Какие есть свойства действий

Сочетай, перемещай, свойства действий
узнавай

Напомним известные уже из арифметики главнейшие свойства действий сложения, вычитания, умножения и деления, так
как этими свойствами придется часто пользоваться и в алгебре.

Свойства сложения

Переместительный закон сложения

Сумма не изменяется от перестановки слагаемых .

Пример:
3 + 8 = 8 + 3; 5 + 2 + 4 = 2 + 5 + 4 = 4 + 2 + 5.
В общем случае:

a+b=b+a

a+b+c=c+a+b
Стоит иметь ввиду, что число слагаемых может быть и более трёх.

Сочетательный закон сложения

Сумма нескольких слагаемых не изменится, если какие-нибудь из них заменить их суммой .

Пример:
3 + 5 + 7 = 3 + (5 + 7) = 3 + 12 = 15;
4 + 7+11+6 + 5 = 7 +(4+ 5)+ (11+6) = 7 + 9+17 = 33.
В общем случае:
а + b + с = а+(b + с) = b+(а + с) и т. п.
Иногда этот закон выражают так: слагаемые можно соединять в какие угодно группы.

Чтобы прибавить к какому-либо числу сумму нескольких чисел, можно прибавить отдельно каждое слагаемое одно за другим.

Пример:
5 + (7 + 3) = (5 + 7) + 3 = 12 + 3 = 15.
В общем случае:

a+(b+c+d+…+x)=a+b+c+d+…+x

Свойства вычитания

Свойство вычитания суммы из числа

Чтобы вычесть из какого-нибудь числа сумму нескольких чисел, можно вычесть отдельно каждое слагаемое одно за другим.

Например:
20 — (5+ 8) = (20 — 5) — 8 = 15 — 8 = 7.
В общем случае:
а — (b + с + d+ …) = а — Ь — с — d — …

Свойство сложения разности чисел

Чтобы прибавить разность двух чисел, можно прибавить уменьшаемое и затем вычесть вычитаемое.

Пример:
8 + (11-5) = 8+ 11 -5= 14.
В общем случае:
а + (b — с) = а + Ь — с.

Свойство вычитания разности из числа

Чтобы вычесть разность, можно сначала прибавить вычитаемое и затем вычесть уменьшаемое.

Например:
18-(9-5) = 18 + 5-9= 14.
Вообще:
а — (Ь — с) = а + с — b.

Свойства умножения

Переместительный закон умножения

Произведение не изменится от перестановки сомножителей .
Так:
4·5 = 5·4; 3·2·5 = 2·3·5 = 5·3·2.
Вообще:
a*b = b*a; abc… =b*а*с*… = c*b*a* …

Сочетательный закон умножения

Произведение нескольких сомножителей не изменится, если какие-нибудь из них заменить их произведением .

Так:
7*3*5 = 5*(3*7) = 5*21 = 105.

Вообще:
abc = а(bс) = b(ас) и т. п.

Умножение числа на произведение чисел

Чтобы умножить какое-либо число на произведение нескольких сомножителей, можно умножить это число на
первый сомножитель, полученный результат умножить на второй сомножитель и т. д.

Так:
3*(5*4) = (3*5)*4= 15*4 = 60.
Вообще:
a•(bcd…) = {[(a·b)•c]•d}…
Чтобы умножить произведение нескольких сомножителей на какое-либо число, можно умножить на это число один
из сомножителей, оставив другие без изменения.

Так:
3 • 2 • 5 • 3 = (3 • 3) • 2 • 5 = 3 • (2 • 3) • 5 = 3 • 2 • (5 • 3).
Вообще:
(abc.. )m = (аm)bс… = а(bm)с… и т. п.

Умножение числа на сумму чисел

Чтобы умножить сумму на какое-либо число, можно каждое слагаемое умножить на это число и полученные ре-
результаты сложить.

Так:
(5 + 3)·7 = 5·7 + 3·7.
Вообще:
(а + b + с + .. .)n = an + bn + cn + …

В силу переместительного закона умножения это же свойство можно выразить так: чтобы умножить какое-либо число на
сумму нескольких чисел, можно умножить это число на каждое слагаемое отдельно и полученные результаты сложить.

