Какие есть характеристические свойства множеств

Элементы теории множеств

(Методическое пособие для учащихся

Х классов физико-математического профиля)

Автор: Хомутова Л.Ю.

Москва

Год

«Множество есть многое,
мыслимое нами как единое».

Г. Кантор

Множества и их элементы

В повседневной жизни постоянно различные совокупности предметов называют одним словом. Совокупность документов называют архивом, собрание музыкантов – оркестром, группу лошадей – табуном, собрание книг – библиотекой и т. д.

Математическим понятием, отражающим объединение некоторых объектов, предметов или понятий в единую совокупность, является понятие множества. Это понятие в математике является первичным, не определяемым, таким же, как понятие точки и прямой в геометрии, – к более простым понятиям оно не сводится.

Приведем примеры множеств:

· Множество всех людей, живущих в настоящее время на Земле.

· Множество всех рыб в Тихом океане.

· Множество звезд в Галактике.

· Множество всех натуральных чисел.

· Множество всех действительных чисел , удовлетворяющих условию .

· Множество учащихся данной школы.

Предметы, объекты, образующие данное множество, называются его элементами. Например, Александр I является элементом множества российских императоров, а число 9 – элементом множества натуральных чисел, а число не является элементом множества целых чисел.

Обычно множества обозначаются латинскими прописными буквами A, B, C, D ,X ,Y ,W и т. д., а их элементы – строчными буквами a, b, c, d, x, y, w и т. д. То обстоятельство, что объект a является элементом множества А, записывают так: . Если объект а не является элементом множества А, то пишут: .

Множества А и В называются равными, если они содержат одни и те же элементы. Например, равны множества и . Равенство множеств А и В записывают в виде А=В.

Характеристическое свойство множества

Различают множества конечные и бесконечные. Конечным называется множество, состоящее из конечного числа элементов. Среди конечных множеств выделяют пустое множество, не имеющего ни одного элемента. Его называют пустым множеством и обозначают символом . Примерами пустых множеств являются множество людей выше трех метров роста, множество нечетных чисел, делящихся на два, и т. д. Множество, не являющееся конечным, называется бесконечным множеством.

Имеется два существенно различных способа задания множества. Первый способ состоит в том, что множество задается указанием всех его элементов. В этом случае говорят, что множество задано перечислением всех своих элементов, или списком элементов.

Перечислением элементов можно задать лишь конечные множества. И даже для них это не всегда легко сделать: трудно перечислить все элементы конечного множества, состоящего из всех людей, живущих на Земле.

Второй способ задания множества применим как к конечным, так и к бесконечным множествам. Он состоит в том, указывается свойство, которым обладают все элементы рассматриваемого множества и не обладают никакие другие объекты. Такое свойство называется характеристическим свойством множества. Если множество А задано характеристическим свойством Р, то пишут:

Эту запись читают так: множество А состоит из тех и только тех элементов, которые обладают свойством Р.

означает, что множество В состоит из всех нечетных натуральных чисел.

Подмножества

Множество В является подмножеством множества А, если каждый элемент х из множества В является вместе с тем и элементом множества А. В этом случае пишут: . Здесь знак является знаком включения одного множества в другое.

Рассмотрим множества:

1) В – множество всех четырехугольников,

2) С – множество всех параллелограммов,

3) D – множество всех прямоугольников,

4) Е – множество всех квадратов.

В смысле множества фигура каждого следующего типа является частным случаем фигуры предыдущего типа (параллелограмм – частный случай четырехугольника, прямоугольник – параллелограмма, квадрат – прямоугольника). Это означает, что каждое следующее множество является подмножеством предыдущего. Поэтому

Для иллюстрации соотношения между множествами пользуются схемами, называемыми диаграммами Эйлера – Венна, на которых множества изображаются овалами, в частности кругами.

Леонард Эйлер (1707 – 1783) – один из величайших математиков {VIII в., швейцарец; Дж. Венн (1834 – 1923) – английский математик.

На рисунке 1 с помощью кругов показано соотношение между множествами B, С, D, Е.

Рис. 1

Операции над множествами

Пересечение множеств

Если даны два множества, то можно образовать новое множество, составленное из общих элементов этих множеств. Например, общей частью множеств будет множество , которое называют пересечением множеств А и В.

Определение. Пересечением множеств А и В называется новое множество, содержащее те и только те элементы, которые входят одновременно и в множество А, и в множество В.

Пересечение множеств А и В обозначают :

Например, если А – множество всех прямоугольников, В – множество всех ромбов, то – множество всех квадратов.

Геометрическую иллюстрацию операции пересечения множеств А и В дают диаграммы Эйлера – Венна (рис. 2).

а) б)

Рис. 2

На рисунке 2,а заштриховано множество , на рисунке 2,б множества А и В не пересекаются, т. е. .

