Какие арифметические действия обладают свойством дистрибутивности

Известно, что сложение и умножение чисел обладает свойствами коммутативности, ассоциативности, умножение дистрибутивно отно­сительно сложения. Аналогичными свойствами обладают объедине­ние и пересечение множеств.

Рассмотрим свойства алгебраических операций, определив их в общем виде. При этом условимся алгебраические операции обозна­чать символами: * (читается – «звездочка») и о (читается – «кружок»).

Важнейшим свойством алгебраических операций является свойство ассоциативности.

Определение. Алгебраическая операция *, заданная на множествеX, называется ассоциативной, если для любых элементов х, у и z из множества X выполняется равенство

(x*y)*z=x*(y*z).

Если операция * обладает свойством ассоциативности, то можно опускать скобки и писать x*у*z вместо (х*у)*z и х*(у*z).

Например, ассоциативно сложение натуральных чисел: для любых на­туральных чисел х, у и z выполняется равенство + у) + z = x + (у + z). Ассоциативно сложение рациональных и действительных чисел. По­этому сумму нескольких чисел можно записывать без скобок.

Существуют алгебраические операции, не обладающие свойством ассоциативности. Так, не является ассоциативным вычитание целых чисел: существуют целые числа х, у и z, для которых (х – у) z ≠ х – (у – z). Например, (12 – 7) – 3 ≠ 12 – (7 – 3).

Ассоциативность алгебраической операции * позволяет записывать без скобок все выражения, содержащие лишь эту операцию, но пере­ставлять входящие в это выражение элементы, вообще говоря, нельзя. Перестановка элементов возможна лишь в случае, когда операция * коммутативна.

Определение. Алгебраическая операция * на множестве X называ­ется коммутативной, если для любых двух элементов х и у из мно­жества X выполняется равенство

х*у = у*х.

Примерами коммутативных операций могут служить сложение и умножение натуральных чисел, поскольку для любых натуральных чисел х и у выполняются равенства х + у = у + х, х · у = у · х. Эти равен­ства справедливы не только для натуральных чисел, но и для любых действительных чисел, следовательно, на множестве действительных чисел сложение и умножение тоже коммутативны.

Существуют алгебраические операции, не обладающие свойством коммутативности. Так, не является коммутативным вычитание целых чисел: существуют целые числа х и у, для которых х – у ≠ у – х. На­пример, 12-7≠7-12.

Если на множестве X заданы две алгебраические операции * и о, то они могут быть связаны друг с другом свойством дистрибутивности.

Определение. Алгебраическая операция оназывается дистрибу­тивной относительно алгебраической операции *, если для любых элементов х, у и z из множества X выполняются равенства:

1) (х*y)оz = (x o z)*(y o z) и 2) z o(х*у) = (z o х)*(z о у).

Если выполняется только равенство 1), то операцию о называют дистрибутивной справа относительно операции *; если же выполняет­ся только равенство 2), то операцию о называют дистрибутивной слева относительно операции *.

Выясним, в каких случаях различают дистрибутивность справа и слева.

Рассмотрим на множестве натуральных чисел две операции: воз­ведение в степень (она соответствует операции о в равенствах 1 и 2) и умножение (она соответствует операции * в равенствах 1 и 2). Тогда, согласно равенству 1, имеем: (х·у)z – = хz-уz. Как известно из алгебры, полученное равенство справедливо для любых натураль­ных чисел х, у и z, т.е. возведение в степень дистрибутивно справа относительно умножения. В соответствии с равенством 2, получа­ем х уz = ху-хz. Но это равенство выполняется не всегда, т.е. опера­ция возведения в степень не является дистрибутивной слева отно­сительно умножения. Такая ситуация является следствием того, что возведение в степень – операция, не обладающая свойством коммутативности.

Если взять сложение и умножение натуральных чисел, то, как из­вестно, умножение дистрибутивно относительно сложения: для лю­бых натуральных чисел х, у и z выполняются равенства

(x+y)·z + x·z + y·z и z·(x+y) = z·x + z·y

А так как умножение коммутативно, то не имеет значения, где писать множитель z – справа от суммы х + у или слева от нее. Поэтому в школьном курсе математики не различают дистрибутивность слева и справа, а говорят просто о дистрибутивности умножения относительно сложения.

