Какие физические свойства тела характеризует момент инерции

Основные понятия и суть

Инерция — это способность тела сохранять приданную ей скорость движения при отсутствии какого-либо внешнего воздействия. Например, во время езды на общественном транспорте всем приходится держаться за поручни. Если этого не сделать, то при изменении скорости движения транспортного средства существует большая вероятность упасть вперёд или назад. Другими словами, возникает какая-то сила, влияющая на пассажира. Когда её действие заканчивается, движение человека всё равно продолжается.

Это свойство и описывается понятием инертность. Раньше изучали это явление известные учёные Галилей, Ньютон, Мах. В соответствии с их исследованиями было установлено классическое правило момента вращения, физический смысл которого заключается в распределении массы в теле, определяемой суммой произведения простейшей массы на расстояние до начального множества в квадрате. Классическая формула, описывающая характеристику, выглядит следующим образом: Ja = Σmi*r2j. В ней:

• mi — масса в точке;
• rj — расстояние от точки до координаты.

То есть момент — это скалярная величина, являющаяся мерой инертности. В качестве единицы измерения по международной системе принято использовать произведение килограмма на квадратный метр (кг*м²). Обозначают параметр латинской буквой I или J. При умножении момента инерции на угловое ускорение можно определить сумму моментов всех сил, приложенных к телу: M = I * E. Фактически это уравнение является аналогом второго закона Ньютона.

М — это момент силы, оказывающий вращательное движение и воздействующий на ускорение тела, а E — угловое ускорение. Мера инертности тела отличается от массы тем, что вторая проявляется, когда его необходимо разогнать, а первая — при его раскручивании.

Вычисление параметра

Характеристика инерции тел зависит от их количественных показателей и формы. Для того чтобы найти характеристику, можно рассмотреть вращение материальной точки, находящейся на невесомой штанге, имеющей длину r и массу m. Для такой ситуации формулу момента инерции можно записать: I = m*r2. Длина r представляет собой радиус кольца, по которому происходит вращение объекта по оси. Таким образом, рассматриваемый момент зависит не только от массы тела, но и геометрических характеристик.

Любое тело можно описать совокупностью материальных точек. Для понятия процесса лучше всего рассмотреть простой пример. Пусть имеется невесомый цилиндр, способный вращаться по радиусу Rc. На него намотана верёвка, к которой приложена сила F. На цилиндр будут насаживаться тела с различной формой. Если известны его радиус и сила, с которой происходит раскручивание, то справедливо будет записать следующее выражение: M = F*Rc.

Допустим, на цилиндр помещены два тела. Одно имеет массу m1 и радиус вращения r1, а другое — m2 и r2. Используя основное уравнение динамики вращательного движения для первого тела с угловым ускорением ƹ1, момент силы можно определить как M1 = I1 * ƹ1. Соответственно, для второго предмета сила будет определяться по формуле: M1 = I2 * ƹ2.

Если эти два тела жёстко скрепить между собой, то они буду представлять собой составные части одного предмета, поэтому их угловые ускорения станут одинаковы (ƹ1 + ƹ2 = ƹ), а требующийся момент M станет равный сумме M1 + M2. Подставив значения, получим равенство M = I1*ƹ + I2*ƹ. Выражение можно упростить до вида M = ƹ (I1+I2). То есть нужный момент для тела, состоящего из совокупности точек, будет равен произведению суммы моментов инерции на угловое ускорение обоих тел.

Из сказанного можно сделать вывод, что момент инерции всего тела равен сумме моментов составных частей. Другим словами, он обладает свойством аддитивности. Используя это, можно составить алгоритм расчёта для любой формы.

Методика решения

Существует универсальный алгоритм, подходящий для расчёта параметра прямоугольника, треугольника, круга или другой фигуры произвольной формы. Допустим, есть сложное тело с заданной осью вращения. Необходимо найти момент его вращения. Для того чтобы решить поставленную задачу, используются два принципа:

• Аддитивность — свойство, обозначающее, что величина целого значения определяется суммой соответствующих ему частей.
• Формула нахождения момента для материальной точки I = m*r2.

Всё тело можно разделить на мельчайшие частички, которые представляют собой материальные точки. Номера этих кусков обозначают в виде i. Масса произвольной части будет определяться как дельта mi. Пусть этот кусок находится на расстоянии ri от оси вращения O. Для этой части момент вращения находится с помощью выражения Ii = Δ mi*ri2. Учитывая аддитивность, общий момент будет равен I = Σ Δ mi*ri2, где i принимает значение от 1 до n.