Операция пересечения множеств применяется там, где требуется найти элементы, удовлетворяющие сразу двум условиям. Например, множество натуральных чисел, кратных 15, – это пересечение множества натуральных чисел, кратных 3, и множества натуральных чисел, кратных 5, т. е.

Объединение множеств

Из двух множеств А и В можно образовать новое множество, объединяя все элементы множества А и все элементы множества В. Например, объединяя элементы множества с элементами множества , получим новое множество , которое называют объединением множеств А и В. При этом общие элементы 3 и 5 входят в объединение один раз.

Определение. Объединением множеств А и В называется новое множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые входят хотя бы в одно из множеств А или в множество В.

Объединение множеств А и В обозначают :

а) б)

Рис. 3.

Диаграммы Эйлера – Венна, соответствующие операции объединения множеств А и В, построены на рисунке 3. На них заштрихованы множества .

Разность множеств

Определение. Разностью двух множеств А и В называют такое множество, в которое входят элементы из множества А, не принадлежащие множеству В.

Разность множеств А и В обозначают А/В. Диаграммы Эйлера – Венна, соответствующие операции вычитания множеств А и В, построены на рисунке 4. На нем заштрихованы множества А/В. Если А=В, то А/В= .

а) б) в)

Рис. 4.

В случае, когда В есть подмножество множества А, разность А/В называют дополнением множества В в множестве А и обозначают . Например, дополнением множества четных чисел в множестве всех целых чисел является множество нечетных чисел.

Дата добавления: 2016-07-29; просмотров: 11907 | Нарушение авторских прав | Изречения для студентов

Читайте также:

Рекомендуемый контект:

Поиск на сайте:

Источник

Всякое свойство можно рассматривать как принадлежность его некоторым предметам.

Например, свойством «быть красным» обладают некоторые цветы, ягоды, автомашины и другие предметы. Свойством «быть круглым» обладают луна, мяч, колеса велосипедов и автомашин, детали различных машин и станков и др.

Таким образом, с каждым свойством связывается множество (предметов), обладающих этим свойством. Говорят также, что множество характеризуется данным свойством, или множество задано указанием характеристического свойства.

Под характеристическим свойством множества понимают такое свойство, которым обладают все предметы, принадлежащие этому множеству (элементы этого множества), и не обладает ни один предмет, не принадлежащий ему (не являющийся его элементом).

Иногда свойство отождествляется с множеством предметов, характеризуемым этим свойством. Говоря «круглое», мы одноврег менно мыслим о множестве всех круглых предметов.

Если некоторое множество А задано указанием характеристического свойства Р, то это записывается следующим образом:

А=хР(х))

и читается так: «А — множество всех х таких, что х обладает свойством Р», или, короче, «Л — множество всех х, обладающих свойством Р». Когда говорят: «множество всех предметов, обладающих свойством Р», имеются в виду те и. только те предметы, которые обладают этим свойством.

Таким образом, если множество Л задано характеристическим свойством Р, то это означает, что оно состоит из всех предметов, обладающих этим свойством, и только из них. Если какой-нибудь предмет а обладает свойством Р, то он принадлежит множеству Л и, наоборот, если предмет а принадлежит множеству Л, то он

обладает свойством Р.

Предложение «предмет а принадлежит множеству Л», или «пред-мета — элемент множества Л», обозначается кратко «а^А». Предложение «предмет а обладает свойством Р» — «Р (а)». Эти два предложения р а в н о с и л ь н ы, т. е. выражают одну и ту же мысль в разной форме, первое — на языке множеств, второе — на языке свойств. Высказывания, выражаемые этими двумя предложениями, одновременно истинны или ложны: истинны, если предмет а действительно принадлежит множеству Л (обладает свойством Р), ложны в противном случае. Для обозначения равносильности двух предложений применяется знак о.

Таким образом, если А = {хР {х), то пишут: а^АоР (а). Например, если А — множество детей, живущих на Ленинском проспекте, то предложения «Саша живет на Ленинском проспекте» и «Саша принадлежит множеству детей, живущих на Ленинском проспекте» (хотя так обычно не говорят) равносильны. Они выражают истинные высказывания, если Саша, о котором идет речь в них, действительно живет на Ленинском проспекте, и ложные высказывания в противном случае.

Предложение Р (х), т. е. «* обладает свойством Р>, например <х живет на Ленинском проспекте», или «…живет на Ленинском проспекте», не выражает высказывания, так как оно содержит «пустое место» (переменную) и бессмысленно задавать вопрос, истинно оно или ложно. Оно обращается в высказывание истинное или ложное, если вместо переменной (на пустое место) поставить какое-нибудь ее значение. Такое предложение с пустым местом (переменной), которое может обращаться в истинное или ложное высказывание, называется в ы с к а-зывательной формой или предикатом.

