Какие бывают свойства арифметических действий
Сочетай, перемещай, свойства действий
узнавай
Напомним известные уже из арифметики главнейшие свойства действий сложения, вычитания, умножения и деления, так
как этими свойствами придется часто пользоваться и в алгебре.
Свойства сложения
Переместительный закон сложения
Сумма не изменяется от перестановки слагаемых .
Пример:
3 + 8 = 8 + 3; 5 + 2 + 4 = 2 + 5 + 4 = 4 + 2 + 5.
В общем случае:
a+b=b+a
a+b+c=c+a+b
Стоит иметь ввиду, что число слагаемых может быть и более трёх.
Сочетательный закон сложения
Сумма нескольких слагаемых не изменится, если какие-нибудь из них заменить их суммой .
Пример:
3 + 5 + 7 = 3 + (5 + 7) = 3 + 12 = 15;
4 + 7+11+6 + 5 = 7 +(4+ 5)+ (11+6) = 7 + 9+17 = 33.
В общем случае:
а + b + с = а+(b + с) = b+(а + с) и т. п.
Иногда этот закон выражают так: слагаемые можно соединять в какие угодно группы.
Чтобы прибавить к какому-либо числу сумму нескольких чисел, можно прибавить отдельно каждое слагаемое одно за другим.
Пример:
5 + (7 + 3) = (5 + 7) + 3 = 12 + 3 = 15.
В общем случае:
a+(b+c+d+…+x)=a+b+c+d+…+x
Свойства вычитания
Свойство вычитания суммы из числа
Чтобы вычесть из какого-нибудь числа сумму нескольких чисел, можно вычесть отдельно каждое слагаемое одно за другим.
Например:
20 — (5+ 8) = (20 — 5) — 8 = 15 — 8 = 7.
В общем случае:
а — (b + с + d+ …) = а — Ь — с — d — …
Свойство сложения разности чисел
Чтобы прибавить разность двух чисел, можно прибавить уменьшаемое и затем вычесть вычитаемое.
Пример:
8 + (11-5) = 8+ 11 -5= 14.
В общем случае:
а + (b — с) = а + Ь — с.
Свойство вычитания разности из числа
Чтобы вычесть разность, можно сначала прибавить вычитаемое и затем вычесть уменьшаемое.
Например:
18-(9-5) = 18 + 5-9= 14.
Вообще:
а — (Ь — с) = а + с — b.
Свойства умножения
Переместительный закон умножения
Произведение не изменится от перестановки сомножителей .
Так:
4·5 = 5·4; 3·2·5 = 2·3·5 = 5·3·2.
Вообще:
a*b = b*a; abc… =b*а*с*… = c*b*a* …
Сочетательный закон умножения
Произведение нескольких сомножителей не изменится, если какие-нибудь из них заменить их произведением .
Так:
7*3*5 = 5*(3*7) = 5*21 = 105.
Вообще:
abc = а(bс) = b(ас) и т. п.
Умножение числа на произведение чисел
Чтобы умножить какое-либо число на произведение нескольких сомножителей, можно умножить это число на
первый сомножитель, полученный результат умножить на второй сомножитель и т. д.
Так:
3*(5*4) = (3*5)*4= 15*4 = 60.
Вообще:
a•(bcd…) = {[(a·b)•c]•d}…
Чтобы умножить произведение нескольких сомножителей на какое-либо число, можно умножить на это число один
из сомножителей, оставив другие без изменения.
Так:
3 • 2 • 5 • 3 = (3 • 3) • 2 • 5 = 3 • (2 • 3) • 5 = 3 • 2 • (5 • 3).
Вообще:
(abc.. )m = (аm)bс… = а(bm)с… и т. п.
Умножение числа на сумму чисел
Чтобы умножить сумму на какое-либо число, можно каждое слагаемое умножить на это число и полученные ре-
результаты сложить.
Так:
(5 + 3)·7 = 5·7 + 3·7.
