Какие бывают свойства умножения 3 класс
- Переместительное свойство умножения
- Сочетательное свойство умножения
- Распределительное свойство умножения
Переместительное свойство умножения
От перестановки сомножителей местами произведение не меняется.
Следовательно, для любых чисел a и b верно равенство:
a · b = b · a,
выражающее переместительное свойство умножения.
Примеры:
6 · 7 = 7 · 6 = 42;
4 · 2 · 3 = 3 · 2 · 4 = 24.
Обратите внимание, что данное свойство можно применять и к произведениям, в которых более двух множителей.
Сочетательное свойство умножения
Результат умножения трёх и более множителей не изменится, если какую-либо группу множителей заменить их произведением.
Следовательно, для любых чисел a, b и c верно равенство:
a · b · c = (a · b) · c = a · (b · c),
выражающее сочетательное свойство умножения.
Пример:
3 · 2 · 5 = 3 · (2 · 5) = 3 · 10 = 30
или
3 · 2 · 5 = (3 · 2) · 5 = 6 · 5 = 30.
Сочетательное свойство используется для удобства и упрощения вычислений при умножении. Например:
25 · 15 · 4 = (25 · 4) · 15 = 100 · 15 = 1500.
В данном случае можно было вычислить всё последовательно:
25 · 15 · 4 = (25 · 15) · 4 = 375 · 4 = 1500,
но проще и легче сначала умножить 25 на 4 и получить 100, а уже потом умножить 100 на 15.
Распределительное свойство умножения
Сначала рассмотрим распределительное свойство умножения относительно сложения:
Чтобы число умножить на сумму чисел, можно это число умножить отдельно на каждое слагаемое и полученные произведения сложить.
Следовательно, для любых чисел a, b и m верно равенство:
m · (a + b) = m · a + m · b,
выражающее распределительное свойство умножения.
Так как в данном случае число и сумма являются множителями, то, поменяв их местами, используя переместительное свойство, можно сформулировать распределительное свойство так:
Чтобы сумму чисел умножить на число, можно каждое слагаемое отдельно умножить на это число и полученные произведения сложить.
Следовательно, для любых чисел a, b и m верно равенство:
(a + b) · m = a · m + b · m.
Теперь рассмотрим распределительное свойство умножения относительно вычитания:
Чтобы число умножить на разность чисел, можно это число умножить отдельно на уменьшаемое и вычитаемое и из первого полученного произведения вычесть второе.
Следовательно, для любых чисел a, b и m верно равенство:
m · (a – b) = m · a – m · b.
Так как в данном случае число и разность являются множителями, то поменяв их местами, используя переместительное свойство, можно сформулировать распределительное свойство так:
Чтобы разность чисел умножить на число, можно уменьшаемое и вычитаемое отдельно умножить на это число и из первого полученного произведения вычесть второе.
Следовательно, для любых чисел a, b и m верно равенство:
(a – b) · m = a · m – b · m.
Переход от умножения:
m · (a + b) и m · (a – b)
соответственно к сложению и вычитанию:
m · a + m · b и m · a – m · b
называется раскрытием скобок.
Переход от сложения и вычитания:
m · a + m · b и m · a – m · b
к умножению:
m · (a + b) и m · (a – b)
называется вынесением общего множителя за скобки.
Источник
Для операции умножения натуральных чисел ℕ характерен ряд результатов, которые справедливы для любых умножаемых натуральных чисел. Эти результаты называются свойствами. В данной статье мы сформулируем свойства умножения натуральных чисел, приведем их буквенные определения и примеры.
Переместительное свойство умножения натуральных чисел
Переместительное свойство часто называют также переместительным законом умножения. По аналогии с переместительным свойством для сложения чисел, оно формулируется так:
Переместительный закон умножения
От перемены мест множителей произведение не меняется.
В буквенном виде переместительное свойство записывается так: a·b=b·a
a и b – любые натуральные числа.
