Что такое квадратный корень и какие у него свойства

Зачем нужен квадратный корень? Очень хороший вопрос…

Попробуй на калькуляторе извлечь корень из ( displaystyle 3).

Получается число, которое никогда не кончается: ( sqrt{3}=1,732050807568ldots ) 

Как же такое число запомнить? А как его записать, если, допустим, нельзя округлять? Например на ЕГЭ?

Очень просто. С помощью квадратного корня. Пишешь ( sqrt{3} )  и все.

Именно для упрощения записи таких чисел и было введено понятие квадратного корня.  К слову такие числа называются иррациональными.

Ну и давай теперь разберемся с квадратным корнем…

К примеру, перед нами уравнение ( {{x}^{2}}=4 ).

Какое решение у данного уравнения? Какие числа можно возвести в квадрат и получить при этом ( 4 )?

Вспомнив таблицу умножения, ты легко дашь ответ, что есть два таких числа: ( 2 ) и ( -2 ).

Квадратный корень – это решение такого уравнения!

Дадим первое определение квадратного корня:

Квадратный корень из числа ( a ) — это решение уравнения ( {{x}^{2}}=a ). 

Операция вычисления значения корня из числа ( a ) называется «извлечением квадратного корня» из этого числа.

У квадратного корня есть специальный символ: ( sqrt{ } ), который называется радикалом.

Но есть еще одно равнозначное определение квадратного корня. Сейчас мы его тоже приведем.

А почему же число  ( a) (число под корнем) должно быть обязательно неотрицательным?

Например, чему равен ( sqrt{-9})?

Так-так, попробуем подобрать. Может, три?

Проверим: ( {{3}^{2}}=9), а не ( -9).

Может, ( left( -3 right))? 

Опять же, проверяем: ( {{left( -3 right)}^{2}}=9).

Ну что же, не подбирается?

Это и следовало ожидать – потому что нет таких чисел, которые при возведении в квадрат дают отрицательное число! Это надо запомнить!

Число или выражение под знаком корня должно быть неотрицательным!

Однако ты наверняка уже заметил, что не только число под корнем должно быть неотрицательным, но и само значение тоже должно быть неотрицательным!

 Ведь в определении сказано, что «квадратным корнем из числа ( a) называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен ( a)».

Но подождите!  В самом начале мы разбирали пример ( {{x}^{2}}=4) и один из ответов был отрицательным числом! 

 Мы подбирали числа, которые можно возвести в квадрат и получить при этом ( displaystyle 4). Ответом были ( displaystyle 2) и ( displaystyle -2)

А тут говорится, что квадратным корнем должно быть «неотрицательное число»! Почему?

Такой вопрос вполне уместен. Здесь необходимо просто разграничить понятия квадратного уравнения и арифметического квадратного корня.

К примеру, ( displaystyle {{x}^{2}}=4) (квадратное уравнение) не равносильно выражению ( x=sqrt{4}) (арифмитический квадратный корень).

Из ( {{x}^{2}}=4) следует, что

( left| x right|=sqrt{4}), то есть ( x=pm sqrt{4}=pm 2) или ( {{x}_{1}}=2); ( {{x}_{2}}=-2)

(не помнишь почему так? Почитай тему “Модуль числа”!)

А из ( x=sqrt{4}) следует, что ( x=2).

Конечно, это очень путает, но это необходимо запомнить, что знаки “плюс-минус” являются результатом решения квадратного уравнения, так как при решении уравнения мы должны записать все иксы, которые при подстановке в исходное уравнение дадут верный результат.

В наше квадратное уравнение подходит как ( 2), так и ( x=-2).

Однако, если просто извлекать квадратный корень из чего-либо, то всегда получаем один неотрицательный результат.

Наглядный пример разницы между квадратным уравнением и квадратным корнем

Этот наглядный пример привёл наш читатель Игорь, спасибо ему за это:

Пусть есть две ситуации:

1) ( x^2=64;)

2) ( x= sqrt{64}.)

В первом случае у нас квадратное уравнение и его решением будет ( |х| =sqrt{64}) (уже видно отличие от второго случая) и далее получаем два корня ( x_1 = +8text{ и }х_2 = -8.)

Во втором случае у нас нет квадратного уравнения, просто х равен корню из числа и в этом случае ответ всегда “одно неотрицательное число”, то есть 8.

