Какие числа называются противоположными свойства противоположных чисел
В рамках этой статьи мы попробуем разобраться, что же такое противоположные числа. Мы поясним, что вообще они из себя представляют, покажем, какие именно обозначения используют для них, и разберем несколько примеров. В последней части материала мы перечислим основные свойства противоположных чисел.
Что такое противоположные числа
Чтобы объяснить само понятие противоположности, нам потребуется для начала изобразить координатную прямую. Возьмем на ней точку M (только не в самом начале отсчета). Ее расстояние до нуля будет равно некоторому количеству единичных отрезков, которые можно, в свою очередь, разбить на десятые и сотые доли. Если же мы отмерим такое же расстояние от начала отсчета в направлении, противоположном тому, на котором расположена M, то мы сможем попасть в другую схожую точку. Назовем ее N. Например, от M до нуля – расстояние в 2,4 единичных отрезка, и от N до нуля – тоже. Взгляните на рисунок:
Вспомним, что каждой точке на координатной прямой можно поставить в соответствие только одно действительное число. В таком случае нашим точкам M и N соответствуют определенные числа, которые и называются противоположными. Каждое число имеет противоположное число, за исключением нуля. Поскольку это начало отсчета, то его считают противоположным самому себе.
Запишем определение, что же такое противоположные числа:
Определение 1
Противоположными называются числа, которым соответствуют такие точки на координатной прямой, в которые мы попадем, если отметим одно и то же расстояние от начала отсчета в разных направлениях (положительном и отрицательном). Нуль находится в начале отсчета и противоположен сам себе.
Как обозначаются противоположные числа
В этом пункте мы введем основные обозначения для таких чисел. Если у нас есть некое число и нам нужно записать противоположное ему, то для этого используем минус.
Пример 1
Допустим, наше число равно a, следовательно, ему противоположно –a (минус a). Точно таким же образом для 0,26 противоположно -0,26, а для 145 это будет -145. Если исходное число само является отрицательным, например, -9, то противоположное мы записываем как –(-9).
Какие еще примеры противоположных чисел можно привести? Возьмем целые числа: 12 и -12. Противоположные рациональные числа – это 3211 и -3211, а также 8,128 и −8,128, 0,(18901) и −0,(18901) и др. Противоположными могут быть и иррациональные числа, например, значения числовых выражений 2+1 и -2+1.
Противоположными иррациональными числами также будут e и -e .
Основные свойства противоположных чисел
Таким числам присущи определенные свойства. Ниже мы дадим их список с пояснениями.
Определение 2
1. Если исходное число положительно, то противоположное ему будет отрицательно.
Это утверждение очевидно и следует из графика выше: такие числа находятся по разные стороны отсчета на координатной прямой. Если вы позабыли понятия положительных и отрицательных чисел, посмотрите материал, что мы публиковали раньше.
Из этого правила можно вывести другое очень важное утверждение. В буквенном виде его запись выглядит следующим образом: для любого положительного a будет верно −(−a)=a. Покажем на примере, почему это важно.
Возьмем число 5. С помощью координатной прямой можно увидеть, что ему противоположно число -5, и наоборот. Используя обозначения, которые мы указали выше, запишем число, противоположное -5 как –(-5). Получается, что –(-5)=5. Отсюда вывод: противоположные числа отличаются друг от друга лишь наличием знака минус.
2. Следующее свойство принято называть свойством симметричности. Его также можно вывести из самого определения противоположных чисел. Оно звучит так:
Определение 3
Если некоторое число a является противоположным числу b, тогда и b является противоположным числу a.
Очевидно, что в дополнительных доказательствах это утверждение не нуждается.
3. Третье свойство противоположных чисел гласит:
Определение 4
Каждое действительное число имеет только одно противоположное число.
Это утверждение вытекает из того, что точкам координатной прямой не может соответствовать много чисел сразу.
Определение 5
4. Модули противоположных чисел равны.
Это следует из определения модуля. Логично, что точки на прямой, соответствующие любым противоположным числам, находятся на одном и то же расстоянии от точки отсчета.
Определение 6
5. Если мы сложим противоположные числа, то получим 0.
В буквенном виде это утверждение выглядит как a+(−a)=0.
Пример 2
Приведем примеры таких вычислений:
890+(-890)=0 -45+45=07+(-7)=0
Как видно, это правило работает для всех чисел – целых, рациональных, иррациональных и др.
