Какие бывают свойства в математике
Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 30 января 2020;
проверки требуют 4 правки.
Эта статья — об атрибуте предмета или объекта в философии, математике и логике. О необходимом условии принадлежности классу см. Свойство (логика).
Сво́йство (в философии, математике и логике) — атрибут предмета (объекта).[B: 1][B: 2][B: 3][1]
Понятие «свойство» является категорией, имеющей «одинаковое значение для любой науки», наряду с двумя другими основными категориями; вещи и отношения.[2]
В соответствии с принципом отождествления вещей, который известен как закон Лейбница, две вещи тождественны, если все их свойства общие.[3]
По другому определению, свойство — сторона проявления качества. При этом не всякое свойство предмета (объекта) должно рассматриваться при определении качества: свойство у предмета может иметься, но при сравнении предмета с другими оно может не быть отличительным или существенным.[источник не указан 159 дней]
Общие положения[править | править код]
Свойства объекта зависят от вида взаимодействия объекта и субъекта, например: если на яблоко смотреть — оно имеет цвет и форму; если его откусить — имеет твёрдость и вкус; если его взвешивать — имеет вес; если оценивать его габариты — имеет размеры, если трогать — имеет шероховатость. Объект является своими свойствами не только субъекту, но и другим объектам, то есть свойства могут проявляться и в ходе взаимодействия объектов друг с другом.[источник не указан 159 дней]
Например, о красном предмете говорится, что он обладает свойством «красноты». Свойство можно рассматривать как форму предмета самого по себе, притом, что он может обладать и другими свойствами. Свойства, при такой расширенной интерпретации, подпадают под действие парадокса Тесея[4], парадокса Рассела и парадокса Греллинга-Нельсона.[источник не указан 159 дней]
Совокупность некоторых частных свойств предмета может проявляться в некотором обобщённом свойстве предмета (поглощаться обобщённым свойством). Например, «краснота» яблока — обобщённое свойство яблока, а процентные доли содержания отдельных химических веществ в кожице яблока (характеризующие эту «красноту» яблока) — частные свойства яблока; «динамика» автомобиля — обобщённое свойство автомобиля, а мощность двигателя, снаряжённая масса, отношение главной передачи и др. (характеризующие эту «динамику» автомобиля) — частные свойства автомобиля.[источник не указан 159 дней]
Ошибочный вывод от случайного часто встречается в индуктивных обобщениях. Заметив, что известное свойство обнаружено во всех наблюдавшихся до сих пор предметах класса, неосторожные исследователи часто думают, будто свойство это — существенное для предметов данного класса и потому должно быть обнаружено не только в уже рассмотренных экземплярах, но и во всяком представителе того же класса. Свойство, обнаруженное в нескольких (и даже многих) предметах класса, может оказаться существенным, но может оказаться и случайным.[5]
Свойство отличается от логического понятия класса тем, что не связано с понятием экстенсиональности, а от философского понятия класса — тем, что свойство рассматривается в качестве отличного (отделённого) от предмета, который обладает им.[источник не указан 159 дней]
Особенности использования термина[править | править код]
В логике[править | править код]
В логике, основанной на булевой алгебре, понятие «свойство» совпадает с понятием «предикат».[6]
В математике[править | править код]
В математике если дан любой элемент множества X, то определённое свойство p либо истинно, либо ложно, то есть понятие «свойство» совпадает с понятием «подмножество». На формальном языке: свойство p: X → {истинно, ложно}(то есть отображение, функция из Х в множество из двух элементов). Всякое свойство естественным образом задаёт подмножество {x: x обладает свойством p} и соответствующую индикаторную функцию (англ. indicator function). В некоторых разделах математики (например, теории искусственного интеллекта) применяется более сложное определение свойства как отношения эквивалентности на множестве Х. В этом случае p: X → {множество имен значений свойства}. Прообразы всех имен при этом отображении задают разбиение множества Х на непересекающиеся подмножества (значения свойства). Такое определение свойства позволяет единообразно рассматривать не только качественные, но и количественные характеристики объектов.[источник не указан 159 дней]
Использование[править | править код]
Свойства используются в науке для образования понятий.[источник не указан 159 дней]
Свойства объектов и ситуаций широко применяются в теории решения задач, в процессах автоматизации производства, управления и поиска информации, при построении экспертных систем.[B: 3]
См. также[править | править код]
Примечания[править | править код]
- ↑ При создании этой статьи использован материал «PlanetMath», которая лицензирована GFDL
- ↑ Уемов, 1963, с. 3.