Выясним роль свойства дистрибутивности в преобразованиях вы­ражений. Если операция о дистрибутивна относительно операции * и обе операции ассоциативны, то в любом выражении, содержащем лишь эти две операции, можно раскрыть все скобки, перед которыми (или за которыми) стоит знак °. Проиллюстрируем сказанное на при­мере преобразования выражения (x + у)·(z + р). Так как умножение дистрибутивно относительно сложения, то

(x + у)·(z + р)= x·(z + р) + у·(z + р)= (x·z + x·р) + (у·z + y·р).

А поскольку сложение ассоциативно, то последнюю запись можно за­писать без скобок. Следовательно, (x + у)·(z + р)= )=x·z + x·р +у·z + y·р.

Часто в множестве, на котором рассматривается алгебраическая операция, выделяются особые элементы, называемые в алгебре ней­тральными и поглощающими.

Определение. Элемент е из множества X называется нейтраль­ным относительно алгебраической операции *, если для любого эле­мента х из множества X выполняются равенства х*е=е*х =х.

Доказано, что если нейтральный элемент относительно алгебраической операции существует, то он единственный.

Определение. Элемент р из множества X называется поглощаю­щим относительно алгебраической операции *, если для любого эле­мента х из множества X выполняются равенства х*р=р*х=р.

Если поглощающий элемент относительно алгебраической опера­ции существует, то он единственный.

Так, в множестве целых неотрицательных чисел нуль является нейтральным элементом относительно сложения, поскольку для любого х из множества выполняются равенства х + 0 = 0 + х = х. Это же число нуль является поглощающим элементом относительно умноже­ния: для любого x из множества верны равенства: х·0 = 0·х = 0.

Как известно, вычитание чисел является операцией, обратной сло­жению. Но чтобы дать определение обратной операции в общем виде, надоопределить понятие сократимой операции.

Определение. Алгебраическая операция *, заданная на множестве X, называется сократимой, если из условий а*х =а*у и х*а =у*а следует, что х =у.

Например, сократимо сложение натуральных чисел: из равенств а+х=а+у и х+а=у+а следует, что х= у.

Определение. Пусть * – сократимая и коммутативная алгебраи­ческая операция, заданная на множестве X. Тогда операция оназы­вается обратной для операции *, если х о у = z тогда и только тогда, когда у * z = х.

Тот факт, что вычитание на множестве целых чисел есть операция, обратная сложению, означает: z = х – у тогда и только тогда, когда у + z = х.

Читайте также:  Какими качествами характера свойствами личности обладали горожане почему они были присущи

Множество X с заданными на нем алгебраическими операциями принято называть алгеброй. В начальном курсе математики в основном изучают множество целых неотрицательных чисел, которое являет­ся объединением множества натуральных чисел и нуля: = N U{0}. На этом множестве рассматриваются алгебраические операции сло­жения и умножения. Используя язык современной математики, можно сказать, что в начальной школе изучают алгебру (, +, •). Ее основ­ные характеристики:

1) Сложение и умножение на множестве ассоциативно и комму­тативно, а умножение дистрибутивно относительно сложения, т. е.:

(V х,у € ) х + у = у + х;

(V х,у € ) х·у = у·х;

(V х,у,z € ) (х + у) + z = х + (у + z);

(V х,у,z € ) (х·у)·z = х·(у·z);

(V х,у,z € ) (х +у)·z = х·z +у· z.

2) Сложение и умножение сократимы (исключая сокращение произ­ведения на нуль), т.е. для любых целых неотрицательных чисел х,у и а справедливы утверждения:

х + а= у + а => х = у

х·а = у·а => х = у.

3) Нуль является нейтральным элементом относительно сложения и поглощающим относительно умножения:

(V х € ) х + 0 = 0 + х = x:;

(V х € ) х· 0 = 0· x = 0.

Единица является нейтральным элементом относительно умножения:

(V х,у € ) х •1 = 1•x = x.

4) Сократимость сложения и умножения целых неотрицательных чисел позволяет определить в частичные алгебраические операции вычитания и деления как обратные соответственно сложению и умно­жению (исключая деление на нуль):

x-у = z ó у + z = x

х:у~2 ó у-z = х.

