Какие есть свойство корней
Данная статья представляет собой совокупность детальной информации, которая касается темы свойства корней. Рассматривая тему, мы начнем со свойств , изучим все формулировки и приведем доказательства. Для закрепления темы мы рассмотрим свойства n-ой степени.
Свойства корней
Мы поговорим о свойствах.
- Свойство умноженных чисел a и b, которое представляется как равенствоa·b=a·b. Его можно представить в виде множителей, положительных или равных нулю a1, a2, …, ak как a1· a2· …· ak=a1· a2· …· ak;
- из частного a:b= a:b, a≥0, b>0, он также может записываться в таком виде ab=ab;
- Свойство из степени числа a с четным показателем a2·m=am при любом числе a, например, свойство из квадрата числа a2=a.
В любом из представленных уравнений можно поменять части до и после знака тире местами, например, равенство a·b=a·b трансформируется как a·b=a·b. Свойства для равенства часто используются для упрощения сложных уравнений.
Доказательство первых свойств основано на определении квадратного корня и свойствах степеней с натуральным показателем. Чтобы обосновать третье свойство, необходимо обратиться к определению модуля числа.
Первым делом, необходимо доказать свойства квадратного корня a·b=a·b. Согласно определению , необходимо рассмотреть, что a·b – число, положительное или равное нулю, которое будет равно a·bпри возведениив квадрат. Значение выражения a·b положительно или равно нулю как произведение неотрицательных чисел. Свойство степени умноженных чисел позволяет представить равенство в виде (a·b)2=a2·b2. По определению квадратного корня a2=a и b2=b, то a·b2=a2·b2=a·b.
Аналогичным способом можно доказать, что из произведения k множителей a1, a2, …, ak будет равняться произведению квадратных корней из этих множителей. Действительно, a1·a2· …· ak2=a12· a22· …· ak2=a1· a2· …· ak.
Из этого равенства следует, что a1· a2· …· ak=a1· a2· …· ak.
Рассмотрим несколько примеров для закрепления темы.
Пример 1
3·525=3·525, 4,2·1312=4,2·1312 и 2,7·4·1217·0,2(1)=2,7·4·1217·0,2(1).
Необходимо доказать свойство арифметического квадратного корня из частного: a:b=a:b, a≥0, b>0. Свойство позволяет записать равенство a:b2=a2:b2, а a2:b2=a:b, при этом a:bявляется положительным числом или равно нулю. Данное выражение и станет доказательством.
Например, 0:16=0:16, 80:5=80:5 и 30,121=30,121.
Рассмотрим свойство квадратного корня из квадрата числа. Его можно записать в виде равенствакак a2=aЧтобы доказать данное свойство, необходимо подробно рассмотреть несколько равенств при a≥0 и при a<0.
Очевидно, что при a≥0 справедливо равенство a2=a. При a<0 будет верно равенство a2=-a. На самом деле, в этом случае −a>0 и (−a)2=a2. Можно сделать вывод, a2=a, a≥0-a, a<0=a. Именно это и требовалось доказать.
Рассмотрим несколько примеров.
Пример 2
52=5=5 и -0,362=-0,36=0,36.
Доказанное свойство поможет дать обоснованиеa2·m=am, где a – действительное, а m –натуральное число. Действительно, свойство возведения степени позволяет заменить степень a2·m выражением (am)2, тогда a2·m=(am)2=am.
Пример 3
38=34=34 и (-8,3)14=-8,37=(8,3)7.
Свойства корня n-ой степени
Для начала необходимо рассмотреть основные свойства корней n-ой степени:
- Свойство из произведения чисел a и b, которые положительны или равны нулю, можно выразить в качестве равенства a·bn=an·bn, данное свойство справедливо для произведения k чисел a1, a2, …, ak как a1· a2· …·akn=a1n· a2n· …·akn;
- из дробного числа обладает свойством abn=anbn, где a – любое действительное число, которое положительно или равно нулю, а b – положительное действительное число;
- При любом a и четных показателях n=2·m справедливо a2·m2·m=a, а при нечетных n=2·m−1 выполняется равенство a2·m-12·m-1=a.
