Какая величина характеризует инертные свойства тела при вращательном движении
Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 8 апреля 2020;
проверки требует 1 правка.
Враща́тельное движе́ние — вид механического движения. При вращательном движении материальная точка описывает окружность. При вращательном движении абсолютно твёрдого тела все его точки описывают окружности, расположенные в параллельных плоскостях. Центры всех окружностей лежат при этом на одной прямой, перпендикулярной к плоскостям окружностей и называемой осью вращения. Ось вращения может располагаться внутри тела и за его пределами. Ось вращения в данной системе отсчёта может быть как подвижной, так и неподвижной. Например, в системе отсчёта, связанной с Землёй, ось вращения ротора генератора на электростанции неподвижна.
При выборе некоторых осей вращения, можно получить сложное вращательное движение — сферическое движение, когда точки тела движутся по сферам. При вращении вокруг неподвижной оси, не проходящей через центр тела или вращающуюся материальную точку, вращательное движение называется круговым.
Основной закон динамики вращательного движения[править | править код]
Производная по времени от момента количества движения механической системы относительно неподвижной инерциальной системы отсчёта точки или центра инерции системы равна главному моменту относительно той же точки всех внешних сил, приложенных к системе.
Характеристики вращения тела[править | править код]
Кинематические характеристики[править | править код]
Вращение характеризуется углом , измеряющимся в градусах или радианах, угловой скоростью (измеряется в рад/с) и угловым ускорением (единица измерения — рад/с²).
При равномерном вращении ( — период вращения),
- Частота вращения — число оборотов в единицу времени.
- Линейная скорость точки, находящейся на расстоянии от оси вращения
- Угловая скорость вращения тела — аксиальный вектор (псевдовектор).
Динамические характеристики[править | править код]
Свойства твердого тела при его вращении описываются моментом инерции твёрдого тела. Эта характеристика входит в дифференциальные уравнения, полученные из уравнений Гамильтона или Лагранжа. Кинетическую энергию вращения можно записать в виде:
В этой формуле момент инерции играет роль массы, а угловая скорость — роль скорости. Момент инерции выражает геометрическое распределение массы в теле и может быть найден из формулы
- Момент инерции — физическая величина, мера инертности тела во вращательном движении. Характеризует распределение масс в теле. Различают осевой и центробежный момент инерции. Осевой момент инерции определяется равенством:
где — масса, — расстояние от -й точки до оси[1].
См. также[править | править код]
- Поступательное движение
- Плоскопараллельное движение
- Сложное движение
- Сферическое движение
Примечания[править | править код]
- ↑ Момент инерции // Физическая энциклопедия. В 5-ти томах / Главный редактор А. М. Прохоров. — М.: Советская энциклопедия, 1988.
Ссылки[править | править код]
- Бобылёв Д. К. Ось, в математике, механике и физике // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
- Вращение твердого тела. Открытая Физика 2.6. Часть I. «ФИЗИКОН». Дата обращения 23 января 2015.
- Джанибеков демонстрирует пример вращения абсолютно жесткого тела, закрученного вокруг оси, не совпадающей с осью наименьшего или наибольшего момента инерции
- Вращение твёрдых тел в невесомости вокруг разных осей
- Б. Яворский А. Детлаф, Физика, М.: Дрофа, 1998.
Источник
Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 27 января 2019;
проверки требуют 6 правок.
Моме́нт ине́рции — скалярная физическая величина, мера инертности во вращательном движении вокруг оси, подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении. Характеризуется распределением масс в теле: момент инерции равен сумме произведений элементарных масс на квадрат их расстояний до базового множества (точки, прямой или плоскости).
Единица измерения в Международной системе единиц (СИ): кг·м².
Обозначение: I или J.
Различают несколько моментов инерции — в зависимости от типа базового множества до которого отсчитываются расстояния от элементарных масс.
Осевой момент инерции[править | править код]
Осевые моменты инерции некоторых тел
Моментом инерции механической системы относительно неподвижной оси («осевой момент инерции») называется величина Ja, равная сумме произведений масс всех n материальных точек системы на квадраты их расстояний до оси[1]:
где:
- mi — масса i-й точки,
- ri — расстояние от i-й точки до оси.
Осевой момент инерции тела Ja является мерой инертности тела во вращательном движении вокруг оси подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении.
где:
dm = ρ dV — масса малого элемента объёма тела dV,
ρ — плотность,
r — расстояние от элемента dV до оси a.