Источник
Тема «Противоположные числа» изучается в курсе 6 класса математики. У противоположных чисел есть ряд интересных свойств, которые выделяют их из множества действительных чисел. Рассмотрим основные понятия этой темы.
Определение противоположных чисел
Противоположными называются два числа, которые отличаются друг от друга только знаком.
Обозначим некоторое число буквой a. Тогда противоположным ему будет число -a.
Примеры
Приведем несколько примеров пар противоположных чисел:
7 и -7,
2 и -2,
1,5 и -1,5,
5/7 и -5/7.
Противоположные числа на координатной оси
Проведем координатную ось – прямую линию, на которой отмечено начало координат, задан масштаб и стрелкой указано положительное направление.
Изобразим на координатной оси два противоположных числа a и -a.
Рис. 1. Изображение противоположных чисел на координатной оси.
Из рис. 1 видно, что противоположные числа расположены на одинаковом расстоянии, но в противоположных направлениях от начала координатной оси. Поэтому такие числа и называются противоположными.
Как найти число, противоположное данному
Сформулируем правило, по которому мы можем написать два противоположных числа.
Пусть дано число a. Чтобы найти противоположное ему число, нужно к числу a приписать знак « – ».
Есть только одно число, которое является противоположным самому себе. Это число 0 (нуль).
В городе Будапеште, который является столицей Венгрии, установлен памятник нулю. Высота памятника составляет 3 м.
Рис. 2. Памятник нулю в Будапеште.
В России тоже есть несколько мест, которые называют памятниками нулю. Например, памятный знак нулевого километра у Воскресенских ворот в Москве.
Рис. 3. Памятный знак нулевого километра в Москве.
Многие считают, что если кинуть монетку так, чтобы попасть на бронзовый памятный знак, и загадать желание, оно обязательно сбудется. А если это высокие памятники, как памятник в Будапеште, то существует следующая легенда: нужно пролезть внутрь нуля – тогда к зарплате прибавится несколько нулей.
Основные свойства противоположных чисел
Перечислим основные свойства противоположных чисел. Справедливость этих свойств подтверждает рис. 1.
- Для каждого числа существует только одно число, которое ему противоположно.
Это объясняется тем, что для каждой точки координатной оси существует только одна точка, симметричная ей относительно нуля.
- Два противоположных числа имеют разные знаки: одно из них является положительным, а второе отрицательным.
Это свойство следует из того, что противоположные числа находятся на координатной оси по разные стороны от нуля, они имеют разные знаки.
Исключение: число 0.
Таким образом, если исходное число является положительным, то противоположное ему будет отрицательным. А если исходное число является отрицательным, то противоположное ему будет положительным.
- Сумма противоположных чисел всегда равна 0.
Это объясняется тем, что они одинаковы по модулю, но имеют разные знаки.
Пример
Рассмотрим число 4.
Припишем ему знак « – ». Получим противоположное число -4.
Найдем сумму этих чисел:
-4 + 4 = 0.
Что мы узнали?
Из темы по алгебре, которая изучается в 6 классе, мы узнали, что противоположные числа образуют пару чисел, из которых одно является положительным, а второе – отрицательным. Единственным исключением является число 0, которое противоположно самому себе. На числовой (координатной) оси противоположные числа находятся на одинаковых расстояниях, но в противоположных направлениях от начала координат.
Тест по теме
Доска почёта
Чтобы попасть сюда – пройдите тест.
-
Александр Тен
5/5
Tanya Reid
5/5
Анастасия Демидова
5/5
Даниил Котов
5/5
Тамара Корнеева
5/5
Олег Бучака
4/5
Вет Громов
5/5
Ховар-Белек Ховалыг
5/5
Надежда Черкасова
5/5
Ростислав Радченко
5/5
Оценка статьи
Средняя оценка: 4.7. Всего получено оценок: 359.
Источник
Мир вокруг нас разнообразен и противоречив. В раннем детстве родители учили нас, что хорошо, а что плохо, читали нам сказки, где было добро и зло.
Очень часто в жизни мы используем противоположные понятия, может быть даже не замечая того.
Например, большой и маленький, высокий и низкий, правда и ложь, левый и правый, верх и низ и т.п.