Так:
5·(4 + 6) = 5·4 + 5·6.
Вообще:
r·(а + Ь + с +…) = rа + rb + rс + …

Это свойство называется распределительным законом умножения, так как умножение, производимое над суммой, распределяется на каждое слагаемое в отдельности.

Распределительный закон умножения для разности чисел

Распределительный закон можно применять и к разности.

Так:
(8 — 5) • 4 = 8 • 4 — 5 • 4;

7 • (9 — 6) = 7 • 9 — 7 • 6.

Вообще:
(а — b)с = ас — bc,

а(b — с) = ab — ас,
т. е. чтобы умножить разность на какое-либо число, можно умножить на это число отдельно уменьшаемое и вычитаемое
и из первого результата вычесть второй; чтобы умножить какое-либо число на разность, можно это число умножить
отдельно на уменьшаемое и вычитаемое и из первого результата вычесть второй.

Свойства деления

Деление суммы на число

Чтобы разделить сумму на какое-либо число, можно разделить на это число каждое слагаемое отдельно и полученные результаты сложить:

Например:

(30+12+5)/3=30/3+12/3+5/3
Вообще:
(a+b+c+…+v)/m= (a/m)+(b/m)+(c/m)+…(v/m)

Деление разности на число

Чтобы разделить разность на какое-либо число, можно разделить на это число отдельно уменьшаемое и вычитаемое
и из первого результата вычесть второй:

(20-8)/5= 20/5 — 8/5

Вообще:

(a-b)/c = (a/c) -(b/c)

Деление произведения на число

Чтобы разделить произведение нескольких сомножителей на какое-либо число, можно разделить на это число один
из сомножителей, оставив другие без изменения:

(40 • 12 • 8) : 4 = (40:4) • 12 • 8 = 10 • 12 • 8 = 40 • 12 • 2.
Вообще:

(a·b·c…) : t = (а : t)bс… = а(b : t)с… и т. д.

Деление числа на произведение

Чтобы разделить какое-либо число на произведение нескольких сомножителей, можно разделить это число на
первый сомножитель, полученный результат разделить на второй сомножитель и т.д.:

120 : (12 • 5 • 3) = [(120 : 2) : 5] : 3 = (60 : 5) : 3 = 12 : 3 = 4.

Вообще:

а : (bcd …) = [(а : b) : с] : d… и т. п.

Укажем еще следующее свойство деления:

Если делимое и делитель умножим (или разделим) на одно и то же число, то частное не изменится.
Поясним это свойство на следующих двух примерах:
1)8:3 = 8/3|,
умножим делимое и делитель, положим, на 5; тогда получим
новое частное: (8*5)/(3*5)
которое по сокращении дроби на 5 даст прежнее частное — 8/3

Вообще, какие бы числа a, b и m ни были, всегда
(am) : (bm) = а : b, что можно написать и так:
am/bm= a/b

Если частное не изменяется от умножения делимого и делителя на одно и то же число, то оно не изменяется и от деления делимого и делителя на одно и то же число, так как деление на какое-нибудь число равносильно умножению на обратное число.

Комментирование и размещение ссылок запрещено.

Источник

Тема:Свойства действий над числами

Цели урока: вспомнить и повторить свойства действий над числами. В течение урока развивать у учащихся навык записывать свойства при помощи буквенных равенств. знать; уметь
Ход урока:
1. Организационный момент. (2 мин.)

Сложение

a, b – числа, над которыми выполняется сложение, с – результат сложения

3. Новый материал. (12 мин.)

Сложение многозначных чисел производится поразрядно.

Пример: 9067542 + 34981 = 9102523

Законы сложения.

1) переместительный: a + b = b + a;

Пример. 310 + 1454 = 1454 + 310. Каким бы мы способом не складывали результат будет равен 1764.

2) сочетательный: (a + b) + c = a + (b + c);

Пример: (329 + 85) + 120 = 329 + (85 + 120) = 329 + 205 =534;

3) закон сложения числа с нулём: а + 0 = а.