Эта формула является приближённой, так как точность зависит от массы частей и размера. Если кусочки, на которые разбивается тело, большие, считать их материальными точками нельзя. Чем мельче части, тем точнее будет результат. В соответствии с математическим анализом такие задачи решаются с помощью интегрирования. Понимая физический смысл момента инерции, можно отметить следующие зависимости:

• прямая пропорциональность массе;
• соответствие квадрату размера;
• изменение с учетом оси вращения.

Роль последнего пункта огромна. Например, если рассмотреть два момента вращения велосипедной спицы диаметром 2 мм и длиной 30 сантиметров, то можно увидеть зависимость от выбранной оси поворота.

Относительно вертикальной оси вращение обозначим I1, горизонтальной — I2. Подставив в формулы выражения, используемые для расчётов, можно получить отношение I1/I2 = (m*l2/12) / ((m*d2/8). После его упрощения будет верна запись I1/ I2 = (2/3)*(l/d)2. В итоге получится ответ 15000. Получается, если спицу будут закручивать с одинаковым моментом вокруг вертикальной оси и горизонтальной, то в первом случае она станет крутиться в 15 тыс. раз быстрее.

Моменты простейших объектов

Проведение интегрирования — довольно трудная операция, предполагающая хорошее знание высшей математики. Существует таблица, в которой собраны вычисления инерции для простейших геометрических фигур. При взятии сведений из неё важно обращать внимание на то, относительно какой оси приводится момент вращения объекта. Характеристика инерции для наиболее используемых объектов в физике имеет следующий вид:

1. Кольцо. Предположив, что точка имеет симметричное значение с противоположной стороны оси, можно утверждать, что формула не изменится. Если же точку распределить по плоскости перпендикулярной оси, то получится кольцо. Оно будет иметь такую же массу с кусками, находящимися на одинаковом расстоянии от центра r. Вычисление момента относительно оси вращения выполняют по той же формуле, что и для материальной точки: I = m * r2.
2. Тонкостенный цилиндр. Нарисовав такую фигуру и указав на ней ось вращения, массу и радиус, несложно будет увидеть, что формула для нахождения момента будет аналогична кольцу.
3. Диск. Вращение его происходит относительно оси, проходящей через его центр. Учитывая, что масса однородного диска распределена по всей его площади, то момент его будет меньше, чем у кольца. Проведённые расчёты показали, что момент диска будет меньше в два раза. Таким образом, формула выглядит как I = m*r2 / 2.
4. Сплошной цилиндр. Получают такую фигуру простым распределением массы сплошного диска вдоль оси. По аналогии с кольцом расчёт его характеристики инерции будет совпадать с однородным диском.
5. Шар. Момент проходящей оси через центр тяжести равен удвоенному произведению m*r2, разделенному на 5: I = (m*r2) * 2/5.
6. Сфера. Такой объект отличается от шара лишь тем, что внутри он полый. Направление вращения оси происходит через центр. Значение параметра для неё будет больше, чем шара, так как масса собрана не статически в одном месте, а размещена по всей поверхности. Расчёты показывают, что найти момент можно по формуле I =2*m*r2 /3.
7. Стержень. Момент вращения проходит через центр вдоль оси, перпендикулярной стержню: I = (1/12) * m*L2. L — длина стержня.

При использовании этих формул необходимо учитывать, что единицей измерения момента инерции является кг* м², поэтому при расчёте величины следует приводить значения к этим единицам.

Теорема Гюйгенса — Штейнера

Теорема была названа в честь двух математиков, давших формулировку определению характеристики параллельных осей. Например, пусть имеется объект произвольной формы, центробежная сила которого известна. Используя формулу Штейнера, можно вычислить момент тела относительно любой оси параллельной линии, проходящей через середину фигуры. В своём выводе учёные опирались на две формулы:

1. Вычисления координаты центра масс: X = (m1*x1 + m2*x2+…+Mi*Xi) / (m1+m2+…+Mi) = (Σ Δ mi*ri 2)/ m.
2. Универсального расчёта инерции любого тела: I = Σ Δ mi*ri 2.

Обозначив центр произвольной оси буквой O, а один из множества кусков — Δm, можно воспользоваться универсальной формулой. Сначала необходимо определить квадрат расстояния до оси вращения ri. Для этого через центр проведём ось Oц, а расстояние между O и Oц обозначим как d.