Все перечисленные примеры, попарно имеют прямо противоположные лексические значения. В русском языке их называют антонимами.
Давайте разберёмся, что означает слово «противоположный».
Значение слова противоположный в толковом словаре Ожегова означает «расположенный напротив».
В толковом словаре русского языка Ефремовой есть еще одно интересное толкование этого слова: «противоположный» – значит, направленный в обратную сторону.
В различных науках можно встретить огромное множество противоположностей (противоположных понятий, явлений, процессов).
Например, в химии – положительно заряженный ион (катион) и отрицательно заряженный ион (анион).
В физике – конденсация и испарение, отрицательно заряженная частица и положительно заряженная частица, в истории – война и мир, в географи и- север и юг, горы и впадины, в биологии – левая часть тела и правая часть тела и многое другое.
Является ли математика исключением? Конечно же, нет.
В математике существует не мало противоположностей: деление и умножение, четное число и нечетное число, больше и меньше, кривая и прямая, отрицательное число и положительное число.
Сегодня на уроке мы попробуем разобраться, какие числа называют противоположными, как обозначают противоположные числа, как изображают их на координатной прямой.
Выделим некоторые свойства и правила, характерные для противоположных чисел.
Вам уже известно, что положительными называют числа, которые обозначаются со знаком «+» или вообще без знака.
Отрицательными называют числа, которые обозначают со знаком «–».
На координатной прямой положительные числа обозначаются справа от точки начала отсчета – точки О, а отрицательные- слева от неё (если координатная прямая расположена горизонтально и направление слева направо).
Если же координатная прямая расположена вертикально и снизу вверх, то положительные значения откладываются выше точки О, а отрицательные – ниже.
У меня есть дополнительная информация к этой части урока!
Закрыть
Знаки сложения и вычитания были еще у древних египтян в виде иероглифов, похожих на ноги и направленных в разные стороны: при сложении в одну сторону, при вычитании в другую.
В начале ХV века в научных трудах европейских математиков в качестве знаков операции «плюс» и «минус» применяли латинские буквы «Р» и «М» соответственно.
В конце ХV века итальянский математик Лука Пачели вводит символы «(mathbf{tilde{p}})» и «(mathbf{tilde{m}})».
В 1489 году немецкий математик Иоган Видман в своем научном трактате использует символ «+» и «–» (как minus и mer- от немецкого mehr означает «больше»).
Вместе с осознанием практической значимости отрицательных чисел встал вопрос о способе их обозначения.
В 1484 году Николя Шуке предложил перед отрицательными числами ставить знак, который в то время уже принимали в качестве знака операции вычитания «(mathbf{tilde{m}})».
В 1489 году были введены символы «+» и минус «–», похожие на современные символы.
Математики перед отрицательными числами стали применять минус, но часть ученых это не одобрило, указав на то, что не стоит вводить путаницу и использовать один и тот же знак для обозначения отрицательного числа и знака математической операции вычитания.
Не согласны они были еще и с тем, что знак отрицания числа можно было перепутать со знаком тире.
Предлагались различные замены знака отрицательного числа «–» на другие. Например, выдвигались идеи изображать в виде уголков или убывающей (возрастающей) луны.
Фаркаш Бойян предложил применять для обозначения знака числа все те же «+» и «–», но с другим начертанием.
Таким образом, использование знаков «+» и «–» как знаков числа и двойное обозначение минуса закрепилось в науке и действует по сегодняшний день.
Давайте разберемся на примере, какие числа называют противоположными.
Пример:
Две маленькие инерционные машинки запустили с одинаковой скоростью по одной прямой.
Обе машинки за равный промежуток времени откатились на 3 м по прямой, но первая машинка откатилась вправо от места запуска, а вторая машинка влево от места запуска.
Изобразим координатную прямую и отметим на ней координаты точек остановки этих двух машинок.
Точка О – это место запуска машинок, точка начала отсчета.
Единичный отрезок координатной прямой равен 1 делению – 1 метру.
Вправо откладываем координату первой машинки А (+3)
Влево откладываем координату второй машинки А1 (-3)
Мы можем заметить, что обе машинки проехали равный путь, так как координаты А (+3) и А1 (-3) удалены от точки отсчета на одинаковые расстояния, но по разные стороны от точки О.
Следовательно, числа +3 и –3 будут противоположными.