Возьмем любые два натурльных числа и наглядно покажем, что данное свойство справедливо. Вычислим произведение 2·6. По определению произведения, нужно число 2 повторить 6 раз. Получаем: 2·6=2+2+2+2+2+2=12. Теперь поменяем множители местами. 6·2=6+6=12. Очевидно, переместительный закон выполняется.
На рисунке ниже проиллюститруем переместительное свойство умножения натуральных чисел.
Сочетательное свойство умножения натуральных чисел
Второе название для сочетательного свойства умножения – ассоциативный закон, или ассоциативное свойство. Вот его формулировка.
Сочетательный закон умножения
Умножение числа a на произведение чисел b и c равносильно умножению произведения чисел a и b на число c.
Приведем формулировку в буквенном виде:
a·b·c=a·b·c
a, b, c – любые натуральные числа. Сочетательный закон работает для трех и более натуральных чисел.
Для наглядности приведем пример. Сначала вычислим значение 4·3·2.
4·3·2=4·6=4+4+4+4+4+4=24
Теперь переставим скобки и вычислим значение 4·3·2.
4·3·2=12·2=12+12=24
4·3·2=4·3·2
Как видим, теория совпадает с практикой, и свойство справедливо.
Сочетательное свойство умножения также можно проиллюстрировать с помощью рисунка.
Распределительное свойство относительно умножения
Без распределительного свойста не обойтись, когда в математическом выражении одновременно присутствуют операции умножения и сложения. Это свойство определяет связь между умножением и сложением натуральных чисел.
Распределительное свойство умножения относительно сложения
Умножения суммы чисел b и c на число a равносильно сумме произведений чисел a и b и a и c.
Запишем в форме буквенного выражения:
a·b+c=a·b+a·c
a, b, c – любые натуральные числа.
Теперь на наглядном примере покажем, как работает это свойство. Вычислим значение выражения 4·3+2.
4·3+2=4·3+4·2=12+8=20
С другой стороны 4·3+2=4·5=20. Справедливость распределительного свойства умножения относительно сложения показана наглядно.
Для лучшего понимания приведем рисунок, иллюстрирующий суть умножения числа на сумму чисел.
Распределительное свойство умножения относительно вычитания
Распределительное свойство умножения относительно вычитания формулируется аналогично данному свойству относительно сложения, следует лишь учитывать знак операции.
Распределительное свойство умножения относительно вычитания
Умножения разности чисел b и c на число a равносильно разности произведений чисел a и b и a и c.
Запишем в форме буквенного выражения:
a·b-c=a·b-a·c
a, b, c – любые натуральные числа.
В предыдущем примере заменим “плюс” на “минус” и запишем:
4·3-2=4·3-4·2=12-8=4
С другой стороны 4·3-2=4·1=4. Таким образом, справедливость свойства умножения натуральных чисел относительно вычитания показана наглядно.
Умножение единицы на натуральное число
Умножение единицы на натуральное число
Умножение единицы на любое натуральное число в результате дает данное число.
1·a=a
По определению операции умножения, произведение чисел 1 и a равно сумме, в котором слагаемое 1 повторяется a раз.
1·a=∑i=1a1
Умножение натурального числа a на единицу представляет собой сумму, состоящую из одого слагаемого a. Таким образом, переместительное свойство умножения остается справедливым:
1·a=a·1=a
Умножение нуля на натуральное число
Число 0 не входит в множество натуральных чисел. Тем не менее, есть смысл рассмотреть свойство умножения нуля на натуральное число. Данное свойство часто используется при умножении натуральных чисел столбиком.
Умножение нуля на натуральное число
Произведение числа 0 и любого натурального числа a равно числу 0.
0·a=0.
По определению, произведение 0·a равно сумме, в которой слагаемое 0 повторяется a раз. По свойствам сложения, такая сумма равна нулю.
В результате умножения единицы на нуль получается нуль. Произведение нуля на сколь угодно большое натуральное число также дает в результате нуль.