Указанные значения нужно выразить через координаты кусочка. Для этого строится ось абсциссы, проходящая через Oц, и ординаты — O. При таком выборе направления начала координат x центр масс равняется d, а у — нулю. Фактически получится прямоугольный треугольник. Воспользовавшись теоремой Пифагора, можно записать: I = Σ Δ mi* (xi2 + yi2).

В результате можно отметить, что момент в точке O будет прямо пропорционален расстоянию между Δ m и центром. Это и есть главный вектор на чертеже. Для его обозначения вводится длина r’.

Находится ri’2 по формулам для прямоугольного треугольника, в котором один катет равняется yi, а другой — xi — Oц. Значение ri’ совпадает с длиной гипотенузы. Таким образом, ri’2 = (xi — Oц)2 + yi2. Подставив полученное равенство в формулу нахождения параметра момента в центре, можно получить следующую формулу: Io = Σ Δ mi* ((xi — Oц)2 + yi2). После ряда подстановок и упрощения выражения в итоге получится равенство Io = I + m*x i2 — 2*m*xi2 = I — m*xi2.

Так как x центра масс совпадает с d, расстоянием между осями, одну из которых можно направить через центр, то формулу можно переписать как Io = I — m*d2. Выразив из выражения произвольный момент, формула Штейнера примет вид I = Io + m*d2.

Другими словами, теорема определяет, что характеристика инерции тела относительно любой оси находится как сумма моментов относительно параллельной оси, пересекающей центр масс, и произведению массы тела на квадрат расстояния между осями. Сопротивлением вращению пренебрегают.

Пример задачи

Допустим, есть монета с массой m и радиусом r. Вращение происходит вокруг оси, распложенной по касательной. Необходимо найти момент вращения.

Для этого нужно знать характеристику прямой, пересекающей центр монеты Io. Решение будет определяться суммой Io и расстоянием от центра до касательной, которая равняется диаметру монеты: I = Io + md2. Фактически задача состоит в нахождении Io. Определяется этот параметр согласно теореме о взаимно перпендикулярных осях.

Момент вращения относительно диска определяется с помощью выражения I1 = m* d2 / 2. Для решения задачи она будет выглядеть Io = m* d2 / 4. Подставив все данные, получим: I = (1m*d2 / 4) + (md)2 = 5*m*d2 /4.

История понятия «инерция»

До эпохи Возрождения, в Средние века, в западной философии общепринятой была аристотелевская теория движения. Ученик Платона, древнегреческий философ Аристотель (384 – 322 гг. до н. э.) утверждал, что в отсутствии внешней силы все объекты остановятся, и что движущиеся объекты продолжают двигаться только до тех пор, пока есть побуждающая к движению сила.

Бюст Аристотеля. Римская копия греческого бронзового оригинала

Это утверждение закономерно вытекало из реальных наблюдений.  При этом Аристотель объяснял движение снарядов, выпущенных из орудия, невидимым действием окружающей среды, которая каким-то образом продолжает двигать снаряд. При этом философ пришел к выводу, что такое движение в пустоте невозможно.

Принцип движения по инерции, который возник у Аристотеля для «движений в пустоте», гласил, что объект имеет тенденцию сопротивляться изменению движения.

Эта теория движения неоднократно оспаривалась. Например, в 6 веке византийский филолог Иоанн Александрийский (Иоанн Грамматик) раскритиковал тезисы Аристотеля, что среда поддерживает движения тела и что тело остановится в пустоте. В 11 веке персидский исламский врач, астроном, философ и писатель Ибн Сина [Авиценна] (980 – 1037 гг.) сделал вывод, что снаряд при отсутствии действия внешних сил, то есть в пустоте, не остановится.

Окончательно от аристотелевской теории отказались в ходе ряда открытий, предшествовавших научной революции XVII века.

Портрет Кеплера в 1610 году

Термин «инерция», от латинского слова «безделье» или «лень» (лат. inertia),  был впервые использован немецким математиком и астрономом Иоганном Кеплером (1571 – 1630 гг.) в его книге «Epitome Astronomiae Copernicanae», которая была опубликована в трех частях в 1617–1621 гг. Но Кеплер определял инерцию только как сопротивление движению, основываясь на старом предположении, что покой – это естественной состояние вещей, которое не нужно объяснять и к которому стремятся тела.

Юстус Сустерманс. Портрет Галилея Галилея. 1636

Покой и движение объединил единым принципом современник Кеплера Галилео Галилей (1564 — 1642) — итальянский физик, механик, астроном, философ и математик. Он первый, кто направил зрительную трубу в небо, превратив её в телескоп. В 1609 году он создал свой первый телескоп с трёхкратным увеличением. Галилео Галилей писал, что «если устранить все внешние препятствия, то тяжелое тело на сферической поверхности, концентрической Земле, будет поддерживать себя в том состоянии, в котором оно находилось; если его поместить в движение к западу (например), то оно будет поддерживать себя в этом движении».