Вообще:
(а + b + с + .. .)n = an + bn + cn + …
В силу переместительного закона умножения это же свойство можно выразить так: чтобы умножить какое-либо число на
сумму нескольких чисел, можно умножить это число на каждое слагаемое отдельно и полученные результаты сложить.
Так:
5·(4 + 6) = 5·4 + 5·6.
Вообще:
r·(а + Ь + с +…) = rа + rb + rс + …
Это свойство называется распределительным законом умножения, так как умножение, производимое над суммой, распределяется на каждое слагаемое в отдельности.
Распределительный закон умножения для разности чисел
Распределительный закон можно применять и к разности.
Так:
(8 — 5) • 4 = 8 • 4 — 5 • 4;
7 • (9 — 6) = 7 • 9 — 7 • 6.
Вообще:
(а — b)с = ас — bc,
а(b — с) = ab — ас,
т. е. чтобы умножить разность на какое-либо число, можно умножить на это число отдельно уменьшаемое и вычитаемое
и из первого результата вычесть второй; чтобы умножить какое-либо число на разность, можно это число умножить
отдельно на уменьшаемое и вычитаемое и из первого результата вычесть второй.
Свойства деления
Деление суммы на число
Чтобы разделить сумму на какое-либо число, можно разделить на это число каждое слагаемое отдельно и полученные результаты сложить:
Например:
(30+12+5)/3=30/3+12/3+5/3
Вообще:
(a+b+c+…+v)/m= (a/m)+(b/m)+(c/m)+…(v/m)
Деление разности на число
Чтобы разделить разность на какое-либо число, можно разделить на это число отдельно уменьшаемое и вычитаемое
и из первого результата вычесть второй:
(20-8)/5= 20/5 — 8/5
Вообще:
(a-b)/c = (a/c) -(b/c)
Деление произведения на число
Чтобы разделить произведение нескольких сомножителей на какое-либо число, можно разделить на это число один
из сомножителей, оставив другие без изменения:
(40 • 12 • 8) : 4 = (40:4) • 12 • 8 = 10 • 12 • 8 = 40 • 12 • 2.
Вообще:
(a·b·c…) : t = (а : t)bс… = а(b : t)с… и т. д.
Деление числа на произведение
Чтобы разделить какое-либо число на произведение нескольких сомножителей, можно разделить это число на
первый сомножитель, полученный результат разделить на второй сомножитель и т.д.:
120 : (12 • 5 • 3) = [(120 : 2) : 5] : 3 = (60 : 5) : 3 = 12 : 3 = 4.
Вообще:
а : (bcd …) = [(а : b) : с] : d… и т. п.
Укажем еще следующее свойство деления:
Если делимое и делитель умножим (или разделим) на одно и то же число, то частное не изменится.
Поясним это свойство на следующих двух примерах:
1)8:3 = 8/3|,
умножим делимое и делитель, положим, на 5; тогда получим
новое частное: (8*5)/(3*5)
которое по сокращении дроби на 5 даст прежнее частное — 8/3
Вообще, какие бы числа a, b и m ни были, всегда
(am) : (bm) = а : b, что можно написать и так:
am/bm= a/b
Если частное не изменяется от умножения делимого и делителя на одно и то же число, то оно не изменяется и от деления делимого и делителя на одно и то же число, так как деление на какое-нибудь число равносильно умножению на обратное число.
Комментирование и размещение ссылок запрещено.
Источник
Цель:
- закрепить знания учащихся о свойствах сложения
и умножения; арифметические действия с нулем и
натуральными числами; - формировать вычислительные навыки, умение
решать задачи, уравнения; - развивать познавательную активность,
математическую смекалку, творческое мышление
учащихся; - воспитывать бережное отношение к природе,
чувство ответственности за окружающий мир.
Оборудование: интерактивная доска,
картинки с заданиями, слайдовая презентация
урока.
ХОД УРОКА
I. Организация урока. Психологический
настрой
Итак, друзья, внимание!
Вновь прозвенел звонок.
Садитесь поудобнее
Начнем сейчас урок.