- ↑ Уемов, 1963, с. 8.
- ↑ Уемов, 1963, с. 11—33.
- ↑ Асмус, 1954, с. 81—82.
- ↑ Предикат / М. М. Новосёлов // Плата — Проб. — М. : Советская энциклопедия, 1975. — (Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров ; 1969—1978, т. 20).
Литература[править | править код]
- ↑ Асмус В. Ф. Учение логики о доказательстве и опровержении. — М.: Госполитиздат, 1954. — 88 с. — 50 000 экз.
- ↑ Уемов А. И. Вещи, свойства и отношения. — М.: Издательство Академии Наук СССР, 1963. — 184 с. — 8000 экз.
- ↑ 1 2 Бенерджи Р. Теория решения задач. Подход к созданию искусственного интеллекта. — М.: Мир, 1972.
Источник
Дорогие друзья! Сегодня на странице своего канала я размещаю публикацию своего друга, математика, специалиста в области проективной геометрии Франца Германа. Его работы очень помогли мне в постижении многих премудростей геометрической науки. Всем, кто серьёзно думает заняться вопросами Пространства, я рекомендую ознакомиться с его публикациями на его личном сайте. Франц живёт и работает в Германии, серьёзно увлекается футболом и квантовой физикой элементарных частиц. И хотя наши взгляды на разные темы не всегда совпадают, я с уважением отношусь к любой его точке зрения. Итак.
Основное свойство математики
Спросите у своих знакомых, знают ли они основное свойство математики. Скорее всего, если вы не профессиональный математик, то ответ будет отрицательным. А какие вообще свойства присущи этой науке? Кто-то скажет, что математика непонятна. А для кого-то математика является интересной. Кто-то скажет, что она таинственна, кто-то увидет в ней поэзию… Лейбниц назвал еѐ «музыкой души». Гильберт сравнил огромным садом. Сколько людей вы спросите, столько ответов и получите. Так всѐ-таки существует ли основное свойство математики и как оно звучит? На этот вопрос ответят лучше всего наверное сами математики. Математика – это научное чудо. Одно из главных свойств математики в том, что она призвана помогать другим наукам. Карл Маркс говорил, что «наука только тогда достигает совершенства, когда ей удаѐтся пользоваться математикой». Возможно математика является хранительницей истины в последней инстанции. А ведь математика создана, как и вся наука, человеческим разумом. А. Н. Колмогоров, например, так определяет математику: «математика – это то, посредством чего люди управляют природой и собой». Не будем томить неискушѐнного читателя. Учѐные пришли к выводу, что основное свойство математики проявляется в том, что математика почему-то описывает законы природы и «…точность этих законов, если над ней задуматься, обладает всеми элементами чуда». Эти слова принадлежат выдающемуся физику-теоретику, лауреату Нобелевской премии Е. Вигнеру. Наверно, один из первых, кто обратил на это математическое свойство внимание, был выдающийся итальянский учѐный Галилей, когда в конце шестнадцатого века сбрасывал шары различной массы с Пизанской башни и открыл закон свободного падения: скорость падающего тела пропорциональна времени падения и не зависит от его массы (Аристотель был не прав). Спустя чуть больше полувека Ньютон открыл свой знаменитый закон всемирного тяготения. Примерно в это же время, используя огромный архив астрономических наблюдений, Кеплер открыл законы движения небесных тел, а Ньютон показал, что эти законы выводятся чисто математически. Наверное с этого времени и началось победное шествие главного математического свойства. Учѐные физики стали описывать законы природы на языке математики. Планета Уран была открыта «на кончике пера». Были рассчитаны параметры орбиты Урана, а чуть позже астрономы увидели еѐ визуально в телескоп. Великий