Говоря в дальнейшем «предложение», будем иметь в виду высказывание (т. е. повествовательное предложение без пустых мест), или предикат

Например, предложения 2 + 2 = 4, 2 + 2 = 5, 3<5, 6<5 — высказывания, причем первое и третье — истинные высказывания, второе и четвертое — ложные, предложения же 2 + х = 5, или 2 + …=5, и х<5, или … <5,— предикаты, которые обращаются в истинные или ложные высказывания лишь при подстановке вместо переменной х (на пустое место) какого-нибудь ее значения. Такие предикаты используются при обучении маленьких детей в заданиях типа: «Какое число надо поставить на пустое место, чтобы то, что получится, было верно?» Естественно, что некоторым свойством может обладать бесконечное множество предметов, другим — лишь конечное множество. Поэтому множества подразделяются на конечные и бесконечные (в главе V мы вернемся к этому вопросу).

Конечное множество может быть задано инепосредственны перечислением всех его элементов в произвольном порядке. Например, множество детей, живущих на Ленинском проспекте, может быть задано описанием с помощью характеристического свойства:

ix| х —живет на Ленинском проспекте} —

или же перечислением всех его элементов в произвольном порядке: {Лена, Саша, Витя, Ира, Коля}.

Вполне понятно, что бесконечное множество нельзя задать перечислением всех его элементов.

Математика в большей мере имеет дело с бесконечными множествами (числа, точки, фигуры и другие объекты), но основные математические идеи и логические структуры могут быть смоделированы на конечных множествах. В таком случае истинность предложения выражающего общее свойство элементов конечного множества (все элементы множества А обладают свойством Р) или существование элемента, обладающего определенным свойством (существует элемент множества М, обладающий свойством Р), может быть установлена непосредственной проверкой. Если же это предложение получено логическим путем, то проверка подтверждает (или опровергает) правильность рассуждения, с помощью которого

оно получено.

Естественно, что в предматематическои подготовке обычно имеют дело с конечными множествами.Элементами множества могут быть самые разнообразные предметы любой природы, как конкретные (растения, животные, предметы обихода и т. д.), так и абстрактные (числа, геометрические фигуры, отношения и т. д.), или изображения таких объектов. Чаще всего мы будем пользоваться множествами, элементами, которых являются знакомые детям предметы или их изображения. При этом изображение птички так и будем называть птичкой, изображение дерева деревом и т. п. Мы будем также пользоваться специальным дидактическим материалом.

Источник

Есть в математике одно понятие, которое охватывает самый широкий, который только можно представить, класс объектов. Это понятие «множество». Оно обозначает совокупность объектов любой природы.

В жизни мы часто встречаемся со словами, которые обозначают множества конкретных объектов. Например, стая (птичья) — множество птиц.

Вместо слова «множество» можно использовать другие близкие но смыслу слова. Так, можно сказать, что множество — это «совокупность»,

«собрание», «семейство», «система», «класс» и т.д. Однако такие утверждения не являются строгими математическими определениями. При этом мы можем пояснить, что такое множество. Множество — это совокупность каких-либо предметов, объектов, явлений, которые рассматриваются как единое целое. Еще Георг Кантор[1] говорил, что «множество есть многое мыслимое как единое». В этой фразе заключена главная характеристика любого множества.

Итак, понятие множества в математике является основным (неопределяемым) понятием. Представление о нем состоит в том, что это целостный объект, объединяющий в себе другие объекты любой природы.

Понятие «множество» в математике, как уже подчеркивалось, может обозначать разное число объектов. Их необязательно много. Нас не должно смущать слово, которое мы используем в русском языке для обозначения этого понятия. Например, в английском языке это понятие обозначают термином set, который переводится как совокупность. Например, множество имен, составляющих полное имя Георга Кантора, состоит из четырех элементов (Георг Фердинанд Людвиг Филипп), а множество естественных спутников планеты Земля состоит из одного элемента — Луна. Множества могут содержать как конечное число объектов, так и бесконечное. В первом случае множества называются конечными, во втором — бесконечными. Примерами бесконечных множеств могут служить множество звезд космического пространства, множество натуральных чисел, множество точек любой плоской или пространственной фигуры.

Есть множества, которые не содержат ни одного элемента, например множество квадратных кругов или множество саблезубых тигров, обитающих на Земле в наше время. Такие множества называются пустыми множествами.