- Свойство извлечения из amn=an·m, где a – любое число, положительное или равное нулю, n и m – натуральные числа, это свойство также может быть представлено в виде …ankn2n1=an1·n2…·nk;
- Для любого неотрицательного a и произвольных n и m, которые являются натуральными, также можно определить справедливое равенство amn·m=an;
- Свойство степени n из степени числа a, которое положительно или равно нулю, в натуральной степени m, определяемое равенством amn=anm;
- Свойство сравнения , которые обладают одинаковыми показателями: для любых положительных чисел a и b таких, что a<b, выполняется неравенство an<bn;
- Свойство сравнения , которые обладают одинаковыми числами под корнем: если m и n – натуральные числа, что m>n, тогда при 0<a<1 справедливо неравенство am>an, а при a>1 выполняется am<an.
Равенства, приведенные выше, являются справедливыми, если части до и после знака равно поменять местами. Они могут быть использованы и в таком виде. Это зачастую применяется во время упрощения или преобразовании выражений.
Доказательство приведенных выше свойств корня основывается на определении, свойствах степени и определении модуля числа. Данные свойства необходимо доказать. Но все по порядку.
- Первым делом докажем свойства корня n-ой степени из произведения a·bn=an·bn. Для a и b, которые являютсяположительными или равными нулю, значение an·bn также положительно или равно нулю, так как является следствием умножения неотрицательных чисел. Свойство произведения в натуральной степени позволяет записать равенство an·bnn=ann·bnn. По определению корня n-ой степени ann=a и bnn=b, следовательно, an·bnn=a·b. Полученное равенство – именно то, что и требовалось доказать.
Аналогично доказывается это свойство для произведения k множителей: для неотрицательных чисел a1, a2, …, an выполняется a1n· a2n· …· akn ≥0 .
Приведем примеры использования свойства корня n-ой степени из произведения: 5·2127=57·2127 и 8,34·17,(21)4·34·574=8,3·17,(21)·3·574.
- Докажем свойство корня из частного abn=anbn. При a≥0 и b>0выполняется условие anbn≥0, а anbnn=annbnn=ab.
Покажем примеры:
Пример 4
8273=83273 и 2,310:2310=2,3:2310.
- Для следующего шага необходимо доказать свойстваn-ой степени из числа в степени n. Представим это в виде равенства a2·m2·m=a и a2·m-12·m-1=a для любого действительного a и натурального m. При a≥0 получаем a=a и a2·m=a2·m, что доказывает равенство a2·m2·m=a, а равенство a2·m-12·m-1=a очевидно. При a<0 получаем соответственно a=-a и a2·m=(-a)2·m=a2·m. Последняя трансформация числа справедлива согласно свойству степени. Именно это доказывает равенство a2·m2·m=a, а a2·m-12·m-1=a будет справедливо, так как за нечетной степени рассматривается -c2·m-1=-c2·m-1 для любого числа c, положительного или равного нулю.
Для того, чтобы закрепить полученную информацию, рассмотрим несколько примеров с использованием свойства:
Пример 5
744=7=7, (-5)1212=-5=5, 088=0=0, 633=6 и (-3,39)55=-3,39.
- Докажем следующее равенство amn=an·m. Для этого необходимо поменять числа до знака равно и после него местами an·m=amn. Это будет означать верная запись . Для a, которое является положительнымили равно нулю, из вида amn является числом положительным или равным нулю. Обратимся к свойству возведения степени в степень и определению . С их помощью можно преобразовать равенства в виде amnn·m=amnnm=amm=a. Этим доказано рассматриваемое свойство корня из корня.
Аналогично доказываются и другие свойства. Действительно, …ankn2n1n1·n2·…·nk=…ankn3n2n2·n3·…·nk=…ankn4n3n3·n4·…·nk=…=anknk=a.