5) Вычитание и деление обладают свойствами:

(a-c)+b, если а≥с

(а+b) – c= a+(b-c), если b≥c

а – (b + с) = b) – с = (a – с) – b, если a ≥ b + с;

(a+b):c = a:c+b:c, если a:c и b:c;

(a:c)·b, если а:с

(а·b) : c= a·(b:c), если b:c

а:(b-с) = (а:b):с= (а:с):b, если a:b и a:c

Названные характеристики алгебры (, +, •) присутствует (явно или неявно) в любом начальном курсе математики.

Упражнения

1. Запишите, используя символы, что сложение и умножение ком­мутативно и ассоциативно на множестве Q рациональных чисел, а умножение дистрибутивно относительно сложения и вычитания.

2.Коммутативны ли следующие алгебраические операции:

а) возведение в степень на множестве N;

6) деление на множестве Q;

в) нахождение наибольшего общего делителя натуральных чисел?

3. Сократимо ли вычитание и деление на множестве Qрациональных чисел?

4.Какое множество является поглощающим элементом относительно пересечения множеств? Ответ обоснуйте.

5.Сформулируйте определение деления как операции, обратной умножению.

6.Выясните, как формулируются свойства сложения и умножения в различных учебниках по математике для начальной школы.

7.Запишите все свойства действий, характеризующих алгебру (, +, •).

53. Основные выводы § 11

Изучив материал данного параграфа, мы познакомились со сле­дующими понятиями:

– алгебраическая операция на множестве;

– множество, замкнутое относительно алгебраической операции;

– частичная алгебраическая операция;

– нейтральный элемент относительно алгебраической операции;

– поглощающий элемент относительно алгебраической операции;

– обратная операция.

Мы выяснили, что алгебраические операции могут обладать свой­ствами:

– коммутативности;

– ассоциативности;

– дистрибутивности (слева и справа);

– сократимости.

Установили, что в начальном курсе математики изучают алгебру (, +, •).

Источник

Основными свойствами бинарных алгебраических операций являются:

Коммутативность (переместительность)
Свойство бинарной алгебраической операции $ circ ,$ при котором выполняется условие: $ forall x,y in mathbb{P}: $ $ (xcirc y)=(ycirc x) ,$ где $ mathbb{P} $ — некоторое рассматриваемое множество.
Ассоциативность (сочетательность)
Свойство бинарной алгебраической операции $ circ ,$ при котором выполняется условие: $ forall x,y,z in mathbb{P}: $ $ (xcirc y)circ z=ycirc (xcirc z) ,$ где $ mathbb{P} $ — некоторое рассматриваемое множество.
Дистрибутивность (распределительный закон)
Свойство согласованности некоторых двух рассматриваемых алгебраических операций $ oplus $ и $ otimes $ на одном и том же некотором рассматриваемом множестве $ mathbb{P} ,$ при котором выполняется условие левой: $ forall x,y,z in mathbb{P}: $ $ xotimes (yoplus z) $ $ =(xotimes y)oplus(xotimes z) $; и/или правой: $ (yoplus z) otimes x $ $ =(yotimes x)oplus(zotimes x) $ дистрибутивности.

Примеры

  1. Проверить коммутативность умножения матриц над полем вещественных чисел.

    Спойлер

    Умножение матриц
    Пусть $ small A in mathbb{M} _{m times p} ,B in mathbb{M} _{p times n}: $ $ small C=Atimes B; C in mathbb{M} _{mtimes n} Rightarrow $ $ small c_{ij}= underset{k=1} {overset{p} {sum}}a_{ik}b_{kj} .$ Очевидно, что для выполнения операции умножения, количество столбцов первой матрицы должно совпадать с количеством строк второй, следовательно, мы доказали, что коммутативность не выполняется для всех матриц, однако всё ещё может выполнятся для квадратных матриц. Проверим это: выполнение коммутативности для матриц будет выглядеть, как $ smallforall A,B in mathbb{M}_{n} Atimes B overset{?}{=} Btimes A,$ если рассматривать результирующую матрицу поэлементно, то это можно интерпретировать, как $ small underset{k=1} {overset{m} {sum }}a_{ik}b_{kj}overset {?}{=} underset{k=1}{ overset{m}{sum}}b_{ik}a_{kj},$ то есть в первой сумме мы перемножаем строку первой матрицы на столбец второй, а во второй строку второй матрицы на столбец первой. Ясно, что результаты таких действий будут равны тогда и только тогда, когда обе матрицы будут симметрическими (то есть будут совпадать с собой транспонированными $ small A^{T}=A$). Следовательно, коммутативность не выполняется даже для квадратных матриц.