английский учѐный Фарадей был самоучкой. Он описывал все свои опыты с электричеством словесно, без единой математической формулы. Он просто не знал математики. Однако, чуть позже не менее великий его соотечественник Дж. Максвелл, когда познакомился с трудами Фарадея, понял, что опыты эти очень хорошо описываются математикой. Так родилась электродинамика и открыла собой эру теоретической физики. Теоретическая физика – это наука, инструментом которой и является математика. А на основе еѐ построений физики-экспериментаторы проверяют на своих опытах построения теоретиков. Сегодня физические эксперименты с невероятной точностью подтверждают математические расчѐты теоретиков. Например, в квантовой электродинамике такая точность доходит аж до одиннадцатого знака после запятой. В настоящее время всѐ естествознание буквально пронизано математикой. Более того экономические науки, биология, медицина невозможны сегодня без математики. Компьютеризация и нанотехнологии с их невообразимыми по сложности коллайдерами и космическими аппаратами основаны на фундаментальных принципах математической науки. В общем вся современная деятельность человечества невозможна без математики. Но давайте заглянем и в саму математику. Любая математическая теория является более фундаментальной, чем меньше аксиом требуется для еѐ определения. В математике такой теорией является теория групп. Для еѐ определения требуется всего четыре аксиомы. Сегодня ни одно направление в математике не может обойтись без теории групп. При помощи теории групп строятся новые геометрии, о чѐм математики прошлого не могли даже и мечтать. Любой математический аппарат, где используется современная топология, не может обойтись без теории групп. Теорию групп порой называют теорией симметрии. Методы теории групп используются не только в самой математике, но и в других науках. Например, в квантовой механике и физике элементарных частиц, современной кристаллографии и такой абстрактной науке, как общая теория систем. Теория групп – это любимое детище математиков ХХ века и современности. Однако, вернѐмся к основному свойству математики – почему законы природы описываются с невероятной точностью математикой? Мне представляется такая схема (Рис. 1).
Природа – (П) – по каким-то законам, отвечающим самым глубоким и фундаментальным законам математики – (М) – создала человеческий разум – (Р):
Разум, постигая природу, создаёт мощнейший инструмент познания – математику:
Математика, движимая разумом помогает понять тайны природы:
Цикл замкнулся. Мне кажется, что в этом и есть суть вечного развития и познания природы, познания истины.
Можно подвести итог: МИР САМОВОЗНИК И САМОРАЗВИВАЕТСЯ ПО ЗАКОНАМ МАТЕМАТИКИ.
Но будущих Лобачевских, Ньютонов и Эйнштейнов ещё ждёт множество научных открытий. Ещё не создана теория вселенского разума (ТВР), ещё не открыты фундаментальные теоремы и уравнения ТВР.
Ф. Герман.
Всего Вам доброго.
Источник
Ниже приведены характеристики чисел с примерами, которые рассматривает сайт aboutnumber.ru
Сумма цифр
Сумма цифр, из которых состоит число.
62316 → 6 + 2 + 3 + 1 = 18
Произведение цифр
Произведение цифр, из которых состоит число.
872 → 8 * 7 * 2 = 112
Количество цифр в числе
Отображение количества цифр в числе (если их больше 4-х). Это удобно, так как не всегда можно на глаз определить
порядок числа.
57348920572348 → 14
Все делители числа
Полный список делителей, на которые делится число без остатка.
2612 → 1, 2, 4, 653, 1306, 2612
Наибольший делитель из ряда степеней двойки
Ряд степеней двойки — это ряд вида 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256 и т.д.