Например,735=75·3 и 0,00096=0,00092·2·6=0,000924.
- Докажем следующее свойствоamn·m=an. Для этого необходимо показать, что an – число, положительное или равное нулю. При возведении в степень n·m равно am. Если число a является положительным или равным нулю, то n-ой степени из числа a является числом положительным или равным нулю При этом an·mn=annm, что и требовалось доказать.
Для того, чтобы закрепить полученные знания, рассмотрим несколько примеров
2312=24.
- Докажем следующее свойство – свойство корня из степени вида amn=anm. Очевидно, что при a≥0 степень anm является неотрицательным числом. Более того, ее n-ая степень равна am, действительно, anmn=anm·n=annm=am. Этим и доказано рассматриваемое свойство степени.
Например, 2353=2335.
- Необходимо доказательство, что для любых положительных чисел a и b выполнено условие a<b. Рассмотрим неравенство an<bn. Воспользуемся методом от противного an≥bn. Тогда, согласно свойству, о котором говорилось выше, неравенство считается верным ann≥bnn, то есть, a≥b. Но это не соответствует условию a<b. Следовательно, an<bn при a<b.
Для примера приведем 124<15234.
- Рассмотрим свойство корня n-ой степени. Необходимо для начала рассмотреть первую часть неравенства. При m>n и 0<a<1справедливо am>an. Предположим, что am≤an. Свойства позволят упростить выражение до anm·n≤amm·n. Тогда, согласно свойствам степени с натуральным показателем, выполняется неравенство anm·nm·n≤amm·nm·n, то есть, an≤am. Полученное значение при m>n и 0<a<1 не соответствует свойствам, приведенным выше.
Таким же способом можно доказать, что при m>n и a>1справедливо условие am<an.
Для того, чтобы закрепить приведенные свойства, рассмотрим несколько конкретных примеров. Рассмотрим неравенства, используя конкретные числа.
Пример 6
0,73>0,75 и 12>127.
Источник
Корень, его свойства, извлечение корня
В этой статье мы разберем основные свойства корней. Начнем со свойств арифметического квадратного корня, дадим их формулировки и приведем доказательства. После этого займемся свойствами арифметического корня n-ой степени.
Свойства квадратного корня
В этом пункте мы разберемся со следующими основными свойствами арифметического квадратного корня:
- свойство квадратного корня из произведения двух неотрицательных действительных чисел a и b, задающееся равенством вида
, его можно распространить на произведение k неотрицательных множителей a1, a2, …, ak как 
; - корень из частного
, которое часто записывают с помощью дробей как 
; - свойство арифметического квадратного корня из степени числа a с четным показателем
при любом действительном a, в частности, свойство квадратного корня из квадрата числа 
.
В каждом из записанных равенств можно левую и правую части поменять местами, например, равенство можно переписать как 
. В таком «обратном» виде свойства арифметического квадратного корня применяются при упрощении выражений столь же часто, как и в «прямом» виде.
Доказательство первых двух свойств базируется на определении арифметического квадратного корня и на свойствах степени с натуральным показателем. А для обоснования последнего свойства арифметического квадратного корня придется вспомнить определение модуля числа.
Итак, начнем с доказательства свойства арифметического квадратного корня из произведения двух неотрицательных чисел: . Для этого, согласно определению арифметического квадратного корня, достаточно показать, что 
– неотрицательное число, квадрат которого равен a·b. Сделаем это. Значение выражения неотрицательно как произведение неотрицательных чисел. Свойство степени произведения двух чисел позволяет записать равенство 
, а так как по определению арифметического квадратного корня 
и 
, то 
.
Аналогично доказывается, что арифметический квадратный корень из произведения k неотрицательных множителей a1, a2, …, ak равен произведению арифметических квадратных корней из этих множителей. Действительно, . Из этого равенства следует, что 
.
Приведем примеры: 
и 
.
Теперь докажем свойство арифметического квадратного корня из частного: . Свойство частного в натуральной степени позволяет нам записать равенство 
, а 
, при этом 
есть неотрицательное число. Это и является доказательством.
