугольники имеют равные площади.
3. Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников.
4. Площадь квадрата со стороной (a) равна (a^2).
[{Large{text{Площадь прямоугольника и параллелограмма}}}]
Теорема: площадь прямоугольника
Площадь прямоугольника со сторонами (a) и (b) равна (S=ab).
Доказательство
Достроим прямоугольник (ABCD) до квадрата со стороной (a+b), как показано на рисунке:
Данный квадрат состоит из прямоугольника (ABCD), еще одного равного ему прямоугольника и двух квадратов со сторонами (a) и (b). Таким образом,
(begin{multline*} S_{a+b}=2S_{text{пр-к}}+S_a+S_b Leftrightarrow
(a+b)^2=2S_{text{пр-к}}+a^2+b^2 Leftrightarrow\
a^2+2ab+b^2=2S_{text{пр-к}}+a^2+b^2 Rightarrow
S_{text{пр-к}}=ab end{multline*})
Определение
Высота параллелограмма — это перпендикуляр, проведенный из вершины параллелограмма к стороне (или к продолжению стороны), не содержащей эту вершину.
Например, высота (BK) падает на сторону (AD), а высота (BH) — на продолжение стороны (CD):
Теорема: площадь параллелограмма
Площадь параллелограмма равна произведению высоты и стороны, к которой проведена эта высота.
Доказательство
Проведем перпендикуляры (AB’) и (DC’), как показано на рисунке. Заметим,что эти перпендикуляры равны высоте параллелограмма (ABCD).
Тогда (AB’C’D) – прямоугольник, следовательно, (S_{AB’C’D}=AB’cdot
AD).
Заметим, что прямоугольные треугольники (ABB’) и (DCC’) равны. Таким образом,
(S_{ABCD}=S_{ABC’D}+S_{DCC’}=S_{ABC’D}+S_{ABB’}=S_{AB’C’D}=AB’cdot
AD.)
[{Large{text{Площадь треугольника}}}]
Определение
Будем называть сторону, к которой в треугольнике проведена высота, основанием треугольника.
Теорема
Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту, проведенную к этому основанию.
Доказательство
Пусть (S) – площадь треугольника (ABC). Примем сторону (AB) за основание треугольника и проведём высоту (CH). Докажем, что [S = dfrac{1}{2}ABcdot CH.] Достроим треугольник (ABC) до параллелограмма (ABDC) так, как показано на рисунке:
Треугольники (ABC) и (DCB) равны по трем сторонам ((BC) – их общая сторона, (AB = CD) и (AC = BD) как противоположные стороны параллелограмма (ABDC)), поэтому их площади равны. Следовательно, площадь (S) треугольника (ABC) равна половине площади параллелограмма (ABDC), то есть (S = dfrac{1}{2}ABcdot CH).
Теорема
Если два треугольника (triangle ABC) и (triangle A_1B_1C_1) имеют равные высоты, то их площади относятся как основания, к которым эти высоты проведены.
Следствие
Медиана треугольника делит его на два треугольника, равных по площади.
Теорема
Если два треугольника (triangle ABC) и (triangle A_2B_2C_2) имеют по равному углу, то их площади относятся как произведения сторон, образующих этот угол.
Доказательство
Пусть (angle A=angle A_2). Совместим эти углы так, как показано на рисунке (точка (A) совместилась с точкой (A_2)):
Проведем высоты (BH) и (C_2K).
Треугольники (AB_2C_2) и (ABC_2) имеют одинаковую высоту (C_2K), следовательно: [dfrac{S_{AB_2C_2}}{S_{ABC_2}}=dfrac{AB_2}{AB}]
Треугольники (ABC_2) и (ABC) имеют одинаковую высоту (BH), следовательно: [dfrac{S_{ABC_2}}{S_{ABC}}=dfrac{AC_2}{AC}]
Перемножая последние два равенства, получим: [dfrac{S_{AB_2C_2}}{S_{ABC}}=dfrac{AB_2cdot AC_2}{ABcdot AC} qquad text{ или
} qquad dfrac{S_{A_2B_2C_2}}{S_{ABC}}=dfrac{A_2B_2cdot
A_2C_2}{ABcdot AC}]
Теорема Пифагора
В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов:
Верно и обратное: если в треугольнике квадрат длины одной стороны равен сумме квадратов длин других двух сторон, то такой треугольник прямоугольный.
Теорема
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.