Множества в математике обозначают заглавными буквами латинского алфавита: А, В, X,…. Пустое множество обозначается особым знаком — 0. Для обозначения некоторых числовых множеств обычно используют определенные буквы (записанные специальным шрифтом): N — множество натуральных чисел; Z — множество целых чисел; Q — множество рациональных чисел; R — множество действительных чисел. Особым образом обозначаются части множества действительных чисел, которые называются числовыми промежутками. Есть открытые числовые промежутки, т.е. такие промежутки, указанные концы которых в них не входят. Их обычно обозначают с помощью круглых скобок. Например, запись (-1; 5) обозначает числовой промежуток, куда входят все действительные числа от -1 до 5, кроме самих указанных чисел. Есть закрытые числовые промежутки, в которые включаются их концы. Они обозначаются с помощью квадратных скобок. Например, [-1; 5]. Наконец, есть полуоткрытые/полузакры- тые числовые промежутки: (-1; 5] или [-1; 5). Особо выделяются числовые промежутки, где одним из концов является плюс или минус бесконечность: (_оо; или [5; +оо).

Графически множества изображают с помощью диаграмм Венна (их еще называют кругами Эйлера или диаграммами Эйлера — Венна)[2]. Эта диаграмма схематически изображает множество в виде множества точек плоскости, ограниченных замкнутой кривой линией (окружностью). Точки этой замкнутой области (круга) изображают элементы множества (рис. 2.1).

Изображение множества на диаграмме Эйлера — Венна

Рис. 2.1. Изображение множества на диаграмме Эйлера — Венна

Числовые множества, прежде всего числовые промежутки, изображаются в виде отрезков на числовой прямой.

Например, на рис. 2.2 изображен промежуток (-2; 5].

Изображение числовых промежутков

Рис. 2.2. Изображение числовых промежутков

Каждый объект, который входит в множество, называется его элементом. Элементы множества в математике принято обозначать прописными буквами латинского алфавита. При этом чтобы записать, что некий объект а является элементом множества Л, используют знак е (принадлежности), т.е. пишут а е А.

Читают эту запись по-разному: «а является элементом множества А» или «элемент а принадлежит множеству Л».

Для того чтобы записать, что объект b не является элементом множества А, используют знак ?, т.е. пишут h ? А.

Эту запись читают следующим образом: «Ь не является элементом множества А» или «элемент Ъ не принадлежит множеству Л».

Если множество состоит из конечного числа элементов (такие множества называются конечными), то это множество можно задать, перечислив все элементы, которые в него входят. Такой способ задания множества называется способом перечисления элементов множества.

Например, множество Л состоит из трех чисел — 1, 2 и 3. Эту фразу в математике записывают короче с помощью фигурных скобок, т.е. Л = = {1,2,3}.

Далеко не любое множество можно задать перечислением его элементов. Трудно так задать множество, в котором содержится 1 000 000 элементов. Все эти элементы трудно назвать и записать. Но просто невозможно таким образом задать множество, в котором бесконечно много элементов. В этом случае используют другой способ задания множества — заданием характеристического свойства элементов, т.е. такого свойства, которым обладает любой элемент множества, и ни один из элементов, не входящих в множество, им не обладает. Именно это характеристическое свойство позволяет воспринимать совокупность элементов как единое целое.

Например, каждый элемент приведенного выше множества А = {1, 2, 3} обладает следующим характеристическим свойством — он является натуральным числом, меньшим четырех[3]. Это записывают так: А = {х,хе N | х 4}.

Давайте расшифруем следующую запись: В = {х, х е К | х В — множество действительных чисел, меньших или равных трем. Это означает, что здесь характеристическим свойством задано множество, которое является числовым промежутком: В = (-©о; 3].

Заметим, что иногда множество в качестве элемента может содержать другое множество. Например, в множестве К = {1, {2}, 3} три элемента, два из них числа — 1 и 3 и один элемент — множество, состоящее из одного числа {2}. Приведем другие примеры:

1) Z = {Z+, Z”, 0} — множество целых чисел Z состоит из двух множеств – целых положительных (или натуральных) чисел Z+, целых отрицательных чисел Z” — и числа 0;
2) а АВС, если рассматривать его как множество точек замкнутой ломанной, состоящей из трех звеньев, есть множество {(АВ), (ВС), (С А), А, В, С}, в которое входят три множества точек — открытые отрезки (АВ), (ВС), (СА), а также три точки — А, В, С.

Пример 2.1

Приведем пример множеств А, В, С, таких что Л е В, Be С, но Л не является элементом множества С.

Решая эту задачу, можно рассуждать следующим образом. По условию известно, что множество А должно являться элементом множества В. При этом в множество В могут входить и другие элементы, не являющиеся множествами, например А = {1}, а В = {{1}, 2}. Аналогично построим множество С: С = {{{1}, 2}, 3}. В этом случае множество А не является элементом множества С. Это можно установить, выделив все элементы множества С и сравнив их с элементами множества Л.

Источник