Например, 
и 
.
Пришло время разобрать свойство арифметического квадратного корня из квадрата числа, в виде равенства оно записывается как . Для его доказательства рассмотрим два случая: при a≥0 и при a<0.
Очевидно, что при a≥0 справедливо равенство 
. Также легко заметить, что при a<0 будет верно равенство 
. Действительно, в этом случае −a>0 и (−a)2=a2. Таким образом, 
, что и требовалось доказать.
Приведем примеры: 
и 
.
Только что доказанное свойство квадратного корня позволяет обосновать следующий результат , где a – любое действительное число, а m – любое натуральное число. В самом деле, свойство возведения степени в степень позволяет заменить степень a2·m выражением (am)2, тогда 
.
К примеру, 
и 
.
Свойства корня n-ой степени
Сначала перечислим основные свойства корней n-ой степени:
- свойство корня из произведения двух неотрицательных чисел a и b, ему отвечает равенство
, это свойство распространяется на произведение k неотрицательных чисел a1, a2, …, ak как 
; - корень из дроби обладает следующим свойством
, где a – любое неотрицательное действительное число, а b – положительное действительное число; - при любом действительном a и четных показателях n=2·m справедливо
, а при нечетных n=2·m−1 выполняется равенство 
. - свойство корня из корня
, где a – любое неотрицательное число, n и m – натуральные числа, это свойство можно распространить как 
; - для любого неотрицательного a и произвольных натуральных n и m справедливо равенство
; - свойство корня степени n из степени неотрицательного числа a в натуральной степени m, определяемое равенством
; - свойство сравнения корней с одинаковым показателем: для любых положительных чисел a и b таких, что a<b, выполняется неравенство
; - свойство сравнения корней с одинаковыми подкоренными числами: если m и n такие натуральные числа, что m>n, тогда при 0<a<1 справедливо неравенство
, а при a>1 выполняется 
.
Все записанные равенства остаются справедливыми, если в них поменять местами левую и правую части. В таком виде они употребляются также часто, в основном при упрощении и преобразовании выражений.
Доказательство всех озвученных свойств корня основывается на определении арифметического корня n-ой степени, на свойствах степени и на определении модуля числа. Докажем их в порядке очередности.
Начнем с доказательства свойства корня n-ой степени из произведения
. Для неотрицательных a и b значение выражения 
тоже неотрицательно, как произведение неотрицательных чисел. Свойство произведения в натуральной степени позволяет записать равенство 
. По определению арифметического корня n-ой степени 
и 
, следовательно, 
. Этим доказано рассматриваемое свойство корня.Аналогично доказывается это свойство для произведения k множителей: для неотрицательных чисел a1, a2, …, an выполняется
и .Приведем примеры использования свойства корня n-ой степени из произведения:
и 
.Докажем свойство корня из частного
. При a≥0 и b>0 выполняется условие 
, а 
.Покажем примеры:
и 
.Двигаемся дальше. Докажем свойство корня n-ой степени из числа в степени n. То есть, докажем, что
и для любого действительного a и натурального m. При a≥0 имеем 
и 
, что доказывает равенство , а равенство очевидно. При a<0 имеем 
и 