Запись иррациональных чисел с помощью квадратного корня

А теперь попробуй решить такое уравнение ( {{x}^{2}}=3).

Уже все не так просто и гладко, правда? Попробуй перебрать числа, может, что-то и выгорит?

Начнем с самого начала – с нуля: ( {{0}^{2}}=0) – не подходит.

Двигаемся дальше ( displaystyle x=1); ( displaystyle {{1}^{2}}=1) – меньше трех, тоже отметаем.

А что если ( displaystyle x=2)? 

Проверим: ( displaystyle {{2}^{2}}=4) – тоже не подходит, т.к. это больше трех.

С отрицательными числами получится такая же история.

И что же теперь делать? Неужели перебор нам ничего не дал?

Совсем нет, теперь мы точно знаем, что ответом будет некоторое число между ( displaystyle 1) и ( displaystyle 2), а также между ( displaystyle -2) и ( displaystyle -1).

Кроме того, очевидно, что решения не будут целыми числами. Более того, они не являются рациональными.

И что дальше?

Давай построим график функции ( displaystyle y={{x}^{2}}) и отметим на нем решения.

Попробуем обмануть систему и получить ответ с помощью калькулятора (как мы это делали в начале)!

Извлечем корень из ( displaystyle 3), делов-то!

Ой-ой-ой, выходит, что ( sqrt{3}=1,732050807568ldots ) Такое число никогда не кончается.

Как же такое запомнить, ведь на экзамене калькулятора не будет!?

Все очень просто, это и не надо запоминать, необходимо помнить (или уметь быстро прикинуть) приблизительное значение. ( sqrt{3}) и ( -sqrt{3}) уже сами по себе ответы.

Такие числа называются иррациональными, именно для упрощения записи таких чисел и было введено понятие квадратного корня.

Еще один пример для закрепления 

Разберем такую задачку: тебе необходимо пересечь по диагонали квадратное поле со стороной ( displaystyle 1) км, сколько км тебе предстоит пройти?

Самое очевидное здесь рассмотреть отдельно треугольник и воспользоваться теоремой Пифагора: ( {{c}^{2}}={{a}^{2}}+{{a}^{2}}).

Таким образом, ( {{c}^{2}}=1+1=2).

Так чему же здесь равно искомое расстояние?

Очевидно, что расстояние не может быть отрицательным, получаем, что ( c=sqrt{2}). Корень из двух приблизительно равен ( displaystyle 1,41), но, как мы заметили раньше, ( c=sqrt{2}) – уже является полноценным ответом.

Чтобы решение примеров с корнями не вызывало проблем, необходимо их видеть и узнавать.

Для этого необходимо знать, по меньшей мере, квадраты чисел от ( displaystyle 1) до ( displaystyle 20), а также уметь их распознавать.

То есть, тебе необходимо знать, что ( displaystyle 15) в квадрате равно ( displaystyle 225), а также, наоборот, что ( displaystyle 225) – это ( displaystyle 15) в квадрате.

Первое время в извлечении корня тебе поможет эта таблица.

Как только ты прорешаешь достаточное количество примеров, то надобность в ней автоматически отпадет.

Попробуй самостоятельно извлечь квадратный корень в следующих выражениях:

1. 1

   ( sqrt{0}=?);

2. 2

   ( sqrt{64}=?);

3. 3

   ( sqrt{121}=?);

4. 4

   ( sqrt{289}=?);

1. 1

   ( displaystyle 0);

2. 2

   ( displaystyle 8);

3. 3

   ( displaystyle 11);

4. 4

   ( displaystyle 17);

1. 1

   ( sqrt{0,0196}=?);

2. 2

   ( sqrt{0,0961}=?);

3. 3

   ( sqrt{0,0144}=?).

1. 1

   ( displaystyle 0,14);

2. 2

   ( displaystyle 0,31);

3. 3

   ( displaystyle 0,12);

• умножение;
• деление;
• возведение в степень.

Умножение корней

Взглянул еще раз на табличку… И, поехали!