Чтобы оспорить идею Аристотеля о естественности состояния покоя, Галилей проводил один из таких мысленных экспериментов. Если исключить силу трения, то шар, катящийся по склону оврага (холма), взлетит до той же высоты на противоположной стороне. Если второй склон постепенно наклонять, шар будет катиться все дальше и дальше и в горизонтальном положении склона будет катиться бесконечно долго.

Мысленный эксперимент Галилея

Галилей сделал вывод, что «Тело, движущееся по ровной поверхности, будет продолжать движение в том же направлении с постоянной скоростью, если движение не будет нарушено».

Готфрид Кнеллер. Портрет Исаака Ньютона. 1689

Позднее, мысли Галилея будут уточнены и систематизированы Исааком Ньютоном. Исаак Ньютон (1642 – 1727) — английский физик, математик, механик и астроном, основатель классической физики. В своем труде «Математические начала натуральной философии» (Philosophiae Naturalis Principia Mathematica), впервые опубликованном в 1687 году, он изложил закон всемирного тяготения и три закона динамики.

Явление инерции, изначально сформулированное Галилеем, вошло в первый закон Ньютона.

Три закона Ньютона Инерция: взгляды от Аристотеля до Ньютона

Оговоримся, что согласно определению, законы Ньютона справедливы только для систем отсчета (система отсчета – это тело отсчета со связанной с ним системой координат, относительно которого можно вычислять положение тел, и система измерения времени, т.е. некоторые часы), которые принято называть инерциальными. Инерциальная система отсчета – это такая система, в которой ускорение тел зависит только от приложенных сил, а не свойством самой системы отсчета (наблюдателя) перемещаться с ускорением.

Посмотрим на второй закон Ньютона.

Чаще его записывают в виде:

так как в инерциальной системе отсчета сила является причиной ускорения тела.

Как видно из второй формулы, для тела неизменной массы ускорение тела (скорость изменения его скорости) прямо пропорционально силе, приложенной к телу (чем сильнее толкаем, тем быстрее тело разгоняется) и обратно пропорционально его массе (чем тяжелее тело, тем сложнее его разгонять).

Представим, что тело движется в вакууме и на него не действуют никакие силы (F=0). Значит и скорость его меняться не будет (a=0).

Инерция (лат. inertia — покой, постоянство, неизменность) – природное явление сохранения равномерного прямолинейного движения или состояния покоя любого тела, пока на него не действуют внешние силы или если действие сил скомпенсировано.

Инертность – свойство конкретного тела оставаться в покое или равномерно прямолинейно двигаться. От инертности зависит ускорение тела при приложении к нему внешних сил. Мерой количественного измерения инертности тела в прямолинейном движении является его масса. Больше масса – больше инертность тела, т.е. тем сложнее придать ему ускорение (разогнать или остановить).

Тормозной путь грузовика и легковушки

Из-за большей чем у легковушки массы у грузовика инертность выше. Соответственно, и тормозной путь у него будет больше – нужно приложить большую силу, чтоб его остановить (хотя, можно поставить очень мощные тормоза). Говорить, что у грузовика больше инерция – некорректно.

Мерой инертности тела в прямолинейном движении выступает его масса. Больше масса – больше инертность тела.

Инерция, кинетическая энергия, работа

Приведем другой пример. Представь тяжелоатлета… Даже двух, которые решили поставить мировой рекорд и сдвинуть самолет. Им придется приложить немало сил, чтобы вначале разогнать самолет от нуля до некоторой скорости, а потом поддерживать эту скорость, преодолевая силу трения, направленную назад. Конечно, проще сдвинуть с места (преодолеть инерцию покоя) и разогнать до большой скорости тело меньшей массы, например, футбольный мяч. Инертность самолета во много раз больше инертности футбольного мяча.

Силачи тянут Ил-76

А к какому трюку прибегает фокусник, чтобы в случае со скатертью все предметы остались на столе? Правильно, нужно выдернуть скатерть за наименьшее время. Чем меньше время, тем меньше энергии перейдет с силой трения на предметы и они просто не успеют разогнаться. 

Трюк со скатертью

Энергия движущегося тела называется кинетической энергией и измеряется в Джоулях. Если тело неподвижно, кинетическая энергия равна нулю.