Два числа называются противоположными, если соответствующие им точки на координатной прямой расположены по разные стороны от точки начала отсчета и на одинаковом расстоянии от нее.
Таким образом, можно сказать, что:
Два числа, отличные друг от друга только знаками, называются противоположными числами.
Как вы успели заметить, чтобы обозначить число, противоположное данному, нужно это число записать со знаком минус «-».
В буквенном выражении это выглядит так: «–a – это число противоположное числу a».
Приведем примеры:
+3,5 и -3,5 являются противоположными
(mathbf{+frac{3}{4} и -frac{3}{4}}) являются противоположными
(mathbf{1frac{8}{13} и -1frac{8}{13}}) являются противоположными
-2 и 2 являются противоположными
-0,5 и 0,5 являются противоположными
-2 и +5 не являются противоположными (так как числа различны не только по знаку, но и по числовому значению).
6,3 и -6 не являются противоположными (так как числа различны не только по знаку, но и по числовому значению).
1. Число, противоположное положительному, – отрицательное, а число, противоположное отрицательному, – положительное.
Таким образом, знак минус «–» показывает противоположность числа.
Чтобы обозначить число, противоположное а, достаточно поставить перед ним знак минус «–», получим –а.
Число, противоположное числу –а, есть само число а. В буквенном выражении записывают так:
-(-а) = а
Первый минус, читая запись, заменяют словами «Число, противоположное числу -а…».
Приведем пример:
-(-b) = b
-(-6,1) = 6,1
-(-4/5) = 4/5
2. Число ноль противоположно самому себе.
3. Для каждого действительного числа есть единственное противоположное число.
Так как для конкретной точки координатной прямой соответствует единственное действительное число.
4. Противоположные числа имеют свойство симметричности, то есть если число а противоположно числу b, то и число b противоположно числу а.
Приведем пример:
-7 противоположно числу 7
И верно, что 7 противоположно -7
5. Числа, которые используют для счета предметов, называют натуральными числами, множество натуральных чисел обозначают N = {1, 2, 3, 4, … 100, …}
Для чисел противоположных натуральным не стали придумывать определенного названия, но если рассматривать в совокупности все натуральные числа и все противоположные натуральным числа и ноль, то такие числа называют целые числа.
Множество целых чисел обозначается: Z = {…, -100 …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, … 100, …}
У меня есть дополнительная информация к этой части урока!
Закрыть
Наглядным примером применения противоположных чисел в жизни является термометр жидкостный (спиртовой), который используется в метрологии.
Подобный термометр возможно применять при высоких и низких температурах, так как рабочим веществом в нем является этиловый спирт (температура замерзания ниже -100(^circ)C).
Рабочее положение термометра – вертикальное.
Подобно вертикальной координатной прямой, на термометр нанесена шкала с делениями.
Задан единичный отрезок (цена деления прибора) и точка отсчета.
За точку отсчета по шкале Цельсия (шкала названа в честь шведского ученого Андерса Цельсия) выбрана температура замерзания воды- это (^circ)C.
Все, что выше точки отсчета (температуры замерзания воды), – положительные значения (высокие температуры).
Все, что ниже, обозначаются отрицательными значениями (низкие температуры).
Приведем пример:
Является ли температуры 20(^circ)C и –20(^circ)C противоположными по значению?
Отметка 20(^circ)C будет располагаться выше точки отсчета (^circ)C, т.к. это положительное температурное значение, означает 20(^circ)C тепла.
Отметка –20(^circ)C будет располагаться ниже точки отсчета (^circ)C, т.к. это отрицательное температурное значение, означает 20(^circ)C холода.
А мы знаем, что два числа называются противоположными, если соответствующие им точки на координатной прямой расположены по разные стороны от точки начала отсчета и на одинаковом расстоянии от нее, значит:
значение 20(^circ)C является противоположным значению –20(^circ)C, соответственно значение 20(^circ)C является противоположным значению –20(^circ)C
Пройти тест
Источник
Числа, действия с числами
В этой статье мы изучим противоположные числа. Здесь мы ответим на вопрос, какие числа называют противоположными, покажем, как обозначают число, противоположное данному числу, и приведем примеры. Также мы перечислим основные результаты, характерные для противоположных чисел.
Определение противоположных чисел
Получить представление о противоположных числах нам поможет координатная прямая.