– Я рада видеть ваши красивые лица, ваши улыбки
и уверена этот урок вам принесет радость и новые
знания.
II.Сообщение темы урока.
– Сегодня мы закрепляем знания об
арифметических действиях и их свойствах, и вы
расширите свои знания о природе и ее обитателях.
III.Оформление тетрадей.
IV. Игра «Секрет». Устный счет
– Хотите узнать о ком будем говорить на уроке?
Тогда внимание.
Слайд 2.
Пчела 55.
Кузнечик 62.
Муравей 56.
– У этого насекомого темное тело, достигающее в
длину почти 2 см., со светлыми щетинистыми
полосками, крылья прозрачные, слегка бурые. На
задних лапках имеются приспособления для сбора
цветочной пыльцы. Чтобы собрать полстакана меда
пчеле нужно облететь 1 млн. цветов. Пчела может
ужалить лишь один раз в своей жизни. Ее жало
усеяно зазубринами, и пчеле очень трудно его
убрать после укуса назад из-за этого она и
погибает.
– Муравей распространенное насекомое. Живут
они везде: в сыпучих песках пустыни, в степях, на
морских побережьях, на высокогорных склонах и
проникают даже в жилые дома. Но в основном они
живут в своем гнезде под землей или в гнилых пнях
деревьев.
– Кузнечика можно обнаружить в траве уже в
начале лета. Стрекотание кузнечика вызывается
тем, что кузнечик трет друг о друга свои крылышки.
Питаются кузнечики растительной пищей, мелкими
насекомыми и их личинками.
– О ком из этих насекомых будем говорить на
уроке узнаете выполнив задание.
- Из верхней строчки выберите наименьшее число.
- Из средней строчки выберите наибольшее число.
- Из нижней строчки выберите не наименьшее и не
наибольшее число. - Сложите их (56).
– О ком будем говорить? Верно о муравьях. И у нас
есть уникальная возможность сейчас на уроке
понаблюдать за муравьями.
Слайд 3. Видеоролик о муравьях. (Приложение 1)
V. Игра «Добыча муравья»
– Среди муравьев есть разведчики. Нашел
муравей добычу и созывает к ней собратьев. А
найти добычу от дома и обратно помогают метки.
Это капельки пахучей жидкости, которой муравей
отмечает свой путь.
Слайд 4.
– Посчитав правильно мы узнаем, что нашел
муравей.
28 – 14 + 106 : 20 * 100 + 40 : 8 = 80
– Что же он нашел?
– Муравьи очень трудолюбивы. Слайд
5. За одну минуту муравьи приносят в
муравейник 20 насекомых. А сколько насекомых
принесут за 1 час муравьи?
20 * 60 = 1200 насекомых.
– А какую пользу приносят муравьи? (Уничтожают
вредных насекомых, улучшают почву, рыхля и
удобряя ее).
Слайд 6.
VI. Игра «Найди ошибку»
– Посмотрите внимательно на экран, найдя
ошибку и исправив ее, вы узнаете сколько лет на
земле живут муравьи.
17 : 17 =
1
150000000 : 1 = 1
4 : 7 = 0 (ост. 4) 13988 + 1 = 13989
0 * 12148 = 0 10000 –
1 = 9999
Слайд 7.
– Повторяем законы сложения и умножения.
Внимание на экран.
34 + 8 = 8 +
34
(переместительный)
60 + 18 + 2 = 60 + (18 + 2) (сочетательный)
12 * 7 = 7 *
12
(переместительный)
(9 * 10) * 6 = 9 * (10 * 6)
(сочетательный)
(10 + 4) * 5 = 20 * 5 + 4 * 5 (распределительный)
– На партах есть карточки с заданием. Вычислим,
наиболее удобным способом, применяя законы
сложения и умножения.
VII. Комментированное управление
(200 * 18) * 5 = (200 * 5) * 18 = 18000
(400 + 8) * 3 = 400 * 3 + 8 * 3 = 1224
654 + 2812 + 346 + 88 = (654 + 346) + (2812 + 88) = 3900
Класс ведет…
Слайд 8.