Начнем с простенького:

1. 1

   ( sqrt{5}cdot sqrt{3}=sqrt{15})

2. 2

   ( sqrt{2}cdot sqrt{6}=sqrt{12})

Минуууточку. ( 12) это ( displaystyle 4cdot 3), а это значит, что мы можем записать вот так:

( sqrt{2}cdot sqrt{6}=sqrt{12}=sqrt{4cdot 3}=sqrt{4}cdot sqrt{3}=2sqrt{3})

Усвоил? Вот тебе следующий:

( displaystyle   sqrt{4}cdot sqrt{6}=2cdot sqrt{6}=2sqrt{6})

Корни из получившихся чисел ровно не извлекаются? Не беда – вот тебе такие примеры:

( displaystyle   sqrt{2}cdot sqrt{8}=sqrt{16}=4)

( displaystyle   sqrt{12}cdot sqrt{3}=sqrt{36}=6)

А что, если множителей не два, а больше? То же самое! Формула умножения корней работает с любым количеством множителей:

( displaystyle   sqrt{5}cdot sqrt{3}cdot sqrt{2}=sqrt{10cdot 3}=sqrt30)

Теперь полностью самостоятельно:

1. 1

   ( displaystyle   sqrt{4}cdot sqrt{6}cdot sqrt{5})

2. 2

   ( displaystyle   sqrt{3}cdot sqrt{6}cdot sqrt{7})

3. 3

   ( displaystyle   sqrt{32}cdot sqrt{2})

1. 1

   ( displaystyle   sqrt{4}cdot sqrt{6}cdot sqrt{5}=sqrt{4cdot 6cdot 5}=sqrt{120}=sqrt{4cdot 30}=2sqrt{30});

2. 2

   ( displaystyle   sqrt{3}cdot sqrt{6}cdot sqrt{7}=sqrt{3cdot 6cdot 7}=sqrt{126});

3. 3

   ( displaystyle   sqrt{32}cdot sqrt{2}=sqrt{32cdot 2}=sqrt{64}=8).

С умножением корней разобрались, теперь приступим к свойству деления.

Напомню, что формула в общем виде выглядит так:

( displaystyle sqrt[{}]{frac{a}{b}}=frac{sqrt[{}]{a}}{sqrt[{}]{b}}), если ( displaystyle age 0 , b>0).

А значит это, чтокорень из частного равен частному корней.

Ну что, давай разбираться на примерах:

( displaystyle   frac{sqrt{12}}{sqrt{3}}=sqrt{frac{12}{3}}=sqrt{4}=2)

Вот и вся наука. А вот такой пример:

( displaystyle   frac{sqrt{12}}{3}=frac{sqrt{12}}{sqrt{9}}=sqrt{frac{12}{9}}=sqrt{frac{4}{3}}=frac{2}{sqrt{3}})

Все не так гладко, как в первом примере, но, как видишь, ничего сложного нет.

А что, если попадется такое выражение:

( displaystyle   sqrt{frac{144}{225}}=?)

Надо просто применить формулу в обратном направлении:

( displaystyle   sqrt{frac{144}{225}}=frac{sqrt{144}}{sqrt{225}}=frac{12}{15}=frac{4}{5}=0,8)

А вот такой примерчик:

( displaystyle   sqrt{0,16}=sqrt{frac{16}{100}}=frac{4}{10}=0,4)

Еще ты можешь встретить такое выражение:

( displaystyle   sqrt{5frac{19}{25}}=?)

Все то же самое, только здесь надо вспомнить, как переводить дроби (если не помнишь, загляни в тему дроби и возвращайся!). Вспомнил? Теперь решаем!

( displaystyle   sqrt{5frac{19}{25}}=sqrt{frac{144}{25}}=frac{12}{5}=2,4)

Уверена, что ты со всем, всем справился, теперь попробуем возводить корни в степени.

А что же будет, если квадратный корень возвести в квадрат? Все просто, вспомним смысл квадратного корня из числа ( displaystyle a) – это число, квадратный корень которого равен ( displaystyle a).

Так вот, если мы возводим число, квадратный корень которого равен ( displaystyle a), в квадрат, то что получаем?

Ну, конечно, ( displaystyle a)!

Рассмотрим на примерах:

( displaystyle   {{left( sqrt{17} right)}^{2}}=17)

( displaystyle   {{left( sqrt{17} right)}^{2}}=17)

Все просто, правда? А если корень будет в другой степени? Ничего страшного!

Придерживайся той же логики и помни свойства и возможные действия со степенями.

Забыл?

Почитай теорию по теме «Степень и ее свойства» и тебе все станет предельно ясно.

