Что такое ромб квадрат какие их свойства

Автор:

02 апреля 2019 08:28

Мы все учили в школе геометрию, но с годами многое подзабыли. Чтобы не попасть впросак, когда ваш ребенок спросит, чем ромб отличается от квадрата, почитайте эту статью и вспомните, казалось бы, давно забытое.

Вспоминаем геометрию: ромб и квадрат – в чем отличие?

Источник:

Очень часто четкое определение какого-либо предмета дает о нем практически полную информацию. Вот, например, ромб и квадрат – едва ли не самые распространенные геометрические фигуры. Глядя на них, мы понимаем, что они отличаются, но вот чем и как это объяснить простыми словами? Давайте разбираться.

Что представляет собой ромб

Источник:

Геометрия дает такое определение ромба: «Ромбом называется параллелограмм…». Стоп, сначала придется вспомнить, что такое параллелограмм. Это многоугольник с четырьмя углами, у которого противоположные стороны параллельны. А какими же свойствами обладает ромб как разновидность параллелограмма? Вот они:
1. Если соединить противоположные углы ромба диагоналями, то углы их пересечения составят 90º, то есть они взаимно перпендикулярны.
2. Эти диагонали (вообще-то в строгой науке геометрии принято говорить «отрезки диагоналей ромба») лежат на биссектрисах, делящих его углы пополам (помните школьный стишок: «Биссектриса – это такая крыса, которая бегает по углам и делит угол пополам»? Ребенку тоже будет полезно).

Что представляет собой квадрат

Источник:

С квадратом все намного проще, его определение звучит так: квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны. Теперь нужно определить, что такое прямоугольник. Это тоже параллелограмм, как и ромб, но с прямыми углами, то есть равными 90º.

Основные свойства квадрата следующие:
1. Если провести биссектрисы всех углов квадрата (напомним, что углы прямые), то отрезки диагоналей квадрата будут лежать на этих биссектрисах.
2. Если провести диагонали между противоположными углами квадрата, то в центре симметрии квадрата, где эти диагонали пересекутся, они поделятся пополам.
3. Все отрезки диагоналей квадрата будут равны между собой.

Так в чем же отличие?

Источник:

Проще всего это понять и продемонстрировать ребенку с помощью спичек или зубочисток. Возьмите 4 спички и сделайте из них ромб. Обратите внимание на то, что у ромба разные углы: 2 острых и 2 тупых. А теперь превратите ромб в квадрат – просто сдвиньте спички таким образом, чтобы все углы стали прямыми, то есть по 90º.

Таким образом, получается, что квадрат – это как бы частный случай ромба (хотя настоящему специалисту это определение может показаться не совсем научным).

Еще одно отличие заключается в том, что у квадрата диагонали равны друг другу, а у ромба одна длиннее, а другая короче.

Вывод: каждый квадрат – это ромб с прямыми углами, но не каждый ромб – это квадрат.

Источник:

Ссылки по теме:

Что такое ромб квадрат какие их свойства

Понравился пост? Поддержи Фишки, нажми:

Источник

У этого термина существуют и другие значения, см. Ромб (значения).

Ромб (др.-греч. ῥόμβος, лат. rombus, в буквальном переводе: «бубен») — это параллелограмм, у которого все стороны равны[1].

Этимология[править | править код]

Термин «ромб» происходит от др.-греч. ῥόμβος — «бубен». Если сейчас бубны в основном делают круглой формы, то раньше их делали как раз в форме квадрата или ромба. Поэтому название карточной масти бубны, знаки которой имеют ромбическую форму, происходит ещё с тех времён, когда бубны не были круглыми.

Слово «ромб» впервые употребляется у Герона и Паппа Александрийского.

Свойства[править | править код]

Ромб является параллелограммом, поэтому его противолежащие стороны равны и попарно параллельны: АВ || CD, AD || ВС. Противоположные углы ромба равны, а соседние углы дополняют друг друга до 180°.
Диагонали ромба пересекаются под прямым углом (AC ⊥ BD) и в точке пересечения делятся пополам. Тем самым диагонали делят ромб на четыре прямоугольных треугольника.
Диагонали ромба являются биссектрисами его углов (∠DCA = ∠BCA, ∠ABD = ∠CBD и т. д.).
Сумма квадратов диагоналей равна квадрату стороны, умноженному на 4 (следствие из тождества параллелограмма).
Середины четырех сторон ромба являются вершинами прямоугольника.
Диагонали ромба являются перпендикулярными осями его симметрии.
В любой ромб можно вписать окружность, центр которой лежит на пересечении его диагоналей.