VIII. Решение задачи
Одна муравьиная семья за 6 часов уничтожает 16500
гусениц. Сколько гусениц уничтожит семья за 13
часов?
6 часов – 16500 гусениц.
16 часов – ?
16500 : 6 = 2750 гусениц за 1 час.
2750 * 13 = 35750 гусениц.
– Можем сразу ответить на вопрос задачи? Чего
не знаем?
Не зря муравьев называют санитарами леса.
IX. Физминутка
– Отдыхаем.
Нужно быстро поморгать,
Глаза прикроем, но не спать! (пауза).
Глаза открыли!
Смотрим влево, смотрим вправо,
Пальцы мы к глазам подносим,
Смотрим в точку секунд восемь (пауза).
Вправо и вниз взглянем дружно,
Это глазкам очень нужно.
Слайд 9.
X. Решение уравнения
– Муравейник – дом муравьиной семьи. Главные в
доме царицы, они приносят потомство. Охраняют их
муравьи – трутни. Остальные – рабочие.
Муравейники устроены сложно, многочисленные
входы, которые охраняют рабочие муравьи.
Открывают их и открывают в зависимости от погоды
и времени суток. А зимует вся муравьиная семья в
подземной части дома – там не так холодно.
– А сколько лет могут стоять муравейники на
одном месте вы узнаете, решив уравнение:
420 + Х = 753 – 233
420 + Х = 520
Х = 100
Муравейники разорять нельзя!
– Лучшее средство сохранить муравейник –
огородить его. Так мы спасем муравьев от зверей,
которые иногда не прочь полакомиться этими
насекомыми.
XI. Работа в группах
– У каждого на парте геометрическая фигура.
Образовали группы, согласно этим фигурам.
Слайд 10.
Ребята огородили муравейник, изгородь имеет
форму прямоугольника , длина изгороди 120 см.,
ширина изгороди 110 см.
S – ?
P – ?
Р = (120 + 110) * 2 = 440 см.
S = (120 * 110 = 13200) см2.
Найдите площадь и периметр получившейся
изгороди.
XII. Самостоятельное решение уравнение
– А это уравнение решите самостоятельно.
Х * 2 = 112 : 8
Х * 2 = 14
Х = 7
Чему равен Х? Х = 7.
– Столько лет не покладая лапок трудится
рабочий муравей.
Слайд 11.
– Вы знаете, что у муравья 6 лапок, есть глаза, но
нет органов слуха. Пара усиков помогает муравьям
различать запахи и ориентироваться в
пространстве.
В муравейнике 1805106 лапок.
Запишите это число, разложим его на сумму
разрядных слагаемых. А теперь узнайте сколько
муравьев?
1805106 : 6 = 300851
– Кто решил, помогаем соседу, знаем: Помогая
другим – учимся сами.
– А как узнать сколько усиков?
300851 * 2 = 601702 усика.
Слайд 12.
– А знаете ли вы, что не будь муравьев, которые
являются единственными опылителями какао, мы
никогда не смогли бы попробовать шоколад.
Спасибо муравьям – все получают шоколад!
XIII. Рефлексия
– А сейчас свои впечатления.
– Доволен ли ты как прошел урок?
– Было ли вам интересно?
– Что вызвало затруднение?
– Какая работа на уроке особенно понравилась? (Быстро,
четко, несколько слов).
XIV. Итог урока
Слайд 13.
– Все старательно работали! Молодцы!
Оценки.
– Вы закрепили свои знания по математике и
расширили свои знания по экологии. Охрана
природы – одна из основных обязанностей
человека. Будем природе друзьями!
– ВСЕМ СПАСИБО!
Источник
Сидоркина Анна Владимировна
Учитель начальных классов
I категории
ГУ «Средняя школа № 1 г. Есиль»
Урок математики «Свойства арифметических действий. Рациональные вычисления.»
4 класс
Цели и задачи:
Закрепить навыки применения свойств арифметических действий с числами в пределах 1 000 000. Развивать навыки рациональных вычислений.