Вот, к примеру, такое выражение:

( displaystyle   {{left( sqrt{5} right)}^{6}}={{left( {{left( sqrt{5} right)}^{2}} right)}^{3}}={{5}^{3}}=125)

В этом примере степень четная, а если она будет нечетная? Опять же, примени свойства степени и разложи все на множители:

( displaystyle   {{left( sqrt{5} right)}^{7}}={{left( sqrt{5} right)}^{6}}cdot sqrt{5}=125sqrt{5})

С этим вроде все ясно, а как извлечь корень из числа в степени? Вот, к примеру, такое:

( displaystyle   sqrt{{{3}^{2}}}=sqrt{9}=3)

Довольно просто, правда? А если степень больше двух? Следуем той же логике, используя свойства степеней:

Ну как, все понятно? Тогда реши самостоятельно примеры:

1. 1

   ( displaystyle   sqrt{{{left( -3 right)}^{2}}})

2. 2

   ( displaystyle   sqrt{{{6}^{6}}})

3. 3

   ( displaystyle   {{left( sqrt{8} right)}^{7}})

1. 1

   ( displaystyle   sqrt{{{left( -3 right)}^{2}}}=sqrt{9}=3)

2. 2

   ( displaystyle   sqrt{{{6}^{6}}}=sqrt{{{left( {{6}^{3}} right)}^{2}}}={{6}^{3}}=216)

3. 3

   ( displaystyle   {{left( sqrt{8} right)}^{7}}={{left( sqrt{8} right)}^{6}}cdot sqrt{8}=512sqrt{8})

Что мы только не научились делать с корнями! Осталось только потренироваться вносить число под знак корня!

Это совсем легко!

( displaystyle   4sqrt{6}-2sqrt{3}cdot sqrt{8}=sqrt{16cdot 6}-sqrt{4cdot 3cdot 8}=sqrt{96}-sqrt{96}=0)

Допустим, у нас записано число ( displaystyle   3sqrt{5})

Что мы можем с ним сделать? Ну конечно, спрятать тройку под корнем, помня при этом, что тройка – корень квадратный из ( displaystyle   9)!

( displaystyle   3sqrt{5}=sqrt{9}cdot sqrt{5}=sqrt{45})

Зачем нам это нужно? Да просто, чтобы расширить наши возможности при решении примеров:

( displaystyle   3sqrt{10}-sqrt{45}cdot sqrt{2}=sqrt{90}-sqrt{90}=0)

Как тебе такое свойство корней? Существенно упрощает жизнь? По мне, так точно! Только надо помнить, что вносить под знак квадратного корня мы можем только положительные числа.

Реши самостоятельно вот этот пример – ( displaystyle   4sqrt{6}-2sqrt{3}cdot sqrt{8})
Справился? Давай смотреть, что у тебя должно получиться:

( displaystyle   4sqrt{6}-2sqrt{3}cdot sqrt{8}=sqrt{16cdot 6}-sqrt{4cdot 3cdot 8}=sqrt{96}-sqrt{96}=0)

Молодец! У тебя получилось внести число под знак корня! Перейдем к не менее важному – рассмотрим, как сравнивать числа, содержащие квадратный корень!

Зачем нам учиться сравнивать числа, содержащие квадратный корень?

Очень просто. Часто, в больших и длиииинных выражениях, встречающихся на экзамене, мы получаем иррациональный ответ (помнишь, что это такое? Мы с тобой сегодня об этом уже говорили!)

Полученные ответы нам необходимо расположить на координатной прямой, например, чтобы определить, какой интервал подходит для решения уравнения. И вот здесь возникает загвоздка: калькулятора на экзамене нет, а без него как представить какое число больше, а какое меньше? То-то и оно!

Например, определи, что больше: ( displaystyle   3sqrt{7}) или ( displaystyle   2sqrt{17})?

Сходу и не скажешь. Ну что, воспользуемся разобранным свойством внесения числа под знак корня?

Тогда вперед:

( displaystyle   3sqrt{7}=sqrt{9cdot 7}=sqrt{63})

( displaystyle   2sqrt{17}=sqrt{4cdot 17}=sqrt{68})

Ну и, очевидно, что чем больше число под знаком корня, тем больше сам корень!