Напимер: 0·498=0; 0·9638854785885=0
Справедливо и обратное. Произведение числа на нуль также дает в результате нуль: a·0=0.
Источник
Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.
Цель: учить упрощать выражение,
содержащее только действия умножения.
Задачи (Слайд 2):
- Познакомить с сочетательным свойством
умножения. - Формировать представление о возможности
использования изученного свойства для
рационализации вычислений. - Развивать представления в возможности решения
«жизненных» задач средствами предмета
«математика». - Развивать интеллектуальные и коммуникативные
общеучебные умения. - Развивать организационные общеучебные умения,
в том числе умения самостоятельно оценивать
результат своих действий, контролировать самого
себя, находить и исправлять собственные ошибки.
Тип урока: изучение нового материала.
План урока:
1. Организационный момент.
2. Устный счёт. Математическая разминка.
Строка чистописания.
3. Сообщение темы и задач урока.
4. Подготовка к изучению нового маериала.
5. Изучение нового материала.
6. Физкультминутка
7. Работа по закреплению н. м. Решение задачи.
8. Повторение пройденного материала.
9. Итог урока.
10. Рефлексия
11. Домашнее задание.
Оборудование: карточки с заданием,
наглядный материал (таблицы), презентация.
ХОД УРОКА
I. Организационный момент
Прозвенел и смолк звонок.
Начинается урок.
Вы зa парты тихо сели
На меня все посмотрели.
II. Устный счёт
– Посчитаем устно:
1) «Весёлые ромашки» (Слайды 3-7 таблица
умножения)
2) Математическая разминка. Игра «Найди лишнее»
(Слайд 8)
- 485 45
864 947 670
134 (классификация на группы ЛИШНЕЕ 45 –
двузначное, 670 – в записи числа нет цифры 4). - 9 45
72
90 54
81
27 22 18 (9 –
однозначное, 22 не делится на 9)
Строка чистописания. Прописать в тетради
числа, чередуя: 45 22
670 9
– Подчеркнуть самую аккуратную запись числа
III. Сообщение темы и задач урока. (Слайд
9)
– Запишите число, тему урока.
– Прочитайте задачи нашего урока
IV. Подготовка к изучению нового материала
а) Верно ли выражение
На доске запись:
(23 + 490 + 17) + (13 + 44 + 7) = 23 + 490 + 17 + 13 + 44 + 7
– Назовите используемое свойство сложения. (Сочетательное)
– Какую возможность даёт сочетательное
свойство?
Сочетательное свойство даёт возможность
записывать выражения, содержащие только
сложение, без скобок.
43 + 17 + (45 + 65 + 91) = 91 + 65 + 45 + 43 + 17
– Какие свойства сложения мы применяются в
данном случае?
Сочетательное свойство даёт возможность
записывать выражения, содержащие только
сложение, без скобок. При этом вычисления можно
выполнять в любом порядке.
– В таком случае как называется ещё одно
свойство сложения? (Переместительное)
(2 * 6) * 3 = 12 * 3
– Вызывает ли это выражение затруднение?
Почему?(Мы не умеем умножать двузначное число
на однозначное)
V. Изучениенового материала
1) Если мы будем выполнять умножение в том
порядке, в каком записаны выражения, то возникнут
трудности. Что же поможет нам снять эти
трудности?
(2 * 6) * 3 = 2 * 3 * 6
2) Работа по учебнику с. 70, № 305 (Выскажи своё
предположение о результатах, которые получат
Волк и Заяц. Проверь себя, выполнив вычисления).
3) № 305. Проверь, равны ли значения выражений.
Устно.
Запись на доске:
(5 • 2) • 3 и 5 • (2 • 3)
(4 • 7) • 5 и 4 • (7 • 5)
4) Сделай вывод. Правило.
Чтобы произведение двух чисел умножить на
третье число, можно первое число умножить на
произведение второго и третьего.