Чтобы разогнать тело массой m до нужной скорости V из состояния покоя (например, самолет), нужно выполнить работу, равную кинетической энергии разогнанного тела (без учета разных потерь):

Работа по изменению кинетической энергии тела совершается за счет приложения к нему некоторой силы – силы тяжести, силы трения, силы воздействия на него другого тела (тяжелоатлета-силача, дующего ветра, реактивной тяги ракетного двигателя и пр.).

Пусть силач разогнал до 0.1 м/с (10 сантиметров в секунду) легковую машину массой 1200 кг и самолет Ил-76 массой 88 500 кг в космосе (не будем учитывать силу трения). Тогда для преодоления инерции этих тел ему пришлось сжечь мышечной энергии на 6 Дж и 442,5 Дж соответсвенно. Т.е. на преодоление инерции покоя у самолета у спортсмена уйдет в 74 раза больше энергии, чем на автомобиль.

Чтобы остановить тело массой m, движущееся со скоростью V, нужно совершить обратную работу, равную отрицательному значению кинетической энергии этого тела:

Т.е. чем больше скорость тела и его масса, тем больше энергии на преодоление инерции движения надо затратить.

Если выключить мотор, машина под действием силы трения ее движущихся частей друг о друга, силы трения о воздух корпуса и силы трения колес об асфальт остановится сама. Но остановить машину можно и быстрее, увеличив силу трения с помощью тормозных дисков, т.е. выжав педаль тормоза.

При равной скорости масса грузовика намного больше, а значит больше его кинетическая энергия. Двигаясь накатом грузовик остановится дальше, чем легковой автомобиль – его инертность выше. Кстати, можно ли остановить грузовик быстрее легкового автомобиля и при каких условиях?

Момент инерции

Инерция проявляется не только для прямолинейного движения, но и при вращении тел. В двигателе есть специальное устройство – маховик (на рисунке справа маховик покрашен темно-серым цветом и имеет зубчики). Инерция его вращения помогает работать двигателю нормально. Энергия расширяющихся газов при воспламенении топлива толкает поршень вниз, а затем ему нужно идти вверх, выталкивая продукты сгорания. Без маховика поршень не смог бы провернуть коленвал без рывков. Двигатель без маховика заглохнет.

Ну а со спинерами и волчками знакомы многие.

Вот только в приведенных примерах форма тела не меняется. А изменится ли инертность тела при изменении его формы?

Вращение на фигурном катании

Многие могут вспомнить фигурное катание. Масса тела фигуриста за выступление не меняется. Но его скорость вращения мгновенно увеличивается, стоит прижать руки и ноги, и вытянуться в струнку. Т.е. при уменьшении радиуса тела скорость вращения увеличивается. Т.е. инертность тела должна уменьшиться? Давайте разбираться.

Вернемся к формулам. Скорость вращающегося тела описывается как произведение угловой скорости (омега) на радиус:

Скорость вращающегося тела

При этом кинетическая энергия вращающегося тела примет вид:

Синим цветом выделено произведение массы тела на радиус в квадрате. Эта величина называется моментом инерции вращающегося тела и обозначается латинской буквой I (и).

Мерой инертности вращающего тела выступает момент инерции, который зависит от массы тела и расстояния этой массы от центра вращения.

Представим, что девочка не только вращает груз над собой, но и идет. Тогда полная кинетическая энергия девочки с грузом примет вид:

Первая часть описывает кинетическую энергию двигающейся прямолинейно с некоторой скоростью девочки с грузом, а вторая – кинетическую энергию вращающегося груза. Полная кинетическая энергия — это сумма энергии прямолинейно движущегося тела и энергии вращающегося тела. Точно так же кинетическая энергия будет рассчитываться для движущегося по столу раскрученного волчка или съезжающего с наклонной плоскости цилиндра.

Так как вращающееся тело может иметь форму, отличную от точки или маленького шарика, то и формула момента инерции для более точных расчетов может принимать разный вид.

Некоторые формулы для расчета момента инерции для тел разной формы

Пример.

Цилиндры одинаковой массы (m1 = m2), но разного радиуса (r1 < r2), скатываются с горки высотой h. Какой цилиндр скатится быстрее? Какое из тел обладает меньшей инертностью?

Цилиндры одинаковой массы, но разного радиуса, скатываются с горки высотой h

В верхней точке кинетическая энергия обоих цилиндров будет равна нулю, так как скорость равна нулю. Потенциальная энергия будет одинаковой и максимальной.