Что такое объем и какими свойствами он обладает
Геометрия, 11 класс
Урок №11
Понятие объёма
Перечень вопросов, рассматриваемых на уроке:
Понятие объёма.
Свойства объёмов.
Объём прямоугольного параллелепипеда.
Формула объёма прямоугольного параллелепипеда.
Тезаурус
Объём тела– величина, характеризующая часть пространства, занимаемую телом, и определяемая формой и линейными размерами этого тела.
Основные свойства объёма:
– равные тела имеют равные объёмы;
– если тело составлено из нескольких тел, то его объём равен сумме объёмов этих тел.
Основная литература:
Атанасян Л. С. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия. 10–11 классы [текст]: учеб. для общеобразоват. организаций: базовый и углубл. уровни – М.: Просвещение, 2014. – 255 с. С. 130–133.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
С понятием объёмного тела, отличающегося от плоской фигуры, мы познакомились ещё в начальной школе.
Объёмом принято называть положительную величину, характеризующую часть пространства, занимаемую телом, и определяемую формой и линейными размерами этого тела.
Мы можем вычислить объём тела точно так же, как ранее находили площадь фигуры. Объём принято измерять в единицах измерения объёма (единицах измерения размера пространства, занимаемого телом), то есть в кубических метрах, сантиметрах, миллиметрах и так далее. За единицу измерения объёма можно принять куб с ребром 1 см, то есть, кубический сантиметр (обозначение: см3). По аналогии, можно за единицу измерения объёма принять кубический миллиметр (1 мм3), кубический метр (1 м3) и тому подобное.
Объём выражается в положительных числах. Это число показывает, сколько единиц измерения содержится в теле. Например, сколько кубических миллиметров в аквариуме, сколько кубических метровв бассейне и так далее.
Объём обозначается заглавной латинской буквой V.
Пример:
Объём книги400 кубических сантиметров запишут: V = 400см3.
Рассмотрим свойства объёмов.
Свойство № 1. Равные тела имеют равные объёмы. Это означает, что если два тела идентичны, то есть имеют равное количество единиц измерения и частей, то равны и их объёмы. Например, 2 одинаковых пакета молока равны в объёме.
Свойство № 2. Если тело составлено из нескольких тел, то его объём равен сумме объёмов этих тел.
Следствие из основных свойств объёмов.
Объём куба с ребром 1/n равен 1/n3
Доказательство. Рассмотрим куб, объём которого принят за единицу измерения объёмов, тоесть равный некоторому числукубических сантиметров. Его ребро равно единице измерения отрезков. Разобьём каждое ребро этого куба на произвольное количество частей – nтак, чтобы провести плоскости, перпендикулярные к этому ребру.
По второму свойству объёмов, сумма объёмов всех кубиков равна объёму всего куба (1 см3). Следовательно, поскольку мы разбили каждое ребро на n частей, то каждый маленький куб внутри большого куба будет иметь ребро
Объём каждого из маленьких кубиков при этом будет равен 1/n3.
Объём прямоугольного параллелепипеда
Теорема
Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений.
Доказательство
Обозначимизмеренияпрямоугольного параллелепипеда P буквами a,b,c, его объём буквой V, и докажем, что V = a ∙ b ∙ c.
Рассмотрим два возможных случая.
Случай первый. Измерения a, b и c представляют собой конечные десятичные дроби, у которых число знаков после запятой не превосходит n (можно считать, что n больше или равно 1). В этом случае числа a ∙10n, b∙10n, c∙10n, являются целыми. Разобьём каждое ребро параллелепипеда на равные части длины: 1/10n и через точки разбиения проведём плоскости, перпендикулярные к этому ребру. Параллелепипед P разобьётся на abc∙103n равных кубов с ребром 1/10n. Так как объём каждого куба равен 1/103n, что мы доказали ранее, то объём всего параллелепипеда P = abc, что и требовалось доказать.
Случай второй.