(последний переход справедлив в силу свойства степени с четным показателем), что доказывает равенство , а справедливо в силу того, что при разговоре о корне нечетной степени мы приняли 
для любого неотрицательного числа c.Приведем примеры использования разобранного свойства корня: и
.Переходим к доказательству свойства корня из корня
. Поменяем местами правую и левую части, то есть, докажем справедливость равенства 
, которое будет означать справедливость исходного равенства. Для неотрицательного числа a корень из корня вида 
является неотрицательным числом. Вспомнив свойство возведения степени в степень, и воспользовавшись определением корня, можно записать цепочку равенств вида 
. Этим доказано рассматриваемое свойство корня из корня.Аналогично доказывается и свойство корня из корня из корня и т.д. Действительно,
.Например,
и 
.Докажем следующее свойство сокращения показателя корня
. Для этого в силу определения корня достаточно показать, что 
есть неотрицательное число, которое при возведении в степень n·m равно am. Сделаем это. Понятно, что если число a неотрицательное, то корень n-ой степени из числа a является неотрицательным числом. При этом 
, что и завершает доказательство.Приведем пример применения разобранного свойства корня:
.Докажем следующее свойство – свойство корня из степени вида
. Очевидно, что при a≥0 степень 
является неотрицательным числом. Более того, ее n-ая степень равна am, действительно, 
. Этим и доказано рассматриваемое свойство степени.Например,
.Переходим дальше. Докажем, что для любых положительных чисел a и b, для которых выполняется условие a<b, выполняется неравенство
. Доказательство проведем от противного. Предположим, что 
. Тогда по свойству степеней с натуральным показателем должно быть справедливым неравенство 
, то есть, a≥b. А это противоречит условию a<b. Следовательно, при a<b.Для примера приведем верное неравенство
.Наконец, осталось доказать последнее свойство корня n-ой степени. Докажем сначала первую часть этого свойства, то есть, докажем, что при m>n и 0<a<1 справедливо неравенство
. Доказательство проведем методом от противного. Предположим, что при указанных выше условиях 
. Свойства корня позволяют это неравенство переписать в виде 
. Тогда в силу свойств степени с натуральным показателем должно выполняться неравенство 
, то есть, an≤am. А полученное неравенство при m>n и 0<a<1 противоречит свойствам степени с натуральным показателем.Аналогично методом от противного доказывается, что при m>n и a>1 выполняется условие
.Приведем примеры применения доказанного свойства корня в конкретных числах. К примеру, верны неравенства
и 
.
Список литературы.
- Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник для 8 кл. общеобразовательных учреждений.
- Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10 – 11 классов общеобразовательных учреждений.
- Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы).
Источник
Ñâîéñòâà êâàäðàòíûõ êîðíåé.
-
;
-
åñëè à ≥ 0 è b > 0;
-
åñëè à ≥ 0 è n — íàòóðàëüíîå ÷èñëî;
-
åñëè à ≥ 0 è n — íàòóðàëüíîå ÷èñëî.
- Îáðàòèòå âíèìàíèå, (−5)2 = 25, íî
.
- Êîðåíü íå ìîæåò ðàâíÿòüñÿ íåïîëîæèòåëüíîìó ÷èñëó.
-
— íåâîçìîæíî âû÷èñëèòü, êîðåíü èç îòðèöàòåëüíîãî ÷èñëà íå ñóùåñòâóåò.
- Åñëè , òî b2 = a, ïðè à ≥ 0 è b ≥ 0, ýòî îäíî èç âàæíåéøèõ ñâîéñòâ êîðíåé.