    [свернуть]

  2. Доказать, что если ассоциативность выполняется для трёх элементов множества, то способ расстановки скобок не влияет на результат при любом количестве операндов, то есть если:
    $ forall x,y,z in mathbb{P}: $ $ (xcirc y)circ z=ycirc (xcirc z) ,$ то в выражении $ a _{1} circ a _{2} circ … circ a _{n-1} circ a _{n}, ,a_{i} in mathbb{P} i=overline{1,n} $ результат не зависит от того, как мы расставим скобки.

    Спойлер

    Докажем это утверждение математической индукцией по количеству операндов.
    База индукции:
    Минимальное количество переменных равно трём, следовательно, из условия имеем: $ small forall ,a_{1}, a_{2}, a_{3} in mathbb{P}: $ $ small ( a_{1}circ a_{2})circ a_{3}= a_{2}circ (a_{1}circ a_{3}) .$ База индукции доказана.
    Предположение индукции:
    $ small forall ,n in mathbb{N}: $результат выражения $ small a _{1} circ a _{2} circ … circ a _{n-1} circ a _{n} ,$ не зависит от порядка расстановки скобок.
    Шаг индукции:
    Пусть предположение индукции справедливо для $ small forall , n in mathbb{N} ,$ докажем, что тогда оно справедливо и для $ small n+1 .$
    Пусть $ small 1leq pleq m< n+1 .$ То есть можно задать справедливое разбиение: $ small a _{1} circ a _{2} circ … circ a _{n-1} circ a _{n} = $ $ small (a _{1} circ a _{2} circ … circ a _{p-1} circ a _{p}) circ $ $ small (a _{p+1} circ … circ a _{m-1} circ a _{m})circ $ $ small (a _{m+1} circ … circ a _{n-1} circ a _{n} circ a _{n+1}) .$ Произведём замену:
    $ small (a _{1} circ a _{2} circ … circ a _{p-1} circ a _{p}) = a $
    $ small (a _{p+1} circ … circ a _{m-1} circ a _{m}) = b $
    $ small (a _{m+1} circ … circ a _{n} circ a _{n+1}) = c $
    По базе индукции имеем $ small (a circ b) circ c = a circ (b circ c ),$ то есть $ small [ (a _{1} circ a _{2} circ … $ $ circ a _{p-1} circ a _{p}) circ $ $ small (a _{p+1} circ … $ $ circ a _{m-1} circ a _{m}) ] circ $ $ small (a _{m+1} circ … $ $ circ a _{n-1} circ a _{n} circ a _{n+1})=$ $ small (a _{1} circ a _{2} circ … $ $ circ a _{p-1} circ a _{p}) circ $ $ small [ (a _{p+1} circ … $ $ circ a _{m-1} circ a _{m}) circ $ $ small (a _{m+1} circ … $ $ circ a _{n-1} circ a _{n} circ a _{n+1}) ].$
    В силу свободы выбора $ small p, m,$ и свободы количества замен такого рода теорема доказана.

    [свернуть]

  3. Проверить дистрибутивность сложения матриц над полем вещественных чисел относительно умножения.

    Спойлер

    Пусть $ A in mathbb{M} _{mtimes n}; B,C in mathbb{M} _{ntimes m},$ докажем, что $ Acdot (B+C)=Acdot B+Acdot C.$ Заметим, что $ A=left | a_{ij} right |,$ $ B=left | b_{ji} right |,$ $ C=left | c_{ji} right |,$ $ i=overline{1,m},$ $ j =overline{1,n}$, тогда $ Acdot (B+C)=$ $ left | a_{ij} right |cdot (left | b_{ji} right | + left | c_{ji} right |)=$ $ left | a_{ij} right |cdot (left | b_{ji} + c_{ji} right |) = $ $ left | underset{i=1}{ overset{m}{sum}} a_{ij} cdot (b_{ji} + c_{ji})right | = $ $ left | underset{i=1}{ overset{m}{sum}} a_{ij} cdot b_{ji} + underset{i=1}{ overset{m}{sum}} a_{ij} cdot c_{ji}right |=$ $ left | underset{i=1}{ overset{m}{sum}} a_{ij} cdot b_{ji} right | + left | underset{i=1}{ overset{m}{sum}} a_{ij} cdot c_{ji}right | = $ $ Acdot B+Acdot C.$
    Правая дистрибутивность доказывается аналогично.