Вычитание

a (уменьшаемое) – b (вычитаемое) = c (разность)

Пример: 42397 – 17963 = 24434

Свойства действий вычитания:

1) закон вычитания из суммы числа:

(a + b) – c = (a – c) + b, если а > c или a = c;

2) закон вычитания из числа суммы:

a – (b + c) = (a – b) – c;

3) закон вычитания из числа числа:

а – а = 0

4) закон вычитания из числа нуля:

а – 0 = а

5) закон вычитания из суммы суммы:

(a + b) – (c + d) = ;

Задача как пример действий сложения и вычитания

Вычислите удобным способом:

1) (4981 – 2992) – 808;
2) (3975 + 5729) – (5729 + 975).

Решение

Применяем 2-й и 5-й законы вычитания:

1) (4981- 2992) – 808 = 4981 – (2992 + 808) = 4981 – 3800 = 1181;
2) (3975 + 5729) – (5729 + 975) = (3975 – 975) + (5729 – 5720)= 3000 + 0 = 3000

Умножение

Умножить число а на число b (b>1)- значит найти сумму b слагаемых (каждое слагаемое равно а).

a x b= а + а + … + а

Если b = 1, то а x 1 = a.

a (первый множитель) x b (второй множитель) = c (произведение)

Например: 57 + 57 + 57 + 34 + 34 = 57 х 3 + 34 х 2 = 171 + 68 + 239

Законы умножения

1) переместительный: a x b = b x a;

Пример. 15 х 110 = 110 х 15.

2) сочетательный: (a x b) x c = a x (b x c);

Пример: (9 х 30) х 10= 9 х (30 х 10) = 9 х 300= 2700;

(65 х 25) х 44 = (25 х 65) х 44 = 25 х (65 X 44)=25 х 2860 = 71500.

3) умножение на ноль:0 x a = 0;

Пример: 0 х 10 = 0.

4) распределительный закон умножения относительно действия сложения (вычитания):

a x (b + c) = a x b + a x c;

Задачи как пример действия умножения

Задача 1. Вычислить удобным способом:

1) (37 х 125) х 8;
2) 49 х 84 + 49 х 83 – 49 х 67.

Решение

1) (37 х 125) х 8 = 37 х (125 х 8) = 37 х 1000 = 37000;

2) 49 х 84 + 49 х 83 – 49 х 67 = 49 х (84 + 83 – 67) = 49 х 100 = 4900.

Задача 2. 1 квт/ч стоит 12 руб. Электрический утюг за 1 ч работы расходует 2 квт/ч. Утюгом два дня гладили бельё: в первый день- 3 ч, во второй- 2ч. Сколько стоит электроэнергия, израсходованная за два дня? Задачу решите сами, а мы дадим только ответы: за 3 ч- 72руб; за 2ч- 48руб.

Деление

а (делимое) : b (делитель) = с (частное)

Законы деления:

1) а : 1 = а, так как а х 1 = а;
2) 0 : а =0, так как 0 х а = 0;
3) на 0 нельзя делить!

2224222 : 2222 = 1001

Закон деления суммы (разности) на число:

1) (а + b) : с = а : с + b : с, с не равно 0;
2) (а – b) : с = а : с -b : с, с не равно 0;

Пример: (4800 + 9300) : 300 = 4800 : 300 + 9300 : 300 = 16 + 31 + 47.

Закон деления произведения на число:

(а х b) :с = (а : с) х b = (b : с) х а, с не равно 0.

Пример: (125 х 27) : 25 = (125 : 25) х 27 = 5 х 27 = 135.

Свойства действий над числами

Переместительное и сочетательное свойство гласит, что в любой сумме можно как угодно переставлять слагаемые и произвольно объединять их в группы (от перемены мест слагаемых сумма не меняется!).

Распределительное свойство справедливо тогда, когда число умножается на сумму трех и более слагаемых.

4. Закрепление нового материала. (18 мин.)

5. Итоги урока. (3 мин.)
6. Домашнее задание. (2 мин.)

Источник

Свойства действий над числами

Основные свойства сложения и умножения чисел.