Теорема: формула Герона
Пусть (p) – полупериметр треугольника, (a), (b), (c) – длины его сторон, тогда его площадь равна [S_{triangle}=sqrt{p(p – a)(p –
b)(p – c)}]
[{Large{text{Площадь ромба и трапеции}}}]
Замечание
Т.к. ромб является параллелограммом, то для него верна та же формула, т.е. площадь ромба равна произведению высоты и стороны, к которой проведена эта высота.
Теорема
Площадь выпуклого четырехугольника, диагонали которого перпендикулярны, равна половине произведения диагоналей.
Доказательство
Рассмотрим четырехугольник (ABCD). Обозначим (AO=a, CO=b, BO=x,
DO=y):
Заметим, что данный четырехугольник составлен из четырех прямоугольных треугольников, следовательно, его площадь равна сумме площадей этих треугольников:
(begin{multline*}
S_{ABCD}=frac12ax+frac12xb+frac12by+frac12ay=frac12(ax+xb+by+ay)=\
frac12((a+b)x+(a+b)y)=frac12(a+b)(x+y)end{multline*})
Следствие: площадь ромба
Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей: [S_{text{ромб}}=dfrac12 d_1cdot d_2]
Определение
Высота трапеции – это перпендикуляр, проведенный из вершины одного основания к другому основанию.
Теорема: площадь трапеции
Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.
Доказательство
Рассмотрим трапецию (ABCD) с основаниями (BC) и (AD). Проведем (CD’parallel AB), как показано на рисунке:
Тогда (ABCD’) – параллелограмм.
Проведем также (BH’perp AD, CHperp AD) ((BH’=CH) – высоты трапеции).
Тогда (S_{ABCD’}=BH’cdot AD’=BH’cdot BC, quad S_{CDD’}=dfrac12CHcdot D’D)
Т.к. трапеция состоит из параллелограмма (ABCD’) и треугольника (CDD’), то ее площадь равна сумме площадей параллелограмма и треугольника, то есть:
[S_{ABCD}=S_{ABCD’}+S_{CDD’}=BH’cdot BC+dfrac12CHcdot
D’D=dfrac12CHleft(2BC+D’Dright)=] [=dfrac12
CHleft(BC+AD’+D’Dright)=dfrac12 CHleft(BC+ADright)]
Источник
1. Основные свойства площадей многоугольников.
2 . Сформулировать и доказать теорему о вычислении площади трапеции.
3. Площадь прямоугольника. Сформулировать и доказать теорему о площади параллелограмма.
4. Расскажите, как измеряются площади многоугольников.
5. Сформулируйте и докажите теорему о вычислении площади треугольника.
6. Как вычислить площадь прямоугольного треугольника по его катетам?
7. Сформулируйте теорему о площадях двух треугольников , имеющих по равному углу.
8. Сформулируйте и докажите теорему ПИФАГОРА.
9. Сформулируйте и докажите теорему, обратную теореме Пифагора.
10. Приведите примеры пифагоровых треугольников. Какие треугольники называются пифагоровыми?
1. Основные свойства площадей многоугольников.
2 . Сформулировать и доказать теорему о вычислении площади трапеции.
3. Площадь прямоугольника. Сформулировать и доказать теорему о площади параллелограмма.
4. Расскажите, как измеряются площади многоугольников.
5. Сформулируйте и докажите теорему о вычислении площади треугольника.
6. Как вычислить площадь прямоугольного треугольника по его катетам?
7. Сформулируйте теорему о площадях двух треугольников , имеющих по равному углу.
8. Сформулируйте и докажите теорему ПИФАГОРА.
9. Сформулируйте и докажите теорему, обратную теореме Пифагора.
10. Приведите примеры пифагоровых треугольников. Какие треугольники называются пифагоровыми?
1. Основные свойства площадей многоугольников.
2 . Сформулировать и доказать теорему о вычислении площади трапеции.
3. Площадь прямоугольника. Сформулировать и доказать теорему о площади параллелограмма.
4. Расскажите, как измеряются площади многоугольников.
5. Сформулируйте и докажите теорему о вычислении площади треугольника.
6. Как вычислить площадь прямоугольного треугольника по его катетам?
7. Сформулируйте теорему о площадях двух треугольников , имеющих по равному углу.
8. Сформулируйте и докажите теорему ПИФАГОРА.
9. Сформулируйте и докажите теорему, обратную теореме Пифагора.
10. Приведите примеры пифагоровых треугольников. Какие треугольники называются пифагоровыми?
1. Основные свойства площадей многоугольников.