– Расскажите сочетательное свойство умножения.
– Объясните сочетательное свойство умножения на
примерах
5) Коллективная работа
На доске: (8 • 3) • 2, (6 • 3) •
3, 2 • (4 • 7)
VI. Физминутка
1) Игра «Зеркало». (Слайд 10)
Свет мой зеркальце, скажи,
Да всю правду доложи.
Мы ль на свете всех умнее,
Всех забавней и смешнее?
Повторяйте все за мной
Веселые движения физминутки озорной.
2) Физминутка для глаз «Зоркие глазки».
– Закройте глаза на 7 секунд, посмотрите
направо, затем налево, вверх, вниз, затем сделайте
глазами 6 кругов по часовой стрелке, 6 кругов
против часовой стрелки.
VII. Закрепление изученного
1)Работа по учебнику. решение задачи.
(Слайд 11)
(с. 71, № 308) Прочитайте текст. Докажите, что это
задача. (Есть условие, вопрос)
– Выделите условие, вопрос.
– Назовите числовые данные. (Три, 6,
трёхлитровые)
– Что они обозначают? (Три ящика. 6 банок, в
каждой банке по 3 литра сока)
– Какая это задача по структуре? (Составная
задача, т. к. нельзя сразу ответить на вопрос
задачи или для решения требуется составление
выражения)
– Тип задачи? (Составная задача на
последовательные действия))
– Решите задачу без краткой записи составлением
выражения. Для этого используйте следующую
карточку:
Карточка-помощница
• ( • )
– В тетради решение задачи можно оформить
следующим образом: (3 • 6) • 3
– Можем ли мы решить задачу в таком порядке?
Решение.
(3 • 6) • 3 = (3 • 3) • 6 = 9 • 6 = 54 (л).
3 • (3 • 6) = (3 • 3) • 6 = 9 • 6 = 54 (л )
Ответ: 54 литра сока во всех ящиках.
2) Работа в парах (по карточкам): (Слайд 12)
– Поставь знаки, не вычисляя:
(15 * 2) *4 15 * (2 * 4)
(–Какое свойство?)
(8 * 9) * 6 7 * (9 * 6)
(428 * 2) * 0 1 * (2 * 3)
(3 * 4) * 2 3 + 4 + 2
(2 * 3) * 4 (4 * 2) * 3
Проверка: (Слайд 13)
(15 * 2) * 4 = 15 * (2 * 4)
(8 * 9) * 6 > 7 * (9 * 6)
(428 * 2) * 0 < 1 * (2 * 3)
(3 * 4) * 2 > 3 + 4 +
2
(2 * 3) * 4 = (4 * 2) * 3
3) Самостоятельная работа (по учебнику)
(с. 71, № 307 – по вариантам)
1 в. (8 • 2) • 2
= (6 • 2) • 3
= (19 • 1) • 0 =
2 в. (7 • 3) • 3
= (9 • 2) • 4
= (12 • 9) • 0 =
Проверка:
1 в. (8 • 2) • 2 = 32 (6 •
2) •3 = 36 (19• 1)
• 0 = 0.
2 в. (7 • 3) • 3 = 63 (9 • 2)
• 4 = 72 (12 • 9) • 0 =
0
Свойства умножения: (Слайд 14).
- Переместительное свойство
- Сочетательное свойство
– Зачем нужно знать свойства умножения? (Слайд
15).
- Чтобы быстро считать
- Выбирать рациональный способ счета
- Решать задачи
VIII. Повторение пройденного материала.
«Ветряные мельницы». (Слайд 16, 17)
- Числа 485, 583 и 681 увеличить на 38 и записать три
числовых выражения (1 вариант) - Числа 583, 545 и 507 уменьшить на 38 и записать три
числовых выражения (2 вариант)
485
+ 38
523583
+ 38
621681
+ 38
719583
– 38
545545
– 38
507507
– 38
469
Учащиеся выполняют задания по вариантам
(двое учащихся решают задания на дополнительных
досках).