Развивать математическую речь, логическое мышление, наблюдательность, внимание, интерес к предмету, навыки самостоятельной работы и творческие способности учащихся.
Воспитывать умение работать самостоятельно, в парах, в группах, воспитывать умение вести диалог, оказывать взаимопомощь.
Ожидаемый результат:
Учащиеся знают свойства арифметических действий.
Умеют применять приемы рациональных вычислений.
Понимают важность взаимопомощи, умение работать в группах, парах.
Ход урока
I. Организационный момент. 1 мин.
Посадка. Проверка готовности.
II. Психологический настрой. 2 мин.
Игра «Я желаю тебе сегодня…»
III. Математический диктант. 5 мин.
1. Увеличите число 263 в 10 000 раз.
2. Найдите частное от 9000 и 20.
3. Найдите сумму чисел 7100 и 2900. Уменьшите сумму в 1000 раз.
4. Найдите произведение чисел 350 и 50.
5. Найдите 2/3 от суммы чисел 160 и 440.
6. Сколько сантиметров в 8 метрах и 3 дм?
Самопроверка.
– Проверьте правильность выполненного задания.
– Кто выполнил правильно?
– Кто допустил ошибки? Почему?
– Что общего у этих заданий?
Обменяйтесь тетрадями в паре. (взаимопроверка)
Все задания выполнены верно – 10 баллов.
Допущены 1-2 ошибки – 8 баллов
Допущены 3 ошибки – 5 баллов.
Допущены 4 ошибки – 3 балла.
Только одно верное задание – 1 балл.
IV. Повторение.
1. Работа в паре. 5 мин.
Обсудите, как удобнее произвести вычисление. Найдите результат записывая решение столбиком.
324 000 + 272 000 + 128 000 + 276 000
– Какой получили результат? (1 000 000)
– Какое арифметическое действие использовали? (сложение)
– Как быстро найти результат? (применить сочетательное свойство сложения)
– Можно назвать этот способ рациональным? (да)
-Оцените работу:
Применено сочетательное свойство сложения – 10 баллов.
Действия выполнены по порядку – 5 баллов.
Еще раз внимательно посмотрите на задание и попробуйте определить тему нашего урока. Тема урока «Свойства арифметических действий. Рациональные приемы вычисления чисел в пределах 1 000 000.
Поставьте задачи на сегодняшний урок.
2. Работа в группе. (Учащиеся первых парт поворачиваются к учащимся за вторыми партами. Учащиеся третьих парт 1 и 2 рядов подходят к учащимся третий парты второго ряда.) 12 мин.
1 группа: вспомнить и записать на листе А4 свойства сложения;
2 группа: свойства вычитания;
3 группа: свойства умножения;
4 группа: свойства деления.
Защита работ.
Проверка правильности выполнения задания.
Учитель вывешивает на доску таблицу свойств арифметических действий.
Переместительное свойство сложения: a + b = b + a
От перемены мест слагаемых сумма не меняется.
Сочетательное свойство сложения: a +b + c = a + (b + c)
Сумма не меняется, если какую-нибудь группу рядом стоящих слагаемых заменить их суммой.
Вычитание суммы из числа: a – (b + c) = a – b – c.
Чтобы вычесть сумму из числа, можно вычесть из этого числа одно слагаемое, из полученной разности – второе слагаемое.
Вычитание числа из суммы: (a + b) – c = (a – c) + b = a + (b – c).
Чтобы вычесть число из суммы, можно вычесть это число из какого-нибудь одного слагаемого и полученную разность прибавить к сумме остальных слагаемых.
Прибавление разности к числу: а + (b – c) = a + b – c.
Чтобы прибавить разность к числу, можно прибавить к нему уменьшаемое и из полученной суммы вычесть вычитаемое.
Переместительное свойство умножения: а · b = b · а.
От перемены мест множителей произведение не меняется
Сочетательное свойство умножения: а · b · c = а · (b · c).
Произведение не изменится, если какую-нибудь группу рядом стоящих множителей заменить их произведением.