2 . Сформулировать и доказать теорему о вычислении площади трапеции.
3. Площадь прямоугольника. Сформулировать и доказать теорему о площади параллелограмма.
4. Расскажите, как измеряются площади многоугольников.
5. Сформулируйте и докажите теорему о вычислении площади треугольника.
6. Как вычислить площадь прямоугольного треугольника по его катетам?
7. Сформулируйте теорему о площадях двух треугольников , имеющих по равному углу.
8. Сформулируйте и докажите теорему ПИФАГОРА.
9. Сформулируйте и докажите теорему, обратную теореме Пифагора.
10. Приведите примеры пифагоровых треугольников. Какие треугольники называются пифагоровыми?
1. Основные свойства площадей многоугольников.
2 . Сформулировать и доказать теорему о вычислении площади трапеции.
3. Площадь прямоугольника. Сформулировать и доказать теорему о площади параллелограмма.
4. Расскажите, как измеряются площади многоугольников.
5. Сформулируйте и докажите теорему о вычислении площади треугольника.
6. Как вычислить площадь прямоугольного треугольника по его катетам?
7. Сформулируйте теорему о площадях двух треугольников , имеющих по равному углу.
8. Сформулируйте и докажите теорему ПИФАГОРА.
9. Сформулируйте и докажите теорему, обратную теореме Пифагора.
10. Приведите примеры пифагоровых треугольников. Какие треугольники называются пифагоровыми?
1. Основные свойства площадей многоугольников.
2 . Сформулировать и доказать теорему о вычислении площади трапеции.
3. Площадь прямоугольника. Сформулировать и доказать теорему о площади параллелограмма.
4. Расскажите, как измеряются площади многоугольников.
5. Сформулируйте и докажите теорему о вычислении площади треугольника.
6. Как вычислить площадь прямоугольного треугольника по его катетам?
7. Сформулируйте теорему о площадях двух треугольников , имеющих по равному углу.
8. Сформулируйте и докажите теорему ПИФАГОРА.
9. Сформулируйте и докажите теорему, обратную теореме Пифагора.
10. Приведите примеры пифагоровых треугольников. Какие треугольники называются пифагоровыми?
Источник
Серёженька Бобёрчик
Мастер
(1562)
3 года назад
1. Если многоугольник произвольный, то из одной вершины проведите все диагонали и найдите площадь каждого получившегося треугольника. Результаты сложите. Если многоугольник правильный, то существуют формулы для каждого отдельного случая. Но можно вывести и общую формулу, зависящую от количества сторон.
2. Площадь многоугольника есть положительная величина со следующими свойствами:
I. Равные многоугольники имеют равные площади.
II. Если многоугольник составлен из двух многоугольников, не имеющих внутренних общих точек, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников.
III.Площадь квадрата со стороной, равной единице длины, равна 1 (единице измерения площадей)
3. Площадь прямоугольника равна произведению его сторон
Док-во:
Пусть у прямоугольника длины сторон а и b. Достроим его до квадрата со стороной a+b. Т. е. его площадь (квадрата) равна (a+b)^2. С другой стороны эта площадь равна сумме квадрата со стороной а, квадрата со сторой b и двух прямоугольников со сторонами а и b (которую мы и доказаываем). Обозначим ее S и приравняем площадь квадрате со стороной a+b к сумме площадей “маленьких прямоугольников и квадратов”.
(a+b)^2=S+S+a^2+b^2
a^2+b^2+2ab=a^2+b^2+2S
2ab=2S
S=ab. Доказано
4. Sabcd=a*h ( Площадь паралелограмма равна произведению его основания на высоту)
Если BF и CM – перпендикуляры к прямой AD, то треугольник ABF=треугольнику DCE
(так как AB=DC и проекция AF=DM). Поэтому площади этих треугольников равны. Площадь паралеллограмма ABCD равна сумме двух фигур: треугольника ABF (равного треугольникуDCM) и трапеции FBCD. Значит, если от площади ABCD вычесть площадь треугольника ABF, получим площадь трапеции FBCD. Тогда площадь параллелограмма ABCD равна площади прямоугольника FBCM. А стороны этого прямоугольника равны BC=AD=а и BF=h.
S ABCD = AD•BF=a•h.
5. площадь прямоугольного треугольника это половина площи прямоугольника т. е. S=ab. то Sтр=ab/2.
или ch2. т. к. у прямоугольного треугольника произведение катетов равно произведению высоты на гипотенузу
6. Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то отношение площадей этих треугольников равно отношению произведений сторон, заключающих равные углы.
7. Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту, проведенную к основаниям. Проведя две высоты получим прямоугольник, со сторонами a и h, и два прямоугольных треугольника, с катетами p и q, такими, что a+p+q=b. S=ah+ph/2+qh/2=(2a+p+q)h/2=(a+(a+p+q))h/2=(a+b)h/2. Quod errat demonstrandum
8. ФормулировкиТеорема Пифагора: Сумма площадей квадратов, опирающихся на катеты (a и b), равна площади квадрата, построенного на гипотенузе (c).Геометрическая формулировка: Изначально теорема была сформулирована следующим образом: Впрямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах. Алгебраическая формулировка: В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов. То есть, обозначив длину гипотенузы треугольника через, а длины катетов через и :Обе формулировки теоремы эквивалентны, но вторая формулировка более элементарна, она не требует понятия площади. То есть второе утверждение можно проверить, ничего не зная о площади и измерив только длины сторон прямоугольного треугольника.
Серёженька БобёрчикМастер (1562)
3 года назад
9. Теорема.
Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный.
Доказательство.
Пусть треугольнике АВС АВ^2=АС^2+ВС^2. Докажем, что угол С прямой. Рассмотрим прямоугольнй треугольник А1В1С1 с прямым углом С1, у которого А1С1=АС и В1С1=ВС. По теореме Пифагора А1В1^2=А1С1^2+В1С1^2, и, значит, А1В1^2=АС^2+ВС^2. Но АС^2+ВС^2=АВ^2, откуда А1В1=АВ
Треугольники АВС и А1В1С1 равны по трем сторонам, поэтому <С=<С1, т. е. треугольник АВС прямоугольный с прямым углом С. Теорема доказана
10. треугольники прямоугольные со сторонами
3 4 5
5 12 13
и др.
Источник
>>> Перейти на мобильный размер сайта >>>
Учебник для 7-9 классов
Геометрия
Понятие площади многоугольника
Что такое площадь комнаты и как её вычислить, если пол в комнате имеет форму прямоугольника, понятно каждому. В этой главе речь пойдёт об измерении площадей многоугольников и будут выведены формулы, по которым можно вычислить площади прямоугольника, параллелограмма, треугольника, трапеции. Эти формулы нужны не только в геометрии, но и в практической деятельности. Кроме того, используя формулы площадей, мы докажем одну из важнейших и самых знаменитых теорем геометрии — теорему Пифагора.
Понятие площади нам известно из повседневного опыта. Каждый понимает смысл слов: площадь комнаты равна шестнадцати квадратным метрам, площадь садового участка — восьми соткам и т. д. В этой главе мы рассмотрим вопрос о площадях многоугольников.
Можно сказать, что площадь многоугольника — это величина той части плоскости, которую занимает многоугольник. Измерение площадей проводится с помощью выбранной единицы измерения аналогично измерению длин отрезков. За единицу измерения площадей принимают квадрат, сторона которого равна единице измерения отрезков. Так, если за единицу измерения отрезков принят сантиметр, то за единицу измерения площадей принимают квадрат со стороной 1 см. Такой квадрат называется квадратным сантиметром и обозначается см2. Аналогично определяется квадратный метр (м2), квадратный миллиметр (мм2) и т. д.
При выбранной единице измерения площадей площадь каждого многоугольника выражается положительным числом. Это число показывает, сколько раз единица измерения и её части укладываются в данном многоугольнике. Рассмотрим примеры. На рисунке 177, а изображён прямоугольник, в котором квадратный сантиметр укладывается ровно 6 раз. Это означает, что площадь прямоугольника равна 6 см2.
В трапеции ABCD, изображённой на рисунке 177, б, квадратный сантиметр укладывается два раза и остаётся часть трапеции — треугольник CDE, в котором квадратный сантиметр не укладывается целиком. Для измерения площади этого треугольника нужно использовать доли квадратного сантиметра, например квадратный миллиметр. Он составляет 0,01 часть квадратного сантиметра. Это показано на рисунке 177,в, где квадратный сантиметр разбит на 100 квадратных миллиметров (этот рисунок, а также рисунок 177, г для большей наглядности даны в увеличенном масштабе).
Рис. 177
На рисунке 177, г видно, что квадратный миллиметр укладывается в треугольнике CDE 14 раз, и остаётся часть этого треугольника (она закрашена на рисунке), в которой квадратный миллиметр не укладывается целиком. Поэтому можно сказать, что площадь трапеции ABCD приближённо равна 2,14 см2.
