Для каких значений переменных верны равенства выражающие свойства
- Главная
- Вопросы & Ответы
- Вопрос 11027569
Васян Коваль
более месяца назад
Просмотров : 5
Ответов : 1
Лучший ответ:
Онтонио Веселко
при значениях а=b
наверно
более месяца назад
Ваш ответ:
Комментарий должен быть минимум 20 символов
Чтобы получить баллы за ответ войди на сайт
Лучшее из галереи за : неделю месяц все время
Другие вопросы:
Мари Умняшка
О чем заставила задуматься поэма Пушкина “Полтава”?
более месяца назад
Смотреть ответ
Просмотров : 8
Ответов : 1
Онтонио Веселко
Что запомнилось в рассказе Дети подземелья 3-4
более месяца назад
Смотреть ответ
Просмотров : 3
Ответов : 1
Васян Коваль
Найти производную функции у=корень из 2х 3
более месяца назад
Смотреть ответ
Просмотров : 1
Ответов : 1
Пармезан Черница
Что такое ветла? Десять баллов
более месяца назад
Смотреть ответ
Просмотров : 3
Ответов : 1
Онтонио Веселко
Помогите пожалуйста даю 45 баллов, все на фотке.
более месяца назад
Смотреть ответ
Просмотров : 5
Ответов : 1
Картинок: 1
Источник
После получения общих сведений о равенствах в математике переходим к более узким темам. Материал этой статьи даст представление о свойствах числовых равенств.
Что такое числовое равенство
Первый раз мы сталкиваемся с числовыми равенствами еще в начальной школе, когда происходит знакомство с числами и понятием «столько же». Т.е. самые примитивные числовые равенства это: 2=2, 5=5 и т.д. И на том уровне изучения мы называли их просто равенствами, без уточнения «числовые», и закладывали в них количественный или порядковый смысл (который несут натуральные числа). Например, равенство 2=2 будет соответствовать изображению, на котором – два цветка и на каждом сидит по две шмеля. Или, к примеру, две очереди, где вторыми по порядку стоят Вася и Ваня.
По мере появления знаний об арифметических действиях числовые равенства становятся сложнее: 5+7=12; 6-1=5; 2·1=2; 21:7=3 и т.п. Затем начинают встречаться равенства, в записи которых участвуют числовые выражения разного рода. Например, (2+2)+5=2+(5+2); 4·(4−(1+2))+12:4−1=4·1+3−1 и т.п. Дальше мы знакомимся с прочими видами чисел, и числовые равенства приобретают все более и более интересный и разнообразный вид.
Определение 1
Числовое равенство – это равенство, обе части которого состоят из чисел и/или числовых выражений.
Свойства числовых равенств
Сложно переоценить значимость свойств числовых равенств в математике: они являются опорой многому, определяют принцип работы с числовыми равенствами, методы решений, правила работы с формулами и многое другое.Очевидно, что существует необходимость детального изучения свойств числовых равенств.
Свойства числовых равенств абсолютно согласованы с тем, как определяются действия с числами, а также с определением равных чисел через разность: число a равно числу bтолько в тех случаях, когда разность a−b есть нуль. Далее в описании каждого свойства мы проследим эту связь.
Основные свойства числовых равенств
Изучать свойства числовых равенств начнем с трех базовых свойств, которые присущи всем равенствам. Перечислим основные свойства числовых равенств:
- свойство рефлексивности: a=a;
- свойство симметричности: если a=b, то b=a;
- свойство транзитивности: если a=b и b=c, то a=c,где a, b и c – произвольные числа.
Определение 2
Свойство рефлексивности обозначает факт равенства числа самому себе: к примеру, 6=6, −3=−3, 437=437 и т.п.
Доказательство 1
Нетрудно продемонстрировать справедливость равенства a−a=0для любого числа a: разность a−a можно записать как сумму a+(−a), а свойство сложения чисел дает нам возможность утверждать, что любому числу a соответствует единственное противоположное число −a, и сумма их есть нуль.