Отметим на координатной прямой какую-нибудь точку М, отличную от начала отсчета. Попасть в точку М мы можем, последовательно откладывая от начала отсчета в направлении точки М единичный отрезок, а также его десятую, сотую и так далее доли. Если же мы отложим такое же количество единичных отрезков и его долей в противоположном направлении, то мы попадем в другую точку, обозначим ее буквой N. Приведем пример, иллюстрирующий наши действия (смотрите рисунок ниже). Чтобы попасть в точку М на координатной прямой мы отложили в отрицательном направлении два единичных отрезка и 4 отрезка, составляющих десятую долю единичного. Теперь отложим два единичных отрезка и 4 отрезка, составляющих десятую долю единичного, в положительном направлении. Так мы получим точку N.
Мы уже почти готовы к восприятию определения противоположных чисел, осталось лишь обговорить пару нюансов.
Мы знаем, что каждой точке координатной прямой соответствует единственное действительное число, следовательно, и точке М и точке N соответствуют некоторые действительные числа. Так вот числа, соответствующие точкам М и N, и называются противоположными.
Отдельно надо сказать о точке O – начале отсчета. Точке O соответствует число 0. Число нуль принято считать противоположным самому себе.
Теперь мы можем озвучить определение противоположных чисел.
Определение.
Два числа называются противоположными, если в соответствующие этим числам точки на координатной прямой можно попасть, отложив от начала отсчета в противоположных направлениях одинаковое количество единичных отрезков, а также долей единичного отрезка, число 0 противоположно самому себе.
Обозначение противоположных чисел и примеры
Пришло время ввести обозначения противоположных чисел.
Для обозначения числа, противоположного данному числу, используют знак минус, который записывают перед данным числом. То есть число, противоположное числу a, записывается как −a. Например, числу 0,24 противоположно число −0,24, а числу −25 противоположно число −(−25).
Приведем примеры противоположных чисел. Пара чисел 17 и −17 (или −17 и 17) является примером противоположных целых чисел. Числа и – это противоположные рациональные числа. Другими примерами противоположных рациональных чисел являются пары чисел 5,126 и −5,126. а также 0,(1201) и −0,(1201). Осталось привести несколько примеров противоположных иррациональных чисел. Значения числовых выражений вида и – являются противоположными иррациональными числами. Другой пример: и – противоположные иррациональные числа.
Результаты, характерные для противоположных чисел
Противоположные числам присущи некоторые характерные результаты. Перечислим их и дадим необходимые комментарии.
Начнем с утверждения, которое напрямую следует из определения противоположных чисел. Его формулировка такова: число, противоположное положительному числу, отрицательно, а число, противоположное отрицательному числу, положительно (при необходимости посмотрите материал статьи положительные и отрицательные числа). Это и понятно, так как точки координатной прямой, соответствующие противоположным числам, находятся по разные стороны от начала отсчета.
Из озвученного утверждения выделим один очень важный результат, который с помощью букв записывается так: −(−a)=a, где a – любое положительное число. Поясним этот момент на примере. По координатной прямой видно, что числу 7 противоположно число −7, а числу −7 противоположно число 7. Но принятые нами обозначения противоположных чисел вынуждают нас записать число, противоположное −7, как −(−7). Следовательно, −(−7)=7, и вообще −(−a)=a. Отсюда можно заключить, что записи противоположных чисел отличаются лишь знаком минус.
Переходим к следующему результату – свойству симметричности, которое также вытекает из определения противоположных чисел: если число a противоположно числу b, то b противоположно a. Здесь комментарии излишни.
Озвучим следующее утверждение: для каждого действительного числа есть единственное противоположное число. Оно базируется на том, что данной точке координатной прямой соответствует единственное действительное число.
Из определения модуля числа вытекает, что модули противоположных чисел равны. Действительно, точки координатной прямой, соответствующие противоположным числам, находятся на одинаковом расстоянии от начала отсчета.
Наконец, сумма противоположных чисел равна нулю. Запишем последнее изречение в буквенном виде: a+(−a)=0. Приведем несколько примеров. Сумма противоположных чисел 109 и −109 равна 0, сумма −54,43+54,43 равна нулю, результатом сложения противоположных чисел и также является нуль.
Список литературы.
- Виленкин Н.Я. и др. Математика. 6 класс: учебник для общеобразовательных учреждений.
Источник