- Âàæíî ïîíèìàòü, ÷òî êâàäðàòíûé êîðåíü – ýòî äðóãàÿ çàïèñü ñòåïåíè ½:
Íàïðèìåð:
- Âåëè÷èíà êîðíÿ íå èçìåíèòñÿ, åñëè åãî ïîêàçàòåëü óâåëè÷èòü â n ðàç è îäíîâðåìåííî âîçâåñòè ïîäêîðåííîå çíà÷åíèå â ñòåïåíü n:
- Âåëè÷èíà êîðíÿ íå èçìåíèòñÿ, åñëè ïîêàçàòåëü ñòåïåíè óìåíüøèòü â n ðàç è îäíîâðåìåííî èçâëå÷ü êîðåíü n-é ñòåïåíè èç ïîäêîðåííîãî çíà÷åíèÿ:
- Êîðåíü îò ÷àñòíîãî ðàâåí ÷àñòíîìó îò äåëåíèÿ êîðíÿ èç äåëèìîãî íà êîðåíü èç äåëèòåëÿ (ïîêàçàòåëè êîðíåé äîëæíû áûòü îäèíàêîâûìè):
Îáðàòíî:
- ×òîáû âîçâåñòè êîðåíü â ñòåïåíü, äîñòàòî÷íî âîçâåñòè â ýòó ñòåïåíü ïîäêîðåííîå çíà÷åíèå:
Îáðàòíî, ÷òîáû èçâëå÷ü êîðåíü èç ñòåïåíè, äîñòàòî÷íî âîçâåñòè â ýòó ñòåïåíü êîðåíü èç îñíîâàíèÿ ñòåïåíè:
- Êîðåíü èç ïðîèçâåäåíèÿ íåñêîëüêèõ ñîìíîæèòåëåé ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ êîðíåé òîé æå ñòåïåíè èç ýòèõ ñîìíîæèòåëåé (òîæå âàæíîå ñâîéñòâî êîðíåé):
Îáðàòíî, ïðîèçâåäåíèå êîðíåé îäíîé è òîé æå ñòåïåíè ðàâíî êîðíþ òîé æå ñòåïåíè èç ïðîèçâåäåíèÿ ïîäêîðåííûõ çíà÷åíèé:
Êâàäðàòíûé êîðåíü êàê ýëåìåíòàðíàÿ ôóíêöèÿ.
Êâàäðàòíûé êîðåíü – ýòî ýëåìåíòàðíàÿ ôóíêöèÿ è ÷àñòíûé ñëó÷àé ñòåïåííîé ôóíêöèè 
ïðè 
. Àðèôìåòè÷åñêèé êâàäðàòíûé êîðåíü ÿâëÿåòñÿ ãëàäêèì ïðè 
, à â íóëå îí íåïðåðûâåí ñïðàâà, íî íå äèôôåðåíöèðóåòñÿ (îòëè÷èòåëüíîå ñâîéòâî êîðíåé).
Êàê ôóíêöèÿ êîìïëåêñíûé ïåðåìåííûé êîðåíü — äâóçíà÷íàÿ ôóíêöèÿ, ó êîòîðîé ëèñòû ñõîäÿòñÿ â íóëå.
Ñâîéñòâî êîðíÿ êàê ôóíêöèè.
Íà [0; +∞) ìîæíî ïîñòàâèòü êàæäîìó ÷èñëó õ â ñîîòâåòñòâèå åäèíñòâåííîå ÷èñëî êîðåíü n-ñòåïåíè èç x ïðè ëþáîì çíà÷åíèè n.
Òî åñòü ýòî îçíà÷àåò, ÷òî íà ìíîæåñòâå [0; +∞) ìîæíî ãîâîðèòü î ôóíêöèè êîðíÿ:
Òåïåðü îïðåäåëèì ñâîéñòâà ôóíêöèè êîðíÿ è ïîñòðîèì åå ãðàôèê.
Îñíîâíûå ñâîéñòâà êîðíÿ êàê ôóíêöèè:
Ïðîìåæóòîê [0; +∞) – ÿâëÿåòñÿ îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ.
Òàê êàê íåîòðèöàòåëüíîå ÷èñëî ÿâëÿåòñÿ êîðíåì n-ñòåïåíè èç íåîòðèöàòåëüíîãî ÷èñëà, çíà÷èò ïðîìåæóòîê [0; +∞) áóäåò îáëàñòüþ çíà÷åíèÿ ôóíêöèè.
Ïîñêîëüêó ñèììåòðè÷íûì ìíîæåñòâîì íå ÿâëÿåòñÿ îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè, ïîýòîìó äàííàÿ ôóíêöèÿ íå ÿâëÿåòñÿ íè íå÷åòíîé, íè ÷åòíîé.
Îïåðàöèÿ ïî èçâëå÷åíèþ êîðíÿ ââîäèëàñü êàê îáðàòíàÿ îïåðàöèÿ âîçâåäåíèÿ â ñîîòâåòñòâóþùóþ ñòåïåíü.
Çíà÷èò ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî:
Òåïåðü ìîæíî ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè êîðíÿ.