Распределительное свойство умножения относительно сложения: (а + b) · с = ас + bс.
Произведение суммы чисел на какое-нибудь число равно сумме произведений каждого слагаемого на это число
а · 1 = 1 · а = а.
При умножении числа на единицу получаем само число.
а · 0 = 0 · а = 0.
При умножении числа на нуль получаем нуль.
a : 1 = a.
При делении числа на единицу получаем само число.
0 : a = 0.
При делении нуля на любое число, не равное нулю, получаем нуль.
На нуль делить нельзя!
a : a = 1.
При делении числа, не равного нулю, на само себя, получаем единицу.
Деление суммы на число: (a + b) : c = a : c + b : c.
Чтобы разделить сумму на какое-нибудь число, можно разделить на это число каждое слагаемое отдельно (если это возможно) и полученные частные сложить.
Деление разности на число: (a – b) : c = a : c – b : c.
Чтобы разделить разность на какое-нибудь число, можно разделить на это число уменьшаемое и вычитаемое отдельно (если это возможно) и из первого частного вычесть второе.
Деление произведения на число: (a · b) : c = (a : c) · b = a · (b : c).
Чтобы разделить произведение двух множителей на число, можно разделить на это число любой из множителей (если деление выполнимо) и частное умножить на второй множитель.
Оцените себя.
Я вспомнил все свойства – 5 баллов.
Я вспомнил лишь некоторые свойства – 2 балла.
3. Работа со свойствами арифметических действий. 10 мин.
Выполнить задание индивидуально. Свериться в паре. Свериться в группе. При несовпадении ответов объяснить в группе последовательность выполнения действий.
1 группа:
(66 000 х 9) : 600 = (66 000 : 60) х 9 = 110 х 9 = 990
(54 500 + 7 500) : 5= 54 500 : 5 + 7 500 : 5 = 10 900 + 1500 = 12 400
2 группа:
390 х 250 х 40 = 390 х (250 х 40) = 390 х 10 000 = 3 900 000
(750 + 120) х 4 = 750 х 4 + 120 х 4 = 3000 + 480 = 3 480
3 группа:
18 300 – (4300 + 190) = 18 300 – 4300 -190 = 14 000 – 190 = 13 810
(14 300 + 2700) – 3300 = (14 300 – 3300) + 2700 = 11 000 + 27 000 = 13 700
4 группа:
197 + 2300 + 7700 = 197 + (2300 + 7700) = 197 + 10000 = 10 197
(63 300 – 9900) : 3 = 63 300 : 3 + 9900 : 3 = 21 100 + 3300 = 24 400
Проверка по таблице ответов.
Оба примера выполнены верно – 10 баллов.
Один пример – 5 баллов.
4. Решение задачи. 6 мин.
Решите задачу используя распределительное свойство умножения.
Два поезда одновременно выехали навстречу друг другу из двух населенных пунктов. Скорость первого поезда 85 км/ч, а второго – 65 км/ч. Через 4 часа они встретились. Каково расстояние между населенными пунктами, из которых выехали поезда?
85 км/ч 4ч 65 км/ч
? км
Решение:
(85 + 65) х 4 = 85 х 4 + 65 х 4 = 340 + 260 = 600 (км)
Ответ: 600 км расстояние между населенными пунктами.
Оцените себя.
Условие – 2 балла
Решение – 7 баллов
Ответ – 1 балл
V. Итог урока 2 мин.
Давайте вспомним какие цели мы перед собой ставили?
Удалось нам достичь поставленных целей?
Рефлексия. 2 мин.
Закончите предложения.
Я знаю …
Я умею …
Я понимаю …
Подсчитайте баллы, накопленные за урок. Выставляем отметки.
Наибольшее количество баллов за урок – 45
«5» – 36-45 баллов. Поставленная цель достигнута.
«4» – 27-35 баллов. На пути достижения.
«3» – 14 – 26 баллов. Необходимо повторить свойства арифметических действий.
Д/ з. Составить по одному примеру на каждое из арифметических свойств.
Источник