    [свернуть]

Источники:

  • В. В. Воеводин «Линейная алгебра» Издание 2, 1980 года, стр. 9-13
  • А. И. Кострыкин «Введение в алгебру. Основы алгебры», 1994 года, стр. 155-160
  • А. Г. Курош «Курс высшей алгебры» издание 9, 1968 года, стр. 147-161
  • Белозеров Г.С. Конспект лекций
Читайте также:  Какие свойства есть меню c

Таблица лучших: Основные свойства бинарных алгебраических операций.

максимум из 30 баллов

МестоИмяЗаписаноБаллыРезультат
Таблица загружается

Навигация по записям

Источник

Пусть N — множество всех натуральных чисел.

Умножение натуральных чисел определяется следующими условиями (аксиомами):

V. для каждого из N.

VI. для любых из

Из зтих условий следует, что

Таким образом, умножение является повторным сложением числа с самим собой.

ТЕОРЕМА 2.10 (ПРАВЫЙ ЗАКОН ДИСТРИБУТИВНОСТИ УМНОЖЕНИЯ ОТНОСИТЕЛЬНО СЛОЖЕНИЯ). Для любых натуральных а, b и с

Доказательство. Зафиксируем произвольные значения а и b. Определяемый при этом формулой (1) предикат обозначим через А (с). Доказательство проводится индукцией по натуральной переменной с. По аксиоме V справедлива формула

Предположим, что для какого-нибудь натурального числа верна формула

Тогда имеем:

(по аксиоме VI);

(по индуктивному предположению);

(в силу ассоциативности и коммутативности сложения);

(по аксиоме VI),

т. е. верна формула Согласно принципу индукции верно для любого натурального с.

Поскольку фиксировались произвольные значения а и b, то формула (1) верна для любых натуральных а, b и с.

ЛЕММА 2.11. Для любого натурального числа а Доказательство (проводится индукцией по а). По аксиоме V, имеем Предположим, что для какого-нибудь натурального числа . Тогда Согласно принципу индукции, формула верна для любого натурального числа а.

ТЕОРЕМА 2.12. Умножение натуральных чисел коммутативно, т. е. для любых натуральных а и b

Доказательство. Используя индукцию по с, покажем, что для любого а верна формула

Зафиксируем в формуле (1) произвольное значение а. Обозначим через предикат, определяемый равенством (1). Предположим, что для какого-нибудь натурального числа верна формула

Тогда имеем:

(по аксиоме VI);

(по предположению индукции);

(по лемме 2.11);

(по дистрибутивности умножения относительно сложения),

т. е. выполняется формула Согласно принципу индукции, верно для любого натурального b. Поскольку фиксировалось произвольное значение а, то формула (1) верна для любых натуральных а и b.

Из теорем 2.10 и 2.12 вытекает следующая теорема. ТЕОРЕМА 2.13 (ЛЕВЫЙ ЗАКОН ДИСТРИБУТИВНОСТИ УМНОЖЕНИЯ ОТНОСИТЕЛЬНО СЛОЖЕНИЯ). Для любых натуральных а, b, и с выполняется равенство

ТЕОРЕМА 2.14. Умножение натуральных чисел ассоциативно, т. е. для любых натуральных а, b и с

Доказательство (проводится индукцией по с). Пусть обозначает предикат, определяемый формулой (1) при фиксированных значениях По аксиоме V, имеем: Следовательно, верна формула

Предположим, что для какого-нибудь натурального числа я верна формула

Тогда имеем:

(по аксиоме VI);

(по теореме 2.13);

(по предположению индукции);

(по аксиоме V);

(по теореме 2.13),

т. е. верна формула Согласно принципу индукции, формула верна при любом натуральном с. Поскольку фиксировались произвольные значения а и b, то формула (1) верна для любых натуральных а, b и с.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Алгебра называется мультипликативным моноидом натуральных чисел.