Хотя бы одно из измерений a, b, c представляет собой бесконечную десятичную дробь. Рассмотрим конечные десятичные дроби: an, bn, cn, которые получаются из чисел a, b, c, если отбросить в каждом из них все цифры после запятой, начиная с n + 1. Очевидно, an ≤ a ≤ an’, где an’ = an+1 : 10n. Аналогичные неравенства справедливы для b и c. Перемножив эти неравенства, получим произведение anbncn ≤ abc ≤ an’bn’cn’, где bn’= bn+1 : 10n, cn’ = cn+1 : 10n
По доказанному в первом случае, левая часть неравенства представляет собой объём Vn прямоугольного параллелепипеда Pn с измерениями an, bn, cn, а правая часть – это объём Vn’ прямоугольного параллелепипеда Pn’ с измерениями an’, bn’, cn’. Так как параллелепипед P содержит в себе параллелепипед Pn, а сам содержится в параллелепипеде Pn’, то объём V параллелепипеда P заключён между Vn, = anbncn и Vn’= an’bn’cn’. Будем неограниченно увеличивать n. Тогда 1/10n будет становиться сколь угодно малым, и поэтому произведение an’bn’cn’ будет сколь угодно мало отличаться от числа, выраженного произведением anbncn. Отсюда следует, что число V сколь угодно мало отличается от числа, выраженного произведением anbncn, а значит, они равны.V = abc, что и требовалось доказать.
Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля.
№1.Длины сторон основания прямоугольного параллелепипеда равны 15 см и 20 см. Высота параллелепипеда равна диагонали основания. Найдите объём этого параллелепипеда.
Решение:
Найдём длину диагонали основания, для этого воспользуемся теоремой Пифагора:
А теперь найдём объём параллелепипеда:
V = 15 ∙ 20 ∙ 25 = 7500 см3
Ответ: V = 7500 см3.
№2.
Найдите площадь закрашенной фигуры, если объём прямоугольного параллелепипеда равен 960 см3, AB = 8 см, АА1= 20 см.
Варианты ответов:
220 см2
100 см2
400 см2
200 см2
Решение.
Найдём длину АD:
AD = 960 : 8 : 20 = 6 см
Найдём АС, воспользовавшись теоремой Пифагора:
Закрашенная фигура – прямоугольник. Вычислим его площадь: 10∙20= 200 см2.
Ответ: площадь закрашенной фигуры 200 см2.
Верный ответ: 200 см2.
Источник
ОБЪЁМ, -а, м.
1. Величина чего-л. в длину, высоту и ширину, измеряемая в кубических единицах. Объем геометрического тела. Объем куба. Объем здания.
2. Содержание чего-л. с точки зрения величины, размеров, количества и т. п. Объем работ. Объем розничной торговли. Объем знаний. Объем информации. □ Литературное наследство Гаршина очень невелико по объему. Короленко, В. М. Гаршин.
Источник (печатная версия): Словарь русского языка: В 4-х
т. / РАН,
Ин-т лингвистич.
исследований; Под ред. А. П. Евгеньевой. — 4-е изд., стер. — М.: Рус. яз.;
Полиграфресурсы,
1999;
(электронная версия): Фундаментальная
электронная
библиотека
- Объём — количественная характеристика пространства, занимаемого телом или веществом. Объём тела или вместимость сосуда определяется его формой и линейными размерами. С понятием объёма тесно связано понятие вместимость, то есть объём внутреннего пространства сосуда, упаковочного ящика и т. п.
Единица измерения объёма в СИ — кубический метр; от неё образуются производные единицы, такие как кубический сантиметр, кубический дециметр (литр) и т. д. В разных странах для жидких и сыпучих веществ используются также различные внесистемные единицы объёма — галлон, баррель.
В формулах для обозначения объёма используется заглавная латинская буква V, являющаяся сокращением от лат. volume — «объём», «наполнение».
Слово «объём» также используют в переносном значении для обозначения общего количества или текущей величины. Например, «объём спроса», «объём памяти», «объём работ». В изобразительном искусстве объёмом называется иллюзорная передача пространственных характеристик изображаемого предмета художественными методами.