Оставшуюся часть треугольника CDE можно измерить с помощью более мелкой доли квадратного сантиметра и получить более точное значение площади трапеции.
Описанный процесс измерения можно продолжить далее, однако на практике он неудобен.
Обычно измеряют лишь некоторые связанные с многоугольником отрезки, а затем вычисляют площадь по определённым формулам.
Вывод этих формул основан на свойствах площадей, которые мы сейчас рассмотрим.
Прежде всего отметим, что если два многоугольника равны, то единица измерения площадей и её части укладываются в таких многоугольниках одинаковое число раз, т. е. имеет место следующее свойство:
10. Равные многоугольники имеют равные площади.
Далее, пусть многоугольник составлен из нескольких многоугольников так, что внутренние области любых двух из этих многоугольников не имеют общих точек, как показано на рисунке 178. Очевидно, величина части плоскости, занимаемой всем многоугольником, является суммой величин тех частей плоскости, которые занимают составляющие его многоугольники. Итак:
Рис. 178
20. Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников.
Свойства 10 и 20 называют основными свойствами площадей. Напомним, что аналогичными свойствами обладают длины отрезков.
Наряду с этими свойствами нам понадобится ещё одно свойство площадей.
30. Площадь квадрата равна квадрату его стороны.
Краткую формулировку этого свойства следует понимать так: если сторона квадрата при выбранной единице измерения отрезков выражается числом а, то площадь этого квадрата выражается числом а2.
На рисунке 179 изображён квадрат, сторона которого равна 2,1 см. Он состоит из четырёх квадратных сантиметров и сорока одного квадратного миллиметра. Таким образом, площадь квадрата равна 4,41 см2, что равно квадрату его стороны: 4,41 = (2,1)2. Доказательство утверждения 30 приведено в следующем пункте.
Рис. 179
Если площади двух многоугольников равны, то эти многоугольники называются равновеликими. Если один многоугольник разрезан на несколько многоугольников и из них составлен другой многоугольник, то такие многоугольники называются равносоставленными. Например, прямоугольник со сторонами, равными 2 см и Зсм (см. рис. 177, а), равносоставлен с прямоугольником со сторонами, равными 1 см и 6 см. Ясно, что любые два равносоставленных многоугольника равновеликие (см. основные свойства площадей). Оказывается, что верно и обратное утверждение: если два многоугольника равновеликие, то они равносоставленные. Это утверждение называется теоремой Бойяи — Гервина. Венгерский математик Ф. Бойяи доказал эту теорему в 1832 г., а немецкий математик-любитель П. Гервин независимо от Ф. Бойяи доказал её в 1833 г.
Площадь квадрата
Докажем, что площадь S квадрата со стороной а равна а2.
Начнём с того случая, когда a=1/2 где n — целое число. Возьмём квадрат со стороной 1 и разобьём его на n2 равных квадратов так, как показано на рисунке 180, а (на этом рисунке n = 5). Так как площадь большого квадрата равна 1, то площадь каждого маленького квадрата равна 1/n2. Сторона каждого маленького квадрата равна 1/n равна а. Итак,
Пусть теперь число а представляет собой конечную десятичную дробь, содержащую п знаков после запятой (в частности, число а может быть целым, и тогда n = 0). Тогда число m + а • 10n Целое. Разобьём данный квадрат со стороной а на m2 равных квадратов так, как показано на рисунке 180, б (на этом рисунке m = 7).
Рис. 180
При этом каждая сторона данного квадрата разобьётся на m равных частей, и, значит, сторона любого маленького квадрата равна
По формуле (1) площадь маленького квадрата равна Следовательно, площадь S данного квадрата равна
Наконец, пусть число а представляет собой бесконечную десятичную дробь. Рассмотрим число ап, получаемое из а отбрасыванием всех десятичных знаков после запятой, начиная с (n + 1)-го. Так как число а отличается от аn не более чем на 1/10n то откуда
Ясно, что площадь S данного квадрата заключена между площадью квадрата со стороной аn и площадью квадрата со стороной аn+1.10n (рис. 180, в), т. е. между
Будем неограниченно увеличивать число n. Тогда число 1/102 будет становиться сколь угодно малым, и, значит, число будет сколь угодно мало отличаться от числа . Поэтому из неравенств (2) и (3) следует, что число S сколь угодно мало отличается от числа а2. Следовательно, эти числа равны: S = a2, что и требовалось доказать.
Площадь прямоугольника
Теорема
Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон.