Переместительное свойство сложения: от перестановки слагаемых значение суммы не меняется. Для любых чисел a и b верно равенство

a+b=b+a

Сочетательное свойство сложения: чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего. Для любых чисел a, b и c верно равенство

(a+b)+c=a+(b+c)

Переместительное свойство умножения: от перестановки множителей значение произведения не изменяется. Для любых чисел а, b и c верно равенство

ab=ba

Сочетательное свойство умножения: чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего.

Для любых чисел а, b и c верно равенство

(ab)c=a(bc)

Распределительное свойство: чтобы умножить число на сумму, можно умножить это число на каждое слагаемое и сложить полученные результаты. Для любых чисел a, b и c верно равенство

a(b+c)=ab+ac.

Из переместительного и сочетательного свойств сложения следует: в любой сумме можно как угодно переставлять слагаемые и произвольным образом объединять их в группы.

Пример 1 Вычислим сумму 1,23+13,5+4,27.

Для этого удобно объединить первое слагаемое с третьим. Получим:

1,23+13,5+4,27=(1,23+4,27)+13,5=5,5+13,5=19.

Из переместительного и сочетательного свойств умножения следует: в любом произведении можно как угодно переставлять множители и произвольным образом объединять их в группы.

Пример 2 Найдём значение произведения 1,8·0,25·64·0,5.

Объединив первый множитель с четвёртым, а второй с третьим, будем иметь:

1,8·0,25·64·0,5=(1,8·0,5)·(0,25·64)=0,9·16=14,4.

Распределительное свойство справедливо и в том случае, когда число умножается на сумму трёх и более слагаемых.

Например, для любых чисел a, b, c и d верно равенство

a(b+c+d)=ab+ac+ad.

Мы знаем, что вычитание можно заменить сложением, прибавив к уменьшаемому число, противоположное вычитаемому:

a-b=a+(-b).

Это позволяет числовое выражение вида a-b считать суммой чисел a и -b, числовое выражение вида a+b-c-d считать суммой чисел a, b, -c, -d и т. п. Рассмотренные свойства действий справедливы и для таких сумм.

Пример 3 Найдём значение выражения 3,27-6,5-2,5+1,73.

Это выражение является суммой чисел 3,27, -6,5, -2,5 и 1,73. Применив свойства сложения, получим: 3,27-6,5-2,5+1,73=(3,27+1,73)+(-6,5-2,5)=5+(-9) =-4.

Пример 4 Вычислим произведение 36·().

Какие есть свойства действий

Множитель можно рассматривать как сумму чисел и -. Используя распределительное свойство умножения, получим:

36()=36·-36·=9-10=-1.

Тождества

Определение. Два выражения, соответственные значения которых равны при любых значениях переменных, называются тождественно равными.

Определение. Равенство, верное при любых значениях переменных, называется тождеством.

Найдём значения выражений 3(x+y) и 3x+3y при x=5, y=4:

3(x+y)=3(5+4)=3·9=27,

3x+3y=3·5+3·4=15+12=27.

Мы получили один и тот же результат. Из распределительного свойства следует, что вообще при любых значениях переменных соответственные значения выражений 3(x+y) и 3x+3y равны.

Рассмотрим теперь выражения 2x+y и 2xy. При x=1, y=2 они принимают равные значения:

2x+y=2·1+2=4;

2xy=2·1·2=4.

Однако можно указать такие значения x и y, при которых значения этих выражений не равны. Например, если x=3, y=4, то

2x+y=2·3+4=10,

2xy=2·3·4=24.

Выражения 3(x+y) и 3x+3y являются тождественно равными, а выражения 2x+y и 2xy не являются тождественно равными.

Равенство 3(x+y)=x+3y, верное при любых значениях x и y, является тождеством.

Тождествами считают и верные числовые равенства.

Так, тождествами являются равенства, выражающие основные свойства действий над числами:

a+b=b+a, (a+b)+c=a+(b+c),

ab=ba, (ab)c=a(bc), a(b+c)=ab+ac.

Можно привести и другие примеры тождеств:

a+0=a, a+(-a)=0, a-b=a+(-b),

a·1=a, a·(-b)=-ab, (-a)(-b)=ab.

Тождественные преобразования выражений

Замену одного выражения другим, тождественно равным ему выражением называют тождественным преобразованием или просто преобразованием выражения.