Источник: Википедия
ОБЪЁМ, а, м. 1. Величина в длину, ширину и высоту какого-н. тела с замкнутыми поверхностями, измеряемая в кубических единицах. О. шара. О. комнаты равен 140 куб. метрам. О. воды увеличивается при нагревании. 2. Величина, размеры. Книга небольшого объема. О. капитальных вложений в промышленность. || Содержание чего-н. с точки зрения величины, размеров, количества содержащегося. О. работ. О. знаний. Поставить проблему во всем объеме. ◊
Объем понятия (филос.)
— в формальной логике: совокупность признаков, включенных в понятие.объе́м, -ся, объешь, -ся. Буд. вр. от объесть, -ся.
Источник: «Толковый словарь русского языка» под редакцией Д. Н. Ушакова (1935-1940);
(электронная версия): Фундаментальная
электронная
библиотека
объём
1. мера занимаемого телом пространства, измеряемая в кубических единицах
2. перен. величина, размеры, количество чего-либо
3. трёхмерное тело ◆ Несколько объёмов пересекаются, образуя многогранник.
4. внутренняя часть тела ◆ Предполагается, что электронейтральность образца устанавливается за счет движения электронов с поверхности в объём по дислокациям. В. Д. Куликов, «Ток проводимости в структуре металл — диэлектрик — металл», 2004.10.15 г. // «Журнал технической физики» (цитата из НКРЯ)
5. разг. техн. то же, что рабочий объём поршневого двигателя внутреннего сгорания ◆ Бензиновый двигатель объёмом 1,4 л обеспечивает максимальную скорость 90 км/ч и запас хода 400 км. Владимир Мосалев, «Легкие боевые машины иностранных государств», 2004.08.04 г. // «Солдат удачи» (цитата из НКРЯ)
Источник: Викисловарь
Делаем Карту слов лучше вместе
Привет! Меня зовут Лампобот, я компьютерная программа, которая помогает делать
Карту слов. Я отлично
умею считать, но пока плохо понимаю, как устроен ваш мир. Помоги мне разобраться!
Спасибо! Я обязательно научусь отличать широко распространённые слова от узкоспециальных.
Насколько понятно значение слова непротивление (существительное):
Ассоциации к слову «объём»
Синонимы к слову «объём»
Предложения со словом «объём»
- Достаточный уровень информации – это минимально полный объём информации для конкретного человека, при котором он может принять обоснованное управленческое решение.
- Ими был проделан очень большой объём работы, требующей глубоких знаний и внимания к деталям.
- А учителя тем более дополнительно большой объём работы выполнять не станут.
- (все предложения)
Цитаты из русской классики со словом «объём»
- Для куропаток, напротив, приготовляется шатер гораздо меньшего объема, в окружности сажен в шесть; сообразно этому уменьшению ячейки вяжутся поуже и нитки употребляются потоньше.
- В настоящую минуту, озираясь на Мочалова в Гамлете по преимуществу, я не умею ничем другим объяснить магического действия его игры, кроме его неспособности понимать Шекспира во всем его объеме.
- — Да уж на этот счет ты не беспокойся, — горячо говорил Рутилов. — Они и теперь барышни пухленькие, а если не совсем вошли в объем, так это только до поры до времени. Выйдут замуж, и они раздобреют, как старшая. Лариса-то у нас, сам знаешь, какая кулебяка стала.
- (все
цитаты из русской классики)
Понятия со словом «объём»
Объём — количественная характеристика пространства, занимаемого телом или веществом.
Объём — это аддитивная функция от множества (мера), характеризующая вместимость области пространства, которую оно занимает. Изначально возникло и применялось без строгого определения в отношении тел трёхмерного евклидова пространства.
Объём лёгких может быть измерен напрямую: это количество воздуха при вдохе после глубокого выдоха. Средняя ёмкость лёгкого взрослого мужчины может составлять до 6 литров воздуха, обычно 3—4 л, но только маленькая часть этого объема используется при нормальном дыхании. Нормальный дыхательный объём — это объём воздуха, проходящего через лёгкое во время спокойного вдоха и спокойного выдоха. Средний человек делает 16—20 вдохов в минуту.