Определение 3
Согласно свойству симметричности числовых равенств: если число a равно числу b,
то число b равно числу a. К примеру, 43=64, тогда 64=43.
Доказательство 2
Обосновать данное свойство можно через разность чисел. Условию a=b соответствует равенство a−b=0. Докажем, что b−a=0.
Запишем разность b−aв виде −(a−b), опираясь на правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак минус. Новая запись выражения равна -0, а число, противоположное нулю, это нуль. Таким образом, b−a=0, следовательно: b=a.
Определение 4
Свойство транзитивности числовых равенств гласит, что два числа равны друг другу в случае их одновременного равенства третьему числу. К примеру, если 81=9 и 9=32, то 81=32.
Свойству транзитивности также отвечает определение равных чисел через разность и свойства действий с числами. Равенствам a=b и b=c соответствуют равенства a−b=0 и b−c=0.
Доказательство 3
Докажем справедливость равенства a−c=0, из чего последует равенство чисел a и c. Посколькусложение числа с нулем не меняет само число, то a−c запишем в виде a+0−c. Вместо нуля подставим сумму противоположных чисел −b и b, тогда крайнее выражение станет таким: a+(−b+b)−c. Выполним группировку слагаемых: (a−b)+(b−c). Разности в скобках равны нулю, тогда и сумма (a−b)+(b−c) есть нуль. Это доказывает, что, когда a−b=0 и b−c=0, верно равенство a−c=0, откуда a=c.
Прочие важные свойства числовых равенств
Основные свойства числовых равенств, рассмотренные выше, являются базисом для ряда дополнительных свойств, довольно ценных в разрезе практики. Перечислим их:
Определение 5
Прибавив к (или убавив от) обеим частям числового равенства, являющегося верным, одно и то же число, получим верное числовое равенство. Запишем буквенно: если a=b, где a и b – некоторые числа, то a+c=b+c при любом c.
Доказательство 4
В качестве обоснования запишем разность (a+c)−(b+c).
Это выражение легко преобразуется в вид (a−b)+(c−c).
Из a=b по условию следует, что a−b=0 и c−c=0, тогда (a−b)+(c−c)=0+0=0. Это доказывает, что (a+c)−(b+c)=0, следовательно, a+c=b+c;
Определение 6
Если обе части верного числового равенства перемножить с любым числом или разделить на число, не равное нулю, тогда получим верное числовое равенство.
Запишем буквенно: когда a=b, то a·c=b·c при любом числе c. Если c≠0, тогда и a:c=b:c.
Доказательство 5
Равенство верно: a·c−b·c=(a−b)·c=0·c=0, и из него следует равенство произведений a·c и b·c. А деление на отличное от нуля число c возможно записать как умножение на обратное число 1c;
Определение 7
При a и b, отличных от нуля и равных между собой, обратные им числа также равны.
Запишем: когда a≠0, b≠0 и a=b, то 1a=1b. Крайнее равенство нетрудно доказать: с этой целью разделим обе части равенства a=b на число, равное произведению a·b и не равное нулю.
Укажем еще на пару свойств, которые позволяют осуществлять сложение и умножение соответствующих частей верных числовых равенств:
Определение 8
При почленном сложении верных числовых равенств получается верное равенство. Запись этого свойства такова: если a=b и c=d, то a+c=b+d для любых чисел a, b, c и d.
Доказательство 6
Обосновать это полезное свойство возможно, опираясь на указанные ранее свойства. Мы знаем, что к обеим частям верного равенства возможно прибавить любое число.
К равенству a=bприбавим число c, а к равенству c=d – число b, итогом станут верные числовые равенства: a+c=b+c и c+b=d+b. Крайнее запишем в виде: b+c=b+d. Из равенств a+c=b+c и b+c=b+d согласно свойству транзитивности следует равенство a+c=b+d. Что и нужно было доказать.
Необходимо уточнить, что почленно можно сложить не только два верных числовых равенства, но и три, и более;
Определение 7
Наконец, опишем такое свойство: почленное перемножение двух верных числовых равенств дает верное равенство. Запишем при помощи букв: если a=b и c=d, то a·c=b·d.