Тождественные преобразования выражений с переменными выполняются на основе свойств действий над числами.

Чтобы найти значение выражения xy-xz при заданных значениях x, y, z, надо выполнить три действия. Например, при x=2,3, y=0,8, z=0,2 получаем:

xy-xz=2,3·0,8-2,3·0,2=1,84-0,46=1,38.

Этот результат можно получить, выполнив лишь два действия, если воспользоваться выражением x(y-z), тождественно равным выражению xy-xz:

xy-xz=2,3(0,8-0,2)=2,3·0,6=1,38.

Мы упростили вычисления, заменив выражение xy-xz тождественно равным выражением x(y-z).

Тождественные преобразования выражений широко применяются при вычислении значений выражений и решении других задач. Некоторые тождественные преобразования уже приходилось выполнять, например, приведение подобных слагаемых, раскрытие скобок. Напомним правила выполнения этих преобразований:

чтобы привести подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и результат умножить на общую буквенную часть;

если перед скобками стоит знак “плюс”, то скобки можно опустить, сохранив знак каждого слагаемого, заключённого в скобки;

если перед скобками стоит знак “минус”, то скобки можно опустить, изменив знак каждого слагаемого, заключённого в скобки.

Пример 1 Приведём подобные слагаемые в сумме 5x+2x-3x.

Воспользуемся правилом приведения подобных слагаемых:

5x+2x-3x=(5+2-3)x=4x.

Это преобразование основано на распределительном свойстве умножения.

Пример 2 Раскроем скобки в выражении 2a+(b-3c).

Применив правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак “плюс”:

2a+(b-3c)=2a+b-3c.

Проведённое преобразование основано на сочетательном свойстве сложения.

Пример 3 Раскроем скобки в выражении a-(4b-c).

Воспользуемся правилом раскрытия скобок, перед которыми стоит знак “минус”:

a-(4b-c)=a-4b+c.

Выполненное преобразование основано на распределительном свойстве умножения и сочетательном свойстве сложения. Покажем это. Представим в данном выражении второе слагаемое -(4b-c) в виде произведения (-1)(4b-c):

a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c).

Применив указанные свойства действий, получим:

a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c)=a+(-4b+c)=a-4b+c.

Источник

Инфоурок
›

Математика
›Презентации›Презентация “Свойство действий над числами”

Описание презентации по отдельным слайдам:

1 слайд

Описание слайда:

Математика 5 б класс МОУ ИРМО «Мамоновская СОШ» Красноженова ОВ Упрощение выражений

2 слайд

Описание слайда:

Свойства действий над числами Переместительное свойство сложения умножение Сочетательное свойство a + b+ c = a +( b+ c) = (a +b) +c a b c =(a b ) c= a (b c) a+ b = b + a а b =b a

3 слайд

Описание слайда:

Свойства действий над числами Распределительное свойство умножения относительно сложения Относительно вычитания (a + b) c = a c + b c (a – b) c = a c – b c

4 слайд

Описание слайда:

Свойства действий над числами 25 36 4 3600

5 слайд

Описание слайда:

Свойства действий над числами 342 21 + 658 21 21 000 ( 342 + 658) 21

6 слайд

Описание слайда:

Свойства действий над числами 283 + 189 + 717 1189

7 слайд

Описание слайда:

Свойства действий над числами 81 5 405

8 слайд

Описание слайда:

Свойства действий над числами 397 4 = 1588 (400 -3) 4 =1600 – 12

9 слайд

Описание слайда:

Вычислите удобным способом 121 * 5= 34* 101= 211*5= 79* 9= 89*6= 312*8 59*101

10 слайд

Описание слайда:

Раскройте скобки 8 ( а+4) = 3( 7+х)= 11 ( а+с-b)= ( 2a +y +5) 6=

11 слайд

Описание слайда:

Найдите значение выражения 1) 78*35 + 22*35= 2) 8*7+8*4= 3) 42*32+42*42+10*42= 4) 927*18 – 927*17 =

12 слайд

13 слайд

Описание слайда:

Бакреу Наталия Николаевна, МОУ “СОШ № 48” г.Астрахани Упрощение выражений № 1 Упростите выражение: 16m + 2m 27b + 3a – 9a + 2 b 9a – a 8c + 3c – c 15 + 11n – 4n 22 + 2х – х – 12 18 m 29b – 6а 8а 10с 7n + 15 10 + х

14 слайд

Описание слайда:

Бакреу Наталия Николаевна, МОУ “СОШ № 48” г.Астрахани Найдите значение выражения 134х + 567х – х, если х = 20; 90. 134х + 567х – х = 700 х Если х = 20, то 700*20 = 14000 Если х = 90, то 700*90 = 63000

15 слайд

Описание слайда:

Бакреу Наталия Николаевна, МОУ “СОШ № 48” г.Астрахани Решите уравнение 20х + 19 + 12х = 659 20х + 12х + 19 = 659 32х + 19 = 659 32х = 659 – 19 32х = 640 Х = 640 : 32 Х = 20 Ответ. Х = 20

16 слайд

Описание слайда:

Бакреу Наталия Николаевна, МОУ “СОШ № 48” г.Астрахани Решите уравнение 12*4*р = 4800 48*р = 4800 Р = 4800 : 48 Р = 100 Ответ. Р = 100

17 слайд

Описание слайда:

Бакреу Наталия Николаевна, МОУ “СОШ № 48” г.Астрахани Решите задачу На двух машинах перевезли 15 тонн груза. На одной из низ перевезли в 4 раза больше. Сколько тонн груза перевезли на каждой машине? 1м. – ? в 4 р. б 4х 2м. – ? х Всего – 15 т.

18 слайд

Описание слайда:

Бакреу Наталия Николаевна, МОУ “СОШ № 48” г.Астрахани Решение Пусть на второй машине было х т груза, тогда на первой машине – 4х т груза. Составим и решим уравнение. Х + 4х = 15 5х = 15 Х = 15 : 5 Х = 3 (т) – на второй машине 4* 3 = 12 (т) – на первой машине Ответ. На первой машине 12 т, на второй – 3т.

19 слайд

Описание слайда:

Бакреу Наталия Николаевна, МОУ “СОШ № 48” г.Астрахани Упрощение выражений № 1 Упростите выражение: 46m – 3m 20b + 3a + a + 4b 9*a*5 *с 4c + 13c – c 15 *n*4*х 14 + 12х – х 43m 24b + 4а 45ас 16с 60nх 14 + 11х

20 слайд

Описание слайда:

Решите уравнение № 2 15с + 10с = 625 25с = 625 С = 625 : 25 С = 25 Ответ.25 № 3 9*р*6 = 270 54р = 270 Р = 270 : 54 Р = 5 Ответ. 5

21 слайд

Описание слайда:

Спасибо за урок! Бакреу Наталия Николаевна, МОУ “СОШ № 48” г.Астрахани

Выберите книгу со скидкой:

БОЛЕЕ 58 000 КНИГ И ШИРОКИЙ ВЫБОР КАНЦТОВАРОВ! ИНФОЛАВКА

Инфолавка – книжный магазин для педагогов и родителей от проекта «Инфоурок»

Курс повышения квалификации

Курс профессиональной переподготовки

Учитель математики и информатики

Курс повышения квалификации

Найдите материал к любому уроку,
указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

также Вы можете выбрать тип материала:

Общая информация

Номер материала:

ДБ-368597

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Источник

Какие есть свойства действий

Свойства сложения

Переместительный закон сложения

Сочетательный закон сложения

Чтобы прибавить к какому-либо числу сумму нескольких чисел, можно прибавить отдельно каждое слагаемое одно за другим.

Свойства вычитания

Свойство вычитания суммы из числа

Свойство сложения разности чисел

Свойство вычитания разности из числа

Свойства умножения

Переместительный закон умножения

Сочетательный закон умножения

Умножение числа на произведение чисел

Умножение числа на сумму чисел

Распределительный закон умножения для разности чисел

Свойства деления

Деление суммы на число

Деление разности на число

Деление произведения на число

Деление числа на произведение

Укажем еще следующее свойство деления:

Свойства действий над числами

Тождества

Тождественные преобразования выражений

Оставьте свой комментарий