Если тело однородно, то есть его плотность всюду одинакова, то
Теорема Гюйгенса — Штейнера[править | править код]
Момент инерции твёрдого тела относительно какой-либо оси зависит от массы, формы и размеров тела, а также и от положения тела по отношению к этой оси. Согласно теореме Гюйгенса — Штейнера, момент инерции тела J относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела Jc относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно рассматриваемой оси, и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между осями[1]:
где m — полная масса тела.
Например, момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его конец, равен:
Осевые моменты инерции некоторых тел[править | править код]
Вывод формул[править | править код]
Тонкостенный цилиндр (кольцо, обруч)
Вывод формулы
Момент инерции тела равен сумме моментов инерции составляющих его частей. Разобьём тонкостенный цилиндр на элементы с массой dm и моментами инерции dJi. Тогда
Поскольку все элементы тонкостенного цилиндра находятся на одинаковом расстоянии от оси вращения, формула (1) преобразуется к виду
Толстостенный цилиндр (кольцо, обруч)
Вывод формулы
Пусть имеется однородное кольцо с внешним радиусом R, внутренним радиусом R1, толщиной h и плотностью ρ. Разобьём его на тонкие кольца толщиной dr. Масса и момент инерции тонкого кольца радиуса r составит
Момент инерции толстого кольца найдём как интеграл
Поскольку объём и масса кольца равны
получаем окончательную формулу для момента инерции кольца
Однородный диск (сплошной цилиндр)
Вывод формулы
Рассматривая цилиндр (диск) как кольцо с нулевым внутренним радиусом (R1 = 0), получим формулу для момента инерции цилиндра (диска):
Сплошной конус
Вывод формулы
Разобьём конус на тонкие диски толщиной dh, перпендикулярные оси конуса. Радиус такого диска равен
где R – радиус основания конуса, H – высота конуса, h – расстояние от вершины конуса до диска.
Масса и момент инерции такого диска составят
Интегрируя, получим
Сплошной однородный шар
Вывод формулы
Разобьём шар на тонкие диски толщиной dh, перпендикулярные оси вращения. Радиус такого диска, расположенного на высоте h от центра сферы, найдём по формуле
Масса и момент инерции такого диска составят
Момент инерции шара найдём интегрированием:
Тонкостенная сфера
Вывод формулы
Для вывода воспользуемся формулой момента инерции однородного шара радиуса R:
Вычислим, насколько изменится момент инерции шара, если при неизменной плотности ρ его радиус увеличится на бесконечно малую величину dR.
Тонкий стержень (ось проходит через центр)
Вывод формулы
Разобьём стержень на малые фрагменты длиной dr. Масса и момент инерции такого фрагмента равна
Интегрируя, получим
Тонкий стержень (ось проходит через конец)
Вывод формулы
При перемещении оси вращения из середины стержня на его конец, центр тяжести стержня перемещается относительно оси на расстояние l⁄2. По теореме Штейнера новый момент инерции будет равен
Безразмерные моменты инерции планет и их спутников[2][3][4]
Безразмерные моменты инерции планет и спутников[править | править код]
Большое значение для исследований внутренней структуры планет и их спутников имеют их безразмерные моменты инерции. Безразмерный момент инерции тела радиуса r и массы m равен отношению его момента инерции относительно оси вращения к моменту инерции материальной точки той же массы относительно неподвижной оси вращения, расположенной на расстоянии r (равному mr2). Эта величина отражает распределение массы по глубине. Одним из методов её измерения у планет и спутников является определение доплеровского смещения радиосигнала, передаваемого АМС, пролетающей около данной планеты или спутника. Для тонкостенной сферы безразмерный момент инерции равен 2/3 (~0,67), для однородного шара — 0,4, и вообще тем меньше, чем большая масса тела сосредоточена у его центра. Например, у Луны безразмерный момент инерции близок к 0,4 (равен 0,391), поэтому предполагают, что она относительно однородна, её плотность с глубиной меняется мало. Безразмерный момент инерции Земли меньше, чем у однородного шара (равен 0,335), что является аргументом в пользу существования у неё плотного ядра[5][6].
Центробежный момент инерции[править | править код]
Центробежными моментами инерции тела по отношению к осям прямоугольной декартовой системы координат называются следующие величины[1][7]:
где x, y и z — координаты малого элемента тела объёмом dV, плотностью ρ и массой dm.