Признаки[править | править код]

Параллелограмм является ромбом тогда и только тогда, когда выполняется хотя бы одно из следующих условий[2]:

Две его смежные стороны равны (отсюда следует, что все стороны равны, ).
Его диагонали пересекаются под прямым углом (AC ⊥ BD).
Одна из диагоналей делит содержащие её углы пополам.

Предположим, что заранее не известно, что четырёхугольник является параллелограммом, но дано, что все его стороны равны. Тогда этот четырёхугольник есть ромб[1].

Квадрат, как частный случай ромба[править | править код]

Из определения квадрата, как четырёхугольника, у которого все стороны и углы равны, следует, что квадрат — частный случай ромба. Иногда квадрат определяют, как ромб, у которого все углы равны.

Однако иногда под ромбом может пониматься только четырёхугольник с непрямыми углами, то есть с парой острых и парой тупых углов[3][4].

Уравнение ромба[править | править код]

Уравнение ромба с центром в точке и диагоналями, параллельными осям координат, может быть записано в виде:

где — половины длин диагоналей ромба по осям соответственно.

Длина стороны ромба равна Площадь ромба равна Левый угол ромба рассчитывается по формуле:

Второй угол дополняет его до 180°.

В случае a = b уравнение отображает повёрнутый на 45° квадрат:

где сторона квадрата равна а его диагональ равна Соответственно площадь квадрата равна

Из уравнения видно, что ромб можно рассматривать как суперэллипс степени 1.

Площадь ромба[править | править код]

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

Поскольку ромб является параллелограммом, его площадь также равна произведению его стороны на высоту.

Кроме того, площадь ромба может быть вычислена по формуле:

где — угол между двумя смежными сторонами ромба.

Также площадь ромба можно рассчитать по формуле, где присутствует радиус вписанной окружности и угол :

Радиус вписанной окружности[править | править код]

Радиус вписанной окружности r может быть выражен через диагонали p и q в виде:[5]

В геральдике[править | править код]

Ромб является простой геральдической фигурой.

Червлёный ромб в серебряном поле
В червлёном поле 3 сквозных ромба: 2 и 1
Просверленный червлёный ромб в серебряном поле
В лазури левая перевязь, составленная из пяти вертикальных золотых ромбов

Симметрия[править | править код]

Ромб симметричен относительно любой из своих диагоналей, поэтому часто используется в орнаментах и паркетах.

Ромбический орнамент
Ромбические звёзды
Более сложный орнамент

См. другие примеры на Викискладе.

См. также[править | править код]

Дельтоид
Звезда (геометрия)
Ромбододекаэдр
Ромбоид

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: Наука, 1978.
Зайцев В. В., Рыжков В. В., Сканави М. И. Элементарная математика. Повторительный курс. — Издание третье, стереотипное. — М.: Наука, 1976. — 591 с.

Источник

Предварительные сведения

Для начала разберемся с таким понятием, как параллелограмм.

Определение 1

Четырехугольником называется многоугольник, у которого $4$ вершины.

Четырехугольник имеет $4$ стороны, $4$ вершины и $4$ угла. Стороны, не имеющие общих вершин, называют противоположными сторона четырехугольника, в противном случае они называются смежными. Углы, не имеющие общих сторон, также называют смежными.

Введем теперь, непосредственно, определение параллелограмма.

Определение 2

Параллелограмм — это четырехугольник, в котором противоположные стороны параллельны между собой.

Напомним основные свойства параллелограмма.

Свойство 1: Противоположные стороны и углы параллелограмма равны, соответственно, между собой.

Свойство 2: Диагонали, проведенные в параллелограмме, делятся пополам их точкой пересечения.

Рассмотрим далее подробно понятия прямоугольника, ромба и квадрата.

Прямоугольник

Определение 3

Параллелограмм, у которого есть прямой угол, называется прямоугольником (рис. 1).