Т.е. если ( displaystyle 68>63), значит, ( displaystyle   sqrt{68}>sqrt{63}).

Отсюда твердо делаем вывод, что ( displaystyle   3sqrt{7}<2sqrt{17}). И никто не убедит нас в обратном!

До этого мы вносили множитель под знак корня, а как его вынести? Надо просто разложить его на множители и извлечь то, что извлекается!

( displaystyle   sqrt{98}=sqrt{49cdot 2}=sqrt{49}cdot sqrt{2}=7sqrt{2})

Можно было пойти по иному пути и разложить на другие множители:

( displaystyle   sqrt{98}=sqrt{7cdot 14})

Что дальше? А дальше раскладываем на множители до самого конца:

( displaystyle   sqrt{98}=sqrt{7cdot 14}=sqrt{7cdot 7cdot 2}=sqrt{{{7}^{2}}cdot 2}=7sqrt{2})

Неплохо, да? Любой из этих подходов верен, решай как тебе удобно.

Разложение на множители очень пригодится при решении таких нестандартных заданий, как вот это:

( displaystyle   sqrt{15}cdot sqrt{180}cdot sqrt{12})

Не пугаемся, а действуем! Разложим каждый множитель под корнем на отдельные множители:

А теперь попробуй самостоятельно (без калькулятора! его на экзамене не будет):

( displaystyle   sqrt{15}cdot sqrt{180}cdot sqrt{12}=sqrt{5cdot 3}cdot sqrt{36cdot 5}cdot sqrt{2cdot 6})

Разве это конец? Не останавливаемся на полпути!

( displaystyle   begin{array}{l}sqrt{5cdot 3}cdot sqrt{36cdot 5}cdot sqrt{2cdot 6}=sqrt{5cdot 3}cdot sqrt{3cdot 12cdot 5}cdot sqrt{2cdot 3cdot 2}=\=sqrt{5cdot 3}cdot sqrt{3cdot 2cdot 2cdot 3cdot 5}cdot sqrt{2cdot 3cdot 2}end{array})

На простые множители разложили. Что дальше? А дальше пользуемся свойством умножение корней и записываем все под одним знаком корня:

( displaystyle   begin{array}{l}sqrt{5cdot 3cdot 3cdot 2cdot 2cdot 3cdot 5cdot 2cdot 3cdot 2}=sqrt{5cdot 5cdot 3cdot 3cdot 3cdot 3cdot 2cdot 2cdot 2cdot 2}=\=sqrt{25}cdot sqrt{81}cdot sqrt{16}=5cdot 9cdot 4=180end{array})

Вот и все, не так все и страшно, правда?

( displaystyle   sqrt{15}cdot sqrt{54}cdot sqrt{10}=?)

Получилось ( displaystyle   90)? Молодец, все верно!

А теперь попробуй вот такой пример решить:

( displaystyle   sqrt{4225}=?)

А пример-то – крепкий орешек, так сходу и не разберешься, как к нему подступиться. Но нам он, конечно, по зубам.

Ну что, начнем раскладывать ( displaystyle   4225) на множители? Сразу заметим, что можно поделить число на ( displaystyle   5) (вспоминаем признаки делимости):

( displaystyle   begin{array}{l}sqrt{4225}=sqrt{845cdot 5}=sqrt{169cdot 5cdot 5}=\=sqrt{13cdot 13cdot 5cdot 5}=5cdot 13=65end{array})

А теперь, попробуй сам (опять же, без калькулятора!):

( displaystyle   sqrt{2304}=?)

Ну что, получилось ( displaystyle   48)? Молодец, все верно!

Определение

Квадратным корнем (арифметическим квадратным корнем) из неотрицательного числа ( displaystyle   a) называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен ( displaystyle   a).

Главное!

Если мы просто извлекаем квадратный корень из чего-либо, то всегда получаем один неотрицательный результат.

Свойства арифметического корня

Сравнение корней

При сравнении квадратных корней необходимо помнить, что чем больше число под знаком корня, тем больше сам корень.

Мы постарались объяснить тебе без воды все что нужно знать на экзамене про квадратный корень.

Теперь твоя очередь. Напиши нам сложная это для тебя тема или нет.

Узнал ты что-то новое или все было и так ясно.

Задай вопросы, если есть. Мы обязательно ответим.

Пиши в комментариях и удачи на экзаменах!