Доказательство
Рассмотрим прямоугольник со сторонами а, b и площадью S (рис. 181, а). Докажем, что S = ab.
Достроим прямоугольник до квадрата со стороной а + b, как показано на рисунке 181, б. По свойству 30 площадь этого квадрата равна (а + b)2.
Рис. 181
С другой стороны, этот квадрат составлен из данного прямоугольника с площадью S, равного ему прямоугольника с площадью S (свойство 10 площадей) и двух квадратов с площадями а2 и b2 (свойство 30 площадей). По свойству 20 имеем:
(a + b)2 = S + S + а2 + b2,
или
а2 + 2ab + b2 = 2S + а2 + b2.
Отсюда получаем: S = ab. Теорема доказана.
Задачи
445. Вырежите из бумаги два равных прямоугольных треугольника и составьте из них: а) равнобедренный треугольник; б) прямоугольник; в) параллелограмм, отличный от прямоугольника. Сравните площади полученных фигур.
446. Начертите квадрат и примите его за единицу измерения площадей. Далее начертите: а) квадрат, площадь которого выражается числом 4; б) прямоугольник, отличный от квадрата, площадь которого выражается числом 4; в) треугольник, площадь которого выражается числом 2.
447. Начертите параллелограмм ABCD и отметьте точку М, симметричную точке D относительно точки С. Докажите, что SABCD = SAMD.
448. На стороне AD прямоугольника ABCD построен треугольник ADE так, что его стороны АЕ и DE пересекают отрезок ВС в точках М и N, причём точка М — середина отрезка АЕ. Докажите, что SABCD = SADE.
449. Найдите площадь квадрата, если его сторона равна: а) 1,2 см; б) 3/4дм; в) 3√2 м.
450. Найдите сторону квадрата, если его площадь равна: а) 16 см2; б) 2,25 дм2; в) 12 м2.
451. Площадь квадрата равна 24 см2. Выразите площадь этого квадрата: а) в квадратных миллиметрах; б) в квадратных дециметрах.
452. Пусть а и b — смежные стороны прямоугольника, a S — его площадь. Вычислите:
a) S, если а = 8,5 см, b = 3,2 см;
б) S, если а = 2√2 см, b = 3 см;
в) 6, если а = 32 см, S = 684,8 см2;
г) а, если b = 4,5 см, S = 12,15 см2.
453. Как изменится площадь прямоугольника, если: а) одну пару противоположных сторон увеличить в два раза; б) каждую сторону увеличить в два раза; в) одну пару противоположных сторон увеличить в два раза, а другую — уменьшить в два раза?
454. Найдите стороны прямоугольника, если: а) его площадь равна 250 см2, а одна сторона в 2,5 раза больше другой; б) его площадь равна 9 м2, а периметр равен 12 м.
455. Пол комнаты, имеющий форму прямоугольника со сторонами 5,5 м и 6 м, нужно покрыть паркетом прямоугольной формы. Длина каждой дощечки паркета равна 30 см, а ширина — 5 см. Сколько потребуется таких дощечек для покрытия пола?
456. Сколько потребуется кафельных плиток квадратной формы со стороной 15 см, чтобы облицевать ими стену, имеющую форму прямоугольника со сторонами 3 м и 2,7 м?
457. Найдите сторону квадрата, площадь которого равна площади прямоугольника со смежными сторонами 8 м и 18 м.
458. Два участка земли огорожены заборами одинаковой длины. Первый участок имеет форму прямоугольника со сторонами 220 м и 160 м, а второй имеет форму квадрата. Площадь какого участка больше и на сколько?
Ответы к задачам
447. Указание. Пусть О — точка пересечения отрезков AM и ВС. Сначала доказать равенство треугольников АВО и МСО.
448. Указание. Провести перпендикуляр EF к прямой ВС и сначала доказать равенство треугольников АВМ и EFM, DCN и EFN.
449. а) 1,44 см2; б) 9/16дм2; в) 18 м2.
450. а) 4 см; б) 1,5 дм; в) 2√3 м.
451. а) 2400 мм2; б) 0,24 дм2.
452. а) 27,2 см2; б) 6√2 см2; в) 21,4 см; г) 2,7 см.
453. а) Увеличится в два раза; б) увеличится в четыре раза; в) не изменится.
454. а) 25 см и 10 см; б) каждая сторона равна 3 м.
455. 2200.
456. 360.
457. 12 м.
458. Площадь участка квадратной формы больше на 900 м2
Источник