Взаимопроверка.
IХ. Итог урока
– Чему учились сегодня на уроке?
– В чём же заключается смысл сочетательного
свойства умножения?
Х. Рефлексия
– Кто считает, что понял смысл сочетательного
свойства умножения? Кто доволен своей работой на
уроке? Почему?
– Кто знает, над чем ему еще надо поработать?
– Ребята, если вам урок понравился, если вы
довольны своей работой, то поставьте руки на
локти и покажите мне ладошки. А если вы были
чем-то расстроены, то покажите мне обратную
сторону ладошки.
XI. Информация о домашнем задании
– Какое домашнее задание вы бы хотели получить?
По выбору:
1. Выучить правило с. 70
2. Придумать и записать выражение на новую тему с
решением
Оценки за урок.
Источник
Тема: Свойства умножения.
Цели: Познакомить со свойствами умножения (переместительный закон, сочетательный закон, распределительный закон, умножение на 0 и 1); научить использовать свойства арифметических действий при выполнении вычислений и выполнять умножение многозначного числа на однозначное, используя свойства умножения.
Планируемые результаты.
Предметные: знать переместительное и сочетательное свойства умножения; иметь представление о распределительном свойстве умножения относительно сложения и его записи с помощью переменных; уметь использовать свойства арифметических действий при выполнении вычислений.
Метапредметные: К: регулировать свою деятельность посредством письменной речи Р: вносить коррективы в действие после его завершения на основе его оценки и учета характера сделанных ошибок П: строить логическое рассуждение, включающее установление причинно – следственных связей.Личностные: Формирование навыков самостоятельной работы и самоконтроля, желания осознавать свои трудности и стремиться к их преодолению, способности к самооценке своих действий, поступков.
Ход урока.
Оргмомент
Все начать урок готовы,
Будем слушать, рассуждать
И друг другу помогать. У вас обязательно всё получится, а если у кого то вдруг будут трудности, вместе мы их обязательно преодолеем.
Актуализация знаний.
Сегодня мы начинаем новый раздел (1 слайд) Умножение и деление.
Это новый для вас раздел или вы уже знакомы с умножением?
Зачем тогда мы возвращаемся к этой теме?
Устный счёт
1) Начнем с устного счета (2слайд) Вспомним таблицу умножения. Приложение 1. Тренажёр 3-15. Оценить в листе самооценки.
2) Сейчас вы поработаете в парах.Посмотрите на выражения, скажите, чем они похожи? Чем отличаются? (слайд 16) Запишите выражения по группам в тетради, выполните задание
34+18+44
31+31+31=31*3
17+17+17+17 (=17*4)
31+32+33+34
28+28 (=28*2)
X+x+x+x+x (=x*5) проверка (1 чел. от пары). Если кто-то не согласен с отвечающим, или есть дополнения, то встаём из-за парты.
Сообщение темы и цели урока
С какими действиями сейчас работали? Как называются компоненты при сложении? При умножении? Продолжим работу с умножением, вспомнив для начала некоторые сведения о сложении.
– На экране выражения: нужно найти выражения, между которыми можно поставить знак = без вычисления.
378 + 675 378 + 489
489 + 675 489+378
675+ 489 675+ 378
Что заметили? Как называется это свойство сложения? Переместительное.
Если обозначить цифры буквами, какое выражение получится? a + b = b + a
Найдите значение выражения удобным способом 12+34+56 = (34+56) + 12
–Какие числа сначала удобнее прибавить? А потом?
Как называется это свойство? Сочетательное. Заменим цифры буквами a + ( b + c) = ( a + b ) + c
Оцените в листе самооценки эту работу.