Доказательство 7
Доказательство этого свойства подобно доказательству предыдущего. Умножим обе части равенства на любое число, умножим a=b на c, а c=d на b, получим верные числовые равенства a·c=b·c и c·b=d·b. Крайнее запишем как b·c=b·d. Свойство транзитивности дает возможность из равенства a·c=b·c и b·c=b·d вывести равенство a·c=b·d, которое нам необходимо было доказать.
И вновь уточним, что данное свойство применимо для двух, трех и более числовых равенств.
Так, можно записать: если a=b, то an=bn для любых чисел a и b, и любого натурального числа n.
Завершим данную статью, собрав для наглядности все рассмотренные свойства:
a=a.
Если a=b, то b=a.
Если a=bи b=c, то a=c.
Если a=b, то a+c=b+c.
Если a=b, то a·c=b·c.
Если a=bи с≠0, то a:c=b:c.
Если a=b, a=b, a≠0 и b≠0, то 1a=1b.
Если a=b и c=d, то a·c=b·d.
Если a=b, то an=bn.
Источник
Числовые равенства и неравенства. Методика изучения числовых равенств и неравенств.
Возьмём два числовых выражения 32-20 и 144 : 12.
Соединим их знаком равенства. 32 -20 = 144 : 12 (и), т. к. 12=12
Получим высказывание, которое называется числовым равенством.
Это высказывание истинно.
14 + 4 • 8 = 4 • 9 (л), т. к. 46≠ 36
Определение 1. Два числа или два числовых выражения, соединённые знаком равенства, называются числовым равенством.
Определение 2. Высказывание вида a = b , где а и в числовые выражения, называется числовым равенством.
Символически числовое равенство записывается так: a = b.
Если знаком равенства соединены 2 числовых выражения, значения которых равны, то получится истинное числовое равенство, если не равны, то ложное.
Таким образом, с логической точки зрения числовое равенство – это высказывание, истинное или ложное.
Числовое равенство истинно, если значения числовых выражений, стоящих в левой и правой частях равенства, совпадают.
Свойства истинных числовых равенств
1) Если к обеим частям истинного числового равенства прибавить одно и то же число с, или числовое выражение, имеющее смысл, то получится истинное числовое равенство.
Если a = b (и), то a +c = b + c тоже истинно.
Дано: a = b истинное числовое равенство, c – число или числовое выражение, имеющее смысл
Доказать: a +c = b + c (и).
Доказательство:
По свойству рефлексивности отношения «равно» можно записать a +c = a + c .
По условию a = b , в правой части равенства заменим а на в, получим, а + с = в + с ч.т.д.
Следствие: Любой член истинного числового равенства можно переносить из одной части в другую, поменяв знак на противоположный.
a + m = b + m + n
a = – m + b + m + n
a = b + n
2) Если обе части истинного числового равенства умножить на одно и то же число с, или числовое выражение, имеющее смысл, то получится истинное числовое равенство.
Если a = b (и), то a• c = b•c тоже истинно.
Дано: a = b истинное числовое равенство, c – число или числовое выражение, имеющее смысл
Доказать: a•c = b• c (и).
Доказательство:
По свойству рефлексивности отношения «равно» можно записать a• c = a•c .
По условию a = b , в правой части равенства заменим а на в, получим, а • с = в • с ч.т.д.
Следствие: Обе части истинного числового равенства можно разделить на одно и то же число, не равное нулю.
В начальной школе истинные числовые равенства называют верными, ложные– неверными.
II. Повторение.
-Какие выражения называются числовыми выражениями? (Они образуются из чисел, знаков действий и скобок).
-Что такое значение числового выражения? (Если выполнить все действия, указанные в выражении, получим число, которое называется значением числового выражения).
-Существуют ли числовые выражения, значения которых нельзя найти?
Какие действия выполняются раньше 1 или 2 ступени? (действия второй ступени (умножение и деление), а затем действия первой ступени (сложение и вычитание)).