Объём поня́тия (в логике) — совокупность предметов, охватываемых понятием. Объём и содержание понятия выступают как основные характеристики понятия, подчиняясь при этом закону обратного отношения между содержанием и объёмом понятия (увеличение объёма приводит, как правило, к уменьшению содержания и наоборот). Изменение понятия обычно предполагает изменение его объёма.
Объём торгов на фондовом и срочном рынке рассчитывается как суммарное число акций или контрактов (лотов), сменивших владельца за торговый период.
- (все понятия)
Источник
Нетрадиционная форма урока.
Понятие объема и его свойств вводилось по аналогии, в сравнении с понятием
площади многоугольника на плоскости (проверялись остаточные знания по данной
теме в форме устного опроса).
Понятие объема прямоугольного параллелепипеда и объем куба были записаны с
помощью ответов учащихся (ранее изученные темы).
Остальные формулы объемов тел были выведены поэтапно, применяя ранее знакомые
понятия и формулы, в процессе фронтальной беседы с учащимися.
Закрепление нового материала отрабатывалось на решении как полуустных задач,
так и на письменных задачах. Образцы правильного решения и оформления задач были
продемонстрированы на слайдах.
Кроме этого были показаны примеры использования понятий стереометрии в других
науках: физике, биологии, географии и др.
Во время проведения урока чувствовался неподдельный интерес учащихся, о чем
они написали после урока в своих отзывах. Во время данного урока был охвачен
большой объем теоретического материала на наглядном и доступном уровне, с
экономией 5 уроков, которые будут использованы для решения задач по данной теме.
В конце урока проведена рефлексия с учащимися класса.
Уровень дисциплины хороший. Очень активны на уроке около 80% учащихся;
остальные усваивают материал на индивидуальном уровне.
Усвоение знаний осуществляется через применение ТСО, самостоятельную работу,
индивидуальную и фронтальную работу учащихся.
На уроке используются методы: объяснительно-иллюстративный, репродуктивный,
проблемное изложение, частично– поисковый.
Применяются приемы: аналогия, сравнение, анализ; устное решение задач;
повторение формул; применение формул в новых условиях; беседа; формулирование
выводов самими учащимися; слайдовые решения и оформление задач для самопроверки;
решение задач по алгоритму.
Темп урока средний, что соответствует познавательным способностям учащихся и
уровню их работоспособности.
В ходе урока обращается внимание на уровень дисциплины, степень усвоения
материала, выполнение плана урока; оценивают и комментируют ответы учащихся; при
необходимости корректируют знания учащихся.
На уроке применяются пособия: слайдовые, наглядно-иллюстративные изображения
растений ит.д. Дифференциация осуществлялась через наводящие вопросы, , через
алгоритм решения задач.
Оригинальность заданий проявилась в том, что учащиеся узнавали новые знания
на основе имеющихся знаний, приводили примеры из жизни (то есть практико-ориентированные задания).
На уроке применялись, в основном, репродуктивные методы, так как это связано
с психологическими особенностями учащихся. Творчество учащихся проявилось в
интеграции; учащиеся применяли свои знания математики в литературе, биологии,
географии.
Психологическая атмосфера на уроке спокойная, доброжелательная, деловая.
Общение учителей с учащимися корректное.
Выводы:
- Цели и задачи урока выполнены.
- Урок нетрадиционный, интересный, продуктивный.
- Материал повторен каждым учащимся на своем индивидуальном уровне
благодаря наглядности, доступности, разнообразию приемов и методов. - Подобная нетрадиционная форма урока позволила сэкономить время для
отработки полученных знаний при решении задач.