ТЕОРЕМА 2.15. Для любых натуральных чисел а и b, если то

Доказательство. Предположим, что . По теореме 2.6, существуют такие натуральные числа , что . В силу аксиом VI и IV имеем

По аксиоме Следовательно,

ТЕОРЕМА 2.16 (ЗАКОН СОКРАЩЕНИЯ ДЛЯ УМНОЖЕНИЯ). Для любых натуральных а, b, с, если , то

Доказательство. По условию,

Допустим, что . По теореме 2.8, либо существует такое k, что либо существует такое , что . В первом случае и в силу (1), что (по следствию 2.5) невозможно, так как и (по теореме

Во втором случае аналогичные рассуждения показывают, что допущение ведет к противоречию.

Упражнения

1. Докажите формулы:

2. Докажите, что число подмножеств из k элементов множества из элементов выражается формулой

3. Докажите, что для

4. Докажите, что для любого натурального

Читайте также:  Какие свойства биогеоценоза поддерживаются с помощью

5. Докажите, что

6. Докажите, что

7. Докажите, что для любых натуральных чисел а, b, с и d сумма а не зависит от порядка слагаемых.

Источник

Сочетай, перемещай, свойства действий

узнавай

Напомним известные уже из арифметики главнейшие свойства действий сложения, вычитания, умножения и деления, так
как этими свойствами придется часто пользоваться и в алгебре.

  •  Свойства сложения

Переместительный закон сложения

Сумма не изменяется от перестановки  слагаемых .

Пример:
3 + 8 = 8 + 3;  5 + 2 + 4 = 2 + 5 + 4 = 4 + 2 + 5.
В общем случае:

a+b=b+a

a+b+c=c+a+b
Стоит иметь ввиду, что число слагаемых может быть и более трёх.

Сочетательный закон сложения

Сумма нескольких слагаемых не изменится, если какие-нибудь из них заменить их суммой .

Пример:
3 + 5 + 7 = 3 + (5 + 7) = 3 + 12 = 15;
4 + 7+11+6 + 5 = 7 +(4+ 5)+ (11+6) = 7 + 9+17 = 33.
В общем случае:
а + b + с = а+(b + с) = b+(а + с) и т. п.
Иногда этот закон выражают так: слагаемые можно соединять в какие угодно группы.

Чтобы прибавить к какому-либо числу сумму нескольких чисел, можно прибавить отдельно каждое слагаемое одно за другим.

Пример:
5 + (7 + 3) = (5 + 7) + 3 = 12 + 3 = 15.
В общем случае:

a+(b+c+d+…+x)=a+b+c+d+…+x

  • Свойства вычитания

Свойство вычитания суммы из числа

Чтобы вычесть из какого-нибудь числа сумму нескольких чисел, можно вычесть отдельно каждое слагаемое одно за другим.

Например:
20 — (5+ 8) = (20 — 5) — 8 = 15 — 8 = 7.
В общем случае:
а — (b + с + d+ …) = а — Ь — с — d — …

Свойство сложения разности чисел

Чтобы прибавить разность двух чисел, можно прибавить уменьшаемое и затем вычесть вычитаемое.

Пример:
8 + (11-5) = 8+ 11 -5= 14.
В общем случае:
а + (b — с) = а + Ь — с.

Свойство вычитания разности из числа

Чтобы вычесть разность, можно сначала прибавить вычитаемое и затем вычесть уменьшаемое.

Например:
18-(9-5) = 18 + 5-9= 14.
Вообще:
а — (Ь — с) = а + с — b.

  •  Свойства умножения

Переместительный закон умножения

Произведение не изменится от перестановки сомножителей .
Так:
4·5 = 5·4; 3·2·5 = 2·3·5 = 5·3·2.
Вообще:
a*b = b*a; abc… =b*а*с*… = c*b*a* …

Сочетательный закон умножения

Произведение нескольких сомножителей не изменится, если какие-нибудь из них заменить их произведением .

Так:
7*3*5 = 5*(3*7) = 5*21 = 105.

Вообще:
abc = а(bс) = b(ас) и т. п.

Умножение числа на произведение чисел

Чтобы умножить какое-либо число на произведение нескольких сомножителей, можно умножить это число на
первый сомножитель, полученный результат умножить на второй сомножитель и т. д.