-Что называетсявыражением с переменной (Запись, состоящая из чисел, знаков действий, скобок и букв)
-Областью определения выражения с переменной? (множество тех значений переменной, при которых выражение имеет смысл).
-Какие преобразования относятся к тождественным?
-приведение подобных;
-раскрытие скобок;
-приведение дробей к общему знаменателю;
-группировка или заключение в скобки)
-Что такое тождественное преобразование? (Замена выражения с переменной другим выражением тождественно равным ему называется тождественным преобразованием).
-Как называются такие записи: (3 + 2)) – 12 или 3х-у:+)8, (их нельзя назвать ни числовым выражением, ни выражением с переменной).
Задача 1. Найти значение выражения Зх(х-2) + 4(х-2) при х = 6.
Решение.
1 способ. Подставим число 6 вместо переменной в данное выражение: 3-6(6-2) + 4(6-2). Чтобы найти значение полученного числового выражения, выполним все указанные действия:
3-6-(6-2) + 4-(6-2) = 18-4 + 4-4 = 72+ 16 = 88. Следовательно, при х = 6 значение выражения
Зх(х-2)+4(х-2) равно 88.
2 способ. Прежде чем подставлять число 6 в данное выражение, упростим его:
Зх(х-2) + 4(х-2) = (х-2)(Зх+4). И затем, подставив в полученное выражение вместо Х число 6, выполним действия: (6-2)-(3-6 + 4)= 4-(18+4) = 4-22 = 88.
Обратим внимание на следующее: и при первом способе решения задачи, и при втором мы одно выражение заменяли другим. Например, выражение 18-4+4-4 заменяли выражением 72+16, а выражение Зх (х-2) + 4(х-2)-выражением (х – 2)(3х + 4), причем эти замены привели к одному и тому же результату. В математике, описывая решение данной задачи, говорят, что мы выполняли тождественные преобразования выражений.
-Какие два выражения называются тождественно равными? (если при любых значениях переменных из области определения выражений их соответственные значения равны).
– Как получить тождество? (Если два тождественно равных на некотором множестве выражения соединить знаком равенства, то получим предложение, которое называют тождествомна этом множестве).
Например, 5(х + 2) = 5х + 10 – тождество на множестве действительных чисел, потому что для всех действительных чисел значения выражения 5(х + 2) и 5х + 10 совпадают. Используя обозначение квантора общности, это тождество можно записать так: ( х R)5(х + 2) = 5х + 10. Тождествами считают и верные числовые равенства.
Замена выражения другим, тождественно равным ему на некотором множестве, называется тождественным преобразованием данного выражения на этом множестве.
Задача 2. Разложить на множители выражение ax–bx+ab–b2.
Решение. Сгруппируем члены данного выражения по два (первый со вторым, третий с четвертым): ax–bx+ab–b2 = = (ax–bx) + (ab–b2). Это преобразование возможно на основании свойства ассоциативности сложения действительных чисел.
Вынесем в полученном выражении из каждой скобки общий множитель: (ax–bx)+(ab–b2) = x(a–b)+b(a–b) – это преобразование возможно на основании свойства дистрибутивности умножения относительно вычитания действительных чисел.
В полученном выражении слагаемые имеют общий множитель, вынесем его за скобки: x(a–b)+b(a–b) = (a–b)(x–b). Основой выполненного преобразования является свойство дистрибутивности умножения относительно сложения.
Итак, ax–bx+ab–b2 – (a–b)(x–b).
Числовые неравенства.
I. Повторение изученного:
– Какое предложение называют числовым равенством?
– Приведите примеры числовых равенств.
Возьмем, например, числовые выражения 3 + 2 и 6 – 1 и соединим их знаком равенства 3 + 2 = 6-1. Оно истинное. Если же соединить знаком равенства 3 + 2 и 7 – 3, то получим ложное числовое равенство 3 + 2 = 7-3.
– Можно ли числовое равенство считать высказыванием? (Да)
– Какое числовое равенство истинно? (Если значения числовых выражений, стоящих в левой и правой частях равенства, совпадают).
– Назовите свойства истинных числовых равенств.
Если к обеим частям истинного числового равенства прибавить одно и то же числовое выражение, имеющее смысл, то получим также истинное числовое равенство.
Если обе части истинного числового равенства умножить на одно и то же числовое выражение, имеющее смысл, то получим также истинное числовое равенство.
Если два числовых выражения соединить знаком «>» или «<», то получим числовое неравенство.
Определение. Два числовых выражения, соединённые знаком «>» или «<», образуют числовое неравенство.
Например, если соединить выражение 6 + 2 и 13-7 знаком «>», то получим истинное числовое неравенство 6 + 2 > 13-7 (И). Если соединить те же выражения знаком «<», получим ложное числовое неравенство 6 +2 < 13-7(Л).
Таким образом, с логической точки зрения числовое неравенство – это высказывание, истинное или ложное. А, следовательно, к числовым неравенствам можно применить логические операции.
Конъюнкцию двух числовых неравенств принято записывать в виде двойного неравенства.
(5 > 4 / 5 < 6) <=> (4 < 5 < 6)
Дизъюнкцию числового равенства и неравенства записывают в виде нестрогого неравенства
(5 > 4 V 5 = 4) <=> (5≥ 4 )
Определение. Если два числовых неравенства имеют одинаковые знаки, то их называют неравенствами одинакового смысла, если у неравенств разные знаки, то неравенствами противоположного смысла.
a >b и c > d – одинакового смысла;
a >b и c < d – противоположного смысла.
Рассмотрим свойства истинных числовых неравенств.
Свойство 1.
Для любых чисел a и b верно, что если a >b, то a – b > 0.
(a, b) (a >b=>a – b > 0).
Доказательство:
Нам дано, что a >b.По опр отношения «>», существует такое натуральное число к, что a = b + к. => по 2 опр разности a – b = к. Так как к N , к > 0, то a – b > 0 ч.т.д.
Свойство 2.
Если к обеим частям истинного числового неравенства прибавить одно и то же числовое выражение, имеющее смысл, то получим также истинное числовое неравенство.
(a, b, с) (a >b => a +с > b + с).
Доказательство:
По условию a > b, тогда по 1 свойству a – b > 0 => (a – b) + (с – с) > 0 =>применяем сочет свойство (a + с) – (b + с) > 0 => по свойству 1 a +с > b + с ч.т.д.
Свойство 3.
Обе части истинного числового неравенства можно умножать на одно и то же положительное число, в результате получим истинное числовое неравенство того же смысла.
(a, b, с>0) (a >b => a • с > b • с).
Доказательство:
По условию a > b, => a – b > 0 => (a – b) • с > 0 =>применяем распределит свойство a • с – b • с > 0 => a • с > b • с ч.т.д.
Свойство 4.
Обе части истинного числового неравенства можно умножать на одно и то же отрицательное число, в результате получим истинное числовое неравенство противоположного смысла (с противоположным знаком).
(a, b, с<0) (a >b => a • с < b • с).
Свойство 5
Истинные числовые неравенства одинакового смысла можно почленно складывать, в результате получается неравенство того же смысла.
(a, b, с, d) (a >b и c >d => a + c > b +d).
Свойство 6
Истинные числовые неравенства противоположного смысла можно почленно вычитать, сохраняя знак того неравенства, из которого вычитаем.
(a, b, с, d) (a > b и c => a – c > b – d).
Свойство 7
Истинные числовые неравенства одинакового смысла с положительными частями можно почленно перемножать, в результате получается истинное числовое неравенство того же смысла.
(a, b, с, d) (a >b >0 и c >d >0 => a • c > b • d).
Свойство 8
Истинные числовые неравенства одинакового смысла с отрицательными частями можно почленно перемножать, в результате получается истинное числовое неравенство противоположного смысла.
(a, b, с, d) (a < b < 0 и c < d < 0 => a • c > b • d).
Свойство 9
Обе части истинного числового неравенства можно возводить в одну и ту же степень с натуральным показателем, при этом получается неравенство того же смысла.
(a, b и nN) (a > b =>an > bn).
Источник