Зачем мы повторили свойства сложения? Вспомните, с какими действиями мы работали в начале урока (сами говорят тему урока) слайд 21
– Какие цели на урок мы поставим для себя? (слайд 22)
Сформулировать свойства умножения. Научиться использовать свойства арифметических действий при выполнении вычислений. Научиться выполнять умножение многозначного числа на однозначное, используя свойства умножения. Вспомнить названия компонентов при умножении
Формирование ЗУН
Начнем знакомство со свойствами умножения слайд 23
– У вас на партах лежат схемы, которые вам нужно будет заполнить в течение урока. ( слайд)
–Посмотрите на пример и скажите, как удобнее умножить 3 * 12
Какое свойство позволяет менять множители местами?
Сформулируйте переместительное свойство умножения; Слайд 24
Запишите свойство с помощью букв в вашу схему в верхнем левом углу а*в = в*а
слайд 25 Запишите вычисления в столбик по рядам.(2 человека на доске)
1 ряд: 6•409=2454 2 ряд: 4·580=2320 запись на доске. Самопроверка. 1 ученик с места вслух.
слайд 26Посмотрите на пример и скажите, какие числа удобнее умножить сначала, а какие потом?
17 ∙2∙5 = 17 ∙(2∙5 ) =170Сочетательное свойство умножения;
слайд 27Запишите свойство в схему в левом нижнем углуa · b ∙ с = а·(b∙c)
Слайд 28Закрепление свойства- по вариантам (взаимопроверка с образца)
32* 4 * 5 = 4 * 5 * 32 = 640 2 * 212 *5 = 2 * 5 * 212 = 2120.
Умножение на 0 и 1.Физминутка.
Посмотрите вокруг себя. У нас в классе везде развешаны карточки с выражениями. Девочкибудут снимать карточки значение которых равно нулю, а мальчики снимут карточки значение которых неравно нулю.
0 • 567 134 • 1
678 • 0 2345 • 1
324 •0 1 • 5690
1254 • 0 1 • 34 789
0 • 4678 1 • 267
0 • 23 009 795 • 1
46 007 • 0 23070 • 1
Каждый читает свой пример.
-Девочки, какой вывод можете сделать? а∙0=0
-Мальчики, какой вывод сделали вы? a∙1=a
Заполните свою схему в правом верхнем углу а * 0 = 0 а*1=а (пишут рядом с а*0=0)
Распределительное свойство умножения; Слайды
( + ) • = • + •
Что скажете по поводу этого выражения? Это умножение суммы на число или распределительное свойство. Запишем его в схему в нижнем правом углу с помощью букв (а + в)• с = а • с + в • c
Оцените свою работу на этом этапе в листе самооценки.
Первичное закрепление.
Слайд закрепление всех свойств- решение по карточкам в парах.
1) Реши, применяя распределительное св-во. 24 * 3
2) Соедини верное решение, укажи св-во.
5 * 7 * 8 19 * (2 * 5)
25 – 11 – 4 5 * 8 * 7
19 * 2 * 5 20 * 7 + 3 * 7
(20 + 3) * 7 25 – (11 + 4)
Самооценка. Один из пары будет называть результаты действий, остальные ребята сравнивают ответ со своей записью в тетради. Если кто-то не согласен с отвечающим, то встаёт из-за парты. Мы выслушаем и другое мнение. У кого возникли трудности? Оцените вашу работу.
Практическое применение
Самостоятельная работа по вариантам.
Вы познакомились со свойствами умножения. Выполните задания на карточках (приложение), используя эти свойства. Проверка. Оцените свою работу.
Итог слайд
К концу подходит наш урок, давайте подведём итог.
Назовите тему сегодняшнего урока
Расскажите свойства умножения, пользуясь своей схемой.
Зачем нужно знать свойства умножения?
Сможете ли вы самостоятельно применять эти свойства?
Как легче учить правила: по учебнику или по своим схемам?
Рефлексия 41 слайд
Возьмите лист самооценки, посчитайте сумму всех заработанных вами отметок. Поставьте общую отметку за урок.
25 – 24 балла «5»
23 – 17 баллов «4»
16 – 13 баллов «3»
Источник