Ïîëüçóÿñü ãðàôèêîì, ìîæíî çàïèñàòü îñòàâøèåñÿ ñâîéñòâà ôóíêöèè.
Íà ïðîìåæóòêå [0; +∞) ôóíêöèÿ âîçðàñòàåò.
Ñâåðõó ôóíêöèÿ íå îãðàíè÷åíà, íî îíà îãðàíè÷åíà ñíèçó, íàïðèìåð, ïðÿìîé ó, êîòîðàÿ = -0,5.
Íà âñåé îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèÿ âûïóêëà ââåðõ.
Ó ôóíêöèè íàèìåíüøèì çíà÷åíèåì áóäåò ÿâëÿòüñÿ 0, à íàèáîëüøåãî çíà÷åíèÿ îíà íå èìååò.
Åñëè â êàæäîé èç òî÷åê íåêîòîðîãî ïðîìåæóòêà ôóíêöèÿ äèôôåðåíöèðóåìà, òî ýòî çíà÷èò, ÷òî íà äàííîì ïðîìåæóòêå îíà íåïðåðûâíà.
Òîãäà:
 ëþáîé òî÷êå ïðîìåæóòêà [0; +∞) ñóùåñòâóåò ýòà ïðîèçâîäíàÿ, èñêëþ÷åíèåì ÿâëÿåòñÿ òîëüêî òî÷êà 0.
Ïîñêîëüêó â ëþáîé òî÷êå ïðîìåæóòêà (0; +∞) ôóíêöèÿ èìååò ïðîèçâîäíóþ, çíà÷èò íà ïðîìåæóòêå (0; +∞) ôóíêöèÿ äèôôåðåíöèðóåìà.
Èçâëå÷ü êîðåíü 2, 3, 4, 5, n ñòåïåíè îíëàéí | |
| Íàéòè êîðåíü 2, 3, 4, 5, … n ñòåïåíè èç ëþáîãî ÷èñëà. | |
| Èçâëå÷ü êîðåíü 2, 3, 4, 5, n ñòåïåíè îíëàéí | |
Ìàòåìàòèêà 4,5,6,7,8,9,10,11 êëàññ, ÅÃÝ, ÃÈÀ | |
| Îñíîâíàÿ èíôîðìàöèÿ ïî êóðñó ìàòåìàòèêè äëÿ îáó÷åíèÿ è ïîäãîòîâêè â ýêçàìåíàì, ÃÂÝ, ÅÃÝ, ÎÃÝ, ÃÈÀ | |
| Ìàòåìàòèêà 4,5,6,7,8,9,10,11 êëàññ, ÅÃÝ, ÃÈÀ | |
Êâàäðàòíûé êîðåíü. | |
| Ñâîéñòâà êâàäðàòíûõ êîðíåé, äðîáíûå ñòåïåíè, êîðåíü n-íîé ñòåïåíè, ïðèìåðû âû÷èñëåíèÿ âûðàæåíèé ñ êîðíÿìè è äðóãîå. | |
| Êâàäðàòíûé êîðåíü. | |
Ôîðìóëû ñòåïåíåé è êîðíåé. | |
| Ôîðìóëû ñòåïåíåé èñïîëüçóþò â ïðîöåññå ñîêðàùåíèÿ è óïðîùåíèÿ ñëîæíûõ âûðàæåíèé, â ðåøåíèè óðàâíåíèé è íåðàâåíñòâ. | |
| Ôîðìóëû ñòåïåíåé è êîðíåé. | |
Äåéñòâèÿ ñ êîðíÿìè | |
| Îñíîâíàÿ èíôîðìàöèÿ ïî êóðñó ìàòåìàòèêè äëÿ îáó÷åíèÿ è ïîäãîòîâêè â ýêçàìåíàì, ÃÂÝ, ÅÃÝ, ÎÃÝ, ÃÈÀ | |
| Äåéñòâèÿ ñ êîðíÿìè | |
Источник