Эти числа являются основными числами в бинарной математике (в двоичной записи), так как ими можно охарактеризовать
объем
информации.
832 → 64
Количество делителей
Суммарное число делителей.
3638143886 → всего 32 делителя
Сумма делителей
Сумма всех делителей числа.
77432243032 → сумма делителей 145185455700
Простое число
Проверка на простое число. Простое число — это число, которое делится без остатка только на единицу и само себя.
Таким образом у простого числа может быть всего два делителя.
677 → 1 * 677
Полупростое число
Проверка на полупростое число. Полупростое число — число, которое можно представить в виде произведения двух простых чисел.
У полупростого числа два делителя — оба простые числа.
898 → 2 * 449
Обратное число
Два числа называются обратными если их произведение равно единице. Таким образом обратным к заданному числу N всегда
будет 1/N.
125 → 0.008
Проверка: 0.008 * 125 = 1
Факторизация
Факторизация числа — представление числа в виде произведения простых чисел.
220683351 → 3 * 7 * 953 * 11027
Двоичный вид
Двоичное, оно же бинарное представление числа. Это запись числа в системе счисления с основанием два.
72412810 → 101100001100101000002
Троичный вид
Троичное представление числа. Это запись числа в системе счисления с основанием три.
990418010 → 2001220112221113
Восьмеричный вид
Восьмеричное представление числа. Это запись числа в системе счисления с основанием восемь.
9788143604410 → 13312140276148
Шестнадцатеричный вид (HEX)
Шестнадцатеричное представление числа. Часто его пишут английскими буквами «HEX». Это запись числа в системе
счисления с основанием шестнадцать.
12444510 → 1E61D16
Перевод из байтов
Конвертация из байтов в килобайты, мегабайты, гигабайты и терабайты.
29141537 (байт) → 27 мегабайтов 810 килобайтов 545 байтов
Цвет
В случаем, если число меньше чем 16777216, то его можно представить в виде цвета. Шестнадцать миллионов цветов,
которые можно
закодировать стандартной цветовой схемой компьютера.
8293836 →
RGB(126, 141, 204) или #7E8DCC
Наибольшая цифра в числе (возможное основание)
Наибольшая цифра, встречающаяся в числе. В скобках указана система счисления, с помощью которой, возможно, записано
это число.
347524172 → 7 (8, восьмеричный вид)
Перевод двоичной/троичной/восьмеричной записи в десятичную
Число, записанное с помощью единиц и нолей — имеет бинарный вид, таким образом его можно перевести в
десятичную систему счисления.
Число, записанное с помощью единиц, нолей и двоек — имеет троичный вид.
Если с помощью цифр до семи (включая) — восьмеричный вид числа.
111010010010112 → 1492310
120201001200213 → 278227610
745312768 → 1590547010
Число Фибоначчи
Проверка на число Фибоначчи. Числа Фибоначчи — это последовательно чисел, в которых каждый последующий элемент равен
сумме двух предыдущих.
Ряд Фибоначчи: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377 и т.д.
Позиция в ряду Фиббоначчи
Характеризует порядковый номер числа в ряду Фибоначчи.
21 → 8-е число в ряду Фибоначчи
Нумерологическое значение
Нумерологическое значение вычисляется путем последовательного сложения всех цифр числа до тех пор, пока не
не получится цифра от 0 до 9. В нумерологии каждой цифре соответствует свой характер.
8372890 → 8 + 3 + 7 + 2 + 8 + 9 + 0 = 37 → 3 + 7 = 10 → 1 + 0 = 1
мужество, логика, независимость, самостоятельность, индивидуализм, смелость, решительность, изобретательность
Синус числа
Расчет тригонометрической функции синуса числа в радианах.
Sin(18228730686) = -0.20084127807633853
Косинус числа
Расчет тригонометрической функции косинуса числа в радианах.