Прямоугольник

Рисунок 1. Прямоугольник

Готовые работы на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту
Узнать стоимость

Очевидно, что в прямоугольнике все четыре угла равняются ${90}^0$

Рассмотрим два свойства прямоугольника.

Свойство 3: Обе диагонали прямоугольника равны между собой.

Доказательство.

Пусть нам дан прямоугольник $ABCD$. Проведем в нем диагонали $AC$ и $BD$ (рис. 2). Докажем, что $AC=BD$.

Что такое ромб квадрат какие их свойства

Рисунок 2.

Так как прямоугольник по определению $1$ является параллелограммом, то по свойству $1$ параллелограмма, имеем

Так как $angle B=angle A={90}^0$, а $AB$ – общая сторона, то по I признаку равенства треугольников, $triangle ABD=triangle ABC$. Следовательно

Свойство доказано.

Свойство 4 (признак прямоугольника): Если обе диагонали параллелограмма равны между собой, то он является прямоугольником.

Доказательство.

Пусть нам дан прямоугольник $ABCD$. Проведем в нем диагонали $AC$ и $BD$. Пусть они пересекаются в точке $R$ (рис. 2).

Из свойства $2$ параллелограмма и равенства его диагоналей, получим

Так как $angle DRC=angle ARB$, как вертикальные, то по $I$ признаку равенства треугольников $triangle DRC=triangle ARB$. Значит, $angle RDC=angle RCD=angle RAB={rm }angle RBA$.

Так как $angle DRA=angle CRB$, как вертикальные, то по I признаку равенства треугольников $triangle DRA=triangle CRB$. Значит, $angle RDA=angle RAD=angle RCB={rm }angle RBC$.

Следовательно, $angle A=angle B=angle C=angle D$.

Так как сумма углов четырехугольника равняется ${360}^0$, то

Значит, по определению $3$, $ABCD$ является прямоугольником.

Свойство доказано.

Ромб

Определение 4

Параллелограмм, у которого все его четыре стороны равны между собой, называется ромбом (рис. 3).

Ромб

Рисунок 3. Ромб

Рассмотрим свойство ромба.

Свойство 5: Диагонали ромба являются биссектрисами его углов и перпендикулярны друг другу.

Доказательство.

Пусть нам дан ромб $ABCD$. Проведем в нем диагонали $AC$ и $BD$. Пусть они пересекаются в точке $E$ (рис. 4).

Что такое ромб квадрат какие их свойства

Рисунок 4.

Так как ромб является прямоугольником с равными сторонами, то

Следовательно, по третьему признаку равенства треугольников,

Это доказывает, что диагонали являются биссектрисами углов ромба.

Так как $AB=AD$, то треугольник $ABD$ равнобедренный, а так как $AE$ – медиана треугольника $ABD$, то $AC$ перпендикулярно $BD$.

Свойство доказано.

Квадрат

Прямоугольник, у которого все его четыре стороны равны между собой, называется квадратом (рис. 5).

Квадрат

Рисунок 5. Квадрат

Очевидно, что квадрат — частный случай ромба. Следовательно, квадрат обладает всеми свойствами прямоугольника и ромба.

Пример задачи

Пример 1

Найти периметр квадрата, диагональ которого равняется $10$.

Решение.

Обозначим сторону квадрата через $a$. Тогда, по теореме Пифагора

[a^2+a^2=100] [{2a}^2=100] [a^2=50] [a=5sqrt{2}] [P=4a=20sqrt{2}]

Ответ: $20sqrt{2}$.

Источник

Главная
Справочники
Справочник по геометрии 7-9 класс
Четырехугольники
Ромб и квадрат

Частным видом параллелограмма является ромб.

Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны

Что такое ромб квадрат какие их свойства

ABCD – ромб.

Ромб обладает всеми свойствами параллелограмма.

Особое свойство ромба

Доказательство

Дано: ABCD – ромб

Доказать: ACBD, Что такое ромб квадрат какие их свойства ADO = CDO

Доказательство:

Что такое ромб квадрат какие их свойства

AD = DC (по определению ромба), значит, Что такое ромб квадрат какие их свойства ADC – равнобедренный.