Ось OX называется главной осью инерции тела, если центробежные моменты инерции Jxy и Jxz одновременно равны нулю. Через каждую точку тела можно провести три главные оси инерции. Эти оси взаимно перпендикулярны друг другу. Моменты инерции тела относительно трёх главных осей инерции, проведённых в произвольной точке O тела, называются главными моментами инерции данного тела[7].
Главные оси инерции, проходящие через центр масс тела, называются главными центральными осями инерции тела, а моменты инерции относительно этих осей — его главными центральными моментами инерции. Ось симметрии однородного тела всегда является одной из его главных центральных осей инерции[7].
Геометрические моменты инерции[править | править код]
Геометрический момент инерции объёма относительно оси — геометрическая характеристика тела, выражаемая формулой[8]:
где, как и ранее r — расстояние от элемента dV до оси a.
Размерность JVa — длина в пятой степени (), соответственно единица измерения СИ — м5.
Геометрический момент инерции площади относительно оси — геометрическая характеристика тела, выражаемая формулой[8]:
где интегрирование выполняется по поверхности S, а dS — элемент этой поверхности.
Размерность JSa — длина в четвёртой степени (), соответственно единица измерения СИ — м4. В строительных расчетах, литературе и сортаментах металлопроката часто указывается в см4.
Через геометрический момент инерции площади выражается момент сопротивления сечения:
Здесь rmax — максимальное расстояние от поверхности до оси.
Момент инерции относительно плоскости[править | править код]
Моментом инерции твёрдого тела относительно некоторой плоскости называют скалярную величину, равную сумме произведений массы каждой точки тела на квадрат расстояния от этой точки до рассматриваемой плоскости[9].
Если через произвольную точку провести координатные оси , то моменты инерции относительно координатных плоскостей , и будут выражаться формулами:
В случае сплошного тела суммирование заменяется интегрированием.
Центральный момент инерции[править | править код]
Центральный момент инерции (момент инерции относительно точки O, момент инерции относительно полюса, полярный момент инерции) — это величина, определяемая выражением[9]:
где:
Центральный момент инерции можно выразить через главные осевые моменты инерции, а также через моменты инерции относительно плоскостей[9]:
Тензор инерции и эллипсоид инерции[править | править код]
Момент инерции тела относительно произвольной оси, проходящей через центр масс и имеющей направление, заданное единичным вектором , можно представить в виде квадратичной (билинейной) формы:
(1)
где — тензор инерции. Матрица тензора инерции симметрична, имеет размеры и состоит из компонент центробежных моментов:
Выбором соответствующей системы координат матрица тензора инерции может быть приведена к диагональному виду. Для этого нужно решить задачу о собственных значениях для матрицы тензора :
где — ортогональная матрица перехода в собственный базис тензора инерции. В собственном базисе координатные оси направлены вдоль главных осей тензора инерции, а также совпадают с главными полуосями эллипсоида тензора инерции. Величины — главные моменты инерции. Выражение (1) в собственной системе координат имеет вид:
откуда получается уравнение эллипсоида в собственных координатах. Разделив обе части уравнения на
и произведя замены:
получаем канонический вид уравнения эллипсоида в координатах :
Расстояние от центра эллипсоида до некоторой его точки связано со значением момента инерции тела вдоль прямой, проходящей через центр эллипсоида и эту точку:
См. также[править | править код]
Комментарии[править | править код]
- ↑ В правильности использования знака «+» в этой формуле можно убедиться, если сравнить моменты инерции полого толстостенного и сплошного цилиндров с одинаковыми массами. Действительно, у первого из этих цилиндров масса в среднем сосредоточена дальше от оси, чем у второго, поэтому и момент инерции этого цилиндра должен быть больше, чем у сплошного. Именно такое соотношение моментов инерции и обеспечивает знак «+». С другой стороны, в пределе при стремлении r1 к r2 формула для полого толстостенного цилиндра должна приобрести тот же вид, что и формула для полого тонкостенного цилиндра. Очевидно, что такой переход происходит только при использовании формулы со знаком «+».
Примечания[править | править код]
Литература[править | править код]
- Матвеев. А. Н. Механика и теория относительности. М.: Высшая школа, 1986. (3-е изд. М.: ОНИКС 21 век: Мир и Образование, 2003. — 432с.)
- Трофимова Т. И. Курс физики. — 7-е изд. — М.: Высшая школа, 2001. — 542 с.