Cos(792834113) = 0.6573990013186783
Тангенс числа
Расчет тригонометрической функции тангенса числа в радианах. Чтобы получить котангенс числа, надо единицу поделить на
величину тангенса.
Tan(651946045) = 2.5709703278560982
Натуральный логарифм
Это логарифм числа по основанию константы e ≅ 2,718281828459.
Ln(7788338399) = 22.77589337484777
Десятичный логарифм
Это логарифм числа по основания десять.
LOG(1010432) = 6.004507091707365
Квадратный корень
Квадратный корень из введенного числа.
8512326 → 2917.589073190397
Кубический корень
Кубический корень из введенного числа.
5834788 → 180.02867855810877
Квадрат числа
Число, возведенное в квадрат, то есть умноженное само на себя.
31203^2 = 973627209
Перевод из секунд
Конвертация числа секунд в дни, часы, минуты и секунды.
1805506 (секунд) → 2 недели 6 дней 21 час 31 минута 46 секунд
Дата по UNIX-времени
UNIX-время или UNIX-дата — количество секунд, прошедших с полуночи 1 января 1970 года (по UTC).
Таким образом введенное число можно преобразовать в дату.
5265079917115 → Sun, 04 Nov 2136 10:11:57 GMT
Римская запись
Римская запись числа, в том случае, если оно меньше чем максимальное для римской записи 3999.
2014 → MMXIV
Индо-арабское написание
Запись числа с помощью индо-арабских цифр. Они используются в арабских странах Азии и в Египте.
24579540882896 → ٢٤٥٧٩٥٤٠٨٨٢٨٩٦
Азбука морзе
Число, закодированное с помощью азбуки морзе, каждый символ которой представляется в виде последовательсти
коротких (точка) и длинных (тире) сигналов.
7282077 → –… ..— —.. ..— —– –… –…
MD5
Хэш-сумма числа, рассчитанная по алгоритму MD5.
4706204202547 → db2766a5747fd3f8c8c77a1ddd2e24d0
SHA1
Хэш-сумма числа, рассчитанная по алгоритму SHA-1.
345297 → 3855120d2f9d556544bbd24746d0877b79a023df
Base64
Представление числа в системе Base64, то есть в системе счисления с основанием 64.
78868 → SmF2YVNjcmlwdA==
QR-код числа
Двумерный штрих-код-картинка. В ней зашифровано введенное число.
969393779 →
Источник
Натуральные числа и их свойства
Для счёта предметов в жизни используют натуральные числа. В записи любого натурального числа используются цифры $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$
Последовательность натуральных чисел, каждое следующее число в котором на $1$ больше предыдущего, образует натуральный ряд, который начинается с единицы (т.к. единица- самое маленькое натуральное число) и не имеет наибольшего значения, т.е. бесконечен.
Нуль не относят к натуральным числам.
Свойства отношения следования
Все свойства натуральных чисел и операций над ними следуют из четырех свойств отношений следования, которые были сформулированы в $1891$ г. Д.Пеано:
Единица- натуральное число, которое не следует ни за каким натуральным числом.
За каждым натуральным числом следует одно и только одно число
Каждое натуральное число, отличное от $1$, следует за одним и только одним натуральным числом
Подмножество натуральных чисел, содержащее число $1$, а вместе с каждым числом и следующее за ним число, содержит все натуральные числа.
Готовые работы на аналогичную тему
Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту
Узнать стоимость
Если запись натурального числа состоит из одной цифры его называют однозначным (например, $2,6.9$ и т.д.), если запись состоит из двух цифр-двузначным(например,$12,18,45$) и т.д. по аналогии. Двузначные, трехзначные, четырехзначные и т.д. числа называют в математике многозначными.
Свойство сложения натуральных чисел
Переместительное свойство: $a+b=b+a$
Сумма не изменяется при перестановке слагаемых
Сочетательное свойство: $a+ (b+c) =(a+b) +c$
Чтобы прибавить к числу сумму двух чисел, можно сначала прибавить первое слагаемое, а потом, к полученной сумме- второе слагаемое
От прибавления нуля число не измениться и если прибавить к нулю какое- нибудь число, то получится прибавленное число.