Так:
3*(5*4) = (3*5)*4= 15*4 = 60.
Вообще:
a•(bcd…) = {[(a·b)•c]•d}…
Чтобы умножить произведение нескольких сомножителей на какое-либо число, можно умножить на это число один
из сомножителей, оставив другие без изменения.

Так:
3 • 2 • 5 • 3 = (3 • 3) • 2 • 5 = 3 • (2 • 3) • 5 = 3 • 2 • (5 • 3).
Вообще:
(abc.. )m = (аm)bс… = а(bm)с… и т. п.

Умножение числа на сумму чисел

Чтобы умножить сумму на какое-либо число, можно каждое слагаемое умножить на это число и полученные ре-
результаты сложить.

Так:
(5 + 3)·7 = 5·7 + 3·7.
Вообще:
(а + b + с + .. .)n = an + bn + cn + …

В силу переместительного закона умножения это же свойство можно выразить так: чтобы умножить какое-либо число на
сумму нескольких чисел, можно умножить это число на каждое слагаемое отдельно и полученные результаты сложить.

Так:
5·(4 + 6) = 5·4 + 5·6.
Вообще:
r·(а + Ь + с +…) = rа + rb + rс + …

Это свойство называется распределительным законом умножения, так как умножение, производимое над суммой, распределяется на каждое слагаемое в отдельности.

Распределительный закон умножения для разности чисел

Распределительный закон можно применять и к разности.

Так:
(8 — 5) • 4 = 8 • 4 — 5 • 4;

7 • (9 — 6) = 7 • 9 — 7 • 6.

Вообще:
(а — b)с = ас — bc,

а(b — с) = ab — ас,
т. е. чтобы умножить разность на какое-либо число, можно умножить на это число отдельно уменьшаемое и вычитаемое
и из первого результата вычесть второй; чтобы умножить какое-либо число на разность, можно это число умножить
отдельно на уменьшаемое и вычитаемое и из первого результата вычесть второй.

  • Свойства деления

Деление суммы на число

Чтобы разделить сумму на какое-либо число, можно разделить на это число каждое слагаемое отдельно и полученные результаты сложить:

Например:

(30+12+5)/3=30/3+12/3+5/3
Вообще:
(a+b+c+…+v)/m= (a/m)+(b/m)+(c/m)+…(v/m)

Деление разности на число

Чтобы разделить разность на какое-либо число, можно разделить на это число отдельно уменьшаемое и вычитаемое
и из первого результата вычесть второй:

(20-8)/5= 20/5 — 8/5

Вообще:

(a-b)/c = (a/c) -(b/c)

Деление произведения на число

Чтобы разделить произведение нескольких сомножителей на какое-либо число, можно разделить на это число один
из сомножителей, оставив другие без изменения:

(40 • 12 • 8) : 4 = (40:4) • 12 • 8 = 10 • 12 • 8 = 40 • 12 • 2.
Вообще:

(a·b·c…) : t = (а : t)bс… = а(b : t)с… и т. д.

Деление числа на произведение

Чтобы разделить какое-либо число на произведение нескольких сомножителей, можно разделить это число на
первый сомножитель, полученный результат разделить на второй сомножитель и т.д.:

120 : (12 • 5 • 3) = [(120 : 2) : 5] : 3 = (60 : 5) : 3 = 12 : 3 = 4.

Вообще:

а : (bcd …) = [(а : b) : с] : d… и т. п.

Укажем еще следующее свойство деления:

Если делимое и делитель умножим (или разделим) на одно и то же число, то частное не изменится.
Поясним это свойство на следующих двух примерах:
1)8:3 = 8/3|,
умножим делимое и делитель, положим, на 5; тогда получим
новое частное: (8*5)/(3*5)
которое по сокращении дроби на 5 даст прежнее частное — 8/3

Вообще, какие бы числа a, b и m ни были, всегда
(am) : (bm) = а : b, что можно написать и так:
am/bm= a/b

Если частное не изменяется от умножения делимого и делителя на одно и то же число, то оно не изменяется и от деления делимого и делителя на одно и то же число, так как деление на какое-нибудь число равносильно умножению на обратное число.

Комментирование и размещение ссылок запрещено.

Источник