Цели и задачи урока:
- ввести понятие объема тел его свойств, единиц измерения объема,
познакомить с объемами параллелепипеда, куба, прямой призмы, пирамиды,
цилиндра и конуса, руководствуясь наглядно-иллюстративными соображениями; - учить сравнивать, сопоставлять, анализировать, делать выводы, развивать
правильную математическую речь, целесообразную вариативности математических
упражнений, закрепить знания в результате решения задач на применение новых
формул объема; - воспитывать трудолюбие, внимательность; развитие интереса учащихся к
предмету математика, активизация мыслительной деятельности, развитие
математической речи, расширение математического кругозора у учащихся,
научить учащихся мыслить логически, быстро думать и принимать правильные
решения;
Педагогические возможности:
- повышение уровня математического мышления,
- углубление теоретических знаний,
- расширение кругозора,
- возникновение интереса к математике,
- воспитание стремления к совершенствованию своих знаний,
- формирование умений коллективного поиска ответов на вопросы,
- сплочение коллектива, формирование дружеских, товарищеских отношений
Использовалась дополнительная литература:
- Все рисунки и чертежи выполнены автором данной работы – Варенко Оксаной
Валентиновной в программах: Microsoft
Office
Word, Paint. - В данной работе использованы фотографии c
сайтов:
–
ru.wikipedia.org›wiki/Конус_выноса
images.yandex.ru›конуснарастания
medusy.ru›diving/yad_mollusk/index.shtm
reinesland.ru›wiki/Телесный_угол
Ход урока
Приложение. Слайд 1 и Слайд 2.
Учитель: Сегодня на
уроке мы с вами введем понятие объема тел его свойств, познакомимся и узнаем
единицы измерения объема, познакомимся с объемами параллелепипеда, куба, прямой
призмы, пирамиды, цилиндра и конуса, руководствуясь наглядно-иллюстративными
соображениями.
Слайд 3.
Подобно тому как все искусства тяготеют к музыке, все науки стремятся к
математике.
Д. Сантаяна
Слайд 4.
Геометрия есть искусство правильно рассуждать на неправильных чертежах.
Пойа Д.
Повторение с частичным (первичным) введением нового материала. (Повторить
известные многогранники и тела вращения– определения и чертежи – заранее
заготовленных карточках.)
Найдите соответствия
Слайд 5: Изучение нового материала в сравнении – “Планиметрия–
Стереометрия”.
Понятие объема тела вводится по аналогии с понятием площади плоской фигуры.
Из курса планиметрии известно, что каждый многоугольник имеет площадь, которая
измеряется с помощью выбранной единицы измерения площадей. В качестве единицы
измерения площадей обычно берут квадрат, сторона которого равна единице
измерения отрезков.
Площадь многоугольника – это положительная величина той части плоскости ,
которую занимает многоугольник.
Аналогично будем считать, что каждое из рассматриваемых нами тел имеет объем,
который можно измерять с помощью выбранной единицы измерения объемов.
Объем тела – это положительная величина той части пространства , которую
занимает геометрическое тело.
Слайд 6: В чем измеряется площадь плоских фигур?
Какие единицы измерения площадей вы уже знаете?
За единицу измерения площадей берут квадрат, сторона которого равна единице
измерения отрезков.
1 км2, 1 м2, 1 дм2, 1 см2, 1 мм2
, 1 а, 1 га и т.д.
За единицу измерения объемов примем куб, ребро которого равно единице
измерения отрезков.
Куб с ребром 1 см называют кубическим сантиметром и обозначают см3.
Аналогично определяют :
1 м3, 1 дм3, 1 см3 , 1 мм3 и т.д.
Процедура измерения объемов тел аналогична процедуре измерения площадей. При
выбранной единице измерения объем каждого тела выражается положительным числом,
которое показывает . сколько единиц измерения объемов и частей единицы
содержится в данном теле.
Слайд 7.Мы с вами уже знакомы из курса планиметрии со
свойствами площадей.
Давайте вспомним первое свойство: (ученики используют подсказку на
слайде).
Равные многоугольники имеют равные площади.
Мы с вами можем сформулировать первое свойство объема тел используя в
качестве подсказки рисунок слайда. Равные тела имеют равные объемы.