AO = OC (по свойству диагоналей параллелограмма), Что такое ромб квадрат какие их свойства DO – медиана ADC , а в равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является высотой и биссектрисой, Что такое ромб квадрат какие их свойства ACBD, ADO = CDO, что и требовалось доказать.

Теорема

Доказательство

Дано: ABCD – параллелограмм, ACBD

Доказать: ABCD – ромб

Доказательство:

Что такое ромб квадрат какие их свойства

Рассмотрим Что такое ромб квадрат какие их свойства AOВ и COВ:

Т.к. ACBD, то Что такое ромб квадрат какие их свойства AOВ = COВ = 900;

AO = OC (по свойству диагоналей параллелограмма), ОВ – общий катет, Что такое ромб квадрат какие их свойства AOВ = COВ (по двум катетам). В равных треугольниках против соответственно равных углов лежат равные стороны, ВС = ВА.

В параллелограмме противоположные стороны равны, Что такое ромб квадрат какие их свойства AD = BC, AB = DC

Итак: ABCD – параллелограмм (по условию) AD = BC =AB = DC (по доказанному). Что такое ромб квадрат какие их свойства ABCD – ромб, что и требовалось доказать.

Теорема

Если диагональ параллелограмма является биссектрисой его угла, то этот параллелограмм – ромб

Доказательство

Дано: ABCD – параллелограмм, АС – диагональ и биссектриса Что такое ромб квадрат какие их свойства DAB иDCB

Доказать: ABCD – ромб

Доказательство:

Что такое ромб квадрат какие их свойства

Что такое ромб квадрат какие их свойства DAB =DCB (по свойству параллелограмма), а АС -биссектриса DAB иDCB (т.е. АС делит эти углы на два равных угла), DAC = BAC =DCA = Что такое ромб квадрат какие их свойства BCA

Рассмотрим Что такое ромб квадрат какие их свойства ADC: DAC =DCA, ADC – равнобедренный с основанием AC, и AD = DC. В параллелограмме противоположные стороны равны, AD = BC, AB = DC

Итак: ABCD – параллелограмм (по условию) AD = BC =AB = DC (по доказанному). Что такое ромб квадрат какие их свойства ABCD – ромб, что и требовалось доказать.

Две теоремы, доказанные выше, называют признаками ромба.

Основные свойства квадрата:

1. Все углы квадрата прямые.

Что такое ромб квадрат какие их свойства

2. Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам.

Что такое ромб квадрат какие их свойства

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Советуем посмотреть:

Многоугольник

Выпуклый многоугольник

Четырехугольник

Параллелограмм

Признаки параллелограмма

Трапеция

Прямоугольник

Осевая и центральная симметрии

Четырехугольники

Правило встречается в следующих упражнениях:

7 класс

Задание 440,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 476,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 506,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 568,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 694,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 728,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 762,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 825,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1152,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1211,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Источник

Комментарии преподавателя

Ромб и квадрат

1. Ромб и его свойства

Ромб – это частный случай параллелограмма, поэтому он обладает всеми свойствами параллелограмма. Однако есть и специфические свойства, о которых пойдёт речь. Но для начала сформулируем одно из определений ромба.

Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны.

Сформулируем и докажем теорему о свойствах ромба.

Теорема

Диагонали ромба перпендикулярны и делят углы ромба пополам (являются биссектрисами углов) (см. Рис. 1).

Дано:

– ромб

Доказать:

Доказательство:

Рис. 1

Рассмотрим : – середина (так как ромб является параллелограммом, то его диагонали в точке пересечения делятся пополам). Кроме того, из определения ромба следует, что . Значит, треугольник – равнобедренный; является медианой этого треугольника, проведённой к основанию, а, значит, и биссектрисой, и высотой. Из этого следует, что:

, то есть диагонали ромба перпендикулярны;

, то есть диагонали ромба являются биссектрисами его углов (равенство остальных углов можно доказать аналогично).

Доказано.

Ещё один частный случай параллелограмма – квадрат.

2. Квадрат и его свойства

Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Квадрат обладает всеми свойствами прямоугольника и ромба. А именно:

· все углы квадрата прямые;

· диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делят углы квадрата пополам.

3. Задачи на ромб и квадрат

Теперь рассмотрим несколько задач, в которых встречаются ромб и квадрат.

Задача 1.