- Алешкевич В. А., Деденко Л. Г., Караваев В. А. Механика твердого тела. Лекции. Издательство Физического факультета МГУ, 1997.
- Павленко Ю. Г. Лекции по теоретической механике. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — 392с.
- Яворский Б. М., Детлаф А. А. Физика для школьников старших классов и поступающих в вузы: учебное пособие — М.: Дрофа, 2002, 800с. ISBN 5-7107-5956-3
- Сивухин Д. В. Общий курс физики. В 5 т. Том I. Механика. 4-е изд. М.: ФИЗМАТЛИТ; Изд-во МФТИ, 2005. — 560 с.
- Беляев Н. М. Сопротивление материалов. Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1976. — 608 с.
Ссылки[править | править код]
- Определение момента инерции тел простой формы.
Источник
Классификация динамических характеристик движений человека
Вращательное движение тела
Мерой изменения положения тела при вращательном движении является угол поворота фи. Чтобы знать положение тела во вращательном движении в любой момент времени, надо знать зависимость угла поворота фи от времени: фи = фи(t).
Данное уравнение выражает закон вращательного движения тела. Основными кинематическими характеристиками вращательного движения тела являются его угловая скорость (ω) и угловое ускорение (e).
При вращательном движении тела разные его точки имеют различные линейные скорости и ускорения. Линейная скорость точки вращающегося тела численно равна произведению угловой скорости на радиус вращения и направлена по касательной к окружности вращения (перпендикулярно радиусу вращения R): V= ωR.
Таким образом, линейные скорости точек вращающегося тела пропорциональны их расстояниям от оси вращения (чем дальше удалена точка от оси вращения, тем большую линейную скорость она имеет).
Пример.При выполнении гимнастом большого оборота на перекладине линейная скорость точки, расположенной в области тазобедренного сустава составляет 10,8 м/с, а точки, расположенной в области голеностопного сустава – 18,0 м/с.
В таблице 3.2. представлена взаимосвязь кинематических характеристик при поступательном и вращательном движениях тела.
Таблица 3.2.
Взаимосвязь показателей при поступательном и вращательном движении тела (Н.Б. Кичайкина, 2000)
| Поступательное движение | Вращательное движение | Взаимосвязь показателей |
| Линейная скорость (м/c), V | Угловая скорость (рад/c), ω | V=ω R |
| Линейное ускорение (м/c2), a | Угловое ускорение (рад/c2), e | а=e R |
Скорость движений человека и движимых им тел изменяются под действием сил. Чтобы раскрыть механизм движений (причины их возникновения и направленность их изменений) исследуют динамические характеристики. К ним относятся:
· инерционные характеристики (особенности тела человека и движимых им тел);
· силовые(особенности взаимодействия звеньев тела и других тел);
· энергетические(характеристики состояния систем).
Разные тела изменяют скорость под действием сил по-разному. Это свойство тел называется инертностью.
Инертность – свойство физических тел, от которого зависит величина получаемых ускорений при их взаимодействии.
Инерционные характеристики – это характеристики тела или системы тел. Среди инерционных характеристик различают: массу тела и момент инерции тела.
Масса тела (m) – мера инертности тела при поступательном движении. Она измеряется отношением величины приложенной силы к вызываемому ею ускорению: m=F/a,
где: m – масса; F– сила; a – ускорение.
Масса тела зависит от количества вещества, которым обладает тело и характеризует его свойство – как именно приложенная сила может изменить его движение. Одна и та же сила вызовет большее ускорение у тела с меньшей массой, чем у тела с большей массой.
В атлетизме при тренировке спортсмены используют штангу различной массы. Из личного опыта им известно, что придать штанге, имеющей большую массу ускорение значительно сложнее, чем штанге маленькой массы.
В случае вращательного движения мало знать массу тела, важно еще знать распределение масс относительно оси вращения. Например, фигурист при вращении прижимает руки к туловищу, а затем разводит их в стороны. Общая масса системы при этом не изменяется, а распределение масс становится другим, и это сказывается на движении, оно замедляется (Н.Б. Кичайкина, 2000). В механике существует характеристика, определяющая меру инертности тела во вращательном движении – момент инерции тела.
Момент инерции тела (J ) – мера инертности твердого тела при вращательном движении.
Момент инерции зависит от распределения массы относительно оси вращения. Его достаточно легко найти для простых геометрических фигур (шар, цилиндр и др.), но определить его в многозвенной системе тела человека при различных позах непросто.
Источник