Свойства вычитания
Свойство вычитания суммы из числа $a-(b+c) =a-b-c$ если $b+c ≤ a$
Для того, чтобы вычесть сумму из числа, можно сначала вычесть из этого числа первое слагаемое, а затем из полученной разности- второе слагаемое
Свойство вычитания числа из суммы $(a+b) -c=a+(b-c)$, если $c ≤ b$
Чтобы из суммы вычесть число, можно вычесть его из одного слагаемого, а к полученной разности прибавить другое слагаемое
Если из числа вычесть нуль, то число не изменится
Если из числа вычесть его само, то получится нуль
Свойства умножения
Переместительное $acdot b=bcdot a$
Произведение двух чисел не изменяется при перестановке множителей
Сочетательное $acdot (bcdot c)=(acdot b)cdot c$
Чтобы умножить число на произведение двух чисел,можно сначала умножить его на первый множитель, а потом полученное произведение умножить на второй множитель
При умножении на единицу произведение не изменяется $mcdot 1=m$
При умножении на нуль произведение равно нулю
Когда в записи произведения нет скобок, умножение выполняют по порядку слева направо
Свойства умножения относительно сложения и вычитания
Распределительное свойство умножения относительно сложения
$(a+b)cdot c=ac+bc$
Для того чтобы умножить сумму на число,можно умножить на это число каждое слагаемое и сложить получившиеся произведения
Например, $5(x+y)=5x+5y$
Распределительное свойство умножение относительно вычитания
$(a-b)cdot c=ac-bc$
Для того,чтобы умножить разность на число,множно умножить на это число уменьшаемое и вычитаемое и из первого произведения вычесть второе
Например, $5(x-y)=5x-5y$
Сравнение натуральных чисел
Для любых натуральных чисел $a$ и $b$ может выполняться только одно из трех соотношений $a=b$, $a
Меньшим считается число, которое в натуральном ряду появляется раньше, а большим, которое появляется позже. Нуль меньше любого натурального числа.
если $a
Пример 1
Сравнить числа $a$ и $555$, если известно, что существует некоторое число $b$, причем выполняются соотношения: $a
Решение: На основании указанного свойства ,т.к. по условию $a
в любом подмножестве натуральных чисел, содержащем хотя бы одно число, есть наименьшее число
Подмножеством в математике называют часть множества. Говорят, что множество является подмножеством другого, если каждый элемент подмножества является одновременно и элементом большего множества
если $a
Если $c
Часто для сравнения чисел находят их разность и сравнивают ее с нулем. Если разность больше $0$, но первое число больше второго, если разность меньше $0$, то первое число меньше второго.
Округление натуральных чисел
Когда полная точность не нужна, или не возможна ,числа округляют,т.е заменяют их близкими числами с нулями на конце.
Натуральные числа округляют до десятков, сотен,тысяч и т.д
При округлеии числа до десятков его заменяют ближайшим числом,состоящим из целых десятков; у такого числа в разряде единиц стоит цифра $0$
При округлеии числа до сотен его заменяют ближайшим числом,состоящим из целых сотен; у такого числа в разряде десятков и единиц должна стоять цифра $0$. И т.д
Числа,до которых округляют данное называют приближенным значением числа с точностью до указанных разрядов.Например если округлять число $564$ до десятков то получим, что округлить его можно с недостатком и получить $560$, или с избытком и получить $570$.
Правило округления натуральных чисел
Если справа от разряда, до которого округляют число, стоит цифра $5$ или цифра,большая $5$, то к цифре этого разряда прибавляют $1$; в противном случае эту цифру оставляют без изменения
Все цифры, расположенные правее разряда, до которого округляют число ,заменяют нулями
Источник