В ромбе одна из диагоналей равна стороне (см. Рис. 2). Найти:

а) углы ромба;

б) углы между диагоналями и сторонами.

Дано: – ромб; .

Найти: а) ; б) .

Решение:

Рис. 2

а) (так как у ромба все стороны равны). Значит, треугольник – равносторонний. Отсюда следует, что угол . Так как в любом параллелограмме сумма соседних углов равна , то .

Ответ: .

б) По доказанной выше теореме: . Аналогично получаем, что .

Ответ: .

Задача 2.

Найти периметр ромба , в котором , а меньшая диагональ равна . Найти периметр ромба.

Дано: – ромб; .

Найти:

Решение:

Рис. 3

Рассмотрим треугольник , в нём: . Значит, данный треугольник равнобедренный, угол при вершине у него равен , два других угла при основании равны, поэтому данный треугольник – равносторонний. Значит: . Так как в ромбе все стороны равны, то периметр ромба равен: .

Ответ: .

Задача 3.

Найдите углы, которые образуют диагонали ромба с его сторонами, если один из углов ромба равен .

Дано: – ромб, .

Найти:

Решение:

Рис. 4

Вспомним, что в любом параллелограмме противоположные углы, а сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна . Из этого следует, что: . Теперь воспользуемся доказанной вначале теоремой: .

Ответ:

Задача 4.

Докажите, что параллелограмм является ромбом, если:

а) его диагонали взаимно перпендикулярны;

б) его диагонали являются биссектрисами углов.

а) Дано: – параллелограмм, .

Доказать: – ромб.

Доказательство:

Рис. 5

Рассмотрим треугольник : в нем является одновременно и высотой (так как диагонали перпендикулярны), и медианой (так как диагонали в любом параллелограмме точкой пересечения делятся пополам). Значит, – равнобедренный. Из этого следует, что: . Если теперь воспользоваться тем, что в параллелограмме противоположные стороны равны, получаем, что: . То есть – ромб.

Доказано.

б) Дано: – параллелограмм, – биссектрисы углов параллелограмма.

Доказать: – ромб.

Доказательство:

Рис. 6

Рассмотрим треугольник : в нем является одновременно и биссектрисой (так как диагонали являются биссектрисами углов), и медианой (так как диагонали в любом параллелограмме точкой пересечения делятся пополам). Значит, – равнобедренный. Из этого следует, что: . Если теперь воспользоваться тем, что в параллелограмме противоположные стороны равны, получаем, что: . То есть, – ромб.

Доказано.

Задача 5.

Докажите, что ромб, у которого один из углов прямой, является квадратом.

Дано: – ромб,

Доказать: – квадрат.

Доказательство:

Рис. 7

Вспомним, что квадрат – это одновременно прямоугольник и ромб. Если говорить о сформулированном строгом определении, то квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны. Равенство сторон следует из того, что данный четырёхугольник – ромб. Осталось доказать, что он является ещё и прямоугольником. По условию: (у любого параллелограмма противоположные углы равны). Кроме того, сумма соседних углов параллелограмма равна . Значит: . Отсюда мы получаем, что – прямоугольник, а значит, и квадрат.

Доказано.

На этом уроке мы изучили ромб и квадрат, а также рассмотрели их свойства и решили различные задачи, в которых встречаются ромб и квадрат.

ИСТОЧНИК

https://x-uni.com/geometriya/8-klass/video/romb-i-kvadrat

https://www.youtube.com/watch?v=axMe7L_01j0

https://www.youtube.com/watch?v=y4x7r57AuSM

https://fs1.ppt4web.ru/uploads/ppt/17412/2387c05b0d646493088efdb6da84d39d.ppt

https://prezentacii.com/uploads/ppt/03-13/Prjamougolnik-Romb-Kvadrat.rar

https://900igr.net/prezentatsii/geometrija/Prjamougolnik-romb-kvadrat/Prjamougolnik-romb-kvadrat.html

https://u.900igr.net/zip/397eb071b35912c86e9059e79cf8ca54.zip

https://player.myshared.ru/1246878/data/images/img3.jpg

https://www.euroki.net/books/gdzs/273/112569.png

https://900igr.net/datas/geometrija/Prjamougolnik-romb-kvadrat/0005-005-Otvety-k-proverochnomu-testu.jpg

Источник