Равенство двух фигур, в частности двух тел, в стереометрии определяется так
же, как и в планиметрии: два тела называются равными, если их можно совместить
наложением.
Слайд 8. Рассмотрим еще одно свойство объемов.
Для этого мы вспомним второе свойство из курса планиметрии: (ученики
используют подсказку на слайде). Свойство 2: – Если многоугольник
составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей
этих многоугольников.
SF=
SF1+
SF2+
SF3 +
SF4
Итак давайте выведем второе свойство объема: Если тело составлено из
нескольких тел, то его объем равен сумме объемов этих тел.
VF=
VF1+
VF2
Слайд 9. Мы с вами вспомнило некоторые свойства из курса планиметрии и
рассмотрели 2 свойства объемов.
Сформулируйте – какие фигуры называются равновеликими? Равновеликими
называются геометрические фигуры, имеющие равные площади
SF= SF1
.
Сформулируйте – какие тела называются равновеликими?
Равновеликими называются тела, объемы которых равны
VF=
VF1
Слайд 10. В стереометрии мы с вами будем рассматривать объемы
многогранников и объемы тел вращения
Назовите известные вам многогранники и фигуры вращения?
(Учащиеся должны
назвать – прямоугольный параллелепипед, куб, призма, пирамида, цилиндр, конус,
сфера и шар.)
Слайд 11. Введение формул объемов тел через диалог учителей и
учащихся.
В курсе математики 5-го класса мы с вами уже познакомились с прямоугольным
параллелепипедом. Давайте воспользуемся чертежом и вспомним основные элементы
прямоугольного параллелепипеда и формулы уже известные нам.
Измерения – а – длина; b –
ширина; с – высота.
Известные формулы:
V = a.b.c
Sосн =
a.b
V = Sосн.H
Следствие 1: Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади
основания на высоту.
Слайд 12. А как называется прямоугольный параллелепипед у которого все
измерения равны? Куб.
Длина куба а = а; ширина в = а; высота с = а.
Подставим имеющиеся данные в формулу V=a.b.c
в результате чего мы получаем:
(Ученики сами выводят формулу нахождения объема куба.)
V =
a.а.а = а3
V = а3
Слайд 13:
А сейчас мы рассмотрим прямую призму, основанием которой является
прямоугольный треугольник (используем рисунок на слайде).
Ученики вспоминают, что прямая призма, основанием которой
является прямоугольный треугольник образуется путем разрезания прямоугольного
параллелепипеда на две равные части. Они могут самостоятельно определить формулу
для нахождения объема прямой призмы
Следствие 2 – Объем прямой призмы, основанием которой является прямоугольный
треугольник, равен произведению основания на высоту.
Слайд 14. А сейчас мы с вами найдем объем пирамиды. Достроим
пирамиду ABCS до призмы.
Достроенная призма будет состоять из 3 пирамид– SABC,
SCC1B1,
SCBB1. У 2 и 3
пирамиды– SC– общая, треугольник
CC1B1=
треугольнику CBB1
У 1 и 3 пирамиды – СS – общая,
треугольник SAB = треугольнику
BB1S
V1=V2=V3
V призмы= 3 V
пирам
Слайд 15. Мы с вами узнали и вывели несколько формул для нахождения
объемов тел. А сейчас поработаем с телами вращения.
Какие тела вращения вы уже знаете? Цилиндр. Конус, усеченный конус, сфера
и шар.
Давайте выведем с вами формулу для нахождения объема цилиндра.
Вспомним обозначения и уже известные нам формулы, которые мы применяли для
нахождения элементов цилиндра.
Обозначения:
R – радиус основания.
H – высота.
L – образующая.
L= H
V – объем цилиндра.
Sосн = ПR2
Говорят, что призма вписана в цилиндр, если ее основания вписаны в основания
цилиндра и призма описана около цилиндра, если ее основания описаны около
оснований цилиндра. Ясно, что высота любой призмы, вписанной в цилиндр или
описанной около него равна высоте самого цилиндра.
Теорема: Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту.
V = ПR2H
V = Sосн
.H
Слайд 16. Назовите мне фигуру вращения, которую вы видите на данном
слайде? Конус.
Давайте вспомним основные обозначения конуса и все уже известные нам формулы,
которые мы применяем при решении задач на нахождение элементов конуса.
Обозначения:
R – радиус основания.
L – образующая конуса.
H – высота.
V – объем.
Пирамида вписана в конус, если ее основания вписаны в основания конуса и
пирамида описана около конуса, если ее основания описаны около оснований конуса.
Ясно, что высота любой пирамиды, вписанной в конус или описанной около него
равна высоте самого конуса. Так как мы уже знаем с вами , что объем пирамиды
равен: V пирамиды =
Sосн
.H
Тогда и Vконуса =
Sосн .H
, а в основании конуса лежит круг, то Sосн
= ПR2Н
Поэтому V=
ПR2Н
Слайд 17. Это интересно: (межпредметные
связи).
Слайд 18.
Проверь свои знания:
- Сформулируйте понятие объема.
- Сформулируйте основные свойства объемов тел.
- Назовите единицы измерения объема тел.
- Назовите формулу для измерения объема:
– прямоугольного параллелепипеда;
– объема куба;
– объем прямой призмы;
– объем пирамиды;
– объем цилиндра
– объем конуса. - Изменится ли объем цилиндра, если радиус его основания увеличить в 2 раза, а
высоту уменьшить в 4 раза?
Решение:
V = ПR2H
V= П(2R)2
.
= П4R2.
=
ПR2.
H
- Основаниями двух пирамид с равными высотами являются четырехугольники с
соответственно равными сторонами. Равны ли объемы этих пирамид? - Из каких тел состоит тело, полученное вращением равнобедренной трапеции
вокруг большего основания?
Слайд 19. Домашняя работа: Выучить
формулы объемов тел, определения. № 648 (а,в), № 685, № 666 (а, в).
Слайд 20. Закрепление изученного материала:
(Разноуровневые задания, коррекция знаний.)
Итак, мы с вами изучили объемы некоторых многогранников и тел вращения.
Давайте с вами закрепим пройденный материал.
Для его закрепления предлагаю вам решить несколько задач.
Задача 1.
Три латунных куба с ребрами 3см, 4 см и 5 см переплавлены в один куб. Какое
ребро у этого куба?
Слайд 21.
Для самостоятельного решения учащимся дается несколько минут.
Ученики могут решать данную задачу самостоятельно, могут воспользоваться помощью
более сильных учеников. Решение проверяется по действиям.
Решение:
VF=VF1+VF2
+VF3
VF1=33
=27 (см3)
VF2=43
=64 (см3)
VF3=53
=125 (см3)
VF=27+64 +125=216 (см3)
VF=а3
а3=216 (см3)
а= 6 (см)
Ответ: ребро куба равно 6 см.
Слайд 22.
Задача 2.
Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды, высота которой равна 12
см, а сторона основания 13 см.
Слайд 23.
Решение данной задачи рассматривается классом в совместной
работе.
Решение:
V= 
Sосн
. H
ABCD – квадрат
SABCD = a2
SABCD
=
132 = 169
V = 169 . 12 = 676 (см3)
Ответ: Объем правильной четырехугольной пирамиды равен 676 см3.
Слайд 24.
Задача 3.
Решение данной задачи носит индивидуальный характер.
Найдите объем цилиндра, если радиус его основания равен 6см, а высота 8 см.
Слайд 25.
Решение:
V = ПR2H
V = П . 62. 8 = 288П (см3)
Ответ: объем цилиндра равен 288 П см3 .
Заключение урока: Итак, мы заканчиваем с вами знакомство с понятием
объем, с некоторыми формулами для нахождения объема многогранников и тел
вращения. С остальными формулами мы продолжим знакомство на следующих уроках
стереометрии.
Рефлексия. Перед вами находятся листочки с рисунками, на которых я
предлагаю вам поставить знак вашего отношения к проведенному уроку и написать
понравился ли вам урок и что в нем вам понравилось.
Источник