Что такое вертикальные углы и какие их свойства вы знаете
Смежные и вертикальные углы.
Напомним, что угол – это геометрическая фигура, состоящая из двух лучей, имеющих общее начало. По своему взаимному расположению углы объединяются в группы. Две такие группы мы изучим сегодня.
Смежные углы.
Изобразим прямую , отметим на ней точку . Получили развёрнутый угол . Проведём произвольный луч с началом в точке .
Луч разделил развёрнутый угол на два угла: и . Эти два угла и являются смежными.
Определение.Смежными называются два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются дополнительными полупрямыми.
На рисунке сверху – общая сторона, и – дополнительные полупрямые. (Напомним, что дополнительные полупрямые – это две полупрямые, лежащие на одной прямой, имеющие общее начало и направленные в разные стороны).
Поскольку смежные углы вместе составляют развёрнутый угол, то они обладают следующим свойством:
ТЕОРЕМА: Сумма смежных улов равна .
Дано: и – смежные
Доказать:
Доказательство.
По определению смежных углов, луч является общей стороной углов и , значит, он проходит между сторонами угла . По аксиоме V (градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается каким-нибудь лучом, проходящим между его сторонами) можем записать равенство:
Опять-таки, по определению смежных углов, лучи и – дополнительные, значит, образуют развёрнутый угол . А развёрнутый угол имеет градусную меру, равную . Значит,
ч.т.д.
Из этой теоремы выходят три следствия, которые предлагаются для самостоятельного доказательства.
Следствие 1. Если два угла равны, то смежные с ними углы тоже равны.
Следствие 2. Угол, смежный с прямым углом, есть прямой угол.
Следствие 3. Угол, смежный с острым углом, – тупой; угол, смежный с тупым углом, – острый.
Вертикальные углы.
Проведём две прямые и , пересекающиеся в точке . Среди всех получившихся углов обратим внимание на те углы, стороны которых являются дополнительными полупрямыми.
Определение. Вертикальными называются два угла, у которых стороны одного угла являются дополнительными полупрямыми к сторонам другого угла.
На рисунке луч является дополнительным к лучу , а луч – дополнительным к лучу . Значит, и – вертикальные. Аналогично, и – тоже вертикальные. Т.е., при пересечении двух прямых получается две пары вертикальных углов. Визуально вы, наверное, заметили, что вертикальные углы равны. А теперь мы это докажем.
ТЕОРЕМА: Вертикальные углы равны.
Дано: и – вертикальные,
и – вертикальные
Доказать: и
Доказательство.
1. – развёрнутый, значит, . Луч проходит между его сторонами, т.е.
2. – развёрнутый, значит, . Луч проходит между его сторонами, т.е.
3. Рассмотрим последние равенства из пункта 1 и пункта 2:
Здесь мы использовали логическую связку: «Если в двух равенствах правые части равны, значит, равны и левые части».
Аналогично доказывается равенство углов . Предлагаю это доказательство провести самостоятельно.
Теорема доказана.
Укажите, на каком рисунке изображены смежные углы.
На прямой отмечена точка , из которой проведены два луча и . Назовите пары смежных углов, которые вы видите на этом рисунке.
Угол смежный с углом , равен . Найдите угол .
Поставьте нужные обозначения и выпишите углы, смежные с углом, изображённым на рисунке. Каким свойством они обладают?
Углы и – смежные. Угол больше угла в 4 раза. Найдите угол .
Из четырёх углов, образованных при пересечении двух прямых, меньший угол равен . Найдите остальные углы.
Нарисуйте угол. Постройте смежный с ним угол. Сколько таких углов можно построить?
Нарисуйте луч . Нарисуйте ещё два луча так, чтобы вместе с данным они образовали смежные углы.
Найдите угол, смежный с углами: .
Нарисуйте два смежных угла. Какая фигура является их пересечением? объединением?
Найдите смежные углы, если:
один из них на больше другого;
их разность равна ;
один в 5 раз меньше другого;
они равны.
12. Найдите смежные углы, если их градусные меры относятся как:
.
Чему равен угол, если два смежных с ним угла составляют в сумме ?
На рисунке . Найдите .
Из двух смежных углов один больше другого на . Найдите больший их этих углов.
На рисунке . Найдите .
Углы и являются смежными. Угол равен . Найдите угол .
Из четырёх углов, образованных при пересечении двух прямых, больший угол равен . Найдите остальные углы.
Три прямые пересекаются в точке . Найдите сумму углов 1, 2 и 3.
На рисунке . Найдите .
Укажите, на каком рисунке изображены вертикальные углы.
Углы и – смежные, при этом угол меньше угла на . Найдите угол .
Сколько различных углов образуется при пересечении двух прямых? Какими свойствами они обладают?
Сколько пар вертикальных углов и сколько пар смежных углов изображено на рисунке? Назовите их.
Один из углов, которые получаются при пересечении двух прямых, равен . Чему равны остальные углы?
Докажите, что если один из четырёх углов, образованных двумя пересекающимися прямыми, имеет величину , то величины трёх остальных углов также равны .
Сумма величин двух вертикальных углов равна . Найдите величину каждого из них.
Из двух смежных углов один больше другого на . Найдите меньший их этих углов.
На рисунке . Найдите .
Один из смежных углов равен . Чему равен второй угол?
На рисунке изображены три прямые, проходящие через одну точку . Соотношения величин трёх из шести образовавшихся углов указаны на рисунке. Найдите их градусные меры. Чему равен наименьший из них?
Нарисуйте два угла и , имеющие общую сторону и общую вершину так, чтобы они были а) смежными; б) не смежными.
Найдите , если:
на меньше, чем
в 3 раза меньше, чем
величины углов и относятся, как т.е.
Даны пары смежных углов: , причём, луч – биссектриса . Известно, что . Сделайте чертёж и найдите градусную меру .
Даны углы и . Какой может быть величина угла ? Сделайте чертёж.
Один из двух вертикальных углов равен . Найдите второй угол.
На рисунке изображены три прямые, проходящие через одну точку . Соотношения величин трёх из шести образовавшихся углов указаны на рисунке. Найдите их градусные меры. Чему равен наибольший из них?
Нарисуйте два угла, имеющие общую вершину так, чтобы сторона одного из этих углов являлась бы дополнительной прямой к стороне другого угла, и так, чтобы они были: а) вертикальными; б) не вертикальными.
Найдите , если:
на меньше, чем
в 2 раза меньше
величины углов и относятся как т.е.
Даны две пары смежных углов: , причём, луч – биссектриса , а луч – биссектриса . Сделайте чертёж и найдите градусную меру .
Даны углы и . Какой может быть величина угла ?
На рисунке изображены три прямые, проходящие через одну точку . Соотношения величин трёх из шести образовавшихся углов указаны на рисунке. Найдите их градусные меры. Чему равен наибольший из них?
Нарисуйте два угла и , имеющие общую сторону и общую вершину так, чтобы они были: а) смежными; б) не смежными.
Найдите , если:
на меньше, чем
в 2 раза меньше
величины углов и относятся как т.е.
Даны две пары смежных углов: , причём, луч – биссектриса . Известно, что . Сделайте чертёж и найдите градусную меру .
Даны углы и . Какой может быть величина угла ? Сделайте чертёж.
На рисунке показаны величины двух углов. Найдите величины углов и .
При пересечении двух прямых образовалось четыре угла, один из которых в 4 раза меньше суммы остальных трёх углов. Найдите все эти четыре угла.
На рисунке показаны величины двух углов. Найдите величины углов и .
При пересечении двух прямых образовалось четыре угла, один из которых относится к сумме трёх других как . Найдите эти четыре угла.
На рисунке показаны величины двух углов. Найдите величины углов и .
При пересечении двух прямых образовалось четыре угла, один из которых в 2 раза больше суммы двух других углов. Найдите все эти четыре угла.
Смежные углы относятся, как . Найдите эти углы.
Один из смежных углов больше другого на . Найдите эти углы.
При пересечении двух прямых образовалось четыре угла меньше развёрнутого. Найдите эти углы, зная, что один из них на больше половины другого.
При пересечении двух прямых образовалось четыре угла меньше развёрнутого. Найдите эти углы, зная, что градусные меры двух из них относятся как .
Прямые и пересекаются в точке . Внутри угла взята точка , а внутри угла – точка . .
Найдите углы и .
Являются ли углы и вертикальными? Ответ объясните.
Развёрнутый угол делит плоскость на две полуплоскости. Точка лежит в одной полуплоскости, а точка – в другой; .
Равны ли углы и ? Ответ объясните.
Являются ли углы и вертикальными? Ответ объясните.
Найдите величины углов, образованных при пересечении двух прямых, если один из них равен .
Найдите величины углов, образованных при пересечении двух прямых, если:
один из них на больше другого;
один из них составляет половину другого;
сумма величин двух из них равна .
Один из углов, которые образуются при пересечении двух прямых, на меньше другого. Найдите эти углы.
Найдите углы, которые образуются при пересечении двух прямых, если сумма трёх углов равна .
Дан угол со сторонами и . Проведите полупрямую , дополнительную к . Чему равен угол со сторонами и ? Какими являются углы со сторонами и ?
На рисунке изображены три прямые, пересекающиеся в точке . Найдите сумму углов .
На рисунке . Найдите углы .
Сумма вертикальных углов в два раза больше угла, смежного с обоими. Найдите эти углы.
На плоскости расположены четыре прямые. Известны углы между некоторыми из них: . Найдите углы между остальными парами прямых.
Найдите все неразвёрнутые углы, образованные при пересечении двух прямых, если разность двух из них равна .
Точка лежит на биссектрисе угла , а точка лежит внутри угла, смежного с углом . Найдите угол , если .
Найдите смежные углы, если их градусные меры относятся как .
Точка лежит на биссектрисе угла , а точка лежит внутри угла, вертикального по отношению к углу . Найдите угол , если .
Сумма градусных мер двух вертикальных углов равна . Найдите градусную меру каждого из этих углов.
Сумма градусных мер двух смежных углов равна . Найдите градусную меру каждого из этих углов.
Разность градусных мер двух вертикальных углов равна . Найдите градусную меру каждого из этих углов.
Разность градусных мер двух смежных углов равна . Найдите градусную меру каждого из этих углов.
Градусная мера одного из смежных углов в три раза больше другого. Найдите градусную меру большего из смежных углов.
Прямые и пересекаются в точке . Сумма градусных мер углов и равна . Найдите градусную меру угла .
Прямые и пересекаются в точке . Сумма градусных мер углов и равна . Найдите градусную меру угла .
Сумма градусных мер вертикальных углов равна . Найдите градусные меры каждого из этих углов.
Сумма градусных мер двух смежных углов равна . Найдите градусную меру каждого из этих углов.
Разность градусных мер двух вертикальных углов равна . Найдите градусную меру каждого из этих углов.
Разность градусных мер двух смежных углов равна . Найдите градусную меру каждого из этих углов.
Градусная мера одного из смежных углов в семь раз больше другого. Найдите градусную меру большего из смежных углов.
Прямые и пересекаются в точке . Сумма градусных мер углов и равна . Найдите градусную меру угла .
Прямые и пересекаются в точке . Сумма градусных мер углов и равна . Найдите градусную меру угла .
Один из смежных углов на меньше другого. Найдите эти смежные углы.
Найдите все неразвёрнутые углы, образованные при пересечении двух прямых, если сумма двух из них равна .
Один из смежных углов в 11 раз больше другого. Найдите эти смежные углы.
Найдите все неразвёрнутые углы, образованные при пересечении двух прямых, если сумма двух из них равна .
С помощью транспортира начертите угол, равный , и проведите биссектрису смежного с ним угла.
С помощью транспортира начертите угол, равный , и проведите биссектрису смежного с ним угла.
На плоскости проведены четыре попарно пересекающиеся прямые. Укажите пары смежных углов.
Углы и – смежные. Угол на больше угла . Найдите угол . Сделайте чертёж.
Из точки выходят четыре луча и . Каждый из углов и является смежным с углом . Найдите угол , если угол равен . Сделайте рисунок.
Углы и – смежные, луч – биссектриса угла . Найдите угол , если . Сделайте рисунок.
На рисунке и . Найдите угол 1.
Найдите угол, если сумма двух смежных с ним углов равна .
На плоскости проведены четыре попарно пересекающиеся прямые. Укажите пары смежных углов.
Углы и – смежные. Угол в 3 раза больше угла . Найдите угол . Сделайте чертёж.
Из точки выходят четыре луча и . Лучи и лежат на одной прямой, а углы и – смежные. Найдите угол , если угол равен . Сделайте рисунок.
При пересечении прямых и образовались четыре угла. Углы и – вертикальные, луч – биссектриса угла . Найдите угол , если . Сделайте чертёж.
На рисунке и . Найдите угол 4.
Один из смежных углов в пять раз больше другого. Найдите эти углы.
12
Источник
Медвед 7 лет назад Вертикальными называются углы, образованные пересекающимися прямыми и не являющиеся прилегающими друг к другу, то есть общей стороны у них нет, но вертикальные углы имеют вершину в одной точке. Вертикальные углы равны между собой. автор вопроса выбрал этот ответ лучшим Lalique 3 года назад Изучая школьный курс геометрии, мы знаем что есть вертикальные и смежные углы. Вертикальные углы довольно просто получить построением. Рисуем два луча, которые имеют точку пересечения. Теперь мы видим, что образовалось четыре угла. Те углы, которые будут симметричны относительно центра – именуют вертикальными. У этих углов есть одно главное свойство: они равны по величине. Знание этого равенства позволяет решить различные геометрические задачи неугомонная 4 года назад Вертикальные углы. Нарисовали две скрещенные прямые. Углы напротив друг друга будут вертикальными. Они касаются в одной точке в вершине. Прямая дает сторону углу одному и сторону углу другому. Получается четрые всего угла. Пара противоположных углов является вертикальными. TextExpert 3 года назад Это два угла, имеющие одну вершину – у двух пересекающихся прямых отрезков это два противоположных угла, где сторона одного есть продолжение стороны другого угла. Естественно, что такие углы будут равны друг с другом. Сashshi 7 лет назад Вертикальные углы — два угла, которые образуются при пересечении двух прямых, эти углы не имеют общих сторон. Другими словами — два угла называют вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого. Два вертикальных угла равны. Так же они в сумме дают девяносто градусов. Что мешает вам просто открыть учебник – все еще загадка для меня. Знаете ответ? |
Источник
День 4, занятие 3 Раздаточный материал 4
Раздел долгосрочного планирования: 7.1.А.
Начальные геометрические сведения
Школа: КГУ «Зааятская СШ»
Дата :
ФИО учителя: Ахмеджанова Румия Рафаиловна
класс: 7
Участвовали:
Не участвовали:
Тема урока
Смежные и вертикальные углы, и их свойства (2 урок)
Цели обучения, достигаемые на этом уроке
7.1.1.32
знать понятие о перпендикуляре;
7.1.1.10
доказывать и применять свойства вертикальных и смежных углов.
Цель урока
Все:
знать понятие о перпендикуляре;
определять смежные и вертикальные углы;
доказывать и применять свойства вертикальных и смежных углов.
Большинство: находить вертикальные и смежные углы через составления уравнения.
Критерии оценивания
Все:
знают понятие о перпендикуляре;
определяют смежные и вертикальные углы;
доказывают и применяют свойства вертикальных и смежных углов.
Большинство: находят вертикальные и смежные углы через составления уравнения.
Языковые задачи
Учащиеся будут:
– воспроизводить формулировки
теорем;
– объяснять выполнение чертежа;
– комментировать решения задач
Предметная лексика и терминология
– аксиома, теорема;
– виды углов, острый угол, тупой угол,
развернутый угол, прямой угол;
– вертикальные углы, смежные углы;
Серия полезных фраз для диалога
– отрезки/углы равны…;
−градусная мера углов…;
−углы смежные, если….
−углы вертикальные, если…
Уровни мыслительных навыков
Знание, понимание, применение, анализ, синтез, оценка
Воспитание ценностей
Сотрудничество, трудолюбие, аккуратность, самостоятельность через групповую и индивидуальную работу.
Межпредметная связь
Черчение, музыка, география
Предыдущие знания
Умение использовать линейку и транспортир при построении и измерении отрезков и углов; полуплоскость и угол; равенство углов .
Ход урока
Запланированные этапы урока
Виды упражнений, запланированных на урок:
Ресурсы
Начало урока
7 минут
Фронтальная работа
Фронтальный опрос
I.Организационный момент.
Психологическая подготовка учащихся к уроку на организацию внимания «воздушный змей».
Учитель: -Прежде, чем мы начнем наш урок сконцентрируем ваше внимание. Сядьте удобней, закройте глаза, и представьте, что вы держите в руках воздушный змей.
Какого цвета ваш воздушный змей.
Теперь выпустите его в небо и откройте глаза.
Какого цвета вы отпустили в небо воздушного змея?
Сигнальные карточки
– желтый – символ света и солнца;
– синий – покой, гармония с людьми и с самим собой;
– красный – возбуждения, агрессии;
– зеленый – самый спокойный и мирный цвет;
– фиолетовый – олицетворяет духовную чистоту, цвет космоса;
– оранжевый – цвет радости, гордости, власти, силы.
Учитель: -По выбранным цветам я могу судить, что вы сегодня готовы к уроку, и мы начинаем.
Мы продолжаем тему смежные и вертикальные углы, и их свойства.
– Как вы думаете каковы цели нашего урока?
(Учащиеся определяют цель урока).
-Где нам может это пригодится?
II. Проверка домашнего задания
Цель: 7.1.1.9
знать определения смежных и вертикальных углов
Критериальное оценивание:
-знают определения смежных и вертикальных углов;
-умеют находить количество углов смежных и вертикальных данному
Уровни мыслительных навыков: знание, понимание.
№ 4.8; 4.9; 4.10.
Задание
Дескриптор:- знают определения смежных и вертикальных углов
-умеют находить количество углов смежных и вертикальных данному
ФО. Взаимооценивание. Меняются друг с другом тетрадями(проверяют тетрадь соседа по парте) и проверяют по образцу на экране.
Когда проверят меняются обратно.
Прием «Светофор».
Покажите сигнальной карточкой кто справился, а кто нет.
– поднять зеленую, кто справился с домашним заданием;
-желтую, кто справился, но допустил ошибки;
-красную, кто совсем не справился.
Обратная связь:
Учитель:- Какие трудности были при выполнении домашнего задания?
III. Актуализация опорных знаний
Вопросы:
Что такое луч?
Какая фигура называется отрезком?
Какая фигура называется углом?
В каких единицах измеряются углы?
Какой угол называется острым?
Какой угол называется прямым?
Какой угол называется тупым?
Какой угол называется развернутым?
Какие прямые называются перепендикулярными?
Могут ли два смежных угла быть: острыми, тупыми, прямыми. Почему?
Отрезки/ углы называются равными, если…
Углы смежные, если…
Углы вертикальные, если…
ФО: самооценивание
Прием «Бросание мяча». Учитель задает вопрос, бросая мяч ученику. Ученик отвечает на вопрос, если он не может ответить на вопрос, то перекидывает мяч другому ученику. Учащиеся воспроизводят формулировки теорем.
Обратная связь: –Что бы вы пожелали своим одноклассникам, которые допускали ошибки?
Звучит спокойная музыка
Презентация
на экране
Карточки
разных цветов
Презентация
Слайд с готовым домашним заданием
Мяч
Середина урока
Работа в группах
10 минут
Индивидуальная работа
8 минут
12 минутСамостоятельная работа.
Предлагаю классу рассчитаться на первый, второй.
Образовываются две смешанные группы.
1 группа: Смежные
2 группа: Вертикальные
Каждой группе дается одинаковая карточка, но с разными заданиями.
Цель обучения:7.1.1.10 доказывать и применять свойства вертикальных и смежных углов
Критерийоценивания:
-доказывают и применяют свойства вертикальных и смежных углов
Уровни мыслительных навыков: знание, понимание, применение
В С
О
А Д
Задание:
1 группа: 1)найти и написать смежные углы;
2) доказать, что они смежные.
2 группа: 1) найти и написать вертикальные углы;
2) доказать, что они веритикальные.
Дескриптор:
-определяют смежные и вертикальные углы;
-доказывают свойства смежных и вертикальных углов.
ФО. Взаимооценивание. Меняются друг с другом записями (одна группа проверяет другую группу) и проверяют по образцу на экране.
Когда проверят меняются обратно.
Прием «Светофор».
Обратная связь:
-Что было для вас сложным?
-На что нужно обратить внимание, чтобы справляться с заданием?
Дифференциация по результату
Практическая работа
Цель: 7.1.1.32 знать понятие о перпендикуляре
Критерийоценивания
-знает понятие о перпендикуляре.
Уровни мыслительных навыков: применение, анализ
Задание:
Лодка плыла на юг, затем повернула на 900. В каком направлении она теперь плывет? Сколько решений имеет задача? Сколько раз и в какую сторону должна повернуться лодка на 90, чтобы вернуться обратно? Начертите путь лодки.
Дескриптор:
– выполняют чертеж;
– знают понятие о перпендикуляре;
– находят все решения.
ФО: самооценивание
Учащиеся знают направление сторон света, но также можно показать на экране, если кто-то забыл.
Прием «Углы». Вчетырех углах класса развесить возможные ответы. Ученики размещаются в тех углах, который считают правильным. Те ученики которые выполнили несколькими способами, становятся посередине класса.
Каждая группа формулирует свой ответ. Объясняет выполнение чертежа.
Затем обосновывает и доказывает свой ответ, те кто посередине класса. Если какая то группа соглашается, то переходит в середину класса.
Обратная связь: –почему задача все таки имеет несколько решений?
Дифференциация по уровню сложности задания.
Цель: определять смежные и вертикальные углы;
Критерийоценивания
Обучающийся
-определяет смежные и вертикальные углы;
Уровни мыслительных навыков: знание, понимание, применение.
Задание
Уровень А
Рис.1 Рис.2
1. 1=47˚. Найдите 2.(рис1)
2. 1=15˚. Найдите 2, 3 , 4. (рис2)
3. 1+4=78˚. Найдите1,2, 3 , 4. (рис2)
Уровень В
1.Один из смежных углов в 9 раз больше другого. Найдите эти углы.
2.Сумма трех углов, образовавшихся при пересечении двух прямых, равна 240˚. Найдите все образовавшиеся углы.
Дескриптор:
-определяют смежные и вертикальные углы;
-находят вертикальные и смежные углы через составление уравнения
ФО: самооценивание по образцу на экране
Прием: «Светофор»
Покажите сигнальной карточкой кто справился, а кто нет.
– поднять зеленую, кто справился с заданием;
-желтую, кто справился, но допустил ошибки;
-красную, кто совсем не справился
Обратная связь: –какие задания были трудными?
карточка
Презентация
с
з в
ю
Раздаточный материал
(карточки)
Презентация
Конец урока
3 минуты
Домашнее задание: дифференциация по источникам.
учащиеся самостоятельно выбирают уровень сложности задания
Уровень А: найти смежные и вертикальные углы в окружающем мире (своего села).
Уровень В: составить задачу на составление уравнения по теме «Смежные и вертикальные углы, и их свойства» используя материалы интернета.
Рефлексия: итак, подведем итоги нашего урока.
Сигнальные карточки. Прием: «Светофор»
-желтая, если понял, но нужно повторить
– зеленая, все понял
Сигнальные карточки
Дифференциация – каким способом вы хотите больше оказывать поддержку? Какие задания вы даете ученикам более способным по сравнению с другими?
Оценивание – как Вы планируете проверять уровень усвоения материала учащимися?
Охрана здоровья и соблюдение техники безопасности
Дифференциация по уровню сложности (самостоятельная работа).
Дифференциация по источникам (домашнее задание)
Дифференциация по заключению(индивидуальная работа)
Дифференциация по уровню знаний(цели урока)
Обратная связь.
Взаимооценивание.
«Сигнальные карточки».
Самооценивание .
Приём «Светофор».
Метод «Углы»
.
Психологический настрой.
Движение во время метода «Углы»
Рефлексия по уроку
Была ли реальной и доступной цель урока или учебные цели?
Все ли учащиесы достигли цели обучения? Если ученики еще не достигли цели, как вы думаете, почему? Правильно проводилась дифференциация на уроке?
Эффективно ли использовали вы время во время этапов урока? Были ли отклонения от плана урока, и почему?
Используйте данный раздел урока для рефлексии. Ответьте на вопросы, которые имеют важное значение в этом столбце.
Итоговая оценка
Какие две вещи прошли действительно хорошо (принимайте в расчет, как преподавание, так и учение)?
1:
2:
Какие две вещи могли бы улучшить Ваш урок (принимайте в расчет, как преподавание, так и учение)?
1:
2:
Что нового я узнал из этого урока о своем классе или об отдельных учениках, что я мог бы использовать